文档内容
专题 22.26 二次函数“将军饮马”问题（基础篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，直线y x+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于
点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（
）
A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6
2．已知抛物线 具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x
轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线 上一动点，则△PMF周长的最小
值是（ ）
A．5 B．9 C．11 D．13
3．如图，在抛物线 上有 ， 两点，其横坐标分别为1，2；在 轴上有一动点 ，
当 最小时，则点 的坐标是（ ）A．（0.0） B．（0， ） C．（0，2） D．（0， ）
4．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+2交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．
下列说法：其中正确判断的序号是（ ）
①抛物线与直线y＝3有且只有一个交点；
②若点M（﹣2,y），N（1,y），P（2,y）在该函数图象上，则y＜y＜y；
1 2 3 1 2 3
③将该抛物线先向左，再向下均平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝（x+1）2+1；
④在x轴上找一点D，使AD+BD的和最小，则最小值为 ．
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 的对称轴为 ，且经过点A
（2，1），点 是抛物线上的动点， 的横坐标为 ，过点 作 轴，垂足为 ，
交 于点 ，点 关于直线 的对称点为 ，连接 ， ，过点A作AE⊥x轴，垂足为
E，则当 （ ）时， 的周长最小.A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴分别于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴正半轴于
点D，抛物线顶点为C．下列结论
①2a﹣b＝0；
②a+b+c＝0；
③当m≠﹣1时，a﹣b＞am2+bm；
④当 ABC是等腰直角三角形时，a＝ ；
△
⑤若D（0，3），则抛物线的对称轴直线x＝﹣1上的动点P与B、D两点围成的 PBD周长
△
最小值为3 ，其中，正确的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂
足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为( )
A．10 B．8 C．7.5 D．5
8．如图，已知抛物线y＝－x2＋px＋q的对称轴为x＝﹣3，过其顶点M的一条直线y＝kx＋b
与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则
点P的坐标为（ ）A．（0，2） B．（ ，0）
C．（0，2）或（ ，0） D．以上都不正确
9．抛物线 与直线 交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P
从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若
使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．如图，抛物线 与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y
轴交于C，在其对称轴上有一动点M，连接MA、MC、AC，则当△MAC的周长最小时，点M的
坐标是_____．
11．若抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，
抛物线顶点为点B．①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；
②若点M（﹣2，y）、点N（ ，y）、点P（2，y）在该函数图象上，则y＜y＜y；
1 2 3 1 2 3
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为y＝﹣
（x+1）2+m；
④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形
BCDE周长的最小值为 ．
其中正确的是 ___．（填序号）
12．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x＋2上运动．过点A作AC⊥x轴
于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为_____．
13．如图，抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在B的左侧），点C为抛
物线上任意一点（不与A，B重合）， 为 的 边上的高线，抛物线顶点 与点 的最
小距离为1，则抛物线解析式为______．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线AC：y＝ x+8与x轴交于点A，与y轴交于点C，
抛物线y＝ax2+bx+c过点A，C，且与x轴的另一交点为B，又点P是抛物线的对称轴l上一动点．若 PAC周长的最小值为10+2 ，则抛物线的解析式为_____．
△
15．如图，抛物线y＝﹣ x2+ x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），交y轴于点
C，点P为抛物线对称轴上一点．则 APC的周长最小值是_____．
△
16．已知抛物线yx22x3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，P是抛物线对称轴l
上的一个动点，则PAPC的最小值是__________．
17．已知二次函数y= x2+bx的图象过点A(4，0)，设点C(1，-3)，在抛物线的对称轴上求一
点P，使|PA-PC|的值最大，则点P的坐标为____________。
18．点 是抛物线 的图象上一点，过 向 轴作垂线，垂足为点 ，当点 在
第一象限抛物线上运动的过程中， 的值最大时，点 的坐标________．
19．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的
最小值为_____．
20．已知二次函数y=-x2-2x+3的图象与x轴分别交于A、B两点（如图所示），与y轴交于
点C，点P是其对称轴上一动点，当PB+PC取得最小值时，点P的坐标为__________．
21．如图，已知点A（1，1）、B（3，2），且P为x轴上一动点，则△ABP的周长的最小
值为_______．
三、解答题
22．如图，抛物线 经过点 ，与 轴交于点 过点 且平行于 轴的直
线交抛物线于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求 的面积；
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得 的周长最小？若存在，求出 点的坐
标；若不存在，请说明理由．23．如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求点A，点B和点C的坐标；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标．
24．如图，二次函数y=-x2+2x+3的图象过点A(−1，0)、点B(0，3)．
（1）该二次函数的顶点是 ；
（2）点C为点B关于抛物线对称轴的对称点，直线y=mx+n经过A、C两点，满足
ax2+bx+c>mx+n的x的取值范围是 ．
（3）在对称轴上找一点M，使 取得最大值，求出此时M的坐标．25．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0），B（1，0）两点，其顶点为D，对称
轴是直线l，l与x轴交于点H．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值．
26．如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称
轴上的一个动点，如果 PAC的周长最小，求点P的坐标．
△27．如图，抛物线 与直线 分别相交于 、 两点，其中点 在 轴
上，且此抛物线与 轴的一个交点为 ．
（1）求抛物线的解析式
（2）在抛物线对称轴 上找一点 ，使 的周长最小，请求出这个周长的最小值．参考答案
1．C
【分析】
C点关于对称轴对称的点C'，过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点
F，则C'F即为所求最短距离．
解：∵y=x2+2x﹣2的对称轴为 ，C(0，﹣2)，
∴C点关于对称轴对称的点C'(﹣2，﹣2)，
过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，
∴CE=C'E，
则C'F=CE+EF=C'E+EF是CE+EF的最小值；∵直线y x+3，
设直线C'F的解析式为 ，
将C'(﹣2，﹣2)代入得： ，
解得： ，
∴C'F的解析式为y x ，
解方程组 ，
得： ，
∴F( ， )，
∴C'F ．
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；利用点的对称性，点到直线的垂线段
最短，确定最短距离为线段C'F的长是解题的关键．
2．C
【分析】
如图所示过点P作PE⊥x轴于点E，由抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的
距离相等，得到PE=PF，则△PMF的周长=FM+PM+PF，则要使△PMF周长最小，则PM+PF最
小，即PM+PE最小，故当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME，由此求解即可．
解：如图所示过点P作PE⊥x轴于点E，
∵抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，
∴PE=PF，
∴△PMF的周长=FM+PM+PF，∴要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小，
∴当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME，
∵M坐标为（3，6），
∴ME=6，
∴PF+PM=6
∵F（0，2），
∴
∴△PMF周长的最小值=ME+FM=6+5=11，
故选C．
【点拨】本题主要考查了二次函数的最短路径问题，两点距离公式，解题的关键在于能够准
确读懂题意得到PE=PF．
3．D
解：如图，点A关于y轴的对称点A′的横坐标为﹣1，
连接A′B与y轴相交于点C，点C即为使AC+BC最短的点，
当x＝﹣1时，y＝﹣1，
当x＝2时，y＝﹣4，
所以，点A′（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），
设直线A′B为
当x=0时，y=-2
即C（0，-2）
故选D【点拨】本题考查了轴对称确定最短路线问题，二次函数的性质，熟记确定出最短路径的方
法和二次函数的对称性确定出点C的位置是解题的关键．
4．C
【分析】
根据抛物线的性质和平移，以及一动点到两定点距离之和最小问题的处理方法，对选项进行
逐一分析即可.
解：①抛物线的顶点 ，则抛物线与直线y＝3有且只有一个交点，正确，符合题意；
②抛物线x轴的一个交点在2和3之间，
则抛物线与x轴的另外一个交点坐标在x＝0或x＝﹣1之间，
则点N是抛物线的顶点为最大，点P在x轴上方，点M在x轴的下放，
故y＜y＜y，故错误，不符合题意；
1 3 2
③y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x+1）2+3，将该抛物线先向左，再向下均平移2个单位，
所得抛物线解析式为y＝（x+1）2+1，正确，符合题意；
④点A关于x轴的对称点 ，连接A′B交x轴于点D，
则点D为所求，距离最小值为BD′＝ ＝ ，
正确，符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查抛物线的性质、平移和距离的最值问题，其中一动点到两定点距离之和最
小问题比较巧妙，属综合中档题.
5．A
【分析】
因为O与D关于直线PB的对称，所以PB垂直平分OD，则CO=CD，因为，△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CO+AD=AO+AD，AO= ，所以当AD最小时，△ACD
的周长最小；根据垂线段最短，可知此时点D与E重合，其横坐标为2，故m=1．
解：∵O与D关于直线PB的对称，
∴PB垂直平分OD，
∴CO=CD，
∵△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CO+AD=AO+AD，AO= ，
∴当AD最小时，△ACD的周长最小；
∴此时点D与E重合，其横坐标为2，故m=1．
故选A.
【点拨】此题考查中心对称，垂直平分线的性质，垂线的性质，解题关键在于掌握运算法则.
6．D
【分析】
把A、B两点坐标代入抛物线的解析式并整理即可判断①②；
根据抛物线的顶点和最值即可判断③；
求出当△ABC是等腰直角三角形时点C的坐标，进而可求得此时a的值，于是可判断④；
根据利用对称性求线段和的最小值的方法（将军饮马问题）求解即可判断⑤.
解：把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+c得到 ，消去c得到2a﹣b＝
0，故①②正确；
∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，开口向下，∴x＝﹣1时，y有最大值，最大值＝a﹣
b+c，
∵m≠﹣1，∴a﹣b+c＞am2+bm+c，∴a﹣b＞am2+bm，故③正确；
当△ABC是等腰直角三角形时，C（﹣1，2），
可设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+2，把（1，0）代入解得a＝﹣ ，故④正确，
如图，连接AD交抛物线的对称轴于P，连接PB，则此时△BDP的周长最小，最小值＝
PD+PB+BD＝PD+PA+BD＝AD+BD，
∵AD＝ ＝3 ，BD＝ ＝ ，∴△PBD周长最小值为3 ，故⑤正确．
故选D．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的图象与其系数的关系、待定系数法
求二次函数的解析式和求三角形周长最小值的问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关
键.
7．A
【分析】
写出周长的解析式，用配方法表示顶点式，即可得出周长的最大值.
解：设P(x，x2﹣x﹣4)，
四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2(x2﹣x﹣4)+2x＝﹣2x2+4x+8＝﹣2(x﹣1)2+10，
当x＝1时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为10.
故选A．
【点拨】考核知识点：二次函数的最值运用.用配方法表示出顶点式，得出周长的最大值是
解题的关键.
8．A
【分析】
抛物线y＝－x2＋px＋q的对称轴为x＝﹣3，可求得p=－6， 抛物线y＝－x2＋px＋q过点N
（﹣1，1），可以求得：q=﹣4，得到抛物线解析式为：y＝－x2－6x﹣4，点M（﹣3,5），直线y
＝kx＋b过M，N两点，其解析式为：y＝﹣2x＋3，作点A使得A与N关于y轴对称，连接MA，
与y轴交于点P，易得P（0，2），作点B使得B与N关于x轴对称，连接MB，与x轴交于点
Q，易得Q（ ），MA0，
∴EF=4a．
∵DE=1，
∴4a-2=1
解得：a= ．
∴抛物线解析式为
即故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数的综合题，结图象求最值问题，利用好数形结合找出最小值的
点是解题的关键．
14．y＝﹣ +8
【分析】
设 ，由一次函数的解析式求出 、 点的坐标，连接 与对称轴交于点 ，推理说
明 在 位置是 的周长最小为 ，从而得到 的方程求得 ，再用待定系数求得抛
物线的解析式便得．
解：由题意直线AC与x轴的交点为A，
∴当y＝0，则x＝﹣6，
∴点A（﹣6，0）．
同理点C（0，8），
设B（m，0），
连接BC与对称轴l交于点P'，如图所示．
则AP'＝BP'．
当P点位于P'点时，△PAC的周长＝AC+CP'+AP'＝AC+CP'+BP'＝AC+BC，此时周长最
小，
周长的最小值为 ，
，
，
解得m＝10或m＝﹣10（不符舍去），
则点B（10，0），
把A（﹣6，0），b（10，0），C（0，8）代入y＝ax2+bx+c中，得，
抛物线的解析式为 ．
故答案为：y＝﹣ +8．
【点拨】本题是二次函数的综合应用，主要考查了求一次函数的图象与坐标轴的交点，待定
系数法，轴对称的性质，勾股定理，两点之间线段最短，关键由三角形周长的最小值列出 的方
程．
15． +5
【分析】
先连接AP、AC、BC，根据两点之间，线段最短得到△APC周长最小=BC+AC，根据二次函
数解析式，求出A、B、C三点坐标，用勾股定理求出BC、AC即可.
解：如图，连接AP、AC、BC，
由线段垂直平分线性质，得AP＝BP，
∴ APC周长=AP+PC+AC=BP+PC+AC,
∴△当BC与对称轴交点则为点P时，
APC周长=BP+PC+AC=BC+AC最小，
△
抛物线y＝- x2+ x+3中，令y＝0，解得x＝4或x＝-2；令x＝0，解得y＝3，
∴A（-2，0），B（4，0），C（0，3），∴OA＝2，OB＝4，OC＝3，
在Rt AOC中，有AC＝ ＝ ，
△
在Rt BOC中，有BC＝ ＝5，
△
∴△APC的周长的最小值为： +5，
故答案为 +5．
【点拨】本题是二次函数动点问题中的最短路径问题，用对称解决最短路径问题是解题的关
键.
16．
【分析】
点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接CB交抛物线对称轴于点P，则点P 为所求，
而 的最小值就是BC．
解： ，
令 ，解得： 或3，令 ，则 ，
故点 、 、 的坐标分别为： 、 、 ，函数的对称轴为： ，
点 关于抛物线对称轴的对称点为点 ，连接 交函数对称轴于点 ，点 为所求，
则 的最小值 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是轴对称最短路径问题以及求函数图象与坐标轴的交点，正确确定出P
点的位置是解题的关键．
17．（2，-6）【分析】
先把A（4，0）代入y= x2+bx，求出b的值，得到二次函数解析式，再根据抛物线的对称
性求出二次函数y= x2-2x与x轴的另一交点是O（0，0），由A、O关于对称轴对称，则可知
PA=PO，则当P、O、C三点在一条线上时满足|PA-PC|最大，利用待定系数法可求得直线OC解
析式，则可求得P点坐标．
解：∵二次函数y= x2+bx的图象过点A（4，0），
∴0= ×42+4b，解得b=-2，
∴y= x2-2x，
∴对称轴为x= =2，
∵二次函数y= x2-2x与x轴交于点A（4，0），
∴它与x轴的另一交点是O（0，0），
∵P在对称轴上，
∴PA=PO，
∴|PA-PC|=|PO-PC|≤OC，即当P、O、C三点在一条线上时|PA-PC|的值最大，
设直线OC解析式为y=kx，
∴k=-3，
∴直线OC解析式为y=-3x，
令x=2，可得y=-3×2=-6，
∴存在满足条件的点P，其坐标为（2，-6）．
故答案为（2，-6）．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数的解析式，轴对称的性质等知识．
求出二次函数y= x2-2x与x轴的另一交点是O（0，0），得出P、O、C三点共线时|PA-PC|的值
最大是解题的关键．18．
【分析】
设Q（x，0），则P（x， ），即可得出OQ=x，PQ= ，得出OQ+PQ=
= ，即可得出x=3时，OQ+PQ有最大值，把x=3代入抛物线的解析式，
即可求得P点的坐标．
解：设Q（x，0），则P（x， ），
∵点P在第一象限抛物线上，
∴OQ=x，PQ= ，
∴OQ+PQ= = ，
∴a= ＜0，
∴当x=3时，OQ+PQ有最大值，
把x=3代入y= ；
∴OQ+PQ的值最大时，点P的坐标是：（3，9），
故答案为：（3，9）．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关
键．
19． +
【分析】
根据抛物线解析式求得点D（1，4）、点E（2，3），作点D关于y轴的对称点D′（-1，
4）、作点E关于x轴的对称点E′（2，-3），从而得四边形EDFG的周长
=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′，当点D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据两点
间的距离公式可得答案．
解：如图，在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，即点C（0，3），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴为x＝1，顶点D（1，4），
则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，3），
作点D关于y轴的对称点D′（﹣1，4），作点E关于x轴的对称点E′（2，﹣3），
连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的
点，
四边形EDFG的周长＝DE+DF+FG+GE
＝DE+D′F+FG+GE′
＝DE+D′E′
＝ .
∴四边形EDFG的周长的最小值为： + ．
故答案是： + ．
【点拨】本题主要考查抛物线与x轴的交点、轴对称-最短路线问题，根据轴对称的性质得出
点F、G的位置是解题的关键．
20．（-1，2）．
解：试题解析：连接AC．
在y=-x2-2x+3中，令y=0，则-x2-2x+3=0，解得：x=-3或1．
则A的坐标是（-3，0），B的坐标是（1，0），
则对称轴是x=-1．
令x=0，解得y=3，则C的坐标是（0，3）．
设经过A和C的直线的解析式是y=kx+b．
根据题意得： ，
解得： ，
则AC的解析式是y=x+3，
令x=-1，则y=2．
则P的坐标是（-1，2 ）．
【点拨】1．抛物线与x轴的交点；2．轴对称-最短路线问题．
21． .
【分析】
本题需先根据已知条件求出AB的长，再根据P为x轴上一动点，确定出P点的位置，即可
求出BP+AP的长，最后即可求出 ABP周长的最小值．
△
解：
做点B关于x轴的对称点B′,连接AB′,当点P运动到AB′与x轴的交点时， ABP周长的
最小值. △
∵A(1,1),B(3,2),
∴AB= = ，
又∵P为x轴上一动点，
当求 ABP周长的最小值时，
△∴AB′= = ，
∴ ABP周长的最小值为：AB+AB′= .
△
故答案为 .
22．（1） ；（2）6；（3）存在， ，理由见分析．
【分析】
（1）将点 代入函数解析式求解即可确定函数解析式；
（2）当 时， ，可确定点B的坐标，然后由对称轴及 轴，可得点C的坐
标，据此得出 ， ，然后根据三角形面积公式求解即可；
（3）根据B、C关于抛物线的对称轴对称，可得点P为直线AC与抛物线对称轴 的交点，
此时， 的周长最小，设直线AC的解析式为 ，利用待定系数法确定函数解析式，
然后联合对称轴 求解即可确定点P的坐标．
解：（1）将 代入 中，
得： ，
解得：
抛物线的解析式： ；
当 时， ，
，
∴
由（1）知，抛物线的对称轴： ，
轴，
∵
点 、 关于对称轴 对称，则 ，
∴
， ，
；
（3）如图所示：点B、C关于抛物线的对称轴对称，
点P为直线AC与抛物线对称轴 的交点，此时， 的周长最小，
∴设直线AC的解析式为 ，代入 、 ，得：
，
解得 ，
直线 ： ；
点P为直线AC与抛物线对称轴 的交点，
，
∴
解得 ，
．
【点拨】题目主要考查利用待定系数法确定一次函数与二次函数解析式，二次函数与一次函
数交点及二次函数的基本性质等，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键．
23．（1）A（﹣2，0），B（1，0），C（0，﹣2）．（2）P（ ， ）
【分析】
（1）利用二次函数图像与x轴交点时，y=0，代入式子即可求出x值，即可求出A、B两点
坐标，图像与y轴相交，x=0，带入可以求出y值，即可求出C点坐标；
（2）有题可知本问考查的是“两定一动”，故需要利用“将军饮马”的方法进行解题，B
点关于对称轴的对称点为A点，连接AC，AC与对称轴的交点即为P点，求出AC所在直线解析
式，之后求出与对称轴交点即为P点坐标．
解：（1）由 y＝0，得 x2+x-2＝0 解得 x＝-2，x＝1，∴A（-2，0），B（1，0），
由 x＝0，得 y＝-2，
∴C（0，-2）．
（2）连接AC与对称轴的交点即为点P．
设直线 AC 为 y＝kx+b，
则﹣2k+b＝0，b＝﹣2：
得 k＝﹣1，
y＝﹣x﹣2．
对称轴为 x＝ ，
当 x＝ 时，
y＝ -2＝ ，
∴P（ ， ）．
【点拨】本题主要考查二次函数图像的基本性质，以及“两定一动”的动点问题，熟练掌握
二次函数中的综合运用是解题的关键．
24．（1）（1，4），（2）-1＜x＜2．（3）（1，6）；
【分析】
（1）把二次函数的解析式化成顶点式即可；
（2）根据函数图象可以直接写出满足不等式x2+bx+c＞mx+n的x的取值范围．
（3）连接AB与对称轴交于点M，此时， 最大，求出直线AB解析式，再求M的
坐标即可．
解：（1）∵y＝-x2+2x+3＝-（x﹣1）2+4，∴二次函数的顶点坐标为（1，4），
故答案为：（1，4），
（2）由（1）得，二次函数的对称轴为直线x＝1，B（0，3），
点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，
∴点C（2，3），
由图象可知，
不等式x2+bx+c＞mx+n的x的取值范围：-1＜x＜2．
故答案为：-1＜x＜2．
（3）函数的对称轴为直线x＝1，点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，如图所
示，
|AM﹣MC|＝|AM﹣BM|≤AB，
1 1 1 1
连接AB与对称轴交于点M，此时|AM﹣MC|＝|AM﹣BM|＝AB，
∴|AM﹣MC|的最大值为AB；
设直线AB解析式为y＝kx+b的图象经过A，B两点，
∴ ，得 ，
∴直线AB解析式为y＝3x+3，
把x＝1代入得，y＝3×1+3=6，
∴M的坐标为（1，6）；
【点拨】本题考查二次函数与不等式组、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是
明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
25．（1） ；（2）
【分析】
（1）根据题意将点 的坐标代入解析式即可求得该抛物线的解析式；（2）根据抛物线的对称性， 两点关于对称轴对称，连接 交 于点 ，则 的周
长的最小值为 ，据此求解即可．
解：（1） 抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0），B（1，0）两点，
，
解得 ，
．
（2）连接 ，交 于点 ，连接 ， ,如图，
两点关于对称轴 对称，
的周长为
的周长最小值为
由 ，令 ，解得 ，
即
在 中即 的周长最小值为 ．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，轴对称的性质，掌握
二次函数的性质是解题的关键．
26．P(1，－2)．
【分析】
根据“将军饮马”问题，将A点沿对称轴对称至B点，连接BC，与对称轴交点即为所求P
点，从而结合图形性质求解即可．
解：如下左图，点A与点B对称，连结BC，那么在 PBC中，PB＋PC总是大于BC的．
如下右图，当点P落在BC上时，PB＋PC最小，△因此PA＋PC最小， PAC的周长也最
小． △
由y＝x2－2x－3，令y=0，解得：x=-1或3，
∴A（-1,0），B（3,0），对称轴为直线x=1，
∴可知OB＝OC＝3，OD＝1，∠OBC=45°，
∴DB＝DP＝2，
∴P(1，－2)．
【点拨】本题考查二次函数的对称性以及最短路径问题，理解常见的求最短路径的模型是解
题关键．
27．（1） ；（2） ．
【分析】
（1）利用 的解析式求解 的坐标，把 ， 代入 ，利
用待定系数法列方程组，解方程组可得答案；
（2）联立两个函数解析式，求解 的坐标，线段 的长度， 如图，要使 的周长最小，则 最小，设二次函数 与 轴的另一交点为 ，抛物线的对称轴为：
点 ，连接 交对称轴于 ，此时，
最小，再利用勾股定理求解 ，从而可得答案．
解：（1） 抛物线 与直线 交于 轴上一点 ，
令 则
点
把 ， 代入 得：
，
解得： ，
抛物线的解析式是 ；
（2）将直线 与二次函数 联立得方程组：
解得： 或 ，，
如图，要使 的周长最小，则 最小，
设二次函数 与 轴的另一交点为 ，
抛物线的对称轴为：
点 ，
连接 交对称轴于
，
此时， 最小，
此时： ，
的周长最小值为 ．
【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，利用轴对
称的性质求解三角形的周长的最小值，掌握以上知识是解题的关键．
