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专题 22.7 二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象与性质（知识讲解）
【学习目标】
1．理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式；
y ax2 ca 0
2．会用描点法画出二次函数 的图象，并结合图象理解抛物线、对
称轴、顶点、开口方向等概念；
y ax2 ca 0 y ax2a 0
3．掌握二次函数 的图象的性质，掌握二次函数 与
y ax2 ca 0
之间的关系；（上加下减）.
【要点梳理】
一、y=ax2+c（a≠0）的性质：
形如y=ax2+c（a≠0）的二次函数，它的图像的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，c），
c的符号决定抛物线由y=ax2上下平移，简单的说，就是“上加下减”。
开口 顶点
的符号 对称轴 增减性 最值
方向 坐标
时， 随 的增
大而增大； 时，
向上 轴
时， 随 的增 = c
最小值
大而减小；
时， 随 的增
大而减小； 时，
向下 轴
时， 随 的增 = c
最小值
大而增大；
二、解读y=ax2+c（a≠0）：
（1）函数y=ax2+c（a，c是常数，a≠0）的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，
顶点坐标是（0，c）；
（2）抛物线y=ax2+c（a，c是常数，a≠0）可以看作是由抛物线y=ax2(a是常数且
a≠0)向上或向下平移∣c∣个单位而得到的。当c＞0时，将抛物线 y=ax2(a是常数且
a≠0)向上平移c个单位；当c＜0时，将抛物线y=ax2(a是常数且a≠0)向下平移∣c∣个
单位。
（3）实际上在a相等的情况下，二次函数y=ax2+c（a，c是常数，a≠0）的图像与二
次函数y=ax2(a是常数且a≠0)的图像形状、开口方向、对称轴等完全相同，只不过位置发
生了变化，顶点坐标由（0，0）变成了（0，c）。
（4）在几条抛物线的表达式中，若∣a∣相等，则形状相同；若a相等，则其开口方
向及形状均相同；若a互为相反数，则其形状相同、开口方向相反。
三、巧记：如果要画抛物线，平移或者去描点，两条途径任您选；列表描点后连线，平移规律记心间，c正向上负向下。
【典型例题】
类型一、
1．已知：二次函数y＝x2﹣1．
(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
(2)画出它的图象．
【答案】(1)抛物线的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，﹣1）．
(2)图像见分析．
【分析】
（1）根据二次函数y=a(x-h)2+k，当a>0时开口向上；顶点式可直接求得其顶点坐标为
(h，k)及对称轴x=h；
（2）可分别求得抛物线顶点坐标以及抛物线与x轴、y轴的交点坐标，利用描点法可
画出函数图象．
(1)解：（1）∵二次函数y＝x2﹣1，
∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴；
(2)解：在y＝x2﹣1中，令y＝0可得x2﹣1=0．
解得x＝﹣1或1，所以抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)和(1，0)；
令x＝0可得y＝﹣1，所以抛物线与y轴的交点坐标为(0，-1)；
又∵顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴，
再求出关于对称轴对称的两个点，
将上述点列表如下：
x -2 -1 0 1 2
y＝x2﹣1 3 0 -1 0 3
描点可画出其图象如图所示：【点拨】本题考察了二次函数的开口方向、对称轴以及顶点坐标．以及二次函数抛物
线的画法．解题的关键是把二次函数的一般式化为顶点式．描点画图的时候找到关键的几
个点，如：与x轴的交点与y轴的交点以及顶点的坐标．
举一反三：
【变式1】若在同一直角坐标系中，作 ， ， 的图像，
则它们（ ）
A．都关于 轴对称 B．开口方向相同
C．都经过原点 D．互相可以通过平移得到
【答案】A
解：因为 ， ， 这三个二次函数的图像对称轴为 ，
所以都关于 轴对称，故选项A正确；
抛物线 ， 的图象开口向上，抛物线 的图象开口向
下，故选项B错误；
抛物线 ， 的图象不经过原点，故选项C错误；
因为抛物线 ， ， 的二次项系数不相等，故不能通
过平移其它二次函数的图象，故D选项错误；
故选A.
【变式2】 通过_______法画出 和 的图像：通过图像可知：
的开口方向________，对称轴_______，顶点坐标___________．
的开口方向________，对称轴_______，顶点坐标___________．
【答案】 描点 向上 y轴 向
上 y轴
【分析】根据画二次函数的图像采用描点法，然后根据二次函数性质得出开口方向，
对称轴，顶点坐标即可．
解：通过描点法画出 和 的图像，
通过图像可知：
的开口方向向上，对称轴为 轴，顶点坐标为 ，
的开口方向向上，对称轴 轴，顶点坐标 ，
故答案为：描点；向上；y轴； ；向上；y轴； ．
【点拨】本题考查了画函数图像的方法，二次函数的基本性质，根据题意画出相应的
图像是解本题的关键．
类型二、
2．已知函数 是关于x的二次函数．（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的
增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大
而减小？
【答案】（1）m=2，m=﹣3；（2）当m=2时，抛物线有最低点，最低点为：（0，
1 2
1），当x＞0时，y随x的增大而增大；（3）当m=﹣3时，函数有最大值，最大值为1，
当x＞0时，y随x的增大而减小
【分析】
（1）利用二次函数的定义得出关于m的等式，解方程即可得出答案；
（2）利用二次函数的性质得出m的值；
（3）利用二次函数的性质得出m的值.
解：（1）∵函数 是关于x的二次函数，
∴m2+m﹣4=2，
解得：m=2，m=﹣3；
1 2
（2）当m=2时，抛物线有最低点，
此时y=4x2+1，
则最低点为：（0，1），
由于抛物线的对称轴为y轴，
故当x＞0时，y随x的增大而增大；
（3）当m=﹣3时，函数有最大值，
此时y=﹣x2+1，故此函数有最大值1，
由于抛物线的对称轴为y轴，
故当x＞0时，y随x的增大而减小．
【点拨】本题考查了二次函数的定义及二次函数的性质，解一元二次方程，因此掌握
二次函数的定义与性质是解答本题的关键．
举一反三：
【变式1】已知点( ， )，( ， )(两点不重合)均在抛物线 上，则下列说
法正确的是( )．A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【分析】利用二次函数的性质即可一一判断；
解：画出 的图象，对称轴为 ，
A、若 ，则 ；故A错误；
B、若 ，则 ；故B错误；
C、若 ，则 ；故C错误；
D、若 ，则 ；故D正确；
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决
问题，所以中考常考题型．
【变式2】 已知二次函数 ，如果 随 的增大而增大，那么 的取值范围是
__________．
【答案】
【分析】由于抛物线y=2x2-1的对称轴是y轴，所以当x≥0时，y随x的增大而增大．
解：∵抛物线y=2x2-1中a=2＞0，
∴二次函数图象开口向上，且对称轴是y轴，
∴当x≥0时，y随x的增大而增大．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了抛物线y=ax2+b的性质：①图象是一条抛物线；②开口方向与a有关；③对称轴是y轴；④顶点（0，b）．
类型三、
3．已知二次函数y＝ax2+b的图象与直线y＝x+2相交于点A（1，m），点B
（n，0）．
（1）求二次函数的解析式，并写出该拋物线的对称轴和顶点坐标；
（2）选取适当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；
x …… ……
y …… ……
（3）画出这两个函数的图象，并结合图象直接写出ax2+b＞x+2时x的取值范围．
【答案】（1）对称轴为x＝0，顶点为（0，4）；（2）见分析；（3）见分析，﹣2＜
x＜1．
【分析】
（1）求出A、B的坐标，利用待定系数法联立方程组即可求二次函数的解析式；
（2）利用描点法画出函数解析式；
（3）将二次函数与一次函数同时画在一个坐标系内，由图象即可求解．
解：（1）将点A（1，m）、点B（n，0）代入直线y=x+2，∴m=3，n=﹣2，∴点A
（1，3），点B（﹣2，0），将点A、B分别代入二次函数y=ax2+b，得到 ，∴，∴y=﹣x2+4，∴对称轴为x=0，顶点为（0，4）；
（2）
画图见分析：
（3）如图，由图象可得ax2+b＞x+2时，﹣2＜x＜1．
【点拨】本题考查了二次函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求二次函数解析式
的方法，画出正确的函数图象，数形结合解题是关键．
举一反三：
【变式1】函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（
）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据一次函数的性质确定a>0与a<0两种情况分类讨论抛物线的顶点位置
即可得出结论．
解：函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）
A. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐
标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是交y轴正半轴，故选项A不正确；
B. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐
标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是在坐标原点上，故选项B不正确；
C. 函数y＝ax图形可得a＞0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐
标为（0，a）,应交于y轴正半轴，故选项C不正确；
D. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐
标为（0，a）,应交于y轴正半轴正确，故选项D正确；
故选D．
【点拨】本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象
的性质是解此题的关键．
【变式2】如图，抛物线y=-x2+2．将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作C ，将x
1
轴下方的部分沿x轴翻折后记作C ，C 和C 构成的图形记作C ．关于图形C ，给出如下
2 1 2 3 3
四个结论：①图形C 关于y轴成轴对称；② 图形C 有最小值，且最小值为0；③ 当x>0
3 3
时，图形C 的函数值都是随着x的增大而增大的；④ 当-2≤x≤2时，图形C 恰好经过5个
3 3
整点（即横、纵坐标均为整数的点）．以上四个结论中，所有正确结论的序号是________．【答案】①②④
【分析】画出图象C ，根据图象即可判断．
3
解：如图所示，
①图形C 关于y轴成轴对称，故正确；
3
②由图象可知，图形C 有最小值，且最小值为0；，故正确；
3
③当x>0时，图形C 与x轴交点的左侧的函数值都是随着x的增大而减小，图形
3
C 与x轴交点的右侧的函数值都是随着x的增大而增大，故错误；
3
④当-2≤x≤2时，图形C 恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），故正
3
确；
故答案为：①②④．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与几何变换，数形结合是解题的关键．
类型四、
4．已知抛物线 过点 和点 ．
（1）求这个函数的关系式；
（2）写出当 为何值时，函数 随 的增大而增大．
【答案】（1） ；（2）当 时，函数 随 的增大而增大
【分析】
（1）根据待定系数法即可求解；
（2）求出对称轴，根据二次函数的图像与性质即可求解．
解：（1）∵抛物线 过点 和点 ，
，解得∴这个函数得关系式为： ．
（2）∵二次函数 开口向下，对称轴为x=0，
∴当 时，函数 随 的增大而增大．
【点拨】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的运用．
举一反三：
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+m的图象经过边长为 的
正方形ABCD的三个顶点A、B、C，则m的值为（ ）
A． B．2 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据正方形的性质和勾股定理求出点A的坐标即可．
解：∵四边形 是正方形，
∴ 是等腰直角三角形，
在等腰 中，
，则 ，即 ．
代入二次函数y＝﹣x2+m得，
，
故选：D．
【点拨】本题考查了正方形的性质和求二次函数解析式，解题关键是熟练运用正方形
的性质求出点的坐标．
【变式2】写出顶点坐标为（0，-3），开口方向与抛物线 的方向相反，形状相
同的抛物线解析式_________________________．【答案】
【分析】根据开口方向与抛物线 的方向相反，形状相同可得 ，再利用顶点
坐标即可写出解析式．
解：∵抛物线与 的方向相反，形状相同，且顶点坐标（0，-3）
∴设抛物线解析式为： ，
代入顶点坐标（0，-3）得：
∴解析式为
故答案为 ．
【点拨】本题考查求抛物线解析式，熟记抛物线顶点式是解题的关键．
类型五、
5．已知二次函数y＝－x2＋2(m－1)x＋2m－m2的图象关于y轴对称，其顶点为
A，与x轴两交点为B，C(B点在C点左侧)．
(1) 求B，C两点的坐标；
(2) 求△ABC的面积．
【答案】(1) B点的坐标为(－1，0)，C点的坐标为(1，0)(2) 1
解：【试题分析】（1）根据二次函数y＝－x2＋2(m－1)x＋2m－m2的图象关于y轴对
称，一次项系数为0，易得m=1；从而得y＝－x2＋1.当y=0时，有－x2＋1＝0，解得x＝
1
－1，x＝1，即B点的坐标为(－1，0)，C点的坐标为(1，0)．
2
（2）先求出顶点坐标，再求S
ABC.
【试题解析】 △
(1)由二次函数y＝－x2＋2(m－1)x＋2m－m2的图象关于y轴对称，得m－1＝0，解得
m＝1，则2m－m2＝1.故函数的表达式为y＝－x2＋1.当y＝0时，有－x2＋1＝0，解得x＝
1
－1，x＝1，即B点的坐标为(－1，0)，C点的坐标为(1，0)．
2
(2)当x＝0时，y＝1，即A点的坐标为(0，1)，
故S ＝ ×2×1＝1.
ABC
△举一反三：
【变式1】如图，矩形纸片ABCD中，BC=4，AB=3，点P是BC边上的动点（点P不
与点B、C重合）．现将△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，作∠BPC′的角平分线，交AB于
点E．设BP=x， BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，连接DE，因为△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，故有DP平分
∠CPC′；又PE为∠BPC′的角平分线，可推知∠EPD=90°，又因为BP=x，BE=y，BC=4，
AB=3，分别用x和y表示出PD和EP和DE，在Rt△PED中利用勾股定理，即可得出一个
关于x和y的关系式，化简即可．
解：连接DE，
△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，故有DP平分∠CPC′；
又因为PE为∠BPC′的角平分线，
可推知∠EPD=90°，
已知BP=x，BE=y，BC=4，AB=3，
即在Rt△PCD中，PC=4-x，DC=3．即PD2=(4-x)2+9；
在Rt△EBP中，BP=x，BE=y，故PE2=x2+y2；
在Rt△ADE中，AE=3-y，AD=4，故DE2=(3-y)2+16，
在Rt△PDE中，PE2+PD2=DE2，
即x2+y2+(4-x)2+9=(3-y)2+16，化简得：y=- x2+ x(0 )，图象是一段开口向下的抛物线；
结合题意，只有选项D符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解
题的关键．
【变式2】如图，已知P是函数y 1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作
PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现
PO﹣PH是个定值，则这个定值为 _____．
【答案】2
【分析】设p(x， x2-1)，则OH=|x|，PH=| x2-1|，因点P在x轴上方，所以 x2-
1>0，由勾股定理求得OP= x2+1，即可求得OP-PH=2，得出答案．
解：设p(x， x2-1)，则OH=|x|，PH=| x2-1|，
当点P在x轴上方时，∴ x2-1>0,
∴PH=| x2-1|= x2-1，
在Rt OHP中，由勾股定理，得
△
OP2=OH2+PH2=x2+( x2-1)2=( x2+1)2，
∴OP= x2+1，
∴OP-PH=（ x2+1）-（ x2-1）=2，
故答案为：2．【点拨】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，利用坐标求线段长度是
解题的关键．
