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专题 22.23 抛物线的对称性（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
【类型一】已知抛物线上对称两点求对称轴
1．抛物线 经过（-2，m），（1，m）两点，若点A（x，y），B
1 1
（x，y），也在抛物线上，且满足 ， ，则 ， 的大小关系为（ ）
2 2
A． B． C． D．无法确定
2．已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m﹣4，n），B（m+2，
n），则n的值为（ ）
A．﹣18 B．﹣16 C．﹣12 D．18
3．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0），点P（x，
1 1
y），P（x，y）是抛物线上不同于A，B的两个点，记△PAB的面积为S，△PAB的面积为
1 2 2 2 1 1 2
S，有下列结论：①当x＞x+2时，S＞S；②当x＜2﹣x 时，S＜S；③当|x﹣2|＞|x﹣2|＞1时，
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
S＞S；④当|x﹣2|＞|x+2|＞1时，S＜S．其中正确结论的序号是（ ）
1 2 1 2 1 2
A．②③ B．①③ C．①②③④ D．③
4．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）经过P（1，y），P（2，y），P
1 1 2 2 3
（3，y），P（4，y）四点．若y＜y＜y，则下列说法中正确的是（ ）
3 4 4 1 2 3
A．若y＞y，则a＞0 B．对称轴不可能是直线x＝2.7
4 3
C．y＜y D．3a+b＜0
1 4
5．已知点 、 在二次函数 的图象上，当 ， 时，
．若对于任意实数 、 都有 ，则 的范围是（ ）．
A． B． C． 或 D．
6．抛物线 上部分点的横坐标 ，纵坐标 的对应值如下表所示：
… ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
… 0 4 6 6 4 …从上表可知，下列说法中，错误的是（ ）
A．抛物线与 轴的一个交点坐标为（﹣2，0）
B．抛物线与 轴的交点坐标为（0，6）
C．抛物线的对称轴是直线 ＝0
D．抛物线在对称轴左侧部分 随 的增大而增大．
【类型二】根据二次函数对称性求函数值
7．若点A（1，y），B（2，y），C（m，y）在抛物线y= （a≠0）上，且y＜y
1 2 3 1 2
＜y，则m的值不可能是（ ）
3
A．5 B．3 C．－3 D．－5
8．若抛物线 经过点 ，则该抛物线一定还经过点（ ）
A． B． C． D．
9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为 ，且经过点（2，
0）．下列说法：①abc＜0，②a﹣b＝0，③4a+2b+c＜0，④若（﹣2，y） 是抛物线上的
1
两点，则y＜y，其中说法正确的是（ ）
1 2
A．①④ B．③④ C．①③④ D．①②
10．抛物线y＝ax2+bx+c过点（x，t）和（x，t），若点 和 均
1 2
在抛物线上，关于y，y 的关系描述正确的是（ ）
1 2
A．y＞y B．y＝y
1 2 1 2
C．y＜y D．y，y 的大小无法确定
1 2 1 2
11．如图，抛物线y= ax2与抛物线y=ax2 +bx的交点P在第三象限，过点P作x轴的平行线，
1 2与两条抛物线分别交于点M、N，若 ，则 的值是（ ）
A．3 B．2 C． D．
12．二次函数 的图象经过 ， ， ， 四个点，
下列说法一定正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
二、填空题
【类型一】已知抛物线上对称两点求对称轴
13．若抛物线 与x轴只有一个交点，且过点 ， ，则n的值为
_______．
14．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的顶点在x轴上，点A（m﹣1，n）和点B（m＋3，n）均在
二次函数图象上，求n的值为____．
15．二次函数 (a、b、c实常数，且a≠0)的函数值y与自变量x的部分对应值如
下表：
x … -1 0 1 2 …
y … m 2 2 n …
且当 时，对应的函数值y＜0．有以下结论：①abc＞0；②m+n＜ ；③关于x的方程 的负实数根在 和0之间；④P(t-1，y)和P(t+1，y)在该二次函数的图象上，
1 1 2 2
则当实数t＞ 时，y＞y．其中正确的结论是___________．
1 2
16．若函数图像 与x轴的两个交点坐标为 和 ，则 __________．
17．抛物线 上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
从上表可知，抛物线与x轴的另一个交点坐标为__________．
18．根据下列表格中二次函数 的自变量与函数值的对应值，求出代数式
的值为________．
x 3 5 7
1 1 13
【类型二】根据二次函数对称性求函数值
19．已知点P(x，y)和Q(3，y)在二次函数y=(x+k)(x−k−2)的图象上，其中k≠0．若y>y，则
1 1 2 1 2
x 的取值范围为______．
1
20．已知点A（-1，y），B（2 ，y），C（5，y）在二次函数y＝x2﹣6x+c的图象上，则
1 2 3
y， y， y 的大小关系是_____________ （按照从小到大用＜连接）．
1 2 3
21．二次函数yax22ax c（ a 0）的图象过 ， ， ， 四
个点．
（1） y3=________（用关于 a或 c的代数式表示）；
（2）若 0时，则 ________0．（填“＞”、“＜”或“＝”）
22．已知抛物线 经过点 ．若点 在该抛物线上，且 ，
则n的取值范围为______．23．李玲用“描点法”画二次函数 的图象时，列了如下表格，根据表格上的信
息回答问题：该二次函数 当 时， ________．
x … -1 0 1 2 …
y … 1 -2 -3 -2 …
24．如图，抛物线 与 轴交于点 ， （点 在 的左侧），与 轴交于点
．点 在线段 上，点 与点 关于抛物线对称轴对称，连结 并延长交 轴于点 ．
若 ，则点 的横坐标为_______．
三、解答题
25．二次函数 （ 、 、 是常数， ）的自变量 和函数值 部分对应值
如下表：
根据以上列表，回答下列问题：
(1)直接写出 、 的值；
(2)求此二次函数的解析式．
… -3 -2 -1 0 1 …
… 8 5 4 5 …26．如图，抛物线 与x轴交于 、B两点，与y轴交于点 ，顶点
为D．
(1)求该抛物线的解析式和顶点D的坐标；
(2)在第四象限内抛物线上存在一点M，使 ，请求出点M的坐标；
(3)点N在该抛物线上且到对称轴的距离为3个单位，点P为点M，N之间（含点M、N）抛
物线上的一个动点．求点P纵坐标 的取值范围．
27．如图，在直角坐标系中，以A为顶点的抛物线 （a是常数， ）交y
轴于点B， 轴交抛物线于另一点C．
(1)求该抛物线的对称轴及点C的坐标．
(2)直线 （k是常数， ）经过A，C两点，求a，k的值．28．设二次函数 ， 为常数， 且 ．
(1)若该二次函数的图象过点 ，求二次函数的表达式；
(2)函数 的图象始终过一个定点，若一次函数 为常数， 的图象也经过这个
定点，求 ， 的关系式；
(3)已知点 ， 与 都在函数 的图象上，若 ，且 ，求 的取值范围（用
含 的代数式表示）．参考答案
1．A
【分析】
根据二次函数的对称轴 求出a=b，计算 即可判断；
解：∵抛物线经过（-2，m），（1，m），可知对称轴为： ，即a=b，
， ，
，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，即 ，
故选： A．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，利用对称性求出对称轴从而得出a，b关系是解题关
键．
2．A
【分析】
先求出抛物线对称轴为直线 ，再根据抛物线与x轴只有一个交点，得到抛物线的顶点坐标为（m-1，0），则抛物线解析式为 ，把A（m-4，n），代入抛物线解析
式得， ．
解：∵抛物线过点A（m-4，n），B（m+2，n），
∴抛物线对称轴为直线
∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴抛物线的顶点坐标为（m-1,0），
∴抛物线解析式为 ，
把A（m-4，n），代入抛物线解析式得， ，
故选A．
【点拨】本题考查二次函数的对称性以及二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的顶点式，
关键在于熟悉性质，灵活运用．
3．D
【分析】
根据抛物线的性质求得对称轴，进而根据纵坐标的绝对值的大小比较面积即可．
解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0），
∴该抛物线对称轴为直线x＝2，
当x＞x＋2时与当x＜2−x 时无法确定P（x，y），P（x，y）在抛物线上的对应位
1 2 1 2 1 1 1 2 2 2
置，
故①和②都不正确；
当|x−2|＞|x−2|＞1时，P（x，y）比P（x，y）离对称轴更远，且同在x轴上方或者
1 2 1 1 1 2 2 2
下方，
∴|y|＞|y|，
1 2
∴S＞S，故③正确；
1 2
当|x
1
−2|＞|x
2
＋2|＞1时，即在x轴上x
1
到2的距离比x
2
到−2的距离大，且都大于1，
可知在x轴上x
1
到2的距离大于1，x
2
到−2的距离大于1，但x
2
到2的距离不能确定，
所以无法比较P（x，y）比P（x，y）谁离对称轴更远，故无法比较面积，故④错误；
1 1 1 2 2 2
故选：D．
【点拨】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题．
4．C
【分析】
根据题意判定抛物线开口方向，对称轴的位置，然后根据点到对称轴的距离的大小即可判断．
解：A、当 时，抛物线开口向下，
当 时， 随 增大而增大，
若 ， 时， ，
选项错误，不符合题意；
B、当对称轴为直线 时， ，
若 则 ，不符题意，
若 则 ，符合题意，
选项错误，不符合题意；
C、若 ，当抛物线对称轴为直线 时， ，
对称轴直线 时满足题意，
此时 ，
，
若 ，当抛物线对称轴为直线 时， ，
当 时 ，
选项正确，符合题意；
D、 ，
，
，
选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题的关键是判定对
称轴的位置．
5．A
【分析】先根据二次函数的对称性求出b的值，再根据对于任意实数x、x 都有y+y≥2，则二次函数
1 2 1 2
y=x2-4x+n的最小值大于或等于1即可求解．
解：∵当x=1、x=3时，y=y，
1 2 1 2
∴点A与点B为抛物线上的对称点，
∴ ，
∴b=-4；
∵对于任意实数x、x 都有y+y≥2，
1 2 1 2
∴二次函数y=x2-4x+n的最小值大于或等于1，
即 ，
∴c≥5．
故选：A．
【点拨】本题考察了二次函数的图象和性质，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，
a≠0），其对称轴是直线： ，顶点纵坐标是 ，抛物线上两个不同点P(x，y)，
1 1 1
P(x，y)，若有y=y，则P，P 两点是关于抛物线对称轴对称的点，且这时抛物线的对称轴是
2 2 2 1 2 1 2
直线： ．
6．C
【分析】
根据表格中信息，可得点 ， 在抛物线上，从而得到A、B正确；又有当
时， ，当 时， ，可得抛物线的对称轴为 ，故C错误；根据 ，得到
抛物线开口向下，可判断D正确；即可求解．
解：根据表格中信息，得：
当 时， ，当 时 ， ，
∴点 ， 在抛物线上，故A、B正确；
根据表格中信息，得：
当 时， ，当 时， ，
∴抛物线的对称轴为 ，故C错误；
∵ ，
∴抛物线开口向下，
∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，故D正确；
故选：C．
【点拨】此题主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标与自变量和的函数值的对应关系，也考
查了利用自变量和对应的函数值确定抛物线的对称轴和增减性，熟练掌握相关知识点是解题的关
键．
7．C
【分析】
根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为x=-1，分两种情况讨论，根据图象上点的
坐标特征，得到关于m的不等式，解不等式即可得出结论．
解：抛物线y= 的对称轴为x=-1，
∵点A（1，y），B（2，y），C（m，y）在抛物线y= 上，且y＜y＜y，
1 2 3 1 2 3
∴当a＜0，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，点A、B都在对称轴右侧，而y＜y，
1 2
所以这种情况不存在；
当a＞0，则|m+1|>(2+1)=3，解得m＜-4或m>2，m的值不可能是-3．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据二次函数的性质找出
关于m的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的性
质结合二次函数的对称轴找出不等式是关键．
8．B
【分析】
根据二次函数图象的对称性解答．
解：由抛物线 可知抛物线的对称轴为y轴，
∵抛物线 经过 ，∴点 关于y轴的对称点 也在抛物线上，
∴它也经过点 ．
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟记二次函数的对称性是解题的关键．
9．A
【分析】
①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号；
②根据对称轴求出b=-a；
③把x=2代入函数关系式，结合图象判断函数值与0的大小关系；
④求出点（-2，y）关于直线x= 的对称点的坐标，根据对称轴即可判断y 和y 的大小．
1 1 2
解：①∵二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，
∴c＞0，
∵对称轴是直线x= ，
∴- = ，
∴b=-a＞0，
∴abc＜0．故①正确；
②∵由①中知b=-a，
∴a+b=0，故②错误；
③把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c，
∵抛物线经过点（2，0），
∴当x=2时，y=0，即4a+2b+c=0．故③错误；
④∵（-2，y）关于直线x= 的对称点的坐标是（3，y），
1 1
又∵当x＞ 时，y随x的增大而减小， ＜3，
∴y＜y．故④正确；
1 2
综上所述，正确的结论是①④．故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当a＞0时，二次函数的
图象开口向上，当a＜0时，二次函数的图象开口向下．
10．B
【分析】
先求解抛物线的对称轴，再求解点 和 到抛物线的对称轴的距
离，从而可得答案.
解： 抛物线y＝ax2+bx+c过点（x，t）和（x，t），
1 2
抛物线的对称轴为：
，
，
点 和 到抛物线的对称轴的距离相等，
故A，C，D不符合题意，B符合题意；
故选B
【点拨】本题考查的是抛物线的图象与性质，熟练的利用抛物线的对称性比较函数值的大小
是解本题的关键.
11．B
【分析】
设 ，则由抛物线的对称性可知 ， ，从而可得 ，
，再由 即可得到 ，再根据 即可得到 ．解：设 ，
∴由抛物线的对称性可知 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 即 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 即 ，
∴ 或 （舍去），
∴ ，
故选B．
【点拨】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数上点的坐标特征，解题的关键在于能
够求出 ．12．D
【分析】
根据二次函数的对称性判断即可；
解：由题可知二次函数对称轴 ，
∵ ，
∴函数图像开口向上，
∴当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大，
∴ ， ，
根据二次函数图象的对称性可知： ，
∴当 时，不能确定 的大小，故A不符合题意；
当 时， ，故B错误；
当 时，不能确定 的大小，故C不符合题意；
当 时， ，故D正确；
故选D．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键．
13．4
【分析】
根据A、B的坐标易得抛物线的对称轴，再通过设顶点式，代入坐标，可得n的值．
解： 过点 ，
是抛物线的对称轴．
抛物线 与x轴只有一个交点．
顶点坐标为：
设抛物线的解析式为：把 代入，得：
解得： ．
故答案为：4．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的解析式，解决问题的关键在于找到顶点
坐标，根据顶点坐标设解析式．
14．4
【分析】
由A、B坐标可得对称轴 ，由顶点在x轴上可得 ，
求得b＝﹣2（m+1），c＝（m+1）2，即可得出y＝x2﹣2（m+1）x+（m+1）2，把A的坐标代
入即可求得n的值．
解：∵点A（m﹣1，n）和点B（m+3，n）均在二次函数y＝x2+bx+c图象上，
∴ ，
∴b＝﹣2（m+1），
∵二次函数y＝x2+bx+c的顶点在x轴上，
∴ ，
∴b2﹣4c＝0，
∴[﹣2（m+1）]2﹣4c＝0，
∴c＝（m+1）2，
∴y＝x2﹣2（m+1）x+（m+1）2，
把A的坐标代入得，n＝（m﹣1）2﹣2（m+1）（m﹣1）+（m+1）2＝4，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标，表示出b、c的值是解题的关
键．
15．②③
【分析】
①将点(0，2)与点(1，2)代入解析式可得到a、b互为相反数，c=2，即可判断；②将x=-1与x=2代入解析式得到m和n的表达式，再结合 时，对应的函数值y<0，即
可表示出m+n的取值范围；
③根据点(1，2)与当 时，对应的函数值y<0可知方程 的正实数根在1和2
之间，结合抛物线的对称性即可求出方程 的负实数根的取值范围；
④分类讨论，当P 在抛物线的右侧时，P 的横坐标恒大于等于对称轴对应的x的值时必有y
1 1 1
＞y，求出对应的t即可；当P 与P 在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当P 的横坐标到对称
2 1 2 1
轴的距离小于P 到对称轴的距离时满足y＞y，求出对应的t即可．
2 1 2
解：①将点(0，2)与点(1，2)代入解析式得： ，
∴ ，
∴abc<0，故①错误；
②由①得二次函数解析式为
将点(-1，m)与点(2，n)分别代入解析式得：
∴m=n=2a+2，
∴m+n=4a+4．
∵当 时，对应的函数值y<0，
∴ ，
解得： ，
∴ ，故②正确；
③∵函数过点(1，2)且当 时，对应的函数值y<0，
∴方程 的正实数根在1和 之间，
∵抛物线过点(0，2)与点(1，2)，∴结合抛物线的对称性可得抛物线的对称轴为直线 ，
∴结合抛物线的对称性可得关于x的方程 的负实数根在 和0之间，故
③正确；
④∵函数过点(1，2)且当 时，对应的函数值y<0，
∴可以判断抛物线开口向下，
当P 在抛物线的右侧时，P 恒在抛物线的右侧，此时 恒成立，
1 2
∴P 的横坐标大于等于对称轴对应的x，即t−1≥ ，
1
解得：t≥
即t≥ 时， ；
当P 与P 在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当P 的横坐标到对称轴的距离小于P
1 2 1 2
到对称轴的距离时满足 ，即当 时，满足 ，
∴解得 ，
即 时， ．
∴综上当 时， ，故④错误．
故答案为：②③．
【点拨】本题主要考查二次函数的相关性质，解题的关键是能通过图表所给的点以及题目的
信息来判断抛物线的开口方向以及对称轴，结合二次函数的图象的性质来解决对应的问题．
16．-2
【分析】根据二次函数图象对称轴所在的直线与x轴的交点的坐标，即为它的图象与x轴两交点之间
线段中点的横坐标，即可求得．
解： 函数图像 与x轴的两个交点坐标为 和
由对称轴所在的直线为：
解得
故答案为：-2．
【点拨】本题考查了二次函数的性质及中点坐标的求法，熟练掌握和运用二次函数的性质及
中点坐标的求法是解决本题的关键．
17．
【分析】
根据(-1，4)和(2，4)，可以确定抛物线的对称轴是 ，已知(-2，0)和(x，0)关于直线
x= 对称，确定x的值即可．
解：∵(-1，4)和(2，4)是抛物线上的对称点，
∴抛物线的对称轴是 ，
∵(-2，0)和(x，0)关于直线x= 对称，
∴ ，
解得x=3，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)，
故答案为：(3，0)．
【点拨】本题考查了抛物线的对称性，熟练掌握对称轴为x= 是解题的关键．
18．104
【分析】
根据题意可求出此二次函数的对称轴，即可求出 ．利用二次函数对称的性质即可求出．再化简 得： ，最后整体
代入求值即可．
解：根据题意可知此二次函数的对称轴为 ，即 ．
∵x=7，y=13，
∴x=1，y=13．
∴当x=1时， ．
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查二次函数的性质及代数式求值，掌握二次函数的图象是轴对称图形和求出
该二次函数的对称轴是解答本题的关键．
19．x＞3或x＜-1
1 1
【分析】
先求得二次函数y=(x+k)(x−k−2)的图象与x轴的交点坐标，求得其对称轴为x=1，再求得点
Q(3，y)关于x=1的对称点为Q(-1，y)，利用数形结合思想即可解答．
2 1 2
解：令(x+k)(x−k−2)=0，解得：x=-k，x=k+2，
∴对称轴为x= =1，
∴Q(3，y)关于x=1的对称点为Q(-1，y)，
2 1 2
∵a=1>0，
∴抛物线开口向上，
画出草图，如图：若y>y，则x 的取值范围为：x＞3或x＜-1．
1 2 1 1 1
故答案为：x＞3或x＜-1．
1 1
【点拨】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌
握二次函数的性质，利用数形结合思想．
20．
【分析】
由抛物线开口向上且对称轴为直线x=3知离对称轴水平距离越远，函数值越大，据此求解可
得．
解：∵二次函数y=x2 6x+c中a=1＞0，
∴抛物线开口向上，有最小值．
∵ ，
∴离对称轴水平距离越远，函数值越大，
∵ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与
性质．
21． c ＜
【分析】
将x=2代入抛物线解析式可得y=c，根据抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据
3
各点到对称轴的距离可判断y y 0 y y，进而求解．
1 4 2 3
解：（1）将x=2代入y=ax2-2ax+c得y=c，
∴y=c，
3（2）∵y=ax2-2ax+c（a 0），
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x= =1，
∴与抛物线对称轴距离越近的点的纵坐标越大，
∵1-（-3）＞4-1＞1-（-1）＞2-1，
∴y y y y，
1 4 2 3
若y•y 0，则y y 0 y y，
4 2 1 4 2 3
∴y•y 0，
3 1
故答案为：c， ．
【点拨】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关
系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
22．
【分析】
将点 代入求出抛物线的解析式，再求出对称轴为直线 ，开口向上，自变量离对
称轴越远，因变量越大即可求解．
解：将 代入 中得到： ，
解得 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，且开口向上，
根据“自变量离对称轴越远，其对应的因变量越大”可知，
当 时，对应的 最大为： ，
当 时，对应的 最小为： ，
故n的取值范围为： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查二次函数的图像及性质，点在抛物线上，将点的坐标代入即可求解．
23．1
【分析】
观察表格中的x，y值，找到对称点确定对称轴，在找x=3的对称点的y值，即可求出
解：由上表可知函数图象经过点（0，-2）和点（2，-2），
∴对称轴为x= =1，
∴当x=-1时的函数值等于当x=3时的函数值，∵当x=-1时，y=1，
∴当x=3时，y=1．
故答案为：1．
【点拨】本题考查了二次函数的图像性质，利用表格找到二次函数的对称点是解决本题的关
键，另外本题也可以求出二次函数解析式，然后求值
24．
【分析】
根据抛物线的解析式得到 点的坐标与对称轴，结合 求得 的直线解析式，进而求
得 点的坐标，根据点 与点 关于抛物线对称轴对称，求得 点的坐标，求得 的直线解析
式，进而求得 的坐标，根据 关于抛物线对称轴对称求得 点的坐标，根据 求得
的值，代入 点坐标，即可求得．
解： 与 轴交于点 ，
，
设 的直线解析式为： ，
， ，
代入得： ，
，
令 ，
，
，
是抛物线的对称轴，
和 关于 对称，
设 ，
，解得 ，
则 ，
又 关于 轴对称，
设 ，
，
解得 ，
，
设 的直线解析式为： ，
, ，
，
解得： ，
，
令 ，解得： ，
，
；
，
，
即 ，解得： ，
，
，
点的横坐标为： ．
故答案为 ．
【点拨】本题考查了二次函数的性质与图像，一次函数的待定系数法求解析式，根据抛物线
的对称性确定坐标是解题的关键．
25．(1)c=5，m=8(2)y=x²+2x+5
【分析】
(1)根据抛物线的对称性及表格中函数值x相等可求出对称轴进而求出m的值；根据自变量
x=0可求出抛物线与y轴的交点，即可求得c的值；
(2)根据对称轴为x=-1，得到抛物线顶点为(-1,4)，设顶点式为y=a(x+1)2+4，代入其中一个点
求出a的值即可求出二次函数解析式．
(1)解：根据图表可知：
二次函数 的图象过点(0，5)，(-2，5)，
∴二次函数的对称轴为：直线 ，
∵直线x=-3到对称轴x=-1的距离为2，直线x=1到对称轴x=-1的距离也为3，
∴(-3，8)的对称点为(1，8)，
∴m=8，
当x=0时，由表格中数据可知：c=5．
(2)解：∵对称轴是直线x=-1，
∴由表格中数据可知：顶点为(-1，4)，
设y=a(x+1)2+4，
将(0，5)代入y=a(x+1)2+4得，a+4=5，
解得a=1，
∴这个二次函数的解析式为y=(x+1)2+4=x²+2x+5．
【点拨】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，能熟练求出函数对称轴是解本题的关键．
26．(1) ， ；(2) ；
(3)当N在对称轴的右侧时， ；当N在对称轴的左侧时，
【分析】
（1）利用待定系数法即可求出函数解析式，在配方即可得到顶点坐标；
（2）设点M的纵坐标为t，且t＜0，根据题意有 ，即可求出t值，则
M点坐标可求；
（3）利用点N到对称轴的距离为3个单位求出N点横坐标，即可得到N点坐标，再结合
M、D两点的坐标即可求解．
解：(1)∵二次函数 的图像经过 、 ，
则 ，解得 ，
∴二次函数的解析式为： ，
把 配方，得 ，
∴顶点D的坐标为 ；
(2)设点M的纵坐标为t，且t＜0，
∵ ，
∴ ，
∴ ，得 ，
当 时， ，解得 ， ，
当 时，M点不在第四象限，舍去，
当 时，M点坐标为 ，∴点M的坐标为 ；
(3)∵点N到对称轴的距离为3个单位，
∴点N的横坐标为－2或4，
∴点N纵坐标为 ，
∴点N的坐标为 或 ，
∵点M的坐标为 ，顶点D的坐标为 ，
则：当N在对称轴的右侧时， ，
当N在对称轴的左侧时， ．
【点拨】本题考查了待定系数法求解析式、二次函数的图像与性质、三角形面积的计算等知
识，解题的关键是利用好二次函数的图像与性质．
27．(1)对称轴为：直线 ； (2) ，
【分析】
（1）根据题目中的抛物线解析式，可以求得抛物线的对称轴和点C的坐标；
（2）由（1）可得 点的坐标， 坐标分别代入直线解析式即可求得 的值．
(1)解：∵抛物线
∴该抛物线的对称轴是直线 ，
当x=0时，y=3，
即抛物线的对称轴是直线 ，点B的坐标是（0，3）；
轴交抛物线于另一点C．
∴ 关于对称轴 对称，
(2)解：∵ （k是常数， ）经过 ， 两点，
∴解得
解得
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的性质，待定系数法求解析式，掌握
二次函数的性质是解题的关键．
28．(1) (2) (3)
【分析】
（1）利用待定系数法即可求该二次函数的表达式．
（2）将 代入二次函数 中，整理得
，可知恒过点 ，代入一次函数 为
常数， 即可求实数 ， 满足的关系式．
（3）通过 ，可求得对称轴为 ，因为 ，且 ，所以只需
判断对称轴的位置即可求 的取值范围．
解：(1) 二次函数 的图象经过点 ，且 ，
，
，
函数 的表达式为 ；
(2) ，
二次函数 ，
整理得， ，
当 时， ，恒过点 ，
代入 得 ，
得 ，
实数 ， 满足的关系式： ，
(3) ，
对称轴为 ，
，且 ，
当 时，对称轴 ，解得 ，
当 时，对称轴 ，解得 （不符合题意，故 不存在），
故 的取值范围为： ．
【点拨】此题主要考查利用待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的对称轴的位置来
判断函数值的大小．
