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专题 22.24 二次函数 最值（基础篇）
（专项练习）
一、单选题
1．二次函数 的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知二次函数的图象（ ）如图．关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列
说法正确的是（ ）
A．有最大值2，无最小值 B．有最大值2，有最小值1.5
C．有最大值2，有最小值 D．有最大值1.5，有最小值
3．已知抛物线 的开口向下，顶点坐标为 ，那么该抛物线有
（ ）
A．最小值－3 B．最大值－3 C．最小值2 D．最大值2
4．已知 ，那么函数 的最大值为( )
A．0 B． C．1 D．
5．在二次函数yx22x3中，当 时，y的最大值和最小值分别是（ ）
A．0，4 B．0，3 C．3，4 D．0，0
6．图中是有相同最小值的两条抛物线，则下列关系中正确的是（ ）
A．k＜n B．h=m C．k+n=0 D．h＜0，m＞0
7．某商场降价销售一批名牌衬衫,已知所获利润y(元)与降价x(元)之间的关系是y=-2x2+60x+800,则利润获得最多为( )
A．15元 B．400元 C．800元 D．1250元
8．已知二次函数 ，当 时，y的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知 二次函数（其中 是自变量），当 时， 随 的增大而减
小，且 时， 的最大值为9，则 的值为( )
A．2或 B． C． D．1
10．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是
，汽车刹车后到停下来所用的时间t是（ ）
A．2.5s B．1.5s C．1.25s D．不能确定
11．已知抛物线y＝x2+（2a﹣1）x﹣3，当﹣1≤x≤3时，函数最大值为1，则a值为（ ）
A． B． C． 或 D．﹣1或
12．关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x，x，若x＝2x，则4b﹣3ac的最大值
1 2 2 1
是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
二、填空题
13．已知二次函数 ，当x＝_______时，y取得最小值．
14．已知抛物线 上任意一点 ，则 的最大值为______．
15．若二次函数y＝x2﹣4x+2m的最小值是0，则m＝_____．
16．当 时，二次函数 有最大值 ，则 的值为__．
17．已知抛物线 ，当 时， 的取值范围是______________
18．已知点P(2，3)、Q(6，1)，点A(m，n)为线段PQ上的一个动点．在点A从点Q运动至
点P的过程中，当mn取最大值时，则点A的坐标为_______．19．若 ，且 ，则 的取值范围为______．
20．已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，
且−2≤x≤1时，y的最大值为21，则a的值为________．
21．已知二次函数 的最大值为 ，且对称轴在 轴的左侧，则实数m的
值为_________．
22．二次函数y＝x2﹣2mx+2m+3的顶点纵坐标为p，当m≥2时，p的最大值为 _____．
23．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，若四边
形EFGH是矩形，且其周长是20，则四边形ABCD的面积的最大值是___．
24．如图，点A是抛物线y＝2x2﹣3x+2上的动点．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角
线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为________．
三、解答题
25．已知：二次函数 ．
(1)将 化成 的形式．
(2)求出该二次函数图象的对称轴、顶点坐标、最大或最小值．26．2021年12月5日，镇海区爆发新冠疫情，广大居民捐资捐物，经过全区人民的共同努
力，镇海区用两周的时间解除了疫情．某商店也将商品两周的盈利捐出用于购买抗疫物资．经市
场调查发现，该商品的周销售量y（件）关于售价x（元/件）的一次函数为y＝﹣2x+200，当售价
为40元时，周销售利润为2400元．
(1)该商品每件的进价是多少元？
(2)当每件售价x为多少时，周售价利润w最大？并求出此时的最大利润．
27．如图，已知抛物线 与一直线相交于 ， 两点，与y轴交于点
N．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)求直线AC的函数关系式；
(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点．求 面积的最大值．参考答案
1．B
【分析】
把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后写出最小值即可．
解： ，
∴当x=−1时，二次函数 取得最小值为2．
故选：B．
【点拨】此题考查二次函数的最值，解题关键在于化为顶点式．
2．C
【分析】
直接根据函数的图象顶点坐标及最低点求出该函数在所给自变量的取值范围内的最大及最小
值即可．
解：由函数图象可知，此函数的顶点坐标为（1，2），
∵此抛物线开口向下，
∴此函数有最大值，最大值为2；
∵0≤x≤3.4，
∴当x=3.4时，函数最小值为-2．
故选：C．
【点拨】本题考查的是二次函数的最值及二次函数的图象，解答此题时要注意应用数形结合
的思想求解．
3．D
【分析】
根据抛物线开口向下和其顶点坐标为 ，可直接做出判断．
解：∵抛物线开口向下，其顶点坐标为 ，
∴该抛物线有最大值2，故选：D．
【点拨】本题考查了求二次函数最大值的方法，解答本题的关键是熟练掌握求二次函数最大
值的3种方法，分别为：第一种可由图像直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
4．C
【分析】
将二次函数化为顶点式得出其增减性即可得．
解：
则此二次函数的增减性为：当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x
的增大而减小
因此，当 时，y取得最大值，最大值为1
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的性质（增减性），依据二次函数的解析式得出其增减性是解
题关键．
5．A
【分析】
首先求得抛物线的对称轴，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，在距对称轴最远处取得
最大值．
解：∵ ，
∴抛物线的对称轴是 ，
则当 时， ，是最小值；
当 时， 是最大值．
故选：A．
【点拨】本题考查二次函数的图象和性质，正确理解取得最大值和最小值的条件是关键．
6．D
【分析】
根据顶点的位置确定正确的选项即可．
解：∵两条抛物线具有相同的最小值，
∴k=n，
∵顶点分别位于三和四象限，∴h＜0，m＞0，
故选：D．
【点拨】本题考查的知识点是二次函数的最值，掌握二次函数的图像及其性质是解此题的关
键．
7．D
【分析】
将函数关系式转化为顶点式，然后利用开口方向和顶点坐标即可求出最多的利润.
解：y=-2x2+60x+800=-2（x-15）2+1250
∵-2＜0
故当x=15时，y有最大值，最大值为1250
即利润获得最多为1250元
故选:D.
【点拨】此题考查的是利用二次函数求最值，掌握将二次函数的一般式转化为顶点式求最值
是解决此题的关键.
8．D
【分析】
先求出二次函数的对称轴为直线 ，然后根据x的取值范围求出y的最大值和最小值，即
可得出y的取值范围．
解：∵ ，
∴二次函数的对称轴为直线x=1，
∵ ，
∴当 时，函数取最大值，且最大值为 ，
∵在 的范围内， 时，距离对称轴最远，
∴ 时，函数取最小值，且最小值为：
，
∴y的取值范围是： ，故D正确．
故选：D．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质，根据二次函数的性质求出函数的最大值5，最小
值-3，是解题的关键．9．C
【分析】
根据题目中的函数解析式可以求得该函数的对称轴，然后根据当x≥2时，y随x的增大而减
小，且-2≤x≤1时，y的最大值为9，可以判断a的正负，得到关于a的方程，从而可以求得a的值．
解：∵二次函数y=ax2+2ax+2a2+3=a（x+1）2+2a2-a+3，
∴该函数的对称轴为直线x=﹣1，
∵当x≥2时，y随x的增大而减小，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，
∴a＜0，当x=﹣1时，y=9，
∴9=2a2-a+3，
解得，a=﹣ ，a=2（舍去），
1 2
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二
次函数的性质解答．
10．C
【分析】
根据题干可知，汽车刹车后停下来的那一刻行驶距离s达到最大，所以求s最大时所用的时
间即为汽车刹车后停下来的时间．
解： 函数解析式是
当汽车刹车后到停下的那一刻时，s最大
当 时，即 s时，汽车刹车后停下来．
故选：C．
【点拨】本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键．
11．D
【分析】
根据顶点的位置分两种情况讨论即可．
解： ，
图象开口向上，对称轴为直线 ，∵﹣1≤x≤3，
∴当 时，即 ， 时有最大值1，
，
，
当 时，即 ， 时有最大值1，
，
，
或 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数性质以及二次函数的最值，分类讨论是解题的关键．
12．D
【分析】
根据根与系数的关系得出x+x=- ，由x=2x 得出3x=- ，即x=- ，可解出x，由两根
1 2 2 1 1 1 2
之积xx= 可得c= ，代入代数式即可得到4b-3ac==4b- =- （b-3）2+6，从而求得4b-3ac
1 2
的最大值是6．
解：∵关于x的方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根x、x，
1 2
∴x+x=- ，xx= ，
1 2 1 2
∵x=2x，
2 1
∴3x=- ，即x=- ，
1 1
∴x=- ，
2
∴ = = ，
∴9ac=2b2，∴c=
∴4b-3ac=4b-3a•
=4b- =- （b-3）2+6，
∵- ＜0，
∴4b-3ac的最大值是6，
故选：D．
【点拨】此题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是根据两根之和和两根之积，找到
a、b、c之间的关系，再代入所求的式子运用配方法配方求出最大值．
13．1
【分析】
根据抛物线的顶点坐标和开口方向即可得出答案．
解： ，
该抛物线的顶点坐标为 ，且开口方向向上，
当 时， 取得最小值，
故答案为：1．
【点拨】本题考查二次函数的最值，求二次函数最大值或最小值有三种方法：第一种可有图
象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
14．2
【分析】
把点 代入抛物线的解析式，得到 ，可得 ，得到 关
于 的二次函数解析式，然后整理成顶点式形式，再根据二次函数的最值问题解答．
解： 点 在抛物线 上，
，
，当 时， 有最大值2．
故答案为：2．
【点拨】本题考查了二次函数的最值问题，整理成用 表示 的形式是解题的关键．
15．2
【分析】
首先将二次函数y＝x2﹣4x+2m配方成顶点式 ，然后得到 ，解
方程即可求出m的值．
解： ∵将二次函数y＝x2﹣4x+2m配方成顶点式为 ，
∵最小值是0，
∴ ，解得： ．
故答案为：2．
【点拨】此题考查了二次函数的最值，解题的关键是把二次函数y＝x2﹣4x+2m配方成顶点
式 得到最小值．
16．6
【分析】
现将二次函数解析式化为顶点式，从而得到当 时， 随 的增大而减小，当 时，
随 的增大而增大，即可求解．
解： ，
抛物线的对称轴为：直线 ，
，
当 时， 随 的增大而减小，当 时， 随 的增大而增大，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 的值为6
故答案为：6．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，能将二次函数的解析式化为顶点式是解题
的关键．17．1≤y＜9
【分析】
根据二次函数的图象和性质求出抛物线在 上的最大值和最小值即可．
解：
∴抛物线开口向上
∴当 时，y有最小值，最小值为1
当 时，y有最大值，最小值为
∴当 时， 的取值范围是
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查二次函数在一定范围内的最大值和最小值，掌握二次函数的图象和性
质是解题的关键．
18．(4，2)
【分析】
先求得直线PQ的解析式，得到n=- m+4，推出 ，再利用二次函数的性
质即可求解．
解：设直线PQ的解析式为y=kx+b，
代入P(2，3)、O(6，1)，得 ，
解得： ，
∴直线PQ的解析式为y=- x+4，
∵点A(m，n)为线段PQ上的一个动点．
∴n=- m+4，
∴ ，
∵- <0，
∴当m=4时，mn有最大值，最大值为8，∴n=- ×4+4=2，
∴点A的坐标为(4，2)，
故答案为：(4，2)．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，利用二次函数的性
质是解题的关键．
19．
【分析】
将等式化为二次函数解析式的形式，再根据二次函数的性质求y的取值范围即可；
解： ，
，
二次函数的对称轴为x=1，开口向上，
当 时，函数在x=1时取得最小值-4，
函数在x=3时取得最大值0，
∴ ，
故答案为： ；
【点拨】本题考查了二次函数的最值，掌握二次函数的图象性质是解题关键．
20．2
【分析】
先将题目中的函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴，再根据当x≥2时，y随x
的增大而增大，即可得到a的正负情况，最后根据当-2≤x≤1时，y的最大值为21和二次函数的性
质，可以求得a的值．
解：∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3=a（x+1）2+3a2-a+3（其中x是自变量），
∴该函数的对称轴为直线x=-1，
∵当x≥2时，y随x的增大而增大，
∴a＞0，
又∵当-2≤x≤1时，y的最大值为21，
∴x=1时，y=21，
即21=a（1+1）2+3a2-a+3，
解得，a=-3（舍去），a=2，
1 2由上可得，a的值是2，
故答案为：2．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二
次函数的性质解答．
21．
【分析】
先由顶点式的最大值=4得到m的值，再根据对称轴在y轴的左侧进行排除即可得到正确的结
果．
解：∵ 的最大值是4，
∴ =4，
解得：m= ，，
又∵二次函数的对称轴在y轴的左侧，
∴m＜0，
∴m= ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查二次函数的顶点式和对称轴．熟记顶点式和二次函数的对称轴公式是解决
本题的关键．
22．3
【分析】
先将二次函数的解析式化成顶点式，从而可得其顶点纵坐标 的值，再利用二次函数的性质
求最值即可得．
解：二次函数 ，
其顶点纵坐标 ，
由二次函数的性质可知，当 时， 随 的增大而减小，
则当 时， 取得最大值，最大值为 ，故答案为：3．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
23．50
【分析】
连接AC、BD，交于O点，根据三角形中位线性质得出EF∥AC，EH∥BG，由四边形EFGH
是矩形，即可得到AC⊥BD，进而即可得出四边形ABCD的面积S＝ AC•BD，设EH的长为x，
则相邻的边EF为（10﹣x），从而得到S＝ ×2x•2（10﹣x）＝﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50，根
据二次函数的性质即可求得结论．
解：连接AC、BD，交于O点，
∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴2EF＝AC，2EH＝BD，EF∥AC，EH∥BD，
∵四边形EFGH是矩形，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积S＝ AC•BD，
∵四边形EFGH的周长为20，
设EH的长为x，则相邻的边EF为（10﹣x），
∴BD＝2x，AC＝2（10﹣x），
∴S＝ ×2x•2（10﹣x）＝﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50，
∴四边形ABCD的面积的最大值是50．
故答案为：50．
【点拨】此题考查了三角形中位线的性质，四边形面积的求法，二次函数的最值等知识，解
题的关键是熟根据题意设出未知数表示出四边形ABCD的面积．24． ##
【分析】
先利用配方法得到抛物线的顶点坐标，再根据矩形的性质得BD=AC，由于AC的长等于点A
的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，从而得到BD的最小值．
解：∵ ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD=AC， 而AC⊥x轴，
∴AC的长等于点A的纵坐标，
当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为 ，
∴对角线BD的最小值为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，解题时注意：二次函数
图象上点的坐标满足其解析式．
25．(1) (2)对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，最小值为
【分析】
（1）用配方法将二次函数解析式配成顶点式即可；
（2）根据顶点式的解析式写出对称轴、顶点坐标、最小值．
(1)解：
．
(2)解：由（1）知，该抛物线的对称轴为：直线x=2，顶点坐标为（2，－1），抛物线开口
朝上，有最小值，最小值为－1．
【点拨】本题考查了二次函数一般式与顶点式的转化，利用顶点式求对称轴、顶点坐标、最值等知识点．利用配方法求出顶点式是解题关键．
26．(1)每件商品的进价20元；(2)当每件售价为60元时，周售价利润w最大，最大利润是
3200元
【分析】
（1）把x＝40代入求出销售量，再根据利润2400元可得每件利润，售价减利润即为进价；
（2）根据“总利润＝每件商品的利润×销售量”列出函数关系式，再根据二次函数的性质可
得答案；
(1)解：把x＝40代入y＝﹣2x+200可得周销售量y＝120，
∴每件利润为：2400÷120＝20（元），
∵售价为40（元），
∴每件商品的进价为：40-20=20元；
(2)解：设利润为w元，则
w＝（x﹣20）（﹣2x+200）＝﹣2（x﹣60）2+3200，
∵﹣2＜0，二次函数开口向下，
∴当x＝60时，w最大为3200，
答：当每件售价为60元时，周售价利润w最大，最大利润是3200元．
【点拨】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
27．(1)y＝−x2−2x＋3(2)y＝−x＋1(3)
【分析】
（1）用待定系数法即可求解；
（2）利用待定系数法确定直线解析式；
（3）根据（2）的结论，设Q（x，−x＋1），则P（x，−x2−2x＋3），过点 作 轴，
交 于点 ，根据三角形面积公式求解即可．
(1)解：由抛物线y＝−x2＋bx＋c过点A（1，0），C（−2，3），得
，
解得 ，
故抛物线为y＝−x2−2x＋3；(2)设直线为y＝kx＋n过点A（1，0），C（−2，3），则
，
解得 ，
故直线AC为y＝−x＋1；
(3)如图，过点 作 轴，交 于点 ，
∵直线AC为y＝−x＋1；
设Q（x，−x＋1），则P（x，−x2−2x＋3），
∴PQ＝（−x2−2x＋3）−（−x＋1）＝−x2−x＋2，
∴S APC＝
△
＝
＝ ，
∴△APC面积的最大值为
【点拨】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利
用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出
线段之间的关系．
