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专题 22.22 抛物线的对称性（基础篇）（专项练习）
一、单选题
【类型一】已知抛物线上对称两点求对称轴
1．已知抛物线y＝x2+bx+4经过（﹣1，n）和（3，n）两点，则b的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
2．若A（－1，7）、B（5，7） 是抛物线y＝ax²＋bx＋c上的两点，则该抛物线的对称轴是
（ ）
A．直线x＝1 B．直线x＝2 C．直线x＝3 D．直线x＝4
3．已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 4 8 …
y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 0 40 …
则二次函数的对称轴是（ ）A．x=﹣1 B．x=1 C．x=4 D．x=﹣4
4．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则该二次函数的顶点坐标为（ ）
A．（1，3） B．（0，1） C．（0，—3） D．（2，1）
5．二次函数y=-x2+bx+4经过(-2，n)（ 4，n）两点，则n 的值是（ ）
A．-4 B．-2 C．2 D．4
6．某同学在利用描点法画二次函数 的图象时，先取自变量x的一些值
计算出相应的函数值y，如下表所示：
x … 0 1 2 3 4 …
－
y … －3 0 －1 0 …
3
接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（ ）A． B． C． D．
【类型二】根据二次函数对称性求函数值
7．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2上有三点A(﹣1，y)，B( ，y)，C(2，y)，则y，y，y 从小
1 2 3 1 2 3
到大是（ ）
A．y＜y＜y B．y＜y＜y C．y＜y＜y D．y＜y＜y
1 2 3 2 3 1 2 1 3 1 3 2
8．二次函数 的图象上有两点 ，则 的值是（ ）
A．负数 B．零 C．正数 D．不能确定
9．已知点A（ ，m），B （ l，m），C （2，1）在同一条抛物线上，则下列各点中一定
在这条抛物线上的是（ ）
A． B． C． D．
10．函数y=x2-x+m（m为常数）的图象如图，如果x=a时，y＜0；那么x=a-1时，函数值(
)
A．y＜0 B．0＜y＜m C．y=m D．y＞m
11．已知二次函数y=ax2+bx+c（a<0），当 时，函数 有最大值，设(-1，y)，(2，y)，
1 2
（4，y）是这个函数图象上的点，那么( )
3
A．y>y>y B．y>y>y
1 2 3 2 1 3
C．y>y>y D．y>y>y
3 1 2 2 3 1
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝2，
其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（ ）A．（4，0） B．（6，0） C．（8，0） D．（10，0）
二、填空题
【类型一】已知抛物线上对称两点求对称轴
13．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如
表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y＝ax2+bx+c … t m ﹣2 ﹣2 n …
则该二次函数图象的对称轴为直线 _____．
14．若抛物线 与x轴的两个交点坐标是 和 ，则该抛物线的对称
轴是________．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，
可知它的图象与x轴有两个交点，其中一个交点是（﹣1，0）那么它的图象与x轴的另一个交点
坐标是_____．
16．若抛物线 的对称轴为直线x＝－1，则b的值为_________．
17．如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴
为________．
18．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-4，0)，(2，0)，则这条抛物线的对称轴是直
线______．
【类型二】根据二次函数对称性求函数值
19．已知二次函数 中函数y与自变量x之间部分对应值如下表所示，点，在该函数的图象上．
x … 0 1 2 3 …
y … m n 5 n …
（1）则表格中的 __________；
（2）当 时， 和 的大小关系为__________．
20．已知函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是_____．
21．抛物线 的图像与 轴交于 、 两点，若 的坐标为 ，则点 的坐
标为________．
22．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x ﹣2 ﹣1 0 1 2
y 17 7 1 ﹣1 1
则当x＝3时，y＝_________．
23．二次函数y＝ax2﹣2ax和y＝bx2﹣2bx其自变量和函数值的两组对应值如表所示，根据二
次函数图象的相关性质可知：t＝___，q﹣n＝___．
x 2 t（t≠2）
y＝ax2﹣2ax n n
y＝bx2﹣2bx n+6 q
24．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣1，其图象如图所示．下列结论：
①abc＜0；②b=2a；③若（x，y）和（x，y）是抛物线上的两点，则当|x+1|＞|x+1|时，y＜
1 1 2 2 1 2 1
y；④抛物线的顶点坐标为（﹣1，m），则关于x的方程ax2+bx+c=m﹣1无实数根．其中，正确
2的序号是 ___．
三、解答题
25．已知二次函数的图象经过三点（1,0) ，
(1)求二次函数的解析式；
(2)求抛物线的顶点坐标，对称轴以及抛物线与坐标轴的交点；
(3)当x为何值时，函数有最大值或最小值？最大值或最小值是多少？
26．如图，抛物线y＝x2+bx﹣2过点A(﹣1，m)和B(5，m)，与y轴交于点C．
（1）求b和m的值；
（2）连接AB，AB与y轴交于点D．
请求出：①点D的坐标；
② ABC的面积．27．如图，已知二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过点A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣9）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）直接写出抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称
轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离．
28．已知抛物线y＝（x﹣1）2+k与y轴相交于点A(0，﹣3)，点P为抛物线上的一点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点P的横坐标为2，则点P到x轴的距离为 ．参考答案
1．A
【分析】
根据抛物线y＝x2+bx+4经过（﹣1，n）和（3，n）两点，可得抛物线的对称轴为直线 ，
即可求解．
解：∵抛物线y＝x2+bx+4经过（﹣1，n）和（3，n）两点，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，即 ．
故选：A
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的
关键．
2．B
【分析】
由A（－1，7）、B（5，7） 是抛物线y＝ax²＋bx＋c上的两点，而这两点关于抛物线的对
称轴对称，从而可得答案.
解： A（－1，7）、B（5，7） 是抛物线y＝ax²＋bx＋c上的两点，
抛物线的对称轴是直线
故选B
【点拨】本题考查的是利用抛物线上对称的两点坐标求解对称轴方程，理解对称轴方程的含
义是解本题的关键.
3．B
【分析】
根据抛物线的性质可知，（﹣2，0）和（4，0）关于对称轴对称，由此可得到对称轴方程．
解：观察表格知道，（﹣2，0）和（4，0）关于对称轴对称，
故对称轴为：x＝ ．
故选：B．
【点拨】此题考查了抛物线对称轴和与x轴交点坐标的关系,解题关键是明确若抛物线与x轴交点坐标为（x，0），（x，0），则抛物线的对称轴为x＝ ．
1 2
4．D
【分析】
根据抛物线与 轴的两个交点坐标确定对称轴后即可确定顶点坐标．
解：观察图象发现图象与 轴交于点 和 ，
对称轴为 ，
顶点坐标为 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的性质及二次函数的图象的知识，解题的关键是根据交点坐标
确定对称轴，难度不大．
5．A
【分析】
根据（-2，n）和（4，n）可以确定函数的对称轴x=1，再由对称轴的x= =1，即可求解．
解：抛物线y=-x2+bx+4经过（-2，n）和（4，n）两点，
可知函数的对称轴x=1，
∴x= =1，
∴b=2；
∴y=-x2+2x+4，
将点（-2，n）代入函数解析式，可得n=-4；
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题
的关键．
6．B
【分析】
利用表中数据和二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x＝2，利用交点式求出抛物线解
析式，求出x＝2时的函数值，则顶点坐标为（2， 1），然后可判断B选项错误．
解：∵x＝1和x＝3时，y＝0；x＝0和x＝4时y=-3；
∴抛物线的对称轴为直线x＝ ，设抛物线解析式为 ,代入坐标（0，-3）得，
∴
解得
抛物线
当 时，
∴顶点坐标为（2， 1），
∴ 错误．
故选：B．
【点拨】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，二次函数的图像和性质，掌握二次函数图
像的轴对称性，是解题的关键．
7．D
【分析】
根据二次函数的性质求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性解答．
解：∵抛物线y=-2（x-1）2的对称轴是直线x=1，
∴x=-1时的函数值与x=3时的函数值相等，当x＞1时，y随x的增大而减小，
∵
∴y＜y＜y，
1 3 2
故选：D．
【点拨】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．
8．B
直接把各点坐标代入二次函数的解析式，求出y，y 的值即可.
1 2
解：∵二次函数y=− (x−2)2+a 的图象上有两点(-1，y)，(5， y)，
1 2
y =- (-1-2)2 +a，
1
y = (5-2)2+a，
2
∴y-y=- (-1-2)2+a+ (5-2)2-a=- ×9+ ×9=0，
1 2故选B.
【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，包括图像上点的坐标特点，比较函数值的大小，
熟悉并灵活运用二次函数的图像和性质是解题的关键.
9．B
【分析】
根据抛物线的对称性进行分析作答．
解：由点A（ ，m），B （ l，m），可得：抛物线的对称轴为y轴，
∵C （2，1），
∴点C关于y轴的对称点为（－2，1），
故选：B．
【点拨】本题考查二次函数的图象和性质，找到抛物线的对称轴是本题的关键．
10．D
【分析】
根据对称轴及函数值判断a的取值范围，从而得出a-1<0，因为当x< 时，
y随x的增大而减小，所以当x=a-1<0时，函数值y一定大于m．
解：∵函数y=x2-x+m（m为常数）对称轴是x= ，0< <
∴由对称性得： < <1
∵当x=a时，y<0，
∴a的范围是
