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专题 24.9 弧、弦、圆心角（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
类型一、圆心角概念
1．已知下列命题：
①长度相等的两条弧所对的圆心角相等．
②直径是圆的最长的弦，也是圆的对称轴．
③平分弦的直径垂直于这条弦．
④在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等．
其中错误命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知△ABC内接于⊙O，若∠AOB=120°，则∠C的度数是( )
A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或150°
3．如图， AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，OC，OD，若∠A＝20°，
则∠COD的度数为（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
类型二、圆心角与它所对弧的度数
4．如图，已知 ABC是圆O的内接三角形，AB＝AC，∠ACB＝65°，点C是弧BD的
中点，连接CD，则△∠ACD的度数是（ ）
A．12° B．15° C．18° D．20°
5．如图，扇形 中， ，半径 是 的中点， ，交
于点 ，则 的长为（ ）A． B． C． D．
6．如图，已知 的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是 ， ，若
与 互补，弦 ，则弦CD的长为（ ）
A．6 B．8 C． D．5
类型三、用弧、弦、圆心角关系求解
7．如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点， ，弦 于
点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G，若点H是AG的中点，则 的度数为（
）
A．18° B．21° C．22.5° D．30°
8．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10， = = ，点E是点D关于
AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE=30°；②∠DOB=2∠CED；
③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，⊙O的半径为9cm，AB是弦，OC⊥AB于点C，将劣弧AB沿弦AB折叠交于
OC的中点D，则AB的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
类型四、用弧、弦、圆心角关系证明
10．有一直径为 的圆，且圆上有 、 、 、 四点，其位置如图所示．若
， ， ， ， ，则下列弧长关系何者正确？（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
11．在锐角 ABC中， ，∠BAC、∠ABC的角平分线AD、BE交于点M，
则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．点M关于AC的对称点一定在 ABC的外接圆上12．如图，AB、CD分别是⊙O的直径，连接BC、BD，如果弦 ，且∠CDE＝
62°，则下列结论错误的是（ ）
A．CB⊥BD B．∠CBA＝31° C． D．BD＝DE
二、填空题
类型一、圆心角概念
13．在⊙O中，AB是直径，AB＝2，C是 上一点，D、E分别是 、 的中点，
M是弦DE的中点，则CM的取值范围是__________________．
14．把一个圆分成4个扇形，它们分别占整个圆的10%，20%，30%，40%，那么这四
个扇形的圆心角分别是_______.
15．已知点 、 、 、 在圆 上，且 切圆 于点 ， 于点 ，对于
下列说法：①圆上 是优弧；②圆上 是优弧；③线段 是弦；④ 和
都是圆周角；⑤ 是圆心角，其中正确的说法是________．
类型二、圆心角与它所对弧的度数
16．如图，在以AB为直径的半圆中， = ，CD⊥AB，EF⊥AB，CD=CF=1，则
以AC和BC的长为两根的一元二次方程是________．17．已知半径为2的⊙O中，弦AC=2，弦AD＝ ，则∠AOD＝________，∠COD
＝_________．
18．如图， 是 的直径，弦 连接 并延长交 于点 连接 交
于点 若 则 的度数是________________．
类型三、用弧、弦、圆心角关系求解
19．如图，点A、B、C、D均在 上，若 ， ，则∠B的度数
为______．
20．如图，点A、B、C、D、E都是圆O上的点， ，∠B＝116°，则∠D的度
数为______度．21．如图，⊙O的直径AB过 的中点A，若∠C＝30°，AB、CD交于点E，连接
AC、BD，则 ＝________________．
类型四、用弧、弦、圆心角关系证明
22．如图，AB、CE是圆O的直径，且AB＝4，弧BD＝弧CD＝弧AC，点M是AB上
一动点，下列结论：正确的数是___（写出所有正确结论的序号）
①∠CED＝ ∠BOD；
②DM⊥CE；
③CM+DM的最小值为4；
④设OM为x，则S OMC＝ x．
△
23．在同一个圆中, 当圆心角不超过180°时, 圆心角越大, 所对的弧______;所对的弦
__________, 所对弦的弦心距____________．
24．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠ABC＝63°，则∠D的度数是__．三、解答题
25．如图是半径为2的圆，
（1）在其中画两个不重叠的扇形AOB和扇形BOC，使扇形AOB的圆心角为120度，
扇形BOC的圆心角为90度，
（2）求第三个扇形AOC的面积．
26．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；
（2）若AB=24，CD=8，求⊙O的半径长．
27．阅读与应用
请阅读下列材料，完成相应的任务：
托勒密是“地心说”的集大成者，著名的天文学家、地理学家、占星学家和光学家．
后人从托勒密的书中发现一个命题：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积．下面是对这个命题的证明过程．
如图1，四边形ABCD内接于 ．
求证： ．
证明：如图2，作 交BD于点E．
∵ ，∴ ．（依据）
∴ ．∴ ． ．
…
∴ ．
∴ ．∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．任务：
(1)证明过程中的“依据”是______；
(2)补全证明过程；
(3)如图3， 的内接五边形ABCDE的边长都为2，求对角线BD的长．
28．如图，在⊙O中，弦AB，CD互相垂直，垂足为M，F是 上的一点，且
，AF分别与CD，BD相交于点E，N，连接FD，MN．
(1)求证：DE＝DF；
(2)若⊙O的半径为8，∠BAF＝22.5°，求线段MN的长．参考答案
1．D
【分析】
根据圆心角定理、直径的性质、垂径定理、圆周角定理逐个判断即可．
解：等弧所对的圆心角相等，但长度相等的两条弧不一定是等弧，则命题①错误
直径是圆的最长的弦，但不是圆的对称轴，圆的对称轴是直径所在直线，则命题
②错误
平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，则命题③错误
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，则命题④错误
综上，错误命题的个数为4个
故选：D．
【点拨】本题考查了圆心角定理、直径的性质、垂径定理、圆周角定理，熟记各定理
是解题关键．
2．C
【分析】
根据圆周角定理可以得出同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，此时分两种情况进一步分析讨论即可.
解：①当点C与线段AB位于圆心的两侧时，
∠C= ∠AOB=60°；
②当点C与线段AB位于同侧时，与上一种情况所得的度数互补；
即此时的∠C=120°．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了圆周角定理的应用，熟练掌握相关概念是解题关键.
3．C
【分析】
利用圆周角与圆心角的关系得出∠COB=40°，再根据垂径定理进一步可得出
∠DOB=∠COB，最后即可得出答案.
解：∵∠A=20°，
∴∠COB=2∠A=40°，
∵CD⊥AB，OC=OD，
∴∠DOB=∠COB=40°，
∴∠COD=∠DOB+∠COB=80°.
故选：C.
【点拨】本题主要考查了圆周角、圆心角与垂径定理的综合运用，熟练掌握相关概念
是解题关键.
4．B
【分析】
如图，连接AO，BO，CO，DO，由等腰三角形的性质可求∠ABC＝∠ACB＝65°，
∠BAC＝50°，由圆周角定理可求∠AOC＝2∠ABC＝130°，∠BOC＝2∠BAC＝100°，可求
∠AOD＝30°，即可求解．
解：如图，连接AO，BO，CO，DO，
∵AB＝AC，∠ACB＝65°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∴∠BAC＝50°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝130°，∠BOC＝2∠BAC＝100°，
∵点C是弧BD的中点，
∴ ，
∴∠BOC＝∠COD＝100°，
∴∠AOD＝30°，
∵∠AOD＝2∠ACD，
∴∠ACD＝15°，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角、圆心角、弧的关系是解题的
关键．
5．D
【分析】
连接OC，延长CD交OB于点E，如图，易得△AOB、△COE、△BDE都是等腰直角
三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出CE与DE的长，从而可得答案．
解：连接OC，延长CD交OB于点E，如图，
∵ ， 是 的中点，
∴∠COE=45°，
∵ ， ，
∴CE⊥OB，
∴∠OCE=∠COE=45°，
∴CE=OE= ，
∴BE=OB－OE= ，
∵OA=OB， ，
∴∠ABO=45°，
∴∠BDE=∠ABO=45°，∴EB=ED= ，
∴CD=CE－DE= ．
故选：D．
【点拨】本题考查了圆心角和弧的关系、等腰直角三角形的判定和性质等知识，属于
常考题型，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解此题的关键．
6．A
【分析】
延长AO交⊙O于点E，连接BE，由∠AOB+∠BOE=∠AOB+∠COD知
∠BOE=∠COD，据此可得BE=CD，在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得．
解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，
则∠AOB+∠BOE=180°，
又∵∠AOB+∠COD=180°，
∴∠BOE=∠COD，
∴BE=CD，
∵AE为⊙O的直径，则AE=10，
∴∠ABE=90°，
∴CD= ；故选择：A.
【点拨】本题主要考查圆心角定理，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理．
7．D
【分析】
由圆周角定理可求∠ACB=90°，由弧的关系得出角的关系，进而可求∠ABC=30°，
∠CAB=60°，由直角三角形的性质可求∠CAH=∠ACE=30°，即可求解．
解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠CAB=90°，
∵ ，
∴∠CAB=2∠ABC，
∴∠ABC=30°，∠CAB=60°，
∵CD⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=30°，
∵点H是AG的中点，∠ACB=90°，
∴AH=CH=HG，
∴∠CAH=∠ACE=30°，
∵∠CAF=∠CBF，
∴∠CBF=30°，
故选：D．
【点拨】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的性质，求出
∠CAB的度数是本题的关键．
8．B
【分析】
根据 = = 和点E是点D关于AB的对称点，求出
∠DOB=∠COD=∠BOE=60°，求出∠CED，即可判断①②；根据圆周角定理求出当M和A
重合时∠MDE=60°即可判断③；求出M点的位置，根据圆周角定理得出此时DF是直径，
即可求出DF长，即可判断④．解：∵ = = ，点E是点D关于AB的对称点，
∴ = ，
∴∠DOB=∠BOE=∠COD= ×180°=60°，∴①错误；
∠CED= ∠COD= ×60°=30°= ∠DOB，即∠DOB=2∠CED；∴②正确；
∵ 的度数是60°，
∴ 的度数是120°，
∴只有当M和A重合时，∠MDE=60°，
∵∠CED=30°，
∴只有M和A重合时，DM⊥CE，∴③错误；
作C关于AB的对称点F，连接CF，交AB于N，连接DF交AB于M，此时
CM+DM的值最短，等于DF长，
连接CD，
∵ = = = ，并且弧的度数都是60°，
∴∠D= ×120°=60°，∠CFD= ×60°=30°，
∴∠FCD=180°-60°-30°=90°，
∴DF是⊙O的直径，
即DF=AB=10，
∴CM+DM的最小值是10，∴④正确；
综上所述，正确的个数是2个．
故选：B．
【点拨】本题考查了圆周角定理，轴对称-最短问题等知识点，能灵活运用圆周角定理求出各个角的度数和求出M的位置是解此题的关键．
9．D
【分析】
圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；
连接OA，求出OC，根据勾股定理求出AC，可得结论．
解：连接OA，
∵将劣弧 沿弦AB折叠交于OC的中点D，
∴OC r＝6（cm），OC⊥AB，
∴AC＝CB 3 （cm），
∴AB＝2AC＝6 （cm），
故选：D．
【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是学会添加常用
辅助线，构造直角三角形解决问题．
10．B
【分析】
连接 ， ，先求解 ， 可得 ， ，再求解
可得 ， ，从而可得答案.
解：连接 ， ，直径， ， ，
，
，
，
，
，
直径， ， ，
，
，
，
，
所以B符合题意，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了圆中弧、弦的关系和直径所对的圆周角是直角，熟练掌握相
关定理是解答本题的关键．
11．D
【分析】
利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠MAB+∠MBA=60°，推出
∠AMB=120°，可判断A，证明C，E，M，D四点共圆，利用圆周角定理可判断B；在AB
上取一点T，使得AT=AE，利用全等三角形的性质证明BD=BT，可判断C；无法判断
与∠ABC互补，可判断D．
解：如图，∵∠ACB=60°， ∴∠CAB+∠CBA=120°，
∵AD，BE分别是∠CAB，∠CBA的角平分线，
∴∠MAB+∠MBA= （∠CAB+∠CBA）=60°，
∴∠AMB=180°-（∠MAB+∠MBA）=120°，故A符合题意，
∵∠EMD=∠AMB=120°，
∴∠EMD+∠ECD=180°，
∴C，E，M，D四点共圆，
∵∠MCE=∠MCD，
∴ ，
∴EM=DM，故B符合题意，
四边形 是 的内接四边形，
在AB上取一点T，使得AT=AE，
在△AME和△AMT中， ，
∴△AME≌△AMT（SAS），
∴∠AME=∠AMT=60°，EM=MT，
∴∠BMD=∠BMT=60°，MT=MD，
在△BMD和△BMT中， ，
∴△BMD≌△BMT，∴BD=BT，
∴AB=AT+TB=AE+BD，故C符合题意，
∵M， 关于AC对称， ∴ =∠AMC，
∵
=90°+ ∠ABC，
∴ 与∠ABC不一定互补，
∴点 不一定在△ABC的外接圆上，故D不符合题意，
故选D．
【点拨】本题考查三角形的外接圆，四点共圆，圆周角定理，全等三角形的判定和性
质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
12．D
【分析】
根据直径所对的圆周角是直角，即可判断A，根据圆周角定理可判断B选项，根据圆
周角与弧的关系可判断C，根据 判断D选项．
解：∵AB、CD分别是⊙O的直径，
，
∴CB⊥BD，
故A选项正确，
如图，连接 ，
，且∠CDE＝62°，
，
，，
，
，
，
，
，
故B，C选项正确，
，
，
，
，
BD DE，故D选项不正确，
故选D．
【点拨】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题
的关键．
13．1﹣ ≤CM＜
【分析】
如图，连接OD、OC、OE，先计算出∠DOC+∠COE＝90°，则可判断△ODE为等腰直
角三角形，所以DE＝ OD＝ ，则OM＝ DE＝ ；由C点在弧DE上，则
0≤∠COM＜45°，根据三角形的性质，∠COM越大，CM越长，当O、M、C共线时CM最
小，C在点A或点B时CM最长，即OC-OM≤CM＜ME；
解：如图，连接OD、OC，∵AB为直径，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
∵D、E分别是 、 的中点，
∴∠AOD＝∠COD，∠COE＝∠BOE，
∴∠DOC+∠COE＝ （∠AOC+∠BOC）＝90°，
∴△ODE为等腰直角三角形，
∴DE＝ OD＝ ，
∵M是弦DE的中点，
∴OM＝ DE＝ ，
∵C点在弧DE上，∴0≤∠COM＜45°，
△OMC中，OM，OC的长度确定，∴∠COM越大，CM越长，
∴O、C、M共线时CM最小，C在点A或点B时CM最长；
∴CM≥1﹣ ，
当C点在A点或B点时，CM＝ ，
∴CM的取值范围是1﹣ ≤CM＜ ．
【点拨】本题考查了圆心角的概念，三角形的三边关系；根据三角形的性质判断CM
的长度是解题关键．
14．36°，72°，108°，144°
【分析】
根据扇形所占的百分比乘以360°进行解答即可．
解：四个扇形的圆心角分别是360°×10%=36°；
360°×20%=72°；
360°×30%=108°；
360°×40%=144°.故答案为36°，72°，108°，144°.
【点拨】考查了扇形圆心角的度数问题，注意周角的度数是360°．
15．①②③⑤
【分析】
根据优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义逐项分析判断即可
解： ， 都是大于半圆的弧，故①②正确，
在圆上，则线段 是弦；故③正确；
都在圆上，
是圆周角
而 点不在圆上，则 不是圆周角
故④不正确；
是圆心， 在圆上
是圆心角
故⑤正确
故正确的有：①②③⑤
故答案为：①②③⑤
【点拨】本题考查了优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义，理解定
义是解题的关键．优弧是大于半圆的弧，任意圆上两点的连线是弦，顶点在圆上，并且两
边都和圆相交的角叫做圆周角，顶点在圆心，并且两边都和圆相交的角叫做圆心角．
x2 −√5x+1=0
16．
【分析】
连接OD，OE，因为 = ，根据等弧所对的圆心角相等可得∠DOC=∠EOF，因为
CD⊥AB，EF⊥AB，所以∠DCO=∠EFO=90°，又因为DO==EO，所以
Rt△DOC∽Rt△EOF，所以CO=OF= ，在Rt△DOC中，OD= ，所以AO=DO= ，AC= ，BC=AB-AC= - = ，所以以AC和BC的长为两
根的一元二次方程是（x- ）(x- )=0，整理，得x2 −√5x+1=0．
解：连接OE，OD，
∵ = ，
∴∠DOC=∠EOF，
∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠DCO=∠EFO=90°，
又∵DO=EO，
∴Rt△DOC≌Rt△EOF，
∴CO=OF= ，
∵在Rt△DOC中，OD= ，
∴AO=DO= ，AC=AO-CO= ，AB=2AO= ，BC=AB-AC= - =
，
∴以AC和BC的长为两根的一元二次方程是（x- ）(x- )=0，整理，
x2 −√5x+1=0
得 ．
故答案为：x2- x+1=0．【点拨】本题考查圆心角定理及其推论，全等三角形的判定与性质以及根与系数的关
系．此题属于开放题，注意数形结合与方程思想的应用．
17． 90° 150°或30°
【分析】
如图，在△AOD中，根据勾股定理的逆定理即可求出∠AOD的度数；连接OC，易得
△AOC是等边三角形，从而可得∠AOC＝60°，进一步利用角的和差即可求出∠COD的度
数．
解：如图，在△AOD中，∵ ， ，
∴ ，
∴∠AOD=90°；
连接OC，∵OA＝OC＝AC=2，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°．
∴∠COD＝∠AOC+∠AOD＝60°+90°＝150°或∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝90°－
60°＝30°．
故答案为：90°；150°或30°．
【点拨】本题考查了圆心角、勾股定理的逆定理、等边三角形的判定与性质以及分类
的数学思想，依照题意画出图形、熟练掌握相关知识是解题的关键．
18．
【分析】
根据圆周角定理的推论，得∠DCE=32°，由 结合三角形外角的性质，得
∠BOC的度数，从而得∠BDC的度数，进而即可求解．
解：∵∠DCE和∠DBE是同弧所对的圆周角，
∴∠DCE=∠DBE=32°，
∵ ，
∴∠BOC=90°+∠DCE=90°+32°=122°，∴∠BDC= ∠BOC= 122°=61°，
×
∴ =∠DCE+∠BDC=32°+61°=93°．
故答案是：93°．
【点拨】本题主要考查圆周角定理及其推论，三角形外角的性质，掌握“同弧或等弧
所对的圆周角相等”，“同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，是解题的关键．
19．57.5°
【分析】
根据平行线的性质得出∠ODC=∠AOD=65°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定
理求出∠ODA=∠OAD= （180°-∠AOD）=57.5°，求出∠ADC的度数，根据圆内接四边形
的性质得出∠B+∠ADC=180°，再求出答案即可．
解：连接AD，
∵∠AOD=68°，AO∥DC，
∴∠ODC=∠AOD=65°，
∵∠AOD=65°，OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD= （180°-∠AOD）=57.5°，
∴∠ADC=∠ODA+∠ODC=57.5°+65°=122.5°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠ADC=180°，
∴∠B=57.5°，
故答案为：57.5°．
【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，
等腰三角形的性质等知识点，能求出∠ADC的度数是解此题的关键．20．128
【分析】
连接AD．首先证明∠ADC=∠ADE，再利用圆内接四边形的性质求出∠ADC即可解决
问题．
解：连接AD．
∵ ，
∴∠ADC=∠ADE，
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠ADC=180°-116°=64°，
∴∠CDE=2×64°=128°，
故选：128．
【点拨】本题考查圆心角，弧，弦的关系，圆周角定理，圆内接四边形等知识，解题
的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．
【分析】
根据已知条件得出∠DCA=∠DBA=30°，设DE=EC=x，由在直角三角形中， 30°所对的
直角边等于斜边的一半可以得出AE和BE的长，然后代入要求的式子进行计算即可得出答
案．
解：∵⊙O的直径AB过 的中点A，
∴ ＝ ，
∴DE＝EC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BED＝∠CEA＝90°，∵∠C＝30°，
∴∠DCA＝∠DBA＝30°，
设DE＝EC＝x，
∵∠C＝30°，
∴AE＝ x，
∵∠DBA＝30°，
∴BE＝ x，
∴ ＝ ＝ ；
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理，掌握在直角三角形
中，30°所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
22．①③
【分析】
①由 ，可得∠COD=∠BOD，据此根据圆周角定理即可得结论；
②由点M是直径AB上一动点，而CE的位置是确定的，因此DM⊥CE不一定成立，可
得结论；
③由题意可得点D和点E关于AB对称，因此CM+DM的最小值是在点M和点O重合
时取到，即CE的长；
④过点C作CN⊥AO于点N，利用解直角三角形可求得CN，利用三角形面积公式求解
即可．
解：① ，
，
，
，故①正确；② 点M是直径AB上一动点，而CE确定，
DM⊥CE不一定成立，故②错误；
③ ，
，∠CED=30°，
DE⊥AB，
点D和点E关于AB对称，
CM+DM的最小值是在点M和点O重合时取到，即CE的长，
AB=4，
CE=AB=4，故③正确；
④连接AC，
，
∠COA=60°，则△AOC为等边三角形，边长为2，
过点C作CN⊥AO于N，则 ，
在△COM中，以OM为底，OM边上的高为CN，
，故④错误；
综上，①③正确，
故答案为：①③．
【点拨】本题考查了圆周角定理，最小值问题，等边三角形判定和性质，三角形面积
等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
23． 越长 越长 越短
【分析】
根据圆心角定理解答即可.
解：在同一个圆中, 当圆心角不超过180°时, 圆心角越大, 所对的弧越长，所对的弦越长，所对弦的弦心距越短．
故答案为越长；越长；越短.
【点拨】本题考查了圆心角定理及其推理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
24．27°
【分析】
根据题意易得∠ACB＝90°，然后根据圆的性质及直角三角形的两个锐角互余可求解．
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣63°＝27°，
∴∠D＝∠A＝27°．
故答案为27°．
【点拨】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
25．（1）作图见分析；（2）
试题分析：（1）根据扇形定义及题目要求画出即可；
（2）根据扇形的面积公式S= 计算即可．
解：（1）如图所示：
（2）∵∠AOB=120°，∠BOC=90°，
∴∠AOC=150°，
故S = ．
扇形AOC
26．（1） ；（2）13
【分析】
（1）连接 ，结合OD⊥AB，根据垂径定理，推导得∠AOD；再根据圆心角、圆周角的性质，即可得到答案；
（2）结合题意，根据垂径定理性质，计算得AC；再结合OD⊥AB，通过勾股定理即
可计算得⊙O的半径．
解：（1）连接
∵
∴
∴
∵
∴
（2）∵
∴
设 ，则
在 中，
∴
∴ 的半径长为13．
【点拨】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握垂径定理、圆心角、圆周角、
勾股定理的性质，从而完成求解．
27．(1)同弧所对的圆周角相等；(2)见分析；(3) ；
【分析】
（1）根据同弧所对的圆周角相等可得 ；
（2）由 可得 ，再由 可得
；（3）连接AD，BE，由 可得 ，
进而 ，BE=AD=BD，再由 解方程即可；
(1)解：∵同弧所对的圆周角相等， ，
∴ ；
故答案为：同弧所对的圆周角相等；
(2)解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
(3)解：如图，连接AD，BE，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴BE=AD=BD，
∵四边形ABDE是 的内接四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： 或 （舍去），
∴对角线BD的长为 ；【点拨】本题考查了圆内接多边形，圆心角、弧、弦关系，相似三角形的判定和性质，
一元二次方程等知识；掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组
量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题关键．
28．(1)见分析(2)
【分析】
（1）根据 得， ，根据等弧或同弧所对的圆周角相等可
得 ， ，根据等角的余角相等可得 ，进而可
得 ，根据等角对等边即可得证；
（2）连接 ，根据∠BAF＝22.5°，证明 是直角三角形，勾股定理
求得 ，进而证明 是 的中位线，即可求解．
解：(1) ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
(2)如图，连接 ，，
，
，
，
，
在 中， ，
由（1）得， ，
是等腰三角形，
，
，
是 的中点，
，
，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的性质与判定，
勾股定理，三角形中位线的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
