文档内容
专题 22.38 《二次函数》全章复习与巩固（培优篇）
（专项练习）
一、单选题
1．已知函数y=（m2+m） +mx+4为二次函数，则m的取值范围是（ ）
A．m≠0 B．m ≠-1 C．m≠0，且m≠-1 D．m=-1
2．如图，函数y =-2x2 的图象是( )
A．① B．② C．③ D．④
3．在同一坐标中，一次函数y＝﹣kx+2与二次函数y＝x2+k的图象可能是( )
A． B． C． D．
4．抛物线y=2(x-1)2+c过(-2，y)，(0，y)， ( ，y)三点，则 大小关系是( )
1 2 3
A． B．
C． D．
5．已知函数 和 是关于x的函数，点 在函数 的图象上，点 在函数 的图象上，规定：当 时，有 ，那么称函数 和 具有“性质O”，则下列函数具有“性质
O”的是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
6．已知抛物线 （ ）经过 ， ， 三点，若
，且 ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点（﹣3，0），
下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③若（﹣5，y），（3，y）是抛物线上两点，则y＝y；
1 2 1 2
④4a+2b+c＜0，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，已知抛物线 （ ， ， 为常数， ）经过点 ，且对称轴为
直线 ，有下列结论：① ；② ；③ ；④无论 ， ， 取何值，
抛物线一定经过 ；⑤ ；⑥一元二次方程 有两个不相等的
实数根，其中正确结论有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．2020年6月中旬以来，北京市新冠肺炎疫情出现反弹，北京市民对防疫物资需求量激增．
某厂商计划投资产销一种消毒液，设每天产销量为x瓶，每日产销这种消毒液的有关信息如下表：
（产销量指生产并销售的数量，生产多少就销售多少，不考虑滞销和脱销）若该消毒液的单日产
销利润y元，当销量x为多少时，该消毒液的单日产销利润最大．（ ）
消毒 每瓶售价 每瓶成本
每日其他费用（元） 每日最大产销量（瓶）
液 （元） （元）
30 18 1200＋0.02x2 250
A．250 B．300 C．200 D．550
10．如图，正三角形ABC和正三角形ECD的边BC，CD在同一条直线上，将△ABC向右平
移，直到点B与点D重合为止，设点B平移的距离为x，BC＝2，CD＝4．两个三角形重合部分
的面积为Y，现有一正方形FGHT的面积为S，已知 ＝sin60°，则S关于x的函数图象大致为（
）
A． B．
C． D．11．如图，已知抛物线 的对称轴在 轴右侧，抛物线与 轴交于点 和
点 ，与 轴的负半轴交于点 ，且 ，则下列结论：① ；② ；③
；④当 时，在 轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点 ， （点
在点 左边），使得 ．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
12．抛物线 经过点 ，当 时 ，当 时 ，则 的取值
范围是__________.
13．如图，抛物线 与过点（0，-3）且平行于x轴的直线相交于点 、 ，
与 轴交于点C，若 为直角，则a=_______
14．如图1，E是等边 的边BC上一点（不与点B，C重合），连接AE，以AE为边向
右作等边 ，连接 已知 的面积（S）与BE的长（x）之间的函数关系如图2所示
（ 为抛物线的顶点）．
（1）当 的面积最大时， 的大小为______ ．
（2）等边 的边长为______ ．15．已知二次函数 ，当 时有最小值10，则m的值为_______．
16．如图，等腰 的三个顶点分别在等边 的三条边上， ，已知
，则 面积的最小值是___________．
17．已知抛物线 经过点 ，且与 轴交于 ， 两点，若点
为该抛物线的顶点，则当 面积最小时，抛物线的解析式为______．
18．若二次函数 （a，m，b均为常数， ）的图像与 轴两个交点的坐
标是 和 ，则方程 的解是____________．
19．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的一边AB在x轴上，顶点B在x轴正半轴上．
若抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D，则点B的坐标为______．
20．如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边向右侧作
正方形CEFG，连接DF，DG，则 面积的最小值为__________．21．如图，正方形 的一个顶点与原点 重合， 与 轴的正半轴的夹角为15°，点
在抛物线 的图象上，则 的长为______．
22．如图，在直角坐标系中，点A（0，a2-a）和点B（0，-3a-5）在y轴上，点M在x轴负
半轴上，S ABM=6．当线段OM最长时，点M的坐标为______．
△
23．如图，在等边三角形 中， 是线段 上一点，以 为边在 右侧作等
边三角形 ，连结 ．
（1）若 时， _________
（2）设 ，当 的面积最大时， __________．三、解答题
24．已知抛物线 ： 与 轴交于 、 两点与 轴交于点 ，顶点
为 ．
(1)求抛物线 的表达式；
(2)将抛物线 绕原点 旋转 后得到抛物线 ， 的顶点为 ，点 为 上的一点，
当 的面积等于 的面积时，求点 的坐标．
25．如图，抛物线 与直线y＝x＋n交于点 和点B．
(1)求m和n的值；
(2)求点B的坐标；
(3)结合图象请直接写出不等式 的解集；
(4)点P是直线AB上的一个动点，将点P向左平移5个单位长度得到点Q，若线段PQ与抛
物线只有一个公共点，直接写出点P的横坐标 的取值范围．
26．某农场有100亩土地对外出租，现有两种出租方式：
方式一 若每亩土地的年租金是400元，则100亩土地可以全部租出．每亩土地的年租金每
增加5元土地少租出1亩．
方式二 每亩土地的年租金是600元．
(1)若选择方式一，当出租80亩土地时，每亩年租金是_____元；(2)当土地出租多少亩时，方式一与方式二的年总租金差最大？最大值是多少？
(3)农场热心公益事业，若选择方式一，农场每租出1亩土地捐出a元 给慈善机构；若
选择方式二，农场一次性捐款1800元给慈善机构，当租出的土地小于60亩时，方式一的年收入
高于方式二的年收入，直接写出a的取值范围．
（注：年收入＝年总租金－捐款数）
27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点 和B
（点B在A的右侧），与y轴交于点 ，点P是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接AP，与y轴交于点D，连接BD，当 时，求点P的坐标；
(3)连接OP，与线段BC交于点E，点Q是x轴正半轴上一点，且 ，当 的值
最小时，请直接写出点Q的坐标．参考答案
1．C
解：由y=（m2+m） +mx+4为二次函数，得m2+m≠0，解得m≠0，m≠-1，
故选C．
【点拨】此题主要考查了二次函数的概念，明确形如y=a +bx+c（a、b、c是常数，a≠0）
的函数，叫做二次函数，是解题关键.
2．C
解：根据二次函数解析式可知a=-2＜0，函数的图象开口向下，且经过原点，
当x=1时，y=-2，
因此可知其图象为③.，
故选：C.
【点拨】此题主要考查了二次函数y=ax2的图象与性质，解题关键是根据函数的系数a判断
其方向，然后根据个别特殊点的坐标确定其位置.
3．A
【分析】
由二次函数y＝x2+k得抛物线开口向上，排除B；根据一次函数y＝﹣kx+2，得直线与y轴的
正半轴相交，排除D；根据A、C可知，k＜0，故选A.
解：由二次函数y＝x2+k得抛物线开口向上，排除B；
根据一次函数y＝﹣kx+2，得直线与y轴的正半轴相交，交点为(0，2)，排除D；
根据A、C可知，抛物线交y轴于负半轴，所以k＜0，故选A.【点拨】本题为判断一次函数与二次函数图象问题，关键是明确各个系数与二次函数与一次
函数图象的关系.
4．D
【分析】
由题意可知抛物线开口向上，对称轴是直线x=1，求出( ，y) 直线x=1的对称点，然后根
3
据二次函数的增减性可以判断y，y，y 的大小关系，从而可以解答本题．
1 2 3
解：∵y=2(x-1)2+c，2>0，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x=1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小；( ，y)关于直线x=1的对称点是( ，y)，
3 3
∵-2< <0<1
∴y＞y＞y，
1 3 2
故选D．
【点拨】本题考查二次函数的增减性，解答本题的关键是掌握二次函数的增减性，把三个点
通过对称性转移到对称轴的同一侧，然后利用二次函数的增减性解答．
5．C
【分析】
将点 代入函数 ，点 代入函数 ，根据当 时，有 ，可得一元二次
方程，利用 判断方程是否有解，即可求解．
解：将点 代入 可得：
将点 代入 可得：
∵
∴
∵
∴
∴ ，即
∵∴方程无解，故A选项不符合题意
将点 代入 可得：
将点 代入 可得：
∵
∴
∵
∴
∴ ，即
∵
∴方程无解，故B选项不符合题意
将点 代入 可得：
将点 代入 可得：
∵
∴
∵
∴
∴ ，即
∵
∴方程有解，故C选项不符合题意
将点 代入 可得：
将点 代入 可得：
∵
∴
∵∴
∴ ，即
∵
∴方程无解，故D选项不符合题意
故选C．
【点拨】本题属于新定义类问题，根据给出定义构造方程，利用根的判别式判断方程是否有
解，从而达到解决问题的目的．
6．C
【分析】
先求出抛物线的对称轴，再根据 ，可知抛物线对称轴为x=m，即M点是抛物线的
顶点，再根据m＜1，结合 和 的横坐标，可知点P距离对称轴x=m更近，Q点距
离对称轴x=m更远，再根据a＜0，抛物线开口朝下，即可判断．
解：由 可知抛物线的对称轴为 ，
∵ ，
∴ ，
∴抛物线的对称轴为 ，即M点是抛物线的顶点，
∵m＜1，
∴ ，
∴可知点P距离对称轴x=m更近，点Q距离对称轴x=m更远，
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴越接近对称轴的点其函数值越大，且此时函数有最大值，最大值为 ，
∴ ，
当m=-1时，即有 ，
∴综上有： ，
故选：C．【点拨】本题考查了抛物线图像的特征与系数之间的关系、抛物线对称轴的性质，对于开口
向下的抛物线，抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，理解这一点是解答本题的关键．
7．C
【分析】
根据题意和函数图象，利用二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以
解答本题．
解：由图象可得，
， ， ，则 ，故①正确；
∵该函数的对称轴是 ，
∴ ，得 ，故②正确；
∵ ， ，
∴若（﹣5，y），（3，y）是抛物线上两点，则 ，故③正确；
1 2
∵该函数的对称轴是 ，过点（﹣3，0），
∴ 和 时的函数值相等，都大于0，
∴ ，故④错误；
故正确是①②③，
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
8．D
【分析】
①根据图象开口向上，对称轴位置，与y轴交点分别判断出a，b，c的正负；②根据对称轴
公式 ， 判断 之间的关系；③根据 时， ，比较 与0的大小；
④根据抛物线的对称性，得到 与 时的函数值相等结合②的结论判断即可；⑤根据抛物
线对称轴找到顶点坐标的纵坐标，比较任意一点与顶点的纵坐标值，即比较函数值的大小即可判
断结论；⑥方程 的解即为抛物线 与直线 的交点的横坐标即可得
到结论．
解：①∵抛物线图象开口朝上，∴ ，
∵抛物线对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，即 ，故②错误；
∵抛物线图象与y轴交点位于x轴下方，
∴c<0，
，故①正确；
③ 经过 ，
又由①得c<0， ，
，故③正确；
④根据抛物线的对称性，得到 与 时的函数值相等，
当 时 ，即
，
即 ，
经过 ，即经过 ，故④正确；
⑤当 时， ，当 时， ，
，
函数有最小值 ，
，
∴ ，
∴ ，故⑤正确；
⑥方程 的解即为抛物线 与直线 的交点的横坐标，结合
函数图象可知，抛物线 与直线 有两个不同的交点，即方程 有两个不相等的实数根，故⑥正确；
综上所述：①③④⑤⑥正确．
故选D．
【点拨】本题考查二次函数图象与性质，二次函数解析式中系数与图象的关系，结合图像逐
项分析，结已知条件得出结论是解题的关键．
9．D
【分析】
根据单日利润=单日的销售量×每瓶的利润－每日其他费用即可列出函数关系式，然后利用函
数的最值问题即可求解 ．
解：根据题意，得
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴抛物线的开口向下， 有最大值，
又∵ ，
∴当 时， ，
故选：D
【点拨】本题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键．
10．A
【分析】
根据题意由 ＝sin60°，得：S＝ ，分段讨论函数图象，根据等边三角形的性质求得 ，
进而根据二次函数图象的性质求解即可
解：由 ＝sin60°，得：S＝
①当0≤x≤2时，则两个三角形重合部分为边长为x的正三角形，
则Y＝ x2，
故S＝ ＝ × x2＝ x2，
则该函数为开口向上的抛物线，当x＝2时，S＝ x2＝2；
②当2＜x＜4时，
此时则两个三角形重合部分为边长为2的正三角形，
故S＝2；
③当4≤x≤6时，
同理可得：S＝ （6﹣x）2，
则该函数为开口向上的抛物线，
当x＝4时，S＝ （6﹣x）2＝2，当x＝6时，S＝0；
故选：A．
【点拨】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象的性质和特殊角的三角函数值，根
据题意分三段列出函数解析式是解题的关键．
11．B
【分析】
依据抛物线的图像和性质，根据题意结合二次函数图象与系数的关系，逐条分析结论进行判
断即可
解：①从图像观察，开口朝上，所以 ，
对称轴在 轴右侧，所以 ，
图像与 轴交点在x轴下方，所以
，所以①不正确；
②点 和点 ，与 轴的负半轴交于点 ，且
设 代入 ,得：，所以②正确；
③ ，
设抛物线解析式为： 过
，所以③正确；
④如图：设 交点为P，对称轴与x轴交点为Q，顶点为D，
根据抛物线的对称性， 是等腰直角三角形，
，
，
又对称轴
由顶点坐标公式可知
由题意 ，解得 或者
由①知 ，所以④不正确．
综上所述：②③正确共2个
故选B．
【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用了数形结合的思想，二次函数（a≠0），a的符号由抛物线的开口决定；b的符号由a及对称轴的位置确定；c的
符号由抛物线与y轴交点的位置确定，此外还有注意利用特殊点1，-1及2对应函数值的正负来
解决是解题的关键．
12．
【分析】
将点 代入 ，得 ，再将x与y的对应关系代入函数解析式得到不
等式组，解不等式组即可求得k的取值范围.
解：将点 代入 ，
得36a+k=2，
∴ ，
当 时 ，当 时 得 ，
解得 ，
∴ ，
故填 .
【点拨】此题考查二次函数的性质，将点的横纵坐标代入函数解析式即可得到对应的不等式
组，注意将点 代入 ，得36a+k=2是解题的关键，可将不等式组中的a用含k
的代数式表示，解不等式组即可求解.
13．
【分析】
直线AB与y轴交于点D，如图，则D（0，-3），利用二次函数的性质得到C（0，1），再
证明 ABC为等腰直角三角形得到CD=AD=BD=4，所以B（4，-3），然后把B点坐标代入
△y=ax2+1即可得到a的值．
解：直线AB与y轴交于点D，如图，则D（0，-3），
∵C（0，1），
∴CD=4，
∵AB过点（0，-3）且平行于x轴，
∴△ABC为等腰三角形，
∵∠ACB=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴CD=AD=BD=4，
∴B（4，-3），
把B（4，-3）代入y=ax2+1得16a+1=-3，解得a=- ．
故答案为- ．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
也考查了二次函数的性质和等腰直角三角形的性质．
14．
【分析】
（1）过点F作FD⊥BC于点D，由已知先证 ≌ ，得 ， ，
进可得∠FCD的度数，所以可求得FD，设等边△ABC的边长为a，则可把△ECF的面积表示出
来，并求出面积的最大值，此时便可求得∠FEC的度数；
（2）由图知△ECF的最大值，由（1）中计算知道它的面积的最大值，则两者相等，可求得
等边△ABC的边长．
解：过F作 ，交BC的延长线于D，如图：
为等边三角形， 为等边三角形，
， ， ，
，≌ ，
， ，
，
， ，
，
设等边 边长是a，则 ，
，
当 时， 有最大值为 ，
(1)当 的面积最大时， ，即E是BC的中点，
， ，
，
，
故答案为： ；
（2）当 时， 有最大值为 ，
由图可知 最大值是 ，
，解得 或 边长 ，舍去 ，
等边 的边长为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查等边三角形及二次函数知识，解题关键是证明由 ≌ ，用x的
代数式表示 的面积．
15． 或7##7或-1【分析】
对对称轴的位置进行分类讨论，再根据最小值求出m的值即可．
解：当m<2时，二次函数在x=2时取得最小值，
所以 ，解得 ， （舍）；
当 时，二次函数在x=m时取得最小值，
∴所以 ，该方程无解；
当m>4时，二次函数在x=4时取得最小值，
所以 ，解得 ， （舍）；
故答案为： 或7．
【点拨】本题考查二次函数的性质，熟练掌握这些知识点是解题关键，同时注意分类讨论思
想的使用．
16．
【分析】
过E作EM⊥AB于M，过F作FN⊥AB于N，则 ，设 ，用x、
y表示出AB的长度即可得到x、y的关系式，最后根据 求最值即可．
解：过E作EM⊥AB于M，过F作FN⊥AB于N，设 ，
∵等腰
∴ （AAS）
∴
∵等边∴
∴
∵
∴
即
整理得
∴
∴
∴当 时， 最小．
故答案为： ．
【点拨】本题综合考查全等三角形中的一线三垂直模型、等边三角形的性质、二次函数最值，
利用二次函数来求最值是解题的关键．
17．y=x2-4x+3
【分析】
A、B两点在x轴上，用|AB|=|a-b|表示线段AB的长，由两根关系转化为m、n的表达式，根
据顶点坐标公式得P（ ），故有 ，将点（2，-1）代入解析
式得4+2m+n=-1，即n=-2m-5转化为关于m的二次函数，求面积最小时m、n的值．
解：由题意知4+2m+n=-1，即n=-2m-5，
∵A（a，0）、B（b，0）两点在抛物线y=x2+mx+n上，
∴a+b=-m，ab=n，又
∵n=-2m-5，
∴
∴ ，P点纵坐标为 ，
∴ ，
所以，当m=-4时，S PAB最小，此时，
△
此时，该抛物线解析式为y=x2-4x+3．
故答案是：y=x2-4x+3
【点拨】本题属于二次函数综合题，考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法确定函数解析
式，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征以及求三角形的面积问题，将原题转化为二
次函数最值问题是解答的基本思路．
18． ，
【分析】
根据抛物线y=a（x+m）2+b与x轴的两交点为（-2，0），（1，0），得出方程a（x+m）
2+b=0的解，然后根据方程a（x+m）2+b=0的解与a（x+m+2）2+b=0的解的关系得出答案即可．
解：∵抛物线y=a（x+m）2+b与x轴的两交点为（-2，0），（1，0），
∴方程a（x+m）2+b=0的解为x=-2，x=1，
1 2
∴方程a（x+m+2）2+b=0中，x+2=-2或x+2=1，
∴方程a（x+m+2）2+b=0的解为x=-4，x=-1．
1 2
故答案为：x=-4，x=-1．
1 2
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点坐标与对应的一元二次
方程的关系是解题的关键．
19．（2，0）
【分析】
根据抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D和二次函数图象具有对称性，可以求得该抛物线的对
称轴和CD的长，然后根据菱形的性质和勾股定理可以求得AO的长，从而可以求得OB的长，
进而写出点B的坐标．解：∵抛物线y＝x2﹣5x+4，
∴该抛物线的对称轴是直线x ，点D的坐标为（0，4），
∴OD＝4，
∵抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D，
∵四边形ABCD为菱形，AB在x轴上，
∴CD∥AB，即CD∥x轴，
∴CD 2＝5，
∴AD＝5，
∵∠AOD＝90°，OD＝4，AD＝5，
∴AO 3，
∵AB＝5，
∴OB＝5﹣3＝2，
∴点B的坐标为（2，0），
故答案为：（2，0）．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题
的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
20． ##1.5
【分析】
设 ，则 ，过点D作 PQ∥EF交CE于Q，GF于P，证明
四边形EQPF是矩形，得到EC=EF=PQ，即可推出
，从而得到
，由此利用二次函数的性质求解即可．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CDE=90°，
设 ，则 ，过点D作 PQ∥EF交CE于Q，GF于P，
∵四边形CEFG是正方形，
∴∠QEF=∠EFP=90°，EF=EC=FG，
∴∠EQP=90°，
∴四边形EQPF是矩形，
∴EC=EF=PQ，
∴
，
，
当 时， 面积的最小值为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，二次函数的应用，
解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
21．
【分析】
连接OB，根据正方形的对角线平分一组对角线可得∠BOC＝45°，过点B作BD⊥y轴于D，
然后求出∠BOD＝60°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OD＝ OB，设
OD=x，再利用勾股定理列式求出BD，从而表示点B的坐标，再把点B的坐标代入抛物线解析式
求解即可．
解：如图，连接OB，∵四边形OABC是正方形，
∴∠BOC＝45°，
过点B作BD⊥y轴于D，
∵OC与y轴正半轴的夹角为15°，
∴∠BOD＝45°+15°＝60°，
∴∠OBD＝30°，
∴OD＝ OB，设OD=x，
∴ ，
∴点B的坐标为（ ，x），
∵点B在抛物线y＝ x2的图象上，
∴ （ ）2＝x，
解得x＝1．
∴OB=2,设AO=AB=a，
2a2=4，
∵a>0，解得a= ，
故答案为： ．
【点拨】本题是二次函数综合题型，主要利用了正方形的性质，直角三角形30°角所对的直
角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，二次函数图象上点的坐标特征，熟记正方形性质
并求出OB与x轴的夹角为30°，然后表示点B的坐标是解题的关键．
22．（-3，0）
【分析】
根据A、B点坐标求出AB的长，然后根据三角形面积公式求解出S 的高即OM的长，然
ABM
△后确定AB的最小值时对应的OM长即可确定M点坐标．
解：由题意得：
∵
∴ ，即
∴当OM最长，即AB最小时对应的OM即为所求
令
∵
∴当 时，t取得最小值为4,
∴OM=3
∴M点坐标为
故答案为 ．
【点拨】本题考查了二次函数的最值，利用二次函数的性质进行求解是本题的关键．
23． 4. 3.
【分析】
（1）根据△ADE与△ABC都是等边三角形，容易得到全等条件证明△CAE≌△BAD，再根
据全等三角形的性质即可求解；
（2）作 于F，先求出∠CEF=30°，然后用a表示出DC、EF，再用面积公式表示出
面积，最后用二次函数的性质即可求解.
解：（1）∵△ADE与△ABC都是等边三角形，
∴AC=AB=BC=6，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°．
∴∠DAE-∠CAD=∠BAC-∠CAD．
即∠CAE=∠BAD．
在△CAE和△BAD中，
，∴△CAE≌△BAD（SAS）．
∴EC=DB；
∵ ,
∴DB=6-2=4，
∴CE =4；
故答案是：4.
（2）如图，作 于F，
∵ ，
∴CE =a，DC=6- a，
∵△CAE≌△BAD，
∴∠ACE=∠ABC=60°．
∴∠FCE=180°-60°-60°=60°，
在Rt△ECF中，∠CEF=30°，
∴CF = CE = a，
∴EF= ，
∴ = ，
∴当a=3时， 最大为 .
故答案是：3.
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、二次函数的性质．
发现全等三角形是解决问题的关键．
24．(1) (2) ，【分析】
（1）利用待定系数法解得即可；
（2）先确定抛物线 的顶点，由于抛物线 和抛物线 关于原点对称，确定出抛物线
的解析式，设 ，过点 作 轴交 于点 ，由 ， 得
到直线 的表达式为 ，进而求出用 表示出 点坐标和 的长，
再根据 的面积等于 的面积得到关于 的方程，最后求出 的值得解．
解：(1)∵ 与 轴交于 、 ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线 的表达式为 ．
(2)∵ ，
∴ ．
∴ ．
： ．
∴ ．
∵ 与 关于原点对称，
∴ ，
∴ ．
设 ，过点 作 轴交 于点 ，
由 ， 得到直线 的表达式为 ．
∴ ．
∴ ．
∴ ，即 ，
解得 ， ．
∴ ， ．
【点拨】本题主要考查了抛物线与 轴的交点，二次函数的性质，二次函数的图象上点的坐
标特征，其中用待定系数法确定二次函数解析式，二次函数的图象与几何变换，利用点的坐标表
示出相应线段的长度是解本题的关键．
25．(1) (2)（-1，-3）(3) 或 (4) 或
【分析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）联立抛物线和直线解析式进行求解即可；
（3）根据不等式 的解集即为抛物线函数图象在直线函数图象下方或交点处
的自变量的取值范围，进行求解即可；（4）分点P在点B下方，点P在线段AB上，点P在A点上方进行讨论求解即可．
(1)解：∵抛物线 与直线y＝x＋n交于点 和点B，
∴ ，
∴ ；
(2)解：由（1）得抛物线解析式为 ，直线解析式为 ，
联立 ，
解得 或 （舍去），
∴点B的坐标为（-1，-3）；
(3)解：由题意得不等式 的解集即为抛物线函数图象在直线函数图象下方或交
点处的自变量的取值范围，
∴不等式 的解集为 或 ；
(4)解：如图所示，当点P在点B下方时，线段PQ与抛物线没有交点；
当点P在线段AB之间（包含B不包含A）时，线段PQ与抛物线只有一个交点，此时
，当P在A点时，线段PQ与抛物线有两个交点；
当线段PQ恰好经过抛物线顶点时，线段PQ与抛物线恰好只有一个交点，
∵抛物线解析式为 ，
∴抛物线顶点坐标为（1，1），
∴此时点P的纵坐标为1，
∴点P的坐标为（3，1），
∴ ；
综上所述，线段PQ与抛物线只有一个公共点， 或 ．【点拨】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，待定系数法求函数解析式，图象法解不
等式等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
26．(1)500(2)30亩；4500元(3)
【分析】
（1）依据出租方式进行列式计算即可；
（2）分别计算出方式一与方式二的总租金，再计算差，得二次函数，依据二次函数的性质
求解即可；
（3）根据题意得到关系式 ，根据方式 一的年收入高于方式二的
年收入可得关于a的不等式，即可求出a的即会范围．
解：(1)若选择方式一，当出租80亩土地时，每亩年租金是：
（元）
故答案为：500；
(2)设出租 亩土地，则方式一的每亩年租金为： ，
∴方式一的年总租金为：
方式二的年租金为
设方式一与方式二的年总租金差为y元，由题意得，
∵
∴当 时，y有最大值为4500∴当土地出租30亩时，方式一与方式二的年总租金差最大，为4500元；
(3)设出租 亩土地，方式一的年收入为： 方式二的年收入为：
；
设方式一与方式二的年总租金差为w元，由题意可得，
所以，对称轴为直线
∵
∴对称轴直线
∵
∴当 时，w取得最小值
租出的土地小于60亩时，方式 一的年收入高于方式二的年收入，则
即：
解得， ，
∵
∴a的取值范围为：
【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图象与性质，解题时要读懂题意，列
出二次函数关系式．
27．(1) (2) (3)
【分析】
（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据全等三角形的性质可得 ，求得直线 的解析式为 ，联立抛物
线解析式，解方程即可求解；
（3）在线段 上，取 ,作 关于 轴的对称点 ,连接 ，连接 交
轴于点 ，证明 ，进而根据轴对称图形的性质求得，当且仅当 共线时取得最小值，即点 在直线 上，待定系数法求解析式，进而即可求解．
解：(1)将 ， ，代入 ，得
(2)
，
设直线 的解析式为
联立
解得 或(3)如图，根据题意，可知 点在 点左侧，
在线段 上，取 ,作 关于 轴的对称点 ,连接 ，连接 交 轴于
点 ，
，令 ，解得
则 ，
是等腰直角三角形，当且仅当 共线时取得最小值，即点 在直线 上，
，
则
设直线 的解析式为 ，
解得
直线 的解析式为
令 ，解得
【点拨】本题考查了待定系数法求解析式，全等三角形的性质与判定，轴对称的性质，掌握
以上知识是解题的关键．
