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专题 22.14 二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图象与性质
（基础篇）（专项练习）
一、单选题
y ax2 bx c(a 0)
【类型一】把二次函数 化为顶点式
1．用配方法将二次函数 化为 的形式为（ ）
A． B．
C． D．
2．在平面直角坐标系中，已知抛物线 ，将该抛物线沿y轴翻折所得的抛
物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线 上运动．过点A作
轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为（
）．
A．2 B．4 C． D．
y ax2 bx c(a 0)
【类型二】画二次函数 的图象
4．二次函数 的图象经过原点，则 的值为（ ）A． B． C．1 D．0
5．已知二次函数 ，且 ，则图象一定经过（ ）象限．
A．三、四 B．一、三、四 C．一、二、三、四 D．二、三、四
6．已知二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x＋4图象的顶点在坐标轴上，则m的值一定不是
（ ）
A．2 B．6 C．﹣2 D．0
y ax2 bx c(a 0)
【类型三】二次函数 的性质
7．已知：二次函数 图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表
格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是（ ）
x … 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …
A． B． C． D．
8．已知二次函数 的图象只经过三个象限，下列说法正确的是
（ ）
A．开口向下 B．顶点在第一象限
C． D．当 时，y的最小值为－1
9．画二次函数 的图象时，列表如下：
x … 1 2 3 4 5 …
y … 2 3 2 …
关于此函数有以下说法：①函数图象开口向上；②当 时，y随x的增大而减小；
③当 时， ．其中正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
y ax2 bx c(a 0)
【类型四】二次函数 各项系数的符号
10．二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象大致是( )．
A． B．
C． D．
11．在同一坐标系中，直线 和抛物线 （a是常数，且a≠0）
的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
12．对称轴为直线 的抛物线 （a，b，c为常数，且 ）如图，小
明同学得出了以下结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤（m为任意实数）；⑥当 时，y随x的增大而增大．其中结论错误的
个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【类型五】一次函数与二次函数图象判断
13．在同一平面直角坐标系中，函数 与 的图象可能是
（ ）
A． B．
C． D．
14．已知二次函数 的图象如图所示，对称轴为 ，下列结论
中，正确的是（ ）A．abc＞0 B．a+b=0 C．b+c＞a D．a+c＜b
15．当ab＜0时，y＝ax 与y＝ax＋b的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【类型六】二次函数图象的平移
16．将抛物线 向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线的解
析式为（ ）
A． B． C．
D．
17．关于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（ ）
A．图象的开口向上
B．图象的对称轴为x＝2
C．图象与y轴交于点（0，1）
D．图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
18．如图，抛物线y=x2经过平移得到抛物线y=ax2+bx，其对称轴与两段抛物线所围成
的阴影部分的面积是8，则抛物线y=ax2+bx的顶点坐标是（ ）A．（1，-4） B．（2，-4） C．（4，-2） D．（4，-1）
二、填空题
y ax2 bx c(a 0)
【类型一】把二次函数 化为顶点式
19．把二次函数y=-x2-4x-3化成y=a（x-h）2+k的形式是______ .
20．已知 、 是抛物线 上两点，则该抛物线的顶点坐标是
_____．
21．二次函数 化为 的形式，则 ___________．
y ax2 bx c(a 0)
【类型二】画二次函数 的图象
22．如图，已知二次函数 ，当x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的
取值范围是_____________．
23．已知 ， ， 两点都在二次函数 的图象上，
则 ， ， 的大小关系为_________．
24．写出经过点（0，0），（﹣2，0）的一个二次函数的解析式_____（写一个即可）．
y ax2 bx c(a 0)
【类型三】二次函数 的性质25．已知二次函数 ，
（1）该二次函数图像的开口方向为______；
（2）若该函数的图象的顶点在x轴上，则m的值为______；
26．将二次函数 的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个单位．
（1）若平移后的二次函数图象经过点 ，则a＝______．
（2）平移后的二次函数图象与y轴交点的纵坐标最大值为______．
27．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交
于点C．下列结论：①abc＞0；②3a﹣c＝0；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④对于
任意实数m，总有a﹣b≥am2﹣bm．其中正确的是 _____（填写序号）．
y ax2 bx c(a 0)
【类型四】二次函数 各项系数的符号
28．如图，抛物线 与x轴交于点（－3，0），其对称轴是 ，
则下列结论：① ；② ；③若两点（－2， ），（3， ）在二次函数图
象上，则 ．其中正确结论的个数为___．
29．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，下列结论①ac＜0；②b2﹣4ac
＞0；③2a﹣b＝0；④3a+c＝0，其中，正确的个数是_____30．已知二次函数 的图象如图所示，下列结论：① ；② ；
③ ；④ ，正确的是______．
【类型五】一次函数与二次函数图象判断
31．如图是二次函数 和一次函数y＝kx+t的图象，当y≥y 时，x的取
2 1 2
值范围是_____．
32．已知二次函数 的图象开口向下，则直线 不经过的象限是第
______象限．
33．已知二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象不
经过第____________象限【类型六】二次函数图象的平移
34．抛物线 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解
析式为 ，那么原抛物线的解析式为____________
35．平移二次函数的图象，如果有一个点既在平移前的函数图象上，又在平移后的函
数图象上，我们把这个点叫做“关联点”．现将二次函数 （c为常数）的图
象向右平移得到新的抛物线，若“关联点”为 ，则新抛物线的函数表达式为_______．
36．已知平面直角坐标系中，点P的坐标为 ，若二次函数 的
图像与线段OP有且只有一个公共点，则m满足的条件是______．
三、解答题
37．如图，已知经过原点的抛物线y＝2x2+mx与x轴交于另一点A（2，0）．
(1)求m的值和抛物线顶点M的坐标；
(2)求直线AM的解析式．
38．已知抛物线y=ax2+bx+c 经过点A(0，3)、B(4，3)、C(1，0)．
(1)填空：抛物线的对称轴为直线x= ，抛物线与x轴的另一个交点D的坐标为
；
(2)画出二次函数y=ax2+bx+c 的图象．
(3)当 1 < x 4时， y的取值范围是39．二次函数 的自变量x与函数值y的对应值如下表，根据下表回答问
题．
x … －3 －2 －1 0 …
y … －2 －2 0 4 …
(1)该二次函数与y轴交点是 ，对称轴是 ．
(2)求出该二次函数的表达式；
(3)向下平移该二次函数，使其经过原点，求出平移后图像所对应的二次函数表达式．
40．如图，抛物线y＝﹣x2+(m﹣1)x+m与y轴交于点(0，3)．
（1）m的值为________；
（2）当x满足________时，y的值随x值的增大而减小；
（3）当x满足________时，抛物线在x轴上方；
（4）当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是________．41．已知抛物线 的顶点 是直线 与 的交点，且抛物
线经过直线 与 轴的交点 ．
（1）求点 的坐标；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）写出当 时 的取值范围．
42．已知二次函数 的图像为抛物线C．
(1)抛物线C顶点坐标为______；
(2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线 ，
请判断抛物线 是否经过点 ，并说明理由；
(3)当 时，求该二次函数的函数值y的取值范围．
参考答案
1．D
【分析】
先把二次项的系数化为1，再配方，从而可得答案．
解：
，
故选：D.
【点拨】本题考查的是利用配方法化抛物线为顶点式，熟练掌握“配方法”是解本题的关键．
2．C
【分析】
把抛物线沿y轴翻折后，抛物线的开口方向与原抛物线开口方向相反，顶点（2，1）
关于y轴对称的顶点为(2，-1)，则可得翻折后的抛物线的解析式．
解：∵ ，
∴顶点坐标为 ， ，开口向上，
(2 1)
∴抛物线 沿y轴翻折后顶点坐标为(2，-1)，此时抛物线的开口向下，
∴抛物线沿y轴翻折所得的抛物线的表达式为 ，
化简后为： ．
故选：C．
【点拨】本题考查了求抛物线关于y轴对称后的解析式，点关于y轴对称，把二次函
数的一般式化为顶点式等知识，关键是抓住抛物线的开口方向与顶点坐标翻折后的变化．
3．C
【分析】
先利用配方法得到抛物线的顶点坐标，再根据矩形的性质得BD=AC，由于AC的长等
于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，从而得到BD
的最小值．
解：∵ ，
∴抛物线的顶点坐标为（ ， ），
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD=AC，
而AC⊥x轴，
∴AC的长等于点A的纵坐标，
当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为 ，∴对角线BD的最小值为 ．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，解题时注意：二
次函数图象上点的坐标满足其解析式．
4．C
【分析】
先根据二次函数图象上点的坐标特征，把原点坐标代入解析式求出a=1或a=-1，然后
根据二次函数的定义确定a的值．
解：把（0，0）代入y=（a+1）x2+3x+a2-1得a2-1=0，解得a=1或a=-1，
而a+1≠0，
所以a的值为1．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其
解析式．注意不要掉了a+1≠0．
5．A
【分析】
根据 ， ， ，可以判断二次函数的开口向下，二次函数与y轴的交点在y
轴的负半轴，且二次函数的顶点坐标为原点，由此即可判断二次函数图像经过的象限．
解：∵二次函数 中 ， ， ，
∴二次函数的解析式为 ，二次函数的开口向下，二次函数与y轴的交
点在y轴的负半轴，
∴二次函数的顶点坐标为(0，c)，在y轴负半轴，
∴二次函数 的图象 经过三、四象限；
故选A．
【点拨】本题主要考查了二次函数图象的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函
数图象与系数之间的关系．
6．D
【分析】先把二次函数的解析式化为顶点式，再利用该函数图象的顶点在坐标轴上，可以得到
关于 的方程，解方程从而可得答案．
解：∵二次函数
∴该函数的顶点坐标为
∵二次函数 图象的顶点在坐标轴上，
∴ 或 ，
当 时，
当 时，
或
或
综上： 或 或
故选：D．
【点拨】本题考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的顶点坐标在坐标轴上的坐标
特点是解题的关键．
7．D
【分析】
由表格可知，二次函数的图象关于直线 对称，它的图象与x轴的一个交点坐标为
，根据二次函数的对称性可求它的图象与x轴的另一个交点坐标．
解：由表格可知，二次函数的图象关于直线 对称，它的图象与x轴的一个交点坐
标为 ，
∴它的图象与x轴的另一个交点坐标为 ，
故选D．【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于确定二次函数的对称轴．
8．C
【分析】
二次函数 的图象只经过三个象限，要满足条件，常数项大于等于0，
解不等式即得．
解：∵二次函数 的图象只经过三个象限，
∴a-1≥0，
∴a≥1．
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数 的图象只经过三个象限，运用函数图象
与x轴的两个交点横坐标的积大于等于0，即常数项大于等于0，是解决此类问题的关键．
9．C
【分析】
先由表中数据可知，y随x的增大先增大后减小，得到函数图象开口向下；利用y=2时，
x=1或x=3，得到函数的对称轴，再结合开口方向得到函数的增减性；利用对称轴为直线
x=2，则求出 时的自变量的值．
解：由表中数据可知，y随x的增大先增大后减小，
∴函数图象开口向下，故①错误，不符合题意；
∵y=2时，x=1或x=3，
∴函数的对称轴为直线x=2，
∵开口向下，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小，故②正确，符合题意；
∵对称轴为直线x=2，
当x=4时， ，
∴x=0时， ，故③正确，符合题意；
∴正确的选项有②③；
故选：C．【点拨】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，仔细观察表格
数据确定出对称轴是解题的关键．
10．C
【分析】
观察二次函数 的图象得： ，可得 ， ，从而得到
一次函数 的图象经过第一、三、四象限，即可求解．
解：观察二次函数 的图象得： ，
∴ ， ，
∴一次函数 的图象经过第一、三、四象限．
故选：C
【点拨】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数和二
次函数的图象和性质是解题的关键．
11．D
【分析】
根据函数图像和解析式中的参数分析函数图像性质，分析函数图像是否可能存在．
解：A、由直线y＝ax+a的图像性质和抛物线y＝﹣ax2+3x+2的图像性质可得 和
，图象不符合题意
B、由直线y＝ax+a的图像性质可得 ，抛物线y＝﹣ax2+3x+2的图像性质可得
及对称轴在y轴的左侧，图象不符合题意
C、由直线y＝ax+a的图像性质可得 ，抛物线y＝﹣ax2+3x+2的图像性质可得
，图象不符合题意
D、由直线y＝ax+a的图像性质可得 ，抛物线y＝﹣ax2+3x+2的图像性质可得
和对称轴在y轴的左侧，符合题意
故选D
【点拨】此题考查的知识点：一次函数增减性质、二次函数开口方向和对称轴在y轴
的左侧还是右侧、函数中参数的作用；根据图像变化确定函数中的参数正负性是解答此题
的关键．
12．B
【分析】
由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：观察图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴为直线x=1，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
根据题意得：抛物线与x轴有两个交点，
∴ ，即 ，故②正确；
∵对称轴为直线x=1，且抛物线与x轴的另一个交点位于x轴负半轴，
当x=2时，y<0，即 ，故③错误；
根据题意得：当x=-1时，y>0，即
∵ ，
∴ ，故④正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∴当x=1时，函数值最小，最小值为a+b+c，
∴当x=m时， ，
∴ ，故⑤正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∴⑥当 时，y随x的增大而减小，故⑥错误；
∴错误的有2个．
故选：B
【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，理解二次函数y=ax2+bx+c系数符号
由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定是解题的关键．
13．A
【分析】
根据二次函数和一次函数图象的性质依次进行判断即可．
解：函数 经过原点（0，0），则B错误；
当a<0时， 经过二、四象限，则D错误；当 时，b>0， 经过一、二、四象限，则C错误；
当a>0， 时，b<0， 经过一、三、四象限，则A符合题意．
故选：A．
【点拨】本题考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握函数图象的性质是解决问题
的关键．
14．D
【分析】
由抛物线开口方向得到a＞0，由对称轴得到b=a＞0，由抛物线与y轴的交点得到c＜
0，则abc＜0；a+b＞0，据此来进行一一判断即可．
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x= ，
∴b=a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0；a+b＞0；
故选项A、B错误；
∵b=a＞0，c＜0，
∴b+c＜a，a+c＜b，
故选项C错误，选项D正确，
故选：D．
【点拨】此题考查了二次函数图象与系数的关系．此题难度适中，解题的关键是掌握
数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性．
15．A
【分析】
根据题意，ab＜0，分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析选项可得答案．
解：根据题意，ab＜0，
当a＞0时，b＜0，y=ax2开口向上，过原点，y=ax+b过一、三、四象限；
此时，A选项符合，当a＜0时，b＞0，y=ax2开口向下，过原点，y=ax+b过一、二、四象限；
此时，没有选项符合．
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的
关系．
16．D
【分析】
先根据抛物线的顶点式得到抛物线y=3x2的顶点坐标为（0，0），则抛物线y=3x2向右
平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标为（1，2），然后再根据顶
点式即可得到平移后抛物线的解析式．
解：∵抛物线y=3x2的顶点坐标为（0，0），
∴抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标
为（1，2），
∴平移后抛物线的解析式为y=3（x-1）2+2．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换：先把抛物线的解析式化为顶点式y=a
（x-k）2+h，其中对称轴为直线x=k，顶点坐标为（k，h），若把抛物线先右平移m个单位，
向上平移n个单位，则得到的抛物线的解析式为y=a（x-k-m）2+h+n；抛物线的平移也可理
解为把抛物线的顶点进行平移．
17．C
【分析】
根据二次函数的性质判断A，B选项；根据当x＝0时，y＝5判断C选项；根据图象的
平移规律判断D选项．
解：A选项，a＝1＞0，开口向上，故该选项不符合题意；
B选项，图象的对称轴为x＝2，故该选项不符合题意；
C选项，当x＝0时，y=5，图象与y轴交于点（0，5）故该选项符合题意；
D选项，图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长
度得到，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象和几何变换，掌握二次函数的
图象与坐标轴交点的求法是解题的关键．18．B
【分析】
确定出抛物线y=ax2+bx的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，
从而判断出阴影部分的面积等于三角形的面积，再根据三角形的面积公式列式计算即可得
解．
解：如图，设平移后所得新抛物线的对称轴和两抛物线相交于点A和点B，连接OA，
OB，
则由抛物线平移的性质可知，a=1，S =S OAB，
阴影
△
∴y=ax2+bx=x2+bx= (x+ ) 2− ，
∴点A的坐标为 (− ，− )，点B的坐标为 （− ， ），
∴AB= + = ，点O到AB的距离：− ，
∴S AOB= × ×(− )=8，解得：b=−4．
△
∴− 2，− =−4，
∴抛物线y=ax2+bx的顶点A的坐标为 (2，−4)．
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，确定出与阴影部分面积相等的三角形
是解题的关键．
19．y=-（x+2）2+11
【分析】
根据配方法即可求解．解：∵y=-x2-4x-3
=-（x2+4x+4）+11
=-（x+2）2+11，
故答案为：y=-（x+2）2+11．
【点拨】此题主要考查二次函数的顶点式，解题的关键是熟知配方法的运用．
20．
【分析】
将A（0，3），B（2，3）代入抛物线y=-x2+bx+c的解析式，求出b、c，即可得解析式，
从而得到顶点坐标．
解：∵A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，
∴代入得： ，
解得：b=2，c=3，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线顶点坐标为（1，4），
故答案为（1，4）．
【点拨】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，熟练
掌握待定系数法是解题的关键．
21．1
【分析】
根据配方法进行整理即可得解．
解：
，
∴h=2，k=1，
，
故答案为：1．
【点拨】本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟记配方法的操作是解题的关键．
22．a≤1【分析】
由函数图象可得函数的增减性，即可得答案．
解：∵由函数图象可知，当x＜1时，y随x的增大而增大，
∴a≤1，
故答案为a≤1．
【点拨】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解
题的关键．
23． ．
【分析】
先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=-2，然后比较三个点离直线x=-2
的远近得到y、y、y 的大小关系．
1 2 3
解： ∵二次函数的解析式为 ，
∴抛物线的对称轴为直线x=−2，
∵ ， ， ，
∴点C离直线x=−2最远，其次为A点，B距离x=−2最近
而抛物线开口向下，
∴所以根据图象可知： ；
故答案为： .
【点拨】本题考查二次函数图象上点的坐标特征.解决此题的关键是能根据函数的图象
理解二次函数，当a＞0时，距离对称轴越远的点，函数值越大；当a＜0时，距离对称轴
越远的点，函数值越小.
24．y＝x2+2x（答案不唯一）．
【分析】
设此二次函数的解析式为y＝ax（x+2），令a＝1即可．
解：∵抛物线过点（0，0），（﹣2，0），
∴可设此二次函数的解析式为y＝ax（x+2），
把a＝1代入，得y＝x2+2x．
故答案为y＝x2+2x（答案不唯一）．【点拨】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，此题属开放性题目，答案不唯
一．
25． 向上
【分析】
根据二次函数的性质求解即可．
解：∵二次函数解析式为 ， ，
∴抛物线的开口向上，抛物线对称轴为直线 ，
∵该函数的图象的顶点在x轴上，
∴当 时， ，
∴ ，
故答案为：向上；±2．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键．
26． 3或1##1或3 2
【分析】
（1）先求出平移后的解析式 ，然后把点（1，-1）代入解析式
求解即可；
（2）根据平移后的解析式，令x=0，求出与y轴交点的函数，配方即可．
解：（1）∵二次函数 的图象先向右平移a个单位再向下
平移2a个单位，
∴ ，
∵平移后的二次函数图象经过点 ，
∴ ，
解得 ，
故答案为3或1；
（2）∵平移后的二次函数图象与y轴交点，∴ ，
∴与y轴交点的纵坐标最大值为2．
故答案为2．
【点拨】本题考查二次函数的平移，待定系数法求参数，二次函数的性质，掌握二次
函数的平移，待定系数法求参数，二次函数的性质是解题关键．
27．①④##④①
【分析】
根据抛物线的对称轴，开口方向，与 轴的交点位置，即可判断①，根据二次函数y＝
ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），B（1，0），即可求得对称轴，以及当 时，
，进而可以判断②③，根据顶点求得函数的最大值，即可判断④．
解： 抛物线开口向下，
，
对称轴 ，
，
抛物线与 轴交于正半轴，
，
，
故①正确，
二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），B（1，0），
对称轴为 ，则 ，
当 ， ，
，
故②不正确，
由函数图象以及对称轴为 ，可知，当 时， 随 的增大而增大，
故③不正确，
对称轴为 ，则当 时， 取得最大值，
对于任意实数m，总有 ，即 ，
故④正确．
故答案为：①④．【点拨】本题考查了二次函数图象的性质，数形结合是解题的关键．
28．2
【分析】
根据观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴是直线 ，可得a
＜0，c＞0， ，从而得到abc＞0，故①正确；再由抛物线 与x轴
交于点（－3，0），其对称轴是直线 ，可得抛物线 与x轴的另一
个交点为（2，0），从而得到当x=1时，y＞0，进而得到 ，故②错误；再由
（3， ）关于对称轴直线 的点为（-4， ），在对称轴左侧y随x的增大而增大，
可得 ，故③正确，即可求解．
解：观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵对称轴是直线 ，
∴ ，即 ，
∴abc＞0，故①正确；
∵抛物线 与x轴交于点（－3，0），其对称轴是直线 ，
∴抛物线 与x轴的另一个交点为（2，0），
∵抛物线开口向下，
∴当x=1时，y＞0，
∴ ，故②错误；
根据题意得：（3， ）关于对称轴直线 的点为（-4， ），
∵抛物线开口向下，
∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，∴ ，故③正确，
∴正确的有①③，共2个．
故答案为：2
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是
解题的关键．
29．3个##三个
【分析】
由图象可知a＜0，b＞0，c＞0，然后可判定①，根据二次函数的图象与x轴的交点问
题可判定②，根据对称轴公式可判定③，把x=-1代入函数解析式可判定④，进而问题可求
解．
解：由图象可得：a＜0，对称轴为 ，与x轴的交点有2个，
∴ ，即 ， ，故②正确，③错误；
∴b＞0，c＞0，
∴ ，故①正确；
当x=-1时，则有 ，
∴ ，故④正确；
∴正确的有①②④，共3个；
故答案为3个．
【点拨】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解
题的关键．
30．①②##②①
【分析】
由抛物线的开口方向判断 与 的关系，由抛物线与 轴的交点判断 与 的关系，然
后根据对称轴及抛物线与 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解： 图象开口向下，与 轴交于正半轴，能得到： ， ，
，故 正确；
对称轴 ， ，
，
，，故 正确．
图象与 轴有 个不同的交点，依据根的判别式可知 ，故 错误．
当 时， ，
，故 错误；
故答案为 ．
【点拨】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是会利用对称轴的
范围求 与 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
31．﹣1≤x≤2
【分析】
根据图象可以直接回答，使得y≥y 的自变量x的取值范围就是直线y=kx+m落在二次
1 2 1
函数y=ax2+bx+c的图象上方的部分对应的自变量x的取值范围．
2
解：根据图象可得出：当y≥y 时，x的取值范围是：﹣1≤x≤2．
1 2
故答案为：﹣1≤x≤2．
【点拨】本题考查了二次函数的性质．本题采用了“数形结合”的数学思想，使问题
变得更形象、直观，降低了题的难度．
32．四
【分析】
根据二次函数的图像求出a的取值，再根据一次函数的图像与性质即可求解．
解：∵二次函数 的图象开口向下，
∴ ．
又∵直线 ，
直线 经过第一、二、三象限，即不经过第四象限．
故答案为：四．
【点拨】此题主要考查二次函数与一次函数综合，解题的关键是熟知其图像与性质．
33．二##2
【分析】
由抛物线的开口方向、与 轴的交点以及对称轴，可确定 ， ， 的符号，继而可判
定一次函数 的图象不经过哪个象限即可．
解： 开口向上，
，与 轴交于负半轴，
，
对称轴在 轴左侧，
，
又∵ ，
，
，
一次函数 的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．
故答案为：二．
【点拨】主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系．注意二次函数
系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 轴的交点确定，也考查了
一次函数图象的性质．
34．
【分析】
将抛物线 的图像先向上平移3个单位，再向左平移2个单位即可得．
解：将抛物线 先向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为
，即为 ，再向左平移2个单位，所得抛物线的解析式为
，即为 ，
则原抛物线的解析式为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数图像的平移规律是解题
关键．
35．【分析】
将（1，2）代入y=x2+2x+c，解得c=-1，设将抛物线y=x2+2x-1=（x+1）2-2，向右平移
m个单位，则平移后的抛物线解析式是y=（x+1-m）2-2，然后将（1，2）代入得到关于m
的方程，通过解方程求得m的值即可．
解：将（1，2）代入y=x2+2x+c，得12+2×1+c=2，
解得c=-1．
设将抛物线y=x2+2x-1=（x+1）2-2，向右平移m个单位，则平移后的抛物线解析
式是y=（x+1-m）2-2，
将（1，2）代入，得（1+1-m）2-2=2．
整理，得2-m=±2．
解得m=0（舍去），m=4．
1 2
故新抛物线的表达式为y=（x-3）2-2．
故答案是： ．
【点拨】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征以
及待定系数法确定函数关系式，解题的关键是理解“关联点”的含义．
36．
【分析】
分别把点 ， 代入二次函数 ，可得 ，
即可求解．
解：如图，
把点 代入 ，得： ，
把点 代入 ，得： ，∴当 时，二次函数 的图像与线段OP有且只有一个
公共点，
∴二次函数 的图像与线段OP有且只有一个公共点， m满足的
条件是 ．
故答案为：
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是
解题的关键．
37．(1)m＝﹣4，顶点M的坐标为（1，﹣2）
(2)y＝2x﹣4
【分析】
（1）将A（2，0）代入抛物线解析式即可求出m的值，然后将关系式化为顶点式即可
得出顶点坐标；
（2）设直线AM的解析式为y＝kx+b（k≠0），将点A，M的坐标代入即可．
解：(1)∵抛物线y＝2x2+mx与x轴交于另一点A（2，0），
∴2×22+2m＝0，
∴m＝﹣4，
∴y＝2x2﹣4x
＝2（x﹣1）2﹣2，
∴顶点M的坐标为（1，﹣2），
(2)设直线AM的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵图象过A（2，0），M（1，﹣2），
∴ ，
解得 ，
∴直线AM的解析式为y＝2x﹣4．
【点拨】本题考查利用待定系数法求函数解析式，其基本步骤是一设二代三解四写．
38．(1)2；（3，0）．(2)见分析(3)﹣1≤y≤3
【分析】（1）根据二次函数图象的对称性可得抛物线对称轴为直线x＝2，由点C坐标为（1，
0）可得点D坐标为（3，0）．
（2）由待定系数法求函数解析式，然后根据解析式作出图象．
（3）由抛物线开口方向及对称轴可确定x＝2时，y取最小值，x＝4时，y取最大值．
(1)解：∵点A（0，3）、B（4，3）关于直线x＝2对称，
∴对称轴为直线x＝2，
∵C（1，0）关于直线x＝2对称点为（3，0），
∴点D坐标为（3，0），
故答案为：2；（3，0）．
(2)解：将A（0，3）、B（4，3）、C（1，0）代入y＝ax2+bx+c得，
，
解得 ，
∴y＝x2﹣4x+3，
由（1）可知抛物线顶点坐标为（2，-1）．
图象如下：
(3)解：由图象可知，在1 < x 4时，
当x＝2时，y取最小值为y＝22﹣2×4+3＝﹣1，
x＝4时，y取最大值为y＝42﹣4×4+3＝3，
∴﹣1≤y≤3．
故答案为：﹣1≤y≤3．
【点拨】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握求二次函数解析式的方法，掌握二次函数图象的性质．
39．(1) ， (2) ．(3)
【分析】
（1）根据表格信息可知二次函数与y轴交点是（0，4），利用二次函数的对称性可知
横坐标不同时对应的纵坐标相等，则该两点关于对称轴对称，根据中点坐标公式可求出对
称轴．
（2）利用待定系数法将点的坐标代入进解析式求出待定系数即可．
（3）根据过原点的二次函数解析式的特点可知形如 ，直接将二次函数
的图像向下平4个单位即可．
(1)解：由表格可知，该二次函数图像与y轴交点是（0，4），对称轴是直线 ．
(2)解：把（－2，－2）、（－1，0），（0，4）代入
得
解得
∴二次函数解析式为 ；
(3)解：要使二次函数图像经过原点，则函数表达式形如
将函数 的图像向下平4个单位即可．
则平移后图像所对应的二次函数表达式为
【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质，能够根据图表信息求出函数表达式，以
及熟知函数的性质是解决本题的关键．
40．（1）3；（2）x＞1；（3）-1＜x＜3；（4）-5≤y≤4【分析】
根据函数的图象和性质即可求解．
解：（1）将（0，3）代入y＝﹣x2+（m﹣1）x+m得，3＝m，
故答案为3；
（2）m＝3时，抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，
函数的对称轴为直线x＝ ＝1，
∵﹣1＜0，故抛物线开口向下，
当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，
故答案为x＞1；
（3）令y＝﹣x2+2x+3，解得x＝﹣1或3，
从图象看，当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方；
故答案为﹣1＜x＜3；
（4）当x＝0时，y＝3；当x＝4时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣5，
而抛物线的顶点坐标为（1，4），
故当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是﹣5≤y≤4，
故答案为﹣5≤y≤4．
【点拨】本题主要考查二次函数的图像与性质及系数的关系，熟练掌握二次函数的图
像与性质及系数的关系是解题的关键．
41．（1） ；（2） ，（3） 或 ．
【分析】
（1） 与 联立，组成方程组，解方程组即可求得；
（2）根据待定系数法即可求得；
（3）根据二次函数的性质，结合 、 的坐标即可求得．
解：（1）由已知得 ，
解得 ，
；（2）在直线 中，令 ，则 ，
，
设抛物线的解析式为 ，
代入 得， ，
解得 ，
抛物线的表达式为 ，
即 ；
（3） 抛物线与直线 的交点为 ， ，
当 时 的取值范围是 或 ．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，两条直线的
交点，二次函数与不等式的关系等，求得 、 的坐标是解题的关键．
42．(1) (2)不经过，说明见分析(3)
【分析】
（1）一般解析式化为顶点式，进行求解即可．
（2）由题意得出平移后的函数表达式，将 点横坐标2代入，求纵坐标的值并与3比
较，相等则抛物线过该点．
（3）先判断该函数图像开口向上，对称轴在所求自变量的范围内，可求得函数值的最
小值，然后将 代入解析式求解，取最大的函数值，进而得出取值范围．(1)解： 化成顶点式为
∴顶点坐标为
故答案为： ．
(2)解：由题意知抛物线 的解析式为
将 代入解析式解得
∴ 不经过点 ．
(3)解：∵对称轴直线 在 中
∴最小的函数值
将 代入解析式得
将 代入解析式得
∵
∴函数值的取值范围为 ．
【点拨】本题考查了二次函数值顶点式，图像的平移，函数值的取值范围等知识．解
题的关键在于正确的表示出函数解析式．
