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专题 22.36 《二次函数》全章复习与巩固（基础篇）
（专项练习）
一、单选题
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线 的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数 的图象 如图所示，则该函数在所给自变量的取值范围
内，函数值y的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数 （其中 ）的图象如图所示，则函数 的图象可能
正确的是（ ）A． B． C． D．
5．如图，抛物线 与直线 相交于点 和 ，若
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． 戓 D． 戓
6．如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数解析式是
，则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）
A．6m B．12m C．8m D．10m
7．在平面直角坐标系中，已知，点A(1，m)和点B(3，n)（其中mn<0）在抛物线
y=ax2+bx(a>0)上．若点(−1，y)，(2，y)，(4，y)也在该抛物线上，则y，y，y 的大小关系是（
1 2 3 1 2 3
）
A． B． C． D．
8．二次函数 的图象如图所示，下列说法中，错误的是（ ）A．对称轴是直线 B．当 时，
C． D．
9．如图，四边形ABCD中，AB=AD，CE⊥BD，CE= BD．若 ABD的周长为20cm，则
△
BCD的面积S（cm2）与AB的长 （cm）之间的函数关系式可以是（ ）
△
A． B．
C． D．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为 ，经过点（﹣2，0），下列结论：①a＝
b；②abc＜0；③ ；④点A（x，y），B（x，y）在抛物线y＝ax2+bx+c上，当
1 1 2 2
时，y＜y；⑤若ax2+bx＝ax2+bx 且x≠x，则x+x＝﹣1．其中正确结论的个数
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
11．已知函数 是二次函数，则m＝________．
12．抛物线 的对称轴是______．
13．二次函数y＝ x2—2x一2的图象向右平移2个单位长度后，再向上平移5个单位长度，
平移后的图象对应的二次函数解析式为_______．
14．如图，抛物线 的对称轴是过点 且平行于 轴的直线，若点
在该抛物线上，则 的值为____．
15．已知二次函数 有最大值 ，则 ， 的大小关系为________．
16．如图是二次函数 和一次函数y＝kx+t的图象，当y≥y 时，x的取值范围
2 1 2
是_____．17．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点O落在坐标原点，点A、点C分别位于
x轴，y轴的正半轴，G为线段 上一点，将 沿 翻折，O点恰好落在对角线 上的点
P处，反比例函数 经过点B．二次函数 的图象经过 、G、A三
点，则该二次函数的解析式为_______．（填一般式）
18．如图抛物线 与 轴相交于点 ， ，与 轴相交于点 ，则 的面
积为______．
19．如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点为(﹣5，0)，则一元二
次方程ax2+bx+c＝0的另一根为______．20．如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n交于点A（﹣1.5，1），B（3，4），则关于
x、y的方程组 的解为_____．
21．2013年5月26日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军，成就了首个五连冠霸业．
比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线（如图）．若不考虑外力因素，羽毛球行进
高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系 ，则羽毛球飞出的水平距离为
米．
22．下列说法中正确的序号是_____________
①在函数y=﹣x2中，当x=0时y有最大值0；
②在函数y=2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大
③抛物线y=2x2，y=﹣x2，y=﹣ 中，抛物线y=2x2的开口最小，抛物线y=﹣x2的开口最大
④不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2的顶点都是坐标原点
三、解答题
23．如图，已知经过原点的抛物线 与 轴交于另一点A(2，0)．（1）求 的值和抛物线顶点 的坐标；
（2）求直线 的解析式．
24．已知二次函数的图象的顶点在原点O，且经过点A（1， ）．
（1）求此函数的解析式；
（2）将该抛物线沿着y轴向上平移后顶点落在点P处，直线x=2分别交原抛物和新抛物线
于点M和N，且S = ， 求：MN的长以及平移后抛物线的解析式．
PMN
△
25．如图，已知抛物线 经过 、 两点，与 轴相交于点 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 是对称轴上的一个动点，当 的周长最小时，直接写出点 的坐标和周长最
小值;（3）点 为抛物线上一点，若 ，求出此时点 的坐标.
26．已知抛物线的解析式为
求抛物线的顶点坐标；
求出抛物线与 轴的交点坐标；
当 取何值时 ？
27．某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y（单位：千克）和每千克
的售价x（单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中 ，
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？
参考答案
1．C
【分析】
函数解析式中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的函数是二次函数，根据定义解答．
解：A、 中含有分式，故不是二次函数；
B、 =2x-1，不符合定义，故不是二次函数；
C、 符合定义，故是二次函数；
D、 中a不确定不等于0，故不是二次函数；
故选：C．
【点拨】此题考查二次函数的定义，熟记定义是解题的关键．
2．A
【分析】
根据抛物线的顶点式 所对应的顶点坐标是 ，可作出选择．
解：对照抛物线的顶点式 可得 ， ，
把 ， 代入顶点坐标公式 中，得此抛物线的顶点坐标为 ，
故选：A．
【点拨】本题考查的是二次函数的基础知识：会根据顶点式写出顶点坐标．需要强调的是：
公式要记清楚．顶点式 中的m与顶点坐标 中的－m是互为相反数
的关系．
3．C
【分析】
先根据二次函数是顶点式，开口向上，可求出二次函数的最小值，然后结合函数图像求出最
大值即可得到答案．
解：∵二次函数的解析式为 ，1＞0，
∴当 时，二次函数有最小值 ，
∵由函数图像可知，二次函数的最大值为3，∴当 时， ，
故选C．
【点拨】本题主要考查了二次函数图像的性质，解题的关键在于能够利用数形结合的思想进
行求解．
4．D
【分析】
根据题意可得二次函数与x轴的交点为（m，0），（n，0），从而得到 ，进
而得到函数 经过第一三四象限，且与y轴的交点位于点（0，-1）的下方，即可求解．
解：令y=0，则 ，
解得： ，
∴二次函数与x轴的交点为（m，0），（n，0），
∵ ，
∴ ，
∴函数 经过第一、三、四象限，且与y轴的交点位于点（0，-1）的下方．
故选：D
【点拨】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数
的图象和性质是解题的关键．
5．C
【分析】
根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
解：抛物线 与直线 相交于点 和 ，
则 的解集为： 戓 ．
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题
更是如此．
6．D
【分析】根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．
解：令 ＝0，
整理得：x2−8x−20＝0，
（x−10）（x＋2）＝0，
解得x
1
＝10，x
2
＝−2（舍去），
故该运动员此次掷铅球的成绩是10m，
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题
意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
7．C
【分析】
分类讨论b的正负情况，根据mn＜0可得对称轴在x= 与直线x= 之间，再根据各点到对
称轴的距离判断y值大小．
解：∵y=ax2+bx（a＞0），
∴抛物线开口向上且经过原点，
当b=0时，抛物线顶点为原点，x＞0时y随x增大而增大，n＞m＞0不满足题意，
当b＞0时，抛物线对称轴在y轴左侧，同理，n＞m＞0不满足题意，
∴b＜0，抛物线对称轴在y轴右侧，x=1时m＜0，x=3时n＞0，
即抛物线和x轴的2个交点，一个为（0，0），另外一个在1和3之间，
∴抛物线对称轴在直线x= 与直线x= 之间，
即 ＜- ＜ ，
∴点（2，y）与对称轴距离最近，点（4，y）与对称轴距离最远，
2 3
∴y＜y＜y．
2 1 3
故选：C．
【点拨】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
8．D
【分析】
由与x轴的交点和中点公式求对称轴判断选项A；结合函数图象判断选项B；令x=-1,判断选
项C；令x=1,判断选项D,即可解答．解：A、对称轴为：直线 ，故选项A正确，不符合题意；
B、由函数图象知，当-1<x<2时，函数图象在x轴的下方，
∴当-1<x<2时，y<0，故选项B正确，不符合题意；
C、由图可知：当x=-1时，y=a-b+c=0，
∴a +c=b，故选项C正确，不符合题意；
D、由图可知：当x=1时，y=a+b+c<0
∴a+b<-c，故选项D错误，不符合题意；
故选：D．
【点拨】本题主要考查了二次函数对称性、二次函数图象与系数之间的关系和二次函数图象
上点的坐标特征，解题的关键理解函数图象与不等式之间以及方程的关系．
9．C
【分析】
先求解 的长度，再利用三角形的面积公式列二次函数关系式即可.
解： AB=AD，△ABD的周长为20cm，设
故选：C
【点拨】本题考查的是二次函数的几何应用，列二次函数关系式，掌握“利用图形面积公式
列二次函数关系式”是解题的关键.
10．C
【分析】
根据对称轴 即可判断①，根据开口方向以及与 轴的交点位置，即可判断②，
根据经过点（﹣2，0）即可判断③，根据函数图象即可判断④，根据对称性即可判断⑤．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为 ，则 ，
故①正确；
抛物线开口向上，与 轴交点在 轴的负半轴，则 ， ，
，
，
，
故②正确；
经过点（﹣2，0），
，
，
，
，
故③正确；
点A（x，y），B（x，y）在抛物线y＝ax2+bx+c上，对称轴为 ，
1 1 2 2
当 时， 随 的增大而增大，
y y；
1 2
故④不正确，
ax2+bx+c＝ax2+bx+c且x≠x，
1 1 2 2 1 2
对称轴为 ，即 ，
x+x＝﹣1．
1 2故⑤正确，
其中正确结论的个数有4个．
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，二次函数图象的性质，数形结合是解
题的关键．
11．
【分析】
根据二次函数的定义得出 且 ，求出即可．
解： 函数 是二次函数，
且 ，
解得： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是能熟记二次函数的定义即：表示形式为
．
12．
【分析】
函数与x轴交点是 ， ，即可求解．
解：令 ，则： 或 ，
即：函数与x轴交点是 ， ，
故：对称轴是
答案是 ．
【点拨】主要考查了对称点的特点和求抛物线的顶点坐标的方法．
13．y＝ (x-4)2＋1
【分析】
先把抛物线化为顶点坐标式，再按照“左加右减，上加下减”的规律，即可求出平移后的函
数表达式．解：∵y＝ x2－2x-2＝ (x-2)2-4，
把其图象向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，
得抛物线y＝ (x-2-2)2-4＋5，
即为y＝ (x-4)2＋1．
故答案为：y＝ (x-4)2＋1．
【点拨】此题考查了二次函数图象与几何变换，同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力，
要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
14．0
【分析】
根据对称性确定抛物线与x轴的另一个交点为 ，代入解析式求解即可；
解：如解图，设抛物线与 轴的另一个交点是 ，
∵抛物线的对称轴是过点(1，0)的直线，与 轴的一个交点是 ，
∴与 轴的另一个交点 ，
把( ，0)代入解析式得： ，
．
故答案为：0
【点拨】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点，准确分析计算是解题的关键．
15．
【分析】
根据二次函数有最大值判断出a＜0，并得到b的值，然后比较大小即可．
解：∵函数有最大值， ∴a＜0， ∵函数的最值为 ， ∴b= ， 则a＜b．
【点拨】本题考查了二次函数的最值问题，属于基础题．当函数有最小值时则a＞0；当函数
有最大值时则a＜0．16．﹣1≤x≤2
【分析】
根据图象可以直接回答，使得y≥y 的自变量x的取值范围就是直线y=kx+m落在二次函数
1 2 1
y=ax2+bx+c的图象上方的部分对应的自变量x的取值范围．
2
解：根据图象可得出：当y≥y 时，x的取值范围是：﹣1≤x≤2．
1 2
故答案为：﹣1≤x≤2．
【点拨】本题考查了二次函数的性质．本题采用了“数形结合”的数学思想，使问题变得更
形象、直观，降低了题的难度．
17．
【分析】
先由题意得到 ，再设设 ，由勾股定理得到 ，解得x的值，
最后将点C、G、A坐标代入二次函数表达式，即可得到答案.
解：点 ，反比例函数 经过点B，则点 ，
则 ， ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
由勾股定理得： ，
解得： ，故点 ，
将点C、G、A坐标代入二次函数表达式得： ，解得： ，
故答案为 ．
【点拨】本题考查求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法.
18．3
【分析】根据抛物线y=- x2-x+ ，可以求得该抛物线与x轴和y轴的交点，从而可以得到点A、B、
C的坐标，然后即可得到AB和OC的长，从而可以求得△ABC的面积．
解：∵抛物线y=- x2-x+ ，
∴当y=0时，x=-3，x=1，当x=0时，y= ，
1 2
∴点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0， ），
∴AB=1-（-3）=1+3=4，OC= ，
∴△ABC的面积为： AB•OC= ．
故答案为：3．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，
解答本题的关键是求出点A、B、C的坐标，利用数形结合的思想解答．
19．x＝3
【分析】
根据抛物线的对称性知，抛物线与x轴的两个交点关于直线x=-1对称，据此可以求得抛物线
与x轴的另一个交点，即可得出一元二次方程ax2+bx+c=0的另一个解．
解：根据图示知，抛物线y=ax2+bx+c图象的对称轴是x=-1，
与x轴的一个交点坐标为（-5，0），
根据抛物线的对称性知，抛物线y=ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x=-1对称，
即抛物线y=ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与（-5，0）关于直线x=-1对称，
∴另一个交点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的另一个解是x=3；
故答案是：x=3．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题的关键是掌握抛物线的对称性．
20． 或 ．
【分析】根据图像求解即可，方程组 的解即为两个函数图像的交点坐标.
解：∵抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n交于点A（﹣1.5，1），B（3，4），
∴关于x、y的方程组 的解为 或 ，
故答案为 或 ．
【点拨】本题考查了二次函数与一次函数解析式组成的方程组的解与两个函数图像交点的关
系，两个解析式组成的方程组的解即为两函数图像交点的横纵坐标.
21．5
【分析】
试题分析：根据羽毛球飞出的水平距离即为抛物线与x轴正半轴交点到原点的距离求出即可．
解：当y=0时， ，
解得：x=﹣1（舍），x=5．
1 2
∴羽毛球飞出的水平距离为5米．
22．①②④
【分析】
根据二次函数y＝ax2的图象与性质逐一判断即得答案
解：由函数的解析式y＝－x2，可知a=﹣1＜0，得到函数的开口向下，有最大值y=0，故①
正确；
由函数的解析式y＝2x2，可知其对称轴为y轴，对称轴的左边（x＜0），y随x增大而减小，
对称轴的右边（x＞0），y随x增大而增大，故②正确；
根据二次函数的性质，系数a决定抛物线的开口方向和开口大小，且 越大开口越小，可知
抛物线y＝2x2的开口最小，抛物线y＝－x2的开口第二小，而y 开口最大，故③不正确；
不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2的顶点都是坐标原点，故④正确．
综上，正确的结论是：①②④．
故答案为：①②④．
【点拨】此题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数y=ax2的与性质是解题的关键．
23．（1） ，M (1，-2)；（2）
【分析】
（1）将A(2，0)代入抛物线的解析式，可求得m的值，再配成顶点式即可求解；
（2）利用待定系数法即可求得直线AM的解析式．
解：（1）∵抛物线 过点A(2，0)，
，解得 ，
，
,
∴顶点M的坐标是(1，-2)；
（2）设直线AM的解析式为 ，
∵图象过A(2，0)，M (1，-2)，
，解得 ，
∴直线AM的解析式为 ．
【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是灵活
运用所学知识解决问题．
24．（1）y= x2；（2）3 ，y= x2+3 ．
【分析】
（1）根据题意可直接设y＝ax2把点（1，﹣3）代入得a＝﹣3，所以y＝﹣3x2；
（2）设平移后y x2+d（d＞0），则MN＝d，根据题意得出S 2×d＝3 ，即可求得
d的值，从而求得平移后的解析式．
解：（1）∵抛物线顶点是原点，可设y＝ax2，把点A（1， ）代入，得：a＝ ，所以这个
二次函数的关系式为y x2；（2）设平移后y x2+d（d＞0），∴MN＝d，S 2×d＝3 ，∴d＝3 ，∴y
x2+3 ．
【点拨】本题考查了用待定系数法求函数解析式以及二次函数的图象与几何变换，熟练掌握
待定系数法和平移的规律是解题的关键．
25．（1） ；（2） ， ；（3） ，
，
【分析】
(1)把 、 代入抛物线 即可求出b,c即可求解;
(2)根据A,B关于对称轴对称,连接BC交对称轴于P点,即为所求,再求出坐标及 的周长;
(3)根据△QAB的底边为4,故三角形的高为4,令 =4，求出对应的x即可求解.
解：(1)把 、 代入抛物线 得
解得
∴抛物线的解析式为： ;
(2)如图，连接BC交对称轴于P点,即为所求,
∵
∴C(0,-3),对称轴x=1
设直线BC为y=kx+b,
把 , C(0,-3)代入y=kx+b求得k=1,b=-3,
∴直线BC为y=x-3
令x=1，得y=-2，
∴P（1，-2），∴ 的周长=AC+AP+CP=AC+BC= + =
;
(3)∵△QAB的底边为AB=4,
∴三角形的高为4,
令 =4，即
解得x= , x= , x=1
1 2 3
故点 的坐标为 ， ， .
【点拨】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法与一次函数的
求解.
26．(1)抛物线顶点坐标为 ； 抛物线与 轴的交点坐标为 ； 当
时， ．
【分析】
（1）求抛物线的顶点坐标既可以利用公式，也可以利用配方法求解；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标就是求函数值等于0时对应的x的值即可解决问题；
（3）y＞0就是抛物线在x轴上方的部分，所以利用抛物线的开口方向和与x轴的交点坐标
即可求解．
解：（1）
，∴抛物线顶点坐标为 ；
当 时，即 ，
∴ 或 ，
∴抛物线与 轴的交点坐标为 ；
∵抛物线的开口方向向下，且抛物线与 轴的交点坐标为 ，
∴当 时， ．
【点拨】二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式（组）．
27．（1）y关于x的函数解析式为 ；（2）该电商定价为70元时才能使每天获
得的利润最大，最大利润是1800元．
【分析】
（1）由图象易得 和 ，然后设y关于x的函数解析式为 ，进而代入求
解即可；
（2）设该电商每天所获利润为w元，由（1）及题意易得 ，然后根据
二次函数的性质可进行求解．
解：（1）设y关于x的函数解析式为 ，则由图象可得 和 ，代入得：
，解得： ，
∴y关于x的函数解析式为 ；
（2）设该电商每天所获利润为w元，由（1）及题意得：
，
∴-2＜0，开口向下，对称轴为 ，
∵ ，
∴当 时，w有最大值，即为 ；答：该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元．
【点拨】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
