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专题 24.7 弧、弦、圆心角（知识讲解）
【学习目标】
1. 了解圆心角的概念；
2. 掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相
等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．
【要点梳理】
1. 圆心角定义
如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．
2.定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3.推论：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等；
在同圆或等圆中，圆心角的度数等于它所对弧的度数。
特别说明：
(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；
(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.
4.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：
在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间
只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心
距以及弦所对的弧也分别相等)。
*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等。
【典型例题】类型一、圆心角概念
1．已知点 、 、 、 在圆 上，且 切圆 于点 ， 于点 ，
对于下列说法：①圆上 是优弧；②圆上 是优弧；③线段 是弦；④ 和
都是圆周角；⑤ 是圆心角，其中正确的说法是________．
【答案】①②③⑤
【分析】根据优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义逐项分析判断即
可
解： ， 都是大于半圆的弧，故①②正确，
在圆上，则线段 是弦；故③正确；
都在圆上，
是圆周角
而 点不在圆上，则 不是圆周角
故④不正确；
是圆心， 在圆上
是圆心角
故⑤正确
故正确的有：①②③⑤
故答案为：①②③⑤
【点拨】本题考查了优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义，理解
定义是解题的关键．优弧是大于半圆的弧，任意圆上两点的连线是弦，顶点在圆上，并
且两边都和圆相交的角叫做圆周角，顶点在圆心，并且两边都和圆相交的角叫做圆心角．
举一反三：
【变式1】 如图， 是 的弦， ，则 ________．【答案】
【分析】根据同圆中半径相等，可得 ，根据等边对等角以及三角形内角和定
理可得结果．
解：∵ ，
∴ ，又 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了等腰三角形性质，三角形内角和定理，根据等边对等角得出
是解题的关键．
【变式2】在⊙O中，AB是直径，AB＝2，C是 上一点，D、E分别是 、 的
中点，M是弦DE的中点，则CM的取值范围是__________________．
【答案】1﹣ ≤CM＜
【分析】如图，连接OD、OC、OE，先计算出∠DOC+∠COE＝90°，则可判断△ODE
为等腰直角三角形，所以DE＝ OD＝ ，则OM＝ DE＝ ；由C点在弧DE上，
则0≤∠COM＜45°，根据三角形的性质，∠COM越大，CM越长，当O、M、C共线时CM
最小，C在点A或点B时CM最长，即OC-OM≤CM＜ME；
解：如图，连接OD、OC，∵AB为直径，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
∵D、E分别是 、 的中点，
∴∠AOD＝∠COD，∠COE＝∠BOE，
∴∠DOC+∠COE＝ （∠AOC+∠BOC）＝90°，
∴△ODE为等腰直角三角形，
∴DE＝ OD＝ ，
∵M是弦DE的中点，
∴OM＝ DE＝ ，
∵C点在弧DE上，∴0≤∠COM＜45°，
△OMC中，OM，OC的长度确定，∴∠COM越大，CM越长，
∴O、C、M共线时CM最小，C在点A或点B时CM最长；
∴CM≥1﹣ ，
当C点在A点或B点时，CM＝ ，
∴CM的取值范围是1﹣ ≤CM＜ ．
【点拨】本题考查了圆心角的概念，三角形的三边关系；根据三角形的性质判断CM
的长度是解题关键．
类型二、圆心角与它所对弧的度数
2．如图，在扇形OAB中， ，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点
O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则弧AD的度数为____________．【答案】 ##50度
【分析】连接 ，先根据折叠的性质、等边三角形的判定与性质可得 ，
再根据角的和差可得 ，由此即可得．
解：如图，连接 ，则 ，
由折叠的性质得： ，
，
是等边三角形，
，
，
，
则弧 的度数为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质、折叠的性质、圆弧的度数，熟练掌握
折叠的性质是解题关键．
举一反三：
【变式1】 如图，已知点 是圆 上一点，以点 为圆心， 为半径作弧，交圆
于点 ，则 的度数为______度．【答案】60
【分析】先判定△POQ是等边三角形，然后根据圆心角的度数与它所对的弧的度数相
等求解即可．
解：∵PQ=PO，PO=OQ，
∴PQ=PO=OQ，
∴△POQ是等边三角形，
∴∠POQ=60°，
∴ 的度数为60度
故答案为：60．
【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆心角的度数与它所对的弧
的度数相等是解答本题的关键．
【变式2】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AO⊥BC于F，D为 的中点，E是BA
延长线上一点，若∠DAE＝ ，则∠CAD＝_______．【答案】
【分析】根据垂径定理由 得 ，根据圆周角定理得 ，
而由 得 ，所以 ， ，再根据圆内接四
边形的性质得到 ，于是 ，从而得到∠CAD的度数．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵D为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：36°．
【点拨】本题主要考察了圆周角定理、圆心角和弧的关系、圆内接四边形的性质及垂
径定理，能够找到 与 之间的关系是解题的关键．类型三、用弧、弦、圆心角关系求解
3．如图，AB是半圆的直径，C，D是半圆上的两点，且 的度数为40°，
，求 的度数．
【答案】
【分析】分别求出∠ACD，∠ACB即可解决问题．
解：∵AB是半圆的直径，
∴ ，
∵ 的度数为40°，
∴ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是 的内接四边形，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系，等腰三角形的性质，圆
内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．
举一反三：
【变式1】已知⊙O中，弦AB的长等于⊙O的半径，求弦所对的圆心角和圆周角的度
数．
【答案】弦AB所对的圆心角是60°，圆周角是30°或150°．
试题分析：画出图形，连接OA、OB，因为AB=OA=OB，所以∠AOB=60°．分两种情况，①在优弧上任取一点C，连接CA，CB，则∠C= ∠AOB=30°；②在劣弧上任取一点
D，连接AD、BD，由圆的内接四边形性质可得∠C+∠ADB=180°，所以∠ADB=180°－
∠C=150°．
解：画出图形：
连接OA、OB，
∵AB=OA=OB，
∴∠AOB=60°．
分两种情况：
①在优弧上任取一点C，连接CA，CB，
则∠C= ∠AOB=30°；
②在劣弧上任取一点D，连接AD、BD，
∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，
∴∠C+∠ADB=180°，
∴∠ADB=180°－∠C=150°．
综上所述，弦AB所对的圆心角是60°，圆周角是30°或150°．
【点拨】本题关键在于需考虑到两种情况，然后结合圆的性质求解.
【变式2】如图，AB是半圆O的直径，点D是半圆O上一点，点C是 的中点，
CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、
Q，连接AC．
（1）求证：GP＝GD；
（2）求证：P是线段AQ的中点；
（3）连接CD，若CD＝2，BC＝4，求⊙O的半径和CE的长．【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析；（3）半径为 ；CE= ．
【分析】
（1）结合切线的性质以及已知得出∠GPD=∠GDP，进而得出答案；
（2）利用圆周角定理得出PA，PC，PQ的数量关系进而得出答案；
（3）直接利用勾股定理结合三角形面积得出答案．
解：（1）证明：连接OD，则OD⊥GD，∠OAD=∠ODA，
∵∠ODA+∠GDP=90°，∠EAP+∠GPD=∠EPA+∠EAP=90°，
∴∠GPD=∠GDP；
∴GP=GD；
（2）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵CE⊥AB于E，
∴∠CEB=90°，
∴∠ACE+∠ECB=∠ABC+∠ECB=90°，
∴∠ACE=∠ABC=∠CAP，
∴PC=PA，
∵∠ACB=90°，
∴∠CQA+∠CAP=∠ACE+∠PCQ=90°，
∴∠PCQ=∠CQA，
∴PC=PQ，
∴PA=PQ，即P为Rt ACQ斜边AQ的中点；
（3）连接CD， △∵弧AC=弧CD，
∴CD=AC，
∵CD=2，
∴AC=2，
∵∠ACB=90°，
∴AB= = ，
故⊙O的半径为 ，
∵CE×AB=AC×BC，
∴ CE=2×4，
∴CE= ．
【点拨】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，熟练掌握
性质及定理是解决本题的关键．
类型四、用弧、弦、圆心角关系证明
4．如图，在⊙O中， ，弦AB与CD相交于点M．
(1)求证： ．
(2)连接AC，AD，若AD是⊙O的直径．求证： ．
【答案】(1)证明见分析(2)证明见分析【分析】
（1）利用圆心角、弧、弦之间的关系解决问题即可；
（2）利用圆周角定理可得 ，再利用三角形外角性质可得
，根据直径所对的圆周角为90°可得 ，进而
根据三角形内角和定理和等量代换可证结论．
(1)证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
(2)证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵AD是⊙O的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系、三角形内角和定理、三角形外角性
质，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为90°，解题的关键是熟练掌握并
灵活运用所学相关知识．
举一反三：
【变式1】如图，在 中，B，C是 的三等分点，弦AC，BD相交于点E．
(1) 求证： ；
(2) 连接CD，若 ，求 的度数．【答案】(1)见分析(2)130°
【分析】
（1）根据B，C是 的三等分点，求出 ，再根据圆心角、弧、弦之间的
关系得出即可；
（2）根据圆周角定理得出∠CAD=∠BDA=∠BDC=25°，根据三角形内角和定理求出
∠AED，再求出答案即可．
解：(1)证明：B，C是 的三等分点，
∴AC=BD；
(2)连接AD，
∵∠BDC=25°，
∴∠CAD=∠BDA=∠BDC=25°，∵∠AED+∠CAD+∠BDA=180°，
∴∠AED=180°-∠CAD-∠BDA=180°-25°-25°=130°，
∴∠BEC=∠AED=130°，
故答案为：130°．
【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和圆周角定理，能熟记圆心角、弧、
弦之间的关系是解此题的关键．
【变式2】如图，在⊙O中， ＝ ，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．
(1)求证：CD＝CE；
(2)若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．
【答案】(1)见分析(2)
【分析】
（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC＝∠BOC，根据角平分线
的性质定理证明结论；
（2）根据直角三角形的性质求出OD，根据勾股定理求出CD，根据三角形的面积公
式计算，得到答案．
(1)解：连接OC，
∵ ＝ ，∴∠AOC＝∠BOC，
又CD⊥OA，CE⊥OB，
∴CD＝CE；
(2)解：∵∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
∵∠CDO＝90°，
∴∠OCD＝30°，
∴OD＝ OC＝1，
∴CD＝ ＝ ＝ ，
∴△OCD的面积＝ ×OD×CD＝ ，
同理可得，△OCE的面积＝ ×OE×CE＝ ，
∴四边形DOEC的面积＝ ．
【点拨】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、勾股定理、直角三角形的性质，
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的
其余各组量都分别相等．
