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专题 22.3 二次函数（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
知识点一、二次函数的判断
1．下列实际问题中，可以看作二次函数模型的有（ ）
①正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数b与这个人的年龄a
之间的关系为b＝0.8（220－a）；
②圆锥的高为h，它的体积V与底面半径r之间的关系为V＝ πr2h（h为定值）；
③物体自由下落时，下落高度h与下落时间t之间的关系为h＝ gt2（g为定值）；
④导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流I之间
的关系为Q＝RI2（R为定值）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．关于函数y=（500﹣10x）（40+x），下列说法不正确的是（ ）
A．y是x的二次函数 B．二次项系数是﹣10
C．一次项是100 D．常数项是20000
3．下列函数关系中，是二次函数的是（ ）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系
B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长c与边长a之间的关系
D．圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系
4．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y=a +bx+c B．x2+y-2=0 C．y2-ax=-2 D． -y2+1=0
知识点二、二次函数的参数
5．若函数y＝（a﹣1）x2+2x+a2﹣1是二次函数，则（ ）
A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a＝1 D．a＝±1
6．当函数 是二次函数时， 的取值为（ ）
A． B． C． D．
7．若y=（m＋1） 是二次函数，则m= （ ）A．－1 B．7 C．－1或7 D．以上都不对
8．下列结论正确的是（ ）
A．y=ax2是二次函数 B．二次函数自变量的取值范围是所有实数
C．二次方程是二次函数的特例 D．二次函数的取值范围是非零实数
知识点三、二次函数的解析式
9．用一根长 的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积 与它的一边长
之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
10．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商
品售为x元，则可卖出（350-10x）件商品，那么商品所赚钱y元与售价x元的函数关系为
（ ）
A． B．
C． D．
11．下列函数关系中，可以看做二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）模型的是（ ）
A．在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系
B．正方形周长与边长之间的关系
C．正方形面积和正方形边长之间的关系
D．圆的周长与半径之间的关系
12．某商店从厂家一每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商
品售为x元，则可卖出（350-10x）件商品，那商品所赚钱y元与售价x元的函数关系为（
）
A．y＝-10 x2-560x+7350 B．y＝-10 x2+560x-7350
C．y＝-10 x2+350x D．y＝-10 x2+350x-7350
二、填空题
知识点一、二次函数的判断
13．二次函数 中，二次项系数为____，一次项是____，常数项是___14．下列函数中：①y=－x2；②y=2x；③y=22+x2－x3；④m=3－t－t2是二次函数的是
______(其中x、t为自变量).
15．下列各式：
；其
中 是 的二次函数的有________（只填序号）
16．二次函数y＝3x2+5的二次项系数是_____，一次项系数是_____．
知识点二、二次函数的参数
17．定义：由a，b构造的二次函数 叫做一次函数y＝ax＋b的
“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数 的“本源函数”
（a，b为常数，且 ）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是 ，那
么二次函数 的“本源函数”是______．
18．如果函数 是二次函数，那么m=____．
19．当m____________________________时，函数 是
二次函数．
20．点 是二次函数 图像上一点，则 的值为__________
知识点三、二次函数的解析式
21．图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木
块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，则第n个叠放的图形中，小正方体木块总数
m与n的解析式是______．22．如图，正方形 的边长是 ， 是 上一点， 是 延长线上的一点，
．四边形 是矩形，矩形 的面积 与 的长 的
函数关系是______．
23．将二次函数 化成 的形式为__________．
24．二次函数 的一般形式 是________．
三、解答题
25．已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋2－2m.
(1)若这个函数是二次函数，求m的取值范围．
(2)若这个函数是一次函数，求m的值．
(3)这个函数可能是正比例函数吗？为什么？
26．已知函数 是关于 的二次函数，求不等式
的解集．27．某农科所研究出一种新型的花生摘果设备，一期研发成本为每台6万元，该摘果
机的销售量 (台)与售价 (万元/台)之间存在函数关系： ．
（1）设这种摘果机一期销售的利润为 (万元)，问一期销售时，在抢占市场份额(提
示：销量尽可能大)的前提下利润达到32万元，此时售价为多少？
（2）由于环保局要求该机器必须增加除尘设备，科研所投入了 7万元研究经费，使得
环保达标且机器的研发成本每台降低了1万元，若科研所的销售战略保持不变，请问在二
期销售中利润达到63万元时，该机器单台的售价为多少？参考答案
1．C
解：形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数且a≠0）的函数是二次函数，由二次函数的定义
可得②③④是二次函数，故选C．
2．C
【分析】
先化简，整理成一般式，然后对每个选项判断即可.
解：∵y=（500﹣10x）（40+x）
=-10x2+100x+20000，
∴y是x的二次函数，二次项系数是-10，一次项系数是100，常数项是20000，
∴A、B、D正确，C错误.
故选C.
【点拨】本题考查了二次函数的一般形式，一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常
数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，据
此求解即可.
3．D
【分析】
根据各选项的意思，列出个选项的函数表达式，再根据二次函数定义的条件判定则可．
解：A、y=mx+b，当m≠0时（m是常数），是一次函数，错误；
B、t= ，当s≠0时，是反比例函数，错误；
C、C=3a，是正比例函数，错误；D、S= πR2，是二次函数，正确．
故选D．
【点拨】本题考查二次函数的定义．
4．B
解：利用二次函数的定义，可知：
A.y=a +bx+c，应说明a≠0，故此选项错误；
B.x2+y-2=0可变为y= +2，是二次函数，故此选项正确；
C.y2-ax=-2不是二次函数，故此选项错误；
D.x2-y2+1=0不是二次函数，故此选项错误；
故选B．
5．A
【分析】
利用二次函数定义进行解答即可．
解：由题意得：a﹣1≠0，
解得：a≠1，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了二次函数的定义，准确计算是解题的关键．
6．D
【分析】
根据二次函数的定义去列式求解计算即可．
解：∵函数 是二次函数，
∴a-1≠0， =2，
∴a≠1， ，
∴ ，
故选D．
【点拨】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义并灵活列式计算是解题的
关键．7．B
【分析】
令x的指数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可．
解：由题意得：m2-6m-5=2；且m+1≠0；
解得m=7或-1；m≠-1，
∴m=7，
故选：B．
【点拨】利用二次函数的定义，二次函数中自变量的指数是2；二次项的系数不为0．
8．B
【分析】
根据二次函数的定义和自变量的取值范围，逐一判断解答问题．
解：A、应强调a是常数，a≠0，错误；
B、二次函数解析式是整式，自变量可以取全体实数，正确；
C、二次方程不是二次函数，更不是二次函数的特例，错误；
D、二次函数的自变量取值有可能是零，如y=x2，当x=0时，y=0，错误．
故选B．
【点拨】本题考查二次函数的定义和自变量的取值范围,解题关键是熟练掌握定义．
9．C
【分析】
由矩形另一边长为周长的一半减去已知边长求得另一边的长，进一步根据矩形的面积
等于相邻两边长的积列出关系式即可．
解：由题意得：矩形的另一边长=60÷2-x=30-x，
矩形的面积y（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为y=x（30-x）=-x2+30x
（0＜x＜30）．
故选：C．
【点拨】此题考查根据实际问题列二次函数关系式，掌握矩形的边长与所给周长与另
一边长的关系是解题的关键．
10．B
【分析】
商品所赚钱=每件的利润×卖出件数，把相关数值代入即可求解．
解：每件的利润为（x-21），∴y=（x-21）（350-10x）
=-10x2+560x-7350．
故选B．
【点拨】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解决本题的关键是找到总利润
的等量关系，注意先求出每件商品的利润．
11．C
【分析】
利用二次函数的性质：一般地，把形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是长常数，a≠0，
b，c可以为0）的函数叫做二次函数．逐一分析解答即可．
解：A、在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系是一种反比例关系，不
能看作二次函数y=ax2+bx+c模型；
B、正方形周长与边长之间的关系属于一次函数，不能看作二次函数y=ax2+bx+c
模型；
C、正方形面积和正方形边长之间的关系，可以看做二次函数y=ax2+bx+c模型；
D、圆的周长与半径之间的关系属于一次函数，不能看作二次函数y=ax2+bx+c模
型．
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，建立二次函数的模型要从解析式，数值的变化
和图象几个方面分析．
12．B
解：根据商品的单价利润×销售的件数=总利润，即可得y=（x-21）（350－10x）=－
10x2＋560x－7350，故选B.
13． -2x , 1
【分析】
函数化简为一般形式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二
次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
解：∵y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次
项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项
∴ 中，二次项系数为 ，一次项是-2x，常数项是1.故答案是： ; -2x;1.
【点拨】考查了二次函数的定义，二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数
且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二
次项系数，一次项系数，常数项．
14．①④
【分析】
一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．根据
二次函数的定义条件判定则可．
解：①y＝－x2，二次项系数为－1，是二次函数；
②y＝2x，是一次函数；
③y＝22＋x2－x3，含自变量的三次方，不是二次函数；
④m＝3－t－t2，是二次函数.
故填①④．
【点拨】本题考查二次函数的定义．
一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．
判断一个函数是二次函数需要注意三点：
(1)经整理后，函数表达式是含自变量的整式；
(2)自变量的最高次数为2；
(3)二次项系数不为0，尤其是含有字母系数的函数，应特别注意，二次项系数a是否
为0．
15．②⑤⑥
【分析】
根据二次函数的定义与一般形式即可求解．
解：y是x的二次函数的有②，⑤，⑥．
故答案是：②，⑤，⑥．
【点拨】本题考查了二次函数的定义，一般形式是y=ax2+bx+c（a≠0，且a，b，c是常
数，x是未知数）．
16． 3 0
【分析】
根据二次函数的定义解答即可．
解：二次函数y＝3x2+5的二次项系数是3，一次项系数是0．故答案是：3；0．
【点拨】考查二次函数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键，要注意没有一次
项，所以一次项系数看做是0．
17．
【分析】
由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数
的本源函数．
解：由题意得
解得
∴函数 的本源函数是 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解
新定义“本源函数”．
18．2．
【分析】
直接利用二次函数的定义得出m的值．
解：∵函数 是二次函数，
∴m2−m＝2，（m−2）（m＋1）＝0，
解得：m
1
＝2，m
2
＝−1，
∵m＋1≠0，
∴m≠−1，
故m＝2．
故答案为：2．
【点拨】此题主要考查了二次函数的定义，正确得出m的方程是解题关键．
19．不等于 和3
【分析】我们一般把形如 ( 为常数)的函数称之为二次函数，其中
二次项系数不能为0，据此进一步求解即可.
解：根据二次函数的定义可得： ，
即： ，
∴ ，且 ，
即当 不等于 和3时，原函数为二次函数，
故答案为：不等于 和3.
【点拨】本题主要考查了二次函数的定义的运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
20．6
【分析】
把点 代入 即可求得 值，将 变形 ，代入
即可．
解：∵点 是二次函数 图像上，
∴ 则 ．
∴
故答案为：6．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据点坐标求待定系数是解题的
关键．
21．m=2n2−n
【分析】
图（1）中只有一层，有（4×0＋1）一个正方形，图（2）中有两层，在图（1）的基
础上增加了一层，第二层有（4×1＋1）个．图（3）中有三层，在图（2）的基础长增加了
一层，第三层有（4×2＋1），依此类推出第n层正方形的个数，即可推出当有n层时总的
正方形个数．
解：经分析，可知：第一层的正方形个数为（4×0＋1），
第二层的正方形个数为（4×1＋1），
第三层的正方形个数为（4×2＋1），
……第n层的个数为：[4×（n−1）＋1]，
第n个叠放的图形中，小正方体木块总数m为：
1＋（4×1＋1）＋（4×2＋1）＋…＋[4×（n−2）＋1]＋[4×（n−1）＋1]
＝1＋4×1＋1＋4×2＋1＋…＋4×（n−2）＋1＋4×（n−1）＋1
＝n＋4（1＋2＋3＋…＋n−2＋n−1）
＝n＋4
＝n＋2n（n−1）
＝2n2−n．
即：m=2n2−n．
故答案为：m=2n2−n
【点拨】本题解题关键是根据图形的变换总结规律，由图形变换得规律：每次都比上
一次增加一层，增加第n层时小正方形共增加了4（n−1）＋1个，将n层的小正方形个数
相加即可得到总的小正方形个数．
22． ##
【分析】
由已知图形可以分析得到矩形 的长 为 cm，宽 为 cm，由面
积公式即可计算得到正确答案．
解：∵正方形 的边长是 ，且
∴矩形 的长 的长为 cm，宽 的长为 cm
∴矩形 的面积为：
故答案为：
【点拨】本题考查变量之间的关系，由矩形面积推导二次函数关系式等知识点．数形
结合列式计算是解此类题的关键．
23．
【分析】
利用配方法整理即可得解．解： ，
所以 ．
故答案为 ．
【点拨】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：
(1)一般式： 为常数)；
(2)顶点式： ；
(3)交点式(与 轴)： ．
24．
【分析】
直接利用乘法运算法则化成一般式．
解：y＝−4（1＋2x）（x−3）＝−8x2＋20x＋12，
故答案为y＝−8x2＋20x＋12．
【点拨】此题考查二次函数的解析式的三种形式，熟练掌握这几种形式是解题的关键．
25．(1). m≠0且m≠1.(2). m＝0.(3). 不可能
试题分析：（1）根据二次函数的二次项系数不等于0，可得答案；
（2）根据二次函数的二次项系数等于0，常数项不等于0，是一次函数，可得答案；
（3）根据二次函数的二次项系数等于0，常数项等于0，可得正比例函数．
解：(1)∵这个函数是二次函数，
∴m2－m≠0，∴m(m－1)≠0，
∴m≠0且m≠1.
(2)∵这个函数是一次函数，
∴ ∴m＝0.
(3)不可能．∵当m＝0时，y＝－x＋2，
∴不可能是正比例函数．
26． 且 ．【分析】
首先利用二次函数的定义得出k不能取的值，进而解不等式得出答案.
解：∵函数 是关于 的二次函数，
∴ ，
解得： ，
，
解得： ，
故不等式 的解集为： 且 ．
【点拨】此题主要考查了二次函数的定义以及解不等式，正确解不等式是解题关键.
27．（1）在抢占市场份额的前提下利润要达到32万元，此时售价为8万元/台；
（2）要使二期利润达到63万元，销售价应该为10万元/台．
【分析】
（1）先根据等量关系式：总利润=（售价-成本） 销售量，列出函数关系式，再将
代入函数关系式得出方程求解即得；
（2）先根据等量关系式：总利润=（售价-新成本） 销售量-7，列出函数关系式，再
将 代入函数关系式得出方程求解即得．
解：（1）根据题意列出函数关系式如下：
当 时， ，
解得 ， ．
∵要抢占市场份额∴ ．
答：在抢占市场份额的前提下利润要达到32万元，此时售价为8万元/台．
（2）降低成本之后，每台的成本为5万元，每台利润为 万元，销售量
．
依据题意得 ，
当 时， ，解得 ， ．
∵要继续保持扩大销售量的战略
∴
答：要使二期利润达到63万元，销售价应该为10万元/台．
【点拨】本题考查函数解析式及解一元二次方程，解题关键是正确找出等量关系式：
总利润=（售价-成本） 销售量．
