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专题 22.34 实际问题与二次函数（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
类型一：图形问题
1．已知，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，矩形PQNM的四个．顶点分别在菱形的四
边上，则矩形PMNQ的最大面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．小明以二次函数 的图象为灵感为某葡萄酒大赛设计了一款杯子，如图为杯
子的设计稿，若 ， ，则杯子的高CE为（ ）
A．12 B．11 C．6 D．3
3．如图，在长为20m、宽为14m的矩形花圃里建有等宽的十字形小径，若小径的宽不超过
1m，则花圃中的阴影部分的面积有（ ）
A．最小值247 B．最小值266 C．最大值247 D．最大值266类型二：图形运动问题
4．如图， 中， ， ， ，动点P沿折线 运动，
到点B停止，动点Q沿 运动到点C停止，点P运动速度为2cm/s，点Q的运动速度为
2.5cm/s，设运动时间为 ， 的面积为S，则S与 对应关系的的图象大致是
（ ）．
A． B． C． D．
5．如图1，在 中， ，已知点P在直角边AB上，以 的速度从点A
向点B运动，点Q在直角边BC上，以 的速度从点B向点C运动．若点P，Q同时出发，
当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处．图2是 的面积 与点P的运动时间 之
间的函数关系图像（点M为图像的最高点），根据相关信息，计算线段AC的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点P，Q从边长为2的等边三角形 的点B出发，分别沿着 ， 两边以
相同的速度在 的边上运动，当两点在 边上运动到重合时停止．在此过程中，设点P，Q
移动过程中各自的路程为x，所得 的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（ ）A． B．
C． D．
类型三：拱挢问题
7．如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到
水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（ ）
A．4 米 B．10米 C．4 米 D．12米
8．如图，某拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心
M处5米的地方，桥的高度是（ ）
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
9．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 时，水面宽 ．若水面再下降 ，水面宽度
为（ ） ．A． B． C． D．
类型四：销售问题
10．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为 和
，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得最大利润
为（ ）
A．45.51万元 B．45.56万元 C．45.6万元 D．45.606万元
11．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给
予优惠，即旅游团的人数每增加一人，每人的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业
额，则这个旅游团的人数是（ ）
A．55 B．56 C．57 D．58
12．某商品的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣x2+8x+9，且售价x的范
围是1≤x≤3，则最大利润是（ ）
A．16元 B．21元 C．24元 D．25元
类型五：掷球问题
13．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不
考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之
间的关系如表：下列结论不正确的是（ ）
t 0 1 2 3 4 5 6 7 …
2
h 0 8 14 18 20 18 14 …
0
A．足球距离地面的最大高度超过20m B．足球飞行路线的对称轴是直线
C．点（10，0）在该抛物线上 D．足球被踢出 时，距离地面的高度逐渐下降．
14．如图，一小球从斜坡 点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数 刻画，
斜坡可以用一次函数 刻画．则下列结论错误的是（ ）
A．当小球达到最高处时，它离斜坡的竖直距离是
B．当小球落在斜坡上时，它离 点的水平距离是
C．小球在运行过程中，它离斜坡的最大竖直距离是
D．该斜坡的坡度是 ：
15．把一个距离地面1米的小球竖直向上抛出，该小球距离地面的高度h（米）与所经过的
时间t（秒）之间的关系为 ，若存在两个不同的t的值，使足球离地面的高度均
为a（米），则a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
类型六：喷水问题
16．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水
头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离
池中心3m，水管的长为（ ）A． B． C． D．
17．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子 恰为水面中心，
安置在柱子顶端 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过
的任一平面上，建立平面直角 坐标系（如图），水流喷出的高度 与水平距离 之间
的关系式是 ，则下列结论错误的是（ ）
A．柱子 的高度为
B．喷出的水流距柱子 处达到最大高度
C．喷出的水流距水平面的最大高度是
D．水池的半径至少要 才能使喷出的水流不至于落在池外
18．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千，
拴绳子的地方距地面都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5
米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为（ ）
A．0.5米 B． 米 C． 米 D．0.85米
类型七：增长率问题19．某市为解决当地教育“大班额”问题，计划用三年时间完成对相关学校的扩建，
年市政府已投资 亿人民币，若每年投资的增长率相同，预计 年投资额达到 亿元人民币，
设每年投资的增长率为 ，则可得（ ）
A． B． C． D．
20．某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百
分数都是x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y＝x2+a B．y＝a(x－1)2 C．y＝a(1－x)2 D．y＝a(l+x)2
21．进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价，设平均每次降
价的百分率为 ，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x的函数关系为（ ）
A． B． C． D．
类型八：其他问题
22．一枚炮弹射出x秒后的高度为y米，且y与x之间的关系为y=ax2+bx+c（a≠0），若此炮
弹在第5秒与第7秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A．第5.1s B．第5.8s C．第5.9s D．第6.9s
23．汽车在刹车后，由于惯性作用还要继续向前滑行一段距离才能停下，我们称这段距离为
“刹车距离”，刹车距离往往跟行驶速度有关，在一个限速35km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车
相向而行，发现情况不妙，同时刹车，最后还是相撞了事发后，交警现场测得甲车的刹车距离略
超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s（m）与车速x
（km/h）的关系大致如下：S ，S ．由此可以推测（ ）
甲 乙
A．甲车超速 B．乙车超速
C．两车都超速 D．两车都未超速
24．某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲
数y（间）与定价x（元/间）之间满足y＝ x﹣42（x≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为
5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大
利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（ ）
A．252元/间 B．256元/间 C．258元/间 D．260元/间二、填空题
类型一：图形问题
25．如图，抛物线 的顶点为 ，与 轴交于点 ， 轴，与抛物线交于点
， 轴，与射线 交于点 ， ，则 _______．
26．一个横断面是抛物线的渡槽如图所示，根据图中所给的数据求出水面的宽度是____cm．
27．如图，正方形ABCD的顶点A，B与正方形EFGH的顶点G，H同在一段抛物线上，且
抛物线的顶点同时落在CD和y轴上，正方形边AB与EF同时落在x轴上，若正方形ABCD的边
长为4，则抛物线的解析式为____，正方形EFGH的边长为____．
类型二：图形运动问题
28．如图，矩形 中， ， ，点 从点 出发，沿 边向点 以
1cm/s的速度移动；点 从点 出发，沿 边向点 以2cm/s的速度移动． ， 同时出发，分别到 ， 后停止移动，则 的最小面积是______ ．
29．如图，在 中， ， mm， mm，动点 从点 开始沿边
向 以1mm/s的速度移动（不与点 重合），动点 从点 开始沿边 向 以2mm/s的速度移
动（不与点 重合）．如果 ， 分别从 ， 同时出发，那么经过_______________________秒，
四边形 的面积最小．
30．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC ，D是AB上的一个动点，连接
CD，将△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，连接DE，则△ADE面积的最大值等于
____________．
类型三：拱挢问题
31．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在正常水位的情况下，拱顶（拱桥洞的
最高点）离水面2m，水面宽4m．则当水位下降m=________时，水面宽为5m？32．如图，某拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段 上离中
心 处5米的地方，桥的高度是___________米．
33．某桥梁的桥洞可视为抛物线， ，最高点C距离水面4m，以AB所在直线为x
轴（向右为正向），若以A为原点建立坐标系时，该抛物线的表达式为 ，已知点
D为抛物线上一点，位于点C右侧且距离水面3m，若以点D为原点，以平C行于AB的直线为x
轴（向右为正向）建立坐标系时，该物线的表达式为___________．
类型四：销售问题
34．北仑梅山所产的草莓柔嫩多汁，芳香味美，深受消费者喜爱．有一草莓种植大户，每天
草莓的采摘量为300千克，当草莓的零售价为22元/千克时，刚好可以全部售完．经调查发现，
零售价每上涨1元，每天的销量就减少30千克，而剩余的草莓可由批发商以18元/千克的价格统
一收购走，则当草莓零售价为___元时，该种植户一天的销售收入最大．
35．某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出
500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克，则月销售利润y（单位：元）与售价x
（单位：元/千克）之间的函数解析式为_______________________
36．某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第x天与日销售量的相关信息如下表
所示．已知商品的进价为20元/件，设该商品的日销售利润为y元．
第x天 售价（元/件） 日销售量件（1）y与x的函数解析式为_______________；
（2）日销售的最大利润为_________元．
类型五：掷球问题
37．斜抛小球，小球触地后呈抛物线反弹，每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与
开口大小前后一致），第一次反弹后的最大高度为 ，第二次反弹后的最大高度为 ，第二次反
弹后，小球越过最高点落在垂直于地面的挡板C处，且离地高度 ，若
，则 为________．
38．为了在体育中考中取得更好的成绩，小豪积极训练，体育老师对小豪投掷实心球的录像
进行技术分析，如图，发现实心球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为
，由此可知小豪此次投掷的成绩是______m．
39．某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为 米，出手后铅球在空中运动的
高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为 ，当铅球运行至与出手高
度相等时，与出手点水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为________米．
类型六：喷水问题40．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从点A向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，
且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的
点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y （x﹣5）2＋
6
（1）雕塑高OA的值是____m；
（2）落水点C，D之间的距离是____m．
41．各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．
科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为 ，如果在离水面竖直
距离为h（单位： ）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程s（单位： ）与h
的关系式为 ，则射程s最大值是_______ ．（射程是指水流落地点离小孔的水平
距离）
42．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端 点安一个
喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 处达到最高，高度为 ，水柱落地
处离池中心距离为 ，则水管的长度 是________ ．类型七：增长率问题
43．农机厂第一个月水泵的产量为50（台），第三个月的产量y（台）与月平均增长率x之
间的关系表示为___________．
44．某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，
都为 ，六月份的营业额为 万元，那么 关于 的函数解式是______．
45．某工厂第一年的利润是20万元，第三年的利润是y万元，与平均年增长率x之间的函数
关系式是______________．
类型八：其他问题
46．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最
大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80
米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为______．
47．已知，二次函数 ，规定 ，若使 的正数x有且只有三个，则a
的取值范围是______．
48．如图，小球从长度为8m的斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加1m/s，则下
列说法：①小球每秒滚动1米；②由静止开始经过1秒，小球滚动了0.5米；③小球滚动到斜面底端时需要4秒；④小球滚动的距离S与经过的时间t的关系为 ；其中说法正确的是
__________．（填写序号）
三、解答题
49．在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴的交点为点 和点B．
(1)求抛物线的对称轴和点B的坐标；
(2)当a＝1， 时，求出y的取值范围；
(3)P是抛物线上的一点，若满足△PAB的面积为1的P点有4个，求a的取值范围．
50．如图，抛物线 与直线 交于点 和点C．
(1)求a和b的值；
(2)求点C的坐标，并结合图象写出不等式 的解集；
(3)点M是直线AB上的一个动点，将点M向右平移2个单位长度得到点N，若线段MN与抛
物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标 的取值范围．51．跳绳是一项很好的健身活动，如图是小明跳绳运动时的示意图，建立平面直角坐标系如
图所示，甩绳近似抛物线形状，脚底 、 相距20cm，头顶 离地175cm，相距60cm的双手 、
离地均为80cm．点 、 、 、 、 在同一平面内，脚离地面的高度忽略不计．小明调节
绳子，使跳动时绳子刚好经过脚底 、 两点，且甩绳形状始终保持不变．
(1)求经过脚底 、 时绳子所在抛物线的解析式．
(2)判断小明此次跳绳能否成功，并说明理由．
52．在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”．某商家决定将一个月获得的
利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两
种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，
）满足一次函数的关系，部分数据如下表：
x（元/件） 12 13 14 15 16y（件） 1200 1100 1000 900 800
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销售量固定为400件．
①当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润；
②若线下月利润与线上月利润的差不低于800元，直接写出x的取值范围．
53．小明将小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数 刻画，斜
坡可以用一次函数 刻画，如图建立直角坐标系，小球能达到的最高点的坐标 ．
(1)请求出b和n的值；
(2)小球在斜坡上的落点为M，求点M的坐标；
(3)点P是小球从起点到落点抛物线上的动点，连接 ，当点P的坐标为何值时？
的面积最大，最大面积是多少？
54．如图，从 m高的某建筑物窗口A用水管向外给公园草坪喷水，喷出的水呈抛物线状
（抛物线所在的平面与墙面垂直），已知喷出的水（抛物线）的最高点M离墙1m时最大高度为
8m，求水流落地点B离墙的距离OB．55．某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋
成本3元．试销期间发现每天的销售量 （袋 与销售单价 （元 之间满足一次函数关系，部分
数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5．另外每天还需支付其他各项费用80元．
销售单价 (元 3.5 5.5
销售量 (袋 280 120
（1）请求出 与 之间的函数关系式；
（2）设每天的利润为 元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少
元？
56．因为疫情，参加中考的学生进入考点需要检测体温，防疫部门为了了解学生进入考点进
行体温检测的情况，调查了某个考点上午考生进入考点的累计人数y（人）与时间x（分钟）的
变化情况，并绘制了如图所示图像．(1)研究发现9分钟内考生进入考点的累计人数是时间的二次函数，请求出9分钟内y与x之
间的函数关系式；
(2)如果考生一进考点就开始排队测量体温，体温监测点有2个，每个监测点每分钟检测20
人，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？
参考答案
1．D
【分析】
连接AC，BD，得到ΔABC为等边三角形，设AP＝a，AE＝CF a，从而求出EF=6-a，求出PQ= ,即可得出S与a的函数关系式,即可得到答案.
解：如图：
连接AC，BD交于点O，AC分别交PQ，MN于点E，F．
∵菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，∠ABD＝30°，
∴AC＝AB＝6．
∵矩形MNQP，
∴PQ∥BD，PM＝EF，PQ⊥AC．
∴∠APE＝∠ABD＝30°，
设AP＝a，AE＝CF a，
∴EF＝PM＝6﹣a．
由勾股定理得：PE ．
∴PQ＝2PE a．
∴S PMNQ＝PM•PQ a×（6﹣a） （﹣a2+6a）
矩形
（a﹣3）2+9 ．
∵ 0，
∴当a＝3时，矩形面积有最大值9 ．
故选：D．
【点拨】本题考查了菱形的性质，矩形的性质以及二次函数的性质，正确利用a表示出矩形
PMNQ的面积是关键．
2．A【分析】
首先由 求出D点的坐标为（1，6），然后根据AB=4，可知B点的横坐标为
x=3，代入抛物线方程，得到y=14，所以CD=14-6=8，又DE=4，所以可知杯子高度．
解：∵ ，
∴D点的坐标为(1,6)，抛物线的对称轴为x=1，
∵AB=4，
∴CB=CA=2，
∴B点的横坐标为：2+1=3，
代入B点横坐标即可求出B点的纵坐标，
∴当x=3时， ，
∴B点纵坐标为14，
∵D点的纵坐标为6，
∴CD=14-6=8，
∴CE=CD+DE=8+4=12，
则杯子的高度为12，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点D和点B的坐标是解决问题的关键．
3．A
【分析】
设小径的宽为xm，阴影部分的面积为ym2，根据面积可以列出y与x之间的函数关系式，再
根据二次函数的性质及x的取值范围即可解答．
解：设小径的宽为xm，阴影部分的面积为ym2
由题意得，y=(20−x)(14−x)=x2−34x+280=(x-17)2-9(00)
45．
【分析】
本题是关于增产率的问题，根据增产率可由第一年的利润得到第二年和第三年的利润．
解：设增产率为x，因为第一年的利润是20万元，所以第二年的利润是20（1+x），第三年
的利润是20（1+x）（1+x），即20（1+x）2，依题意得函数关系式：
y=20（1+x）2=20x2+40x+20 （x＞0）
故答案为y=20x2+40x+20 （x＞0）．
【点拨】根据增产率由第一年的利润可知第二年和第三年的利润，寻找等量关系准确列出函
数关系式．
46．40米
【分析】
以底部所在的直线为 轴，以线段 的垂直平分线所在的直线为 轴建立平面直角坐标系，
用待定系数法求得抛物线的解析式，则可知点 、 的横坐标，进而可得 的长．
解：如图，以底部所在的直线为 轴，以线段 的垂直平分线所在的直线为 轴建立平面
直角坐标系：
∴ ， ，
设抛物线的解析式为 ，将 代入，得： ，
解得： ，∴抛物线的解析式为 ，
将 代入得： ，
解得： ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：40米．
【点拨】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．解题的关键在于建立二次函数模型．体
现了数形结合的思想．
47．
【分析】
根据题意画出 ，由 的正数x有且只有三个的条件结合图进行判断a的取值范围．
解： 如图：
的顶点坐标为（1，-4）
当 之间时， 的正数x有且只有三个．
【点拨】本题主要考查二次函数的应用，正确画出 的图象是解题的关键．
48．②③④
【分析】
根据题意表示出平均速度，根据滚动距离 =平均速度乘以时间 得出关系式，解答即可．
解：∵速度每秒增加1m/s，
∴ 秒后小车的速度为 m/s，
平均速度为： m/s，∴小球滚动的距离S与经过的时间t的关系为： ，故④正确；
∴小球由静止开始第 秒滚动的距离为： 米，故①错误，②正确；
小球滚动到斜面底端： ，解得： （舍），故③正确，
故答案为：②③④．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，根据题意得出小球滚动的距离S与经过的时间t的关
系是解本题的关键．
49．(1) ， (2) (3) 或
【分析】
（1）根据 点的坐标代入函数可以得出系数关系式，根据对称轴公式可求出对称轴，再根
据对称性求出 点坐标；
（2）当 时，求出函数的解析式，结合函数的对称性，得出当 ， 随 的增大而
减小，当 ， 随 的增大而增大，即可求出范围；
（2）分开口朝上或朝下两种情况来讨论，找到要使得P是抛物线上的一点，若满足△PAB
的面积为1的P点有4个，则当P是抛物线上的顶点时，三角形的面积大于1即可求解．
(1)解： 抛物线 与 轴的交点为点 ，
，
即 ，
对称轴为直线 ，
点是函数图象与 轴的另一交点，
根据对称性可得， ；
(2)解： ，
当 时， ，
，
对称轴为直线 ，
当 ， 随 的增大而减小，
当 ， 随 的增大而增大，当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， 时，则 ；
(3)解：当 ，当 ，则 ，
，
，
即顶点坐标为： ，
要使得P是抛物线上的一点，若满足△PAB的面积为1的P点有4个，
则当P是抛物线上的顶点时，三角形的面积大于1，
，
即 ，
解得： ，
当 ，当 ，则 ，
，
，
即顶点坐标为： ，
要使得P是抛物线上的一点，若满足△PAB的面积为1的P点有4个，
则当P是抛物线上的顶点时，三角形的面积大于1，
，
即 ，
解得： ，
故a的取值范围为： 或 ．
【点拨】本题考查二次函数的综合应用，对称轴、难度较大，解题的关键是利用分类讨论的
思想进行求解．
50．(1)a的值为4，b的值为4(2)（1，3）； (3)0≤xM≤4且xM≠1
【分析】
（1）用待定系数法即可求解；（2）求出点B的坐标为(-1，3)，再观察函数图象即可求解；
（3）分类求解确定MN的位置，进而求解．
(1)解：∵抛物线 的图象过点A（4，0）
∴ 解得：
∵直线 的图象过点A（4，0）
∴ 解得：
答：a的值为4，b的值为4
(2)解：由（1）得，抛物线解析式为 ，一次函数解析式为
∴ 解得： 或 （舍去）
∴点C坐标为（1，3）
由图象得不等式 的解集为：
(3)解：∵抛物线 的对称轴是x=2，
∴当点M在点C时，M点（1，3）恰好与M点向右移动2个单位得到的N点（3，
3）对称，
此时线段MN与抛物线有两个交点，
∴ ，
当点M在线段AB上，且M不在C点时，
∵M，N的距离为2，而A、B的水平距离4，故此时线段MN与抛线只有一个公共点，
∴ ，且
当点M在点B的左侧时，线段MN与抛物线没有公共点；
当点M在点A的右侧时，线段MN与抛物线没有公共点；
综上所述， ，且
【点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、不等式的性质等，其中
（3）分类求解确定MN的位置是解题的关键．51．(1) (2)不成功，理由见分析
【分析】
（1）建立如图所示的坐标系：结合题意可得： 由双手 、 离地均为
80cm，可得C点坐标为： 再利用待定系数法求解解析式即可；
（2）由 可得跳绳不过头顶 ，从而可得答案．
(1)解：建立如图所示的坐标系：结合题意可得：
双手 、 离地均为80cm．
C点坐标为：
设抛物线为：
解得：
所以抛物线为
(2)解：
跳绳不过头顶 ，
小明此次跳绳能不成功．
【点拨】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意，建立合适的坐标系是解本题的关键．
52．(1)
(2)①当x为19时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润是7300元；
②12≤x≤20．
【分析】（1）根据线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函
数的关系和表格中的数据，利用待定系数法可以求得y与x的函数关系式；
（2）①根据题意和（1）中的函数关系式，可以得到利润和x的函数关系式，再利用二次函
数的性质，即可得到当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大，并求出此时的最大利润；
②根据题意，可以得到差价利润和x的函数关系式，然后根据二次函数的性质，即可得到x
的取值范围．
解：(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b，
由题意得： ，
解得 ，
即y与x的函数关系式是 ；
(2)①设总利润为w元，由题意得：
，
∵12≤x＜24，
∴当x=19时，w取得最大值，此时w=7300，
答：当x为19时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润是7300元；
②线下月利润与线上月利润的差为W元，由题意得：
令 ，即
解得：x=10，x=20，
1 2
∴当10≤x≤20时，W的值不小于800，
又∵12≤x＜24，
∴线下月利润与线上月利润的差不低于800元时，x的取值范围是12≤x≤20．
【点拨】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相
应的函数关系式，利用一次函数和二次函数的性质解答．
53．(1) (2)(3)当 时，点P的坐标为 时， 的面积最大，最大面积为
【分析】
（1）先由 在一次函数 上求出b，再由 在二次函数 求出n．
（2）联立两解析式，可求出交点M的坐标．
（3）根据点M的坐标求得直线OM的解析式，设 ，求得
， ，即可得到结论．
解：(1)由题意可知
解得：
(2)
解得 当 时为原点，舍去
将 代入 得 ∴点M的坐标为
(3)过P点做y轴的平行线，交线段 于Q．∵M的坐标为
∴直线OM的解析式为：
∴设
∵ ，抛物线开口向下，
∴当 时，点P的坐标为 时， 的面积最大，最大面积为 ．
【点拨】本题是二次函数的综合题型，考查了点在函数求点坐标、两函数交点、待定系数法
求一次函数等知识点，利用数形结合与方程思想是解本题的关键．
54．水流落地点B离墙距离OB为5米
【分析】
由题意可知M（1，8），A（0， ），且M为抛物线的顶点坐标，利用顶点式求出抛物线
的解析式，令y＝0即可求出OB的值；
解：令OB为x轴，OA为y轴，向上，向右为正方向，建立坐标系，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+8，
代入A（0， ）得 a+8，
a＝﹣0.5，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣0.5（x﹣1）2+8，
当y＝0时，0＝﹣0.5（x﹣1）2+8，
解得：x＝﹣3（舍去），x＝5，
1 2
∴OB＝5米，
答：水流落地点B离墙距离OB为5米．【点拨】本题考查了二次函数的实际应用；掌握二次函数的顶点式及性质是解题关键．
55．（1） 与 之间的函数关系式为 ；
（2）当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元．
【分析】
（1）根据每天的销售量 （袋 与销售单价 （元 之间满足一次函数关系，可设 ，
再将 ， ； ， 代入，利用待定系数法即可求解；
（2）根据每天的利润 每天每袋的利润 销售量 每天还需支付的其他费用，列出 关于
的函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解．
解：（1）设 ．
将 ， ； ， 代入，
得 ，解得 ．
则 与 之间的函数关系式为 ．
（2）由题意得：
．
∵3.5≤x≤5.5，
当 时， 有最大值为240．
故当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式，根据题意找出等量
关系列出关系式是解题的关键．
56．(1) (2)490人，20.25分钟
【分析】
( 1 ) 观察图像，可设y与x之间的关系式为： ，然后利用待定系数法求y与x之
间的函数解析式即可；
(2 )设第x分钟时的排队等待人数为W人，然后分两段求解，即9分钟内y与x的关系式为：，根据W=y-40x及y与x之间的函数解析式得出W关于x的二次函数，将其写成
顶点式，按照二次函数的性质分别求出最大值；9分钟之后的函数关系式为：y=810，根据
W=y-40x及y与x之间的函数解析式得出W关于x的一次函数，根据一次函数的性质求最大值，
最后比较这两个最大即可得出结论．
(1)解：由题意可设y与x之间的关系式为： ，
代入（4，560），（9，810）可得： ，
解得： ，
∴9分钟内y与x的关系式为： ；
(2)解：设第x分钟时的排队人数为W人，
由题意可得： ，
∴①当0≤x<9时， ，
∴当x＝7时，W的最大值为490；
②当x≥9时， ，
∵k=-40<0，W随x的增大而减小，
∴当x＝9时，W的最大值为450；
∵490>450，
∴排队人数最多时是490人，
要全部学生都完成体温检测，则 ，
解得：x＝20.25，
答：排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟．
【点拨】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，以及根据图像提供的信息解决问题，
解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式及二次函数和一次函数的性质．
