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专题 22.8 二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象与性质（基础篇）
（专项练习）
一、单选题
类型一、
1．抛物线y=-2x2+1的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
2．二次函数y＝2x2﹣1的图象的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，1） D．（0，﹣1）
3．抛物线 的开口方向是（ ）
A．向下 B．向上 C．向左 D．向右
4．下列各组抛物线中能够互相平移得到的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
类型二、
5．已知点 ， 均在抛物线 上，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
6．二次函数y＝﹣x2﹣4的图象经过的象限为（ ）A．第一象限、第四象限 B．第二象限、第四象限
C．第三象限、第四象限 D．第一象限、第三象限、第
四象限
7．A（ ，y）（ ，y）（ ，y）为二次函数y＝x2＋4x－5的图像上三点，则
1 2 3
y，y，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y＜y＜y B．y＜y＜y C．y＜y＜y D．y＜y＜y
1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 2
8．已知点 在同一个函数的图象上，这个函数可能
是（ ）
A． B． C． D．
类型三、
9．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+1的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．二次函数y＝- 2 ＋1的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
11．二次函数 的图象不经过的象限为（ ）
A．第一象限、第四象限 B．第二象限、第四象限
C．第三象限、第四象限 D．第一象限、第三象限、第四象限
12．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2的大致图象可能是（）
A． B．
C． D．
类型四、
13．将抛物线 绕顶点旋转 ，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+m的图象经过边长为 的正方形
ABCD的三个顶点A、B、C，则m的值为（ ）A． B．2 C．1 D．2
15．一个函数的图象关于 轴成轴对称图形时，称该函数为偶函数．那么在下列函数
中，是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
16．与抛物线y＝－ x2－1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应
的函数解析式是( )
A．y＝－ x2－1 B．y＝ x2－1
C．y＝－ x2＋1 D．y＝ x2＋1
类型五、
17．已知二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向上 B．图象的顶点坐标为
C．图象的对称轴是直线 D．有最大值，为－3
18．已知二次函数 ，当 时，函数值y的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
19．关于二次函数y=2x2+3，下列说法中正确的是（ ）
A．它的开口方向是向下；
B．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；C．它的对称轴是x=2；
D．当x=0时，y有最大值是3．
20．关于二次函数 的下列结论，不正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．当 时， 随 的增大而减小
C．图象经过点 D．图象的对称轴是直线
二、填空题
类型一、
21．二次函数 有最_________值为__________．
22．抛物线 y=2x2+1的对称轴______．
23．如果抛物线 开口向下，那么a的取值范围是______．
24．抛物线y＝﹣2x2＋4的顶点坐标为______．
类型二、
25．若点A（-1，m）和B（-2，n）在二次函数y=-x2+20图象上，则m______n（填大
小关系）
26．已知点A（﹣7，m）、B（﹣5，n）都在二次函数y＝﹣ x2+4的图像上，那么
m、n的大小关系是：m_____n．（填“＞”、“＝”或“＜”）
27．抛物线 位于 轴左侧的部分是______的．（填“上升”或“下降”）
28．二次函数y＝﹣2x2+1的图象上有两点A（x，y）、B（x，y），且x≠x，y＝
1 1 2 2 1 2 1
y，当x＝x+x 时，对应的函数值y＝___．
2 1 2
类型三、
29．已知二次函数 的图象经过点 ，那么a的值为_____．
30．二次函数 的图像上横坐标与纵坐标相等的点的坐标为__________．
31．若点 在二次函数 的图象上，则 ______．32．抛物线 不经过第________象限．
类型四、
33．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣2）的抛物线解析式_____．
34．请你写一个顶点在y轴上的抛物线的解析式：_______________．
35．请写出一个开口向上，并且与 轴交于点 的抛物线解析式______．
36．一抛物线的形状，开口方向与 相同，顶点在(－2，3)，则此抛物线
的解析式为_______．
类型五、
37．函数 图像开口方向是______，对称轴是_________顶点坐标是
__________，这个顶点是图像的最____点（填“高”或“低”）．
38．定义符号min{a，b}为：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a.如：
min＝{1，－2}＝－2，min{－1，2}＝－1.则min{x2－1，－2}的值是________．
39．已知二次函数y＝－x2＋4，当－2≤x≤3时，函数的最小值是－5，最大值是
_________.
40．已知二次函数 ，若当x取 ， （ ≠ ）时，函数值相等，则当x
取 + 时，函数值为______________．
三、解答题
41．请写出两个二次函数的表达式，要求这两个函数图象的对称轴为y轴，开口方向
相同．
42．在平面直角坐标系xOy中，点A（x，y），B（x，y）在抛物线y＝ax2+2ax（0
1 1 2 2
＜a＜3）上，其中x＜x．
1 2（1）求抛物线的对称轴；
（2）若A（﹣2，y），B（0，y），直接写出y，y 的大小关系；
1 2 1 2
（3）若x+x＝1﹣a，比较y，y 的大小，并说明理由．
1 2 1 2
43．初三年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数 的图象
和性质进行探究，过程如下，请你补充完整．
(1)函数 的自变量x的取值范围是______；
(2)①列表：下表是x，y的几组对应值，其中 ______， ______；
x … 0 1 2 …
y … 3 0 m 1 n 0 3 …
②描点：根据表中的数值描点 ，请补充描出点 ， ；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．
(3)下列关于该函数的说法，错误的是（ ）
A．函数图象是轴对称图形；
B．当 时，函数值y随自变量x的增大而增大；
C．函数值y都是非负数；D．若函数图象经过点 与 ，则
(4)点 与 在函数图象上，且 ，则a与b的大小关系是______．
44．已知抛物线 过点 和点 ．
（1）求这个函数的关系式；
（2）写出当 为何值时，函数 随 的增大而增大．
45．二次函数y=ax2+c (a≠0)的图象经过点A（1，-1），B（2，5），
（1）求函数y=ax2+c的表达式．
（2）若点C(-2,m),D（n ,7）也在函数的图象上，求点C的坐标；点D的坐标．参考答案
1．C
【分析】
根据对称轴公式即可求解．
解：∵ ，
∴ ，
∴对称轴 ．
故选C．
【点拨】本题考查二次函数的对称轴，掌握二次函数的对称轴为 是解题关键．
2．D
【分析】
根据二次函数顶点式解析式 ，即可计算出二次函数顶点坐标为（0，
﹣1）．
解：二次函数y＝2x2﹣1的图象的顶点坐标是（0，﹣1）．
故选：D．
【点拨】本题主要考查的是二次函数的基本性质，利用顶点式求出顶点坐标，同时本
题中的函数也是一个特殊函数，b=0，所以抛物线顶点在y轴上，将x=0，代入函数解析式
得：y=-1，也可以求出其顶点坐标为（0，﹣1）．
3．A
【分析】根据 时，二次函数图象开口向上， 时，二次函数图象开口向下进行判断即可．
解：∵
∴抛物线的开口方向向下
故选A．
【点拨】本题考查了二次函数的图象．解题的关键在于明确当 时，开口向上，当
时，开口向下．
4．D
【分析】
平移不改变图形的大小和形状，而二次项系数决定了抛物线的开口方向和大小，当二
次项系数相同才能够互相平移．
解：由于选项D中二次项系数相同，则抛物线 与抛物线 能够互相平
移，其它选项中的两个二次函数的二次项系数都不相同，它们不能互相平移．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数图象和性质、平移的性质，关键是抓住二次项系数相同
才能够互相平移．
5．D
【分析】
利用二次函数的性质逐一判断即可．
解：A.若 ，则 ，故本选项不符合题意；
B.若 ，则 ，故本选项不符合题意；
C.若 ，则 ，故本选项不符合题意；
D.若 ，则 ，正确，故本选项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征及二次函数的性质，熟练掌握知
识点是解题的关键．
6．C
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向，顶点坐标及对称轴，进而求解．
解：∵y＝﹣x2﹣4，
∴抛物线对称轴为y轴，顶点坐标为（0，﹣4），开口向下，
∴抛物线经过第三，四象限，
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
7．B
【分析】
求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性，结合A、B、C三点横坐标的大小判断
其纵坐标的大小即可．
解：∵二次函数y=x2+4x-5=（x+2）2-9，
∴当x＞-2时，y随x的增大而增大，
∵ ，
∴y＜y＜y，
2 3 1
故选：B．
【点拨】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图形和性质，掌握二次
函数的增减性是正确解答的关键．
8．B
【分析】
由点A（-5，m），B（5，m）的坐标特点，于是排除选项A、B；再根据A（-5，
m），C（-2，m+n2+1）的特点和二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即a＜0，可得
结果．
解：∵A（-5，m），B（5，m），
∴点A与点B关于y轴对称；
由于y=x+2不关于y轴对称， 的图象关于原点对称，因此选项A、D错误；
∵n2＞0，
∴m+n2+1＞m；
由A（-5，m），C（-2，m+n2+1）可知，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
对于二次函数只有a＜0时，满足条件，
∴B选项正确，故选：B．
【点拨】本题考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除
法，直接法得出答案．
9．A
【分析】
根据抛物线y＝﹣x2+1的图像顶点为（0，1），对称轴为y轴，开口向下即可判断求解．
解：∵抛物线y＝﹣x2+1的图像顶点为（0，1），对称轴为y轴，开口向下
∴大致图象如下：
故选A．
【点拨】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知抛物线y＝ax2+k的
特点．
10．D
【分析】
根据二次函数的图像与性质，求解即可．
解：二次函数
，开口向下
对称轴为 ，
顶点坐标为 ，
根据图像可得，D选项符合，
故选D，
【点拨】此题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握二次函数的图像与性
质．
11．C
【分析】
根据抛物线解析式求抛物线的顶点坐标，开口方向，与 轴的交点，可确定抛物线的
大致位置，判断其不经过的象限．解： 抛物线
顶点坐标为 ，在 轴上，
且开口向上，
抛物线不经过第三象限，第四象限；
故选：C．
【点拨】本题考查了确定抛物线的大致位置，解题的关键是掌握通过求顶点坐标，开
口方向，与坐标轴的交点，画出图象判断．
12．C
【分析】
根据函数解析式，二次项系数交点判别式小于0，所以排除A、B、D，故选C．
解：A选项，由函数解析式， 0，所以函数图像与x轴无交点，A错
<
误；
B选项，由函数解析式， 0，所以函数图像与x轴无交点，B错
<
误；
C选项，由函数解析式， 0，所以函数图像与x轴无交点，C正
<
确；
D选项，由函数解析式， 0，所以函数图像与x轴无交点，D错
<
误．
【点拨】本题考考察的是二次函数图像的基本性质，根据解析式，判断开口方向及交
点个数，判断图像的形状．
13．C
【分析】
根据抛物线 ，可得顶点坐标为(0，1)，开口向上，抛物线绕顶点旋转 后，
开口向下，顶点和抛物线形状没有改变，即可得到答案．
解：∵抛物线 的顶点坐标为(0，1)，开口向上，
∴抛物线 绕顶点旋转 后所得的抛物线顶点坐标为(0，1)，开口向下，∴旋转后的抛物线的解析式为： ．
故选C．
【点拨】本题主要考查抛物线的旋转变换，掌握抛物线的顶点式与旋转变换是解题的
关键．
14．D
【分析】
根据正方形的性质和勾股定理求出点A的坐标即可．
解：∵四边形 是正方形，
∴ 是等腰直角三角形，
在等腰 中，
，则 ，即 ．
代入二次函数y＝﹣x2+m得，
，
故选：D．
【点拨】本题考查了正方形的性质和求二次函数解析式，解题关键是熟练运用正方形
的性质求出点的坐标．
15．C
【分析】
根据函数的图象与性质进行判断即可．
解：A、B、C、D分别为正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数
根据函数的图象可知，二次函数 的图象关于直线 对称，是偶函数
故选C．
【点拨】本题考查了函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握各种函数的图象与
性质．
16．B
【分析】
与抛物线y＝－ x2－1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，则只有二
次项系数不同，即可得到答案.解：∵与抛物线y＝－ x2－1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，则
与抛物线y＝－ x2－1只有二次项系数互为相反数，
∴y＝ x2－1；
故选择：B.
【点拨】考查了二次函数的性质，二次函数的解析式中，二次项系数确定函数开口方
向．
17．D
【分析】
首先根据二次函数的定义得到 解方程求出m的值，根据二次项系数的正负
判断开口方向，根据二次函数表达式即可得出顶点坐标和对称轴以及最大值．
解：∵二次函数 ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴二次函数 ，
∵ ，
∴图象开口向下，
∴A选项错误，不符合题意；
顶点坐标为（0，-3），
∴B选项错误，不符合题意；
对称轴为直线 ，
∴C选项错误，不符合题意；
∵图象开口向下，顶点坐标为（0，-3），
∴有最大值，为－3，
∴D选项正确，符合题意．
故选：D．【点拨】此题考查了二次函数的定义，二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌
握二次函数的定义，二次函数的图像和性质．
18．D
【分析】
根据二次函数解析式可以得到二次函数的增减性，即当 时，y随x增大而增大，
然后求出当 时， ，当 时， ，即可得到答案．
解：∵二次函数解析式为 ，
∴二次函数的开口向上，对称轴为y轴，
∴当 时，y随x增大而增大，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
故选D．
【点拨】本题主要考查了求二次函数函数值的范围，解题的关键在于能够熟练掌握二
次函数图像的性质．
19．B
【分析】
根据二次函数二次项系数的符号可判断A；利用对称性左侧的增减性可判断B；利用
二次函数的对称轴可判断C，利用二次函数开口向上，函数有最小值可判断D．
解：A、∵二次函数y=2x2+3中，x=2＞0，∴此抛物线开口向上，而不是向下，故本选
项错误；
B、∵抛物线的对称轴x= =0，∴当x＜﹣1时函数图象在对称轴左侧，y随x
的增大而减小，故本选项正确；
C、抛物线的对称轴为x=0，而不是x=2，故本选项错误；
D、∵抛物线开口向上，∴此函数有最小值，当x=0时，y有最小值是3而不是最
大值，故本选项错误．
故选B．
【点拨】本题考查二次函数的性质，开口方向，增减性，对称轴，最值，掌握二次函
数的性质世界以关键．20．D
【分析】
根据二次函数 图象性质解题．
解：二次函数 ， ，二次函数开口向上，故A正确；
顶点坐标为 ，对称轴为 ，故D错误；
当 时， 随 的增大而减小，故B正确；
当 时， ，经过点 ，故C正确，
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数图象性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题
关键．
21． 大 5
【分析】
根据开口方向向下得到有最大值，根据对称轴为y轴得到当x=0时，y最大为5．
解：由 可知：
，开口向下，
∴二次函数有最大值，
又其对称轴为y轴，
∴当x=0时，y最大为5，
故答案为：大，5．
【点拨】本题考查二次函数的性质，属于基础题，熟练掌握二次函数的性质是解决本
题的关键．
22．直线x=0（或y轴）
【分析】
根据抛物线的顶点式即可求得．
解：∵抛物线y=2x2+1，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（0，1），对称轴为y轴，即直线x=0，
故答案为：直线x=0．【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．即
在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
23．a＞2
【分析】
】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数2-a＜0．
解：∵抛物线y=（2-a）x2+2开口向下，
∴2-a＜0，即a＞2，
故答案为：a＞2．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质．用到的知识点：对于二次函数y=ax2+bx+c
（a≠0）来说，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）开口向上；当a＜0时，抛物线
y=ax2+bx+c（a≠0）开口向下．
24．（0，4）
【分析】
根据抛物线的解析为 进行求解即可．
解：∵抛物线解析式为 ，
∴此函数的顶点坐标为（0，4）．
故答案为：（0，4）．
【点拨】本题主要考查了二次函数图像的性质，解题的关键在于能够熟练掌握抛物线
顶点坐标的求解方法．
25．＞
【分析】
抛物线开口向下，且对称轴为y轴，根据二次函数的性质即可判定．
解：∵二次函数的解析式为y=-x2+20，
∴该抛物线开口向下，对称轴为y轴，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，
∵点A（-1，m）和B（-2，n）在二次函数y=-x2+20图象上，-1＞-2，
∴m＞n．
故答案为：＞．
【点拨】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的
理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键．
26．【分析】
先利用二次函数的性质得到抛物线的对称轴为 轴，然后根据二次函数的性质解决问
题．
解：二次函数 可知，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为 轴，
所以当 时， 随 的增大而增大，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数图象
上点的坐标满足其解析式，也考查了二次函数的性质．
27．上升
【分析】
根据二次函数图象的性质解答即可．
解：∵二次项系数-1<0，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴是直线y=0，
∴抛物线 位于 轴左侧的部分是上升的．
故答案为：上升．
【点拨】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数y=ax2+k的性质是解答
本题的关键．对于二次函数y=ax2+k (a，k为常数，a≠0)，当a>0时，抛物线开口向上，在
对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0时，抛物
线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．
28．1
【分析】
根据二次函数的性质和已知函数的解析式得出函数的对称轴是y轴，函数的图象关于y
轴对称，根据已知条件得出x+x＝0，再求出答案即可．
1 2
解：∵二次函数y＝﹣2x2+1的对称轴是y轴（即直线x＝0），函数的图象关于y轴对
称，
∵二次函数y＝﹣2x2+1的图象上有两点A（x，y）、B（x，y），且x≠x，y＝
1 1 2 2 1 2 1
y，
2∴x＝﹣x，即x+x＝0，
1 2 1 2
当x＝x+x＝0时，y＝﹣2×02+1＝1，
1 2
故答案为：1．
【点拨】本题主要考查了二次函数图像的性质，解题的关键在于能够根据题意得到x
1
＝﹣x，即x+x＝0．
2 1 2
29．
【分析】
把已知点的坐标代入抛物线解析式可得到 的值．
解： 二次函数 的图象经过点 ，
，
解得： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握二次函数图象
上点的坐标满足其解析式．
30． 、
【分析】
设函数 的图象上，横坐标与纵坐标相等的点的坐标是 ，则 ，求
出 的值即可．
解：设函数 的图象上，横坐标与纵坐标相等的点的坐标是 ，则 ，
即 ，
解得 ．
故符合条件的点的坐标是： 、 ．
故答案为： 、 ．
【点拨】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，解题的关键是掌握即二次函数
图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
31．4【分析】
将点 代入 ，得到关于 的一元一次方程，解方程即可．
解： 点 在二次函数 上
解得
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的特点，解题关键是掌握凡是函数图像上的点
必满足解析式成立．
32．四
【分析】
将抛物线的解析式变形为顶点式，画出其图象，观察图形即可得出结论．
解：抛物线化为顶点式
由抛物线 的性质可知，其不经过第四象限．
故答案为四．
【点拨】本题考查二次函数的性质，把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
33．y=x2-2（答案不唯一）
【分析】
根据二次函数的性质，开口向上，要求a值大于0即可．
解：抛物线y=x2-2开口向上，且与y轴的交点为（0，-2）．
故答案为：y=x2-2（答案不唯一）．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯一，所写抛物线的a值
必须大于0．
34．
【分析】
根据题意写出抛物线解析式即可．解： ，
故答案为： (答案不唯一)．
【点拨】本题考查了二次函数图象的性质，解题关键是熟知顶点在 轴上的抛物线的
特征．
35．y=x2+5（答案不唯一）
【分析】
根据二次函数的性质，所写出的函数解析式a是正数，c=5即可．
解：开口向上，并且与y轴交于点 的抛物线的表达式为y=x2+5，
故答案为：y=x2+5（答案不唯一）．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性
质．对于二次函数y=a(x-h)2+k (a，b，c为常数，a≠0)，当a>0时，抛物线开口向上；当
a<0时，抛物线开口向下．
36．
【分析】
根据二次函数的图象与性质即可得．
解： 抛物线的顶点为
可设此抛物线的解析式为
又 此抛物线的形状，开口方向与 相同
则此抛物线的解析式为
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，熟记二次函数的图象与性质是解题关键．
37． 向下 y轴 (0，-3) 高
【分析】
根据二次函数的性质：当 时，抛物线的开口向下，顶点式： ， ，是常数， ，其中 为顶点坐标，对称轴为： ，抛物线的最高点可得答案．
解：函数 中，
∵ ，
∴开口向下；
∵ ，对称轴是y轴；
∴顶点坐标是(0，-3)；
开口向下则顶点是最高点；
故答案是：向下，y轴，(0，-3)，高．
【点拨】此题主要考查了二次函数的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
38．－2
解：符号 表示取 中较小的数，又 ，所以 ，那
么 .
故本题的答案为-2.
【点拨】 取任意实数， .
39．4.
【分析】
根据所给二次函数的解析式结合“自变量的取值范围”进行分析解答即可.
解：∵在 中： ，
∴其图象开口向下，顶点坐标为（0，4），
∴其最大值为4.
故答案为：4.
【点拨】熟记“二次函数 的图象的顶点坐标为 ”是解答本题的
关键.
40．-3．
解：∵二次函数y=2x2-3，若当x取x，x（x≠x）时，函数值相等，
1 2 1 2
∴2x2-3=2x 2-3，
1 2∴x2=x2，
1 2
∴x=x 或x=-x ，
1 2 1 2
∵x≠x，
1 2
∴x=-x ，
1 2
∴y=2（x+x）2-3=-3．
1 2
【点拨】二次函数图象上点的坐标特征．
41．如 与 ， 与 （答案不唯一，符合题意即可）
【分析】
根据二次函数对称轴和开口方向的决定因素写出即可．
解：∵抛物线的对称轴为y轴，
∴符合 的形式，
∵开口方向相同，
∴ 的符号相同，
∴如 与 ， 与 （答案不唯一，符合题意即可）．
【点拨】本题考查二次函数图象的性质，掌握二次函数系数与图象之间的关系是解题
关键．
42．（1）x=-1；（2） = ；（3） < ．
【分析】
（1）根据对称轴与系数的关系可以直接求得对称轴为：x= =-1；
（2）利用对称轴到点的距离进行判定y值即可；
（3）利用作差法，将 表示出来，再进行判断正负，据此判断大小即可．
解：（1）由题意得：对称轴x= =-1；
（2）∵0＜a＜3，
∴抛物线开口向上，
又∵对称轴x=-1，
∴ ，∴A、B两点到对称轴的距离相等，即： =
（3）由题意得：
=
=
=
=
∵0＜a＜3，x＜x
1 2
∴ <0，
即： < ．
【点拨】本题主要考查二次函数中系数的运用，以及比较函数值的大小，熟练掌握二
次函数的基础运算是解题的关键．
43．(1)取任意实数(2) ； ；图象见分析(3)B(4)
【分析】
（1）根据解析式直接可得答案；
（2）①把 代入解析式可得m的值，同理可得n的值；
②根据m、n的值描点即可；
③用平滑的曲线顺次连接各点即得图象；
（3）观察函数图象，逐项判断即可得答案；
（4）由 可得 ，即知 ．
(1)解：函数 的自变量x的取值范围是x取任意实数；
故答案为：x取任意实数；(2)当 时， ，
当 时， ，
故答案为： ， ；
②补充点如图：
③用平滑的曲线顺次连接各点，把图象补充完整如上图；
(3)根据函数图象可知：函数图象是轴对称图形，故A正确，不符合题意；
当 时，y随x的增大而减小，故B不正确，符合题意，
函数值y都是非负数；故C正确，不符合题意；
若函数图象经过点 与 ，则 ；故D正确，不符合题意，
故答案为：B；
(4)∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
而 ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查二次函数的图象；掌握描点法画函数图象的方法，数形结合解题是
关键．44．（1） ；（2）当 时，函数 随 的增大而增大
【分析】
（1）根据待定系数法即可求解；
（2）求出对称轴，根据二次函数的图像与性质即可求解．
解：（1）∵抛物线 过点 和点 ，
，解得
∴这个函数得关系式为： ．
（2）∵二次函数 开口向下，对称轴为x=0，
∴当 时，函数 随 的增大而增大．
【点拨】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的运用．
45．（1）y=2x2-3；（2）C（5，-2）；D（ ，7）或（- ，7）．
【分析】
试题分析：（1）将A与B坐标代入二次函数解析式求出a与c的值，即可确定出二次
函数解析式；
（2）将C与D坐标代入二次函数解析式求出m与n的值，确定出C与D坐标即可．
解：（1）将A（1，-1），B（2，5）代入y=ax2+c得：
，
解得： ，
则二次函数解析式为y=2x2-3；
（2）将x=-2，y=m代入二次函数解析式得：y=m=5，即C（5，-2）；
将x=n，y=7代入二次函数解析式得：7=2n2-3，即n=± ，
即D（ ，7）或（- ，7）．【点拨】考点：1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数图象上点的坐标特征．
