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专题 22.37 《二次函数》全章复习与巩固（巩固篇）
（专项练习）
一、单选题
1．已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y=2（x+3）2-2x2；⑤y＝
ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，点A，点B的坐标分别为 ， ，抛物线 的顶点在线段
AB上运动，与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．若点D的横坐标的最大值为6，则点
C的横坐标的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
3．二次函数y＝﹣ （x﹣4）2+3图象的顶点坐标是（ ）
A．（﹣4，3） B．（﹣2，﹣3） C．（4，3） D．（2，3）
4．已知点A（－3，y），B（0，y），C（3，y）都在二次函数y＝－（x＋2）2＋4的图象
1 2 3
上，则y，y，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y＜y＜y B．y＝y＜y C．y＜y＜y D．y＜y＜y
3 2 1 1 3 2 1 2 3 1 3 2
5．已知二次函数 （ ， ， 是常数，且 ）的自变量 与函数值 的部分
对应值如下表：
… 0 1 2 …… …
当 时，与其对应的函数值 ，给出下列四个结论：① ；②关于 的方程
的两个根是 和2；③ ；④ （ 为任意实数．）其中正确
结论的个数是（ ）A．1 B．2 C．3D．4
6．如图，已知抛物线 与直线y＝x交于 和 两点，有以下结论：①
；②3b＋c＋6＝0；③当 时， ；④当 时，
，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知二次函数 （ ）的图象如图所示，对称轴为直线 ，与 轴的一
个交点为 ．给出下列结论：① ；② ；③图象与 轴的另一个交点
为 ；④当 时， 随 的增大而减小；⑤不等式 的解集是 ．其
中正确结论的个数是（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．如图，抛物线 与直线 交于A、B两点，下列是关于x的不等式或
方程，结论正确的是（ ）
A． 的解集是 B． 的解集是
C． 的解集是 D． 的解是 或
9．已知，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，矩形PQNM的四个．顶点分别在菱形的四
边上，则矩形PMNQ的最大面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．如图，在平面直角坐标系中，点 是抛物线 的图象的顶点，点 ， 的
坐标分别为 ， ，将 沿 轴向下平移使点 平移到点 ，再绕点 逆时针旋转 ，若此时点 ， 的对应点 ， 恰好落在抛物线上，则 的值为（ ）
A． B．－1 C． D．－2
二、填空题
11．当m＝____________时，函数 是二次函数．
12．在同一个平面直角坐标系 中，二次函数 ， ， 的图象如图所
示，则 的大小关系为___________（用“ ”连接）．
13．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，抛物线y＝a（x﹣2）2＋1（a＞0）的顶点
为A，过点A作y轴的平行线交抛物线 于点B，连接AO、BO，则△AOB的面积为
________．14．抛物线 的图象如图所示，点A，A，A，A…，A 在抛物线第一象限的
1 2 3 4 2022
图象上，点B，B，B，B.．．，B 在y轴的正半轴上， 、 、…、
1 2 3 4 2022
都是等腰直角三角形，则 ________．
15．在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象上两点A， 的横坐标分别为
，2．若 为直角三角形，则 的值为______．
16．如图，正方形 的顶点 在抛物线 的第一象限的图象上，若点 的横坐标与
纵坐标之和等于6，则对角线 的长为______．
17．在平面直角坐标系中，点A是抛物线 与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且 轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为_____．
18．平面直角坐标系中，将抛物线 平移得到抛物线C，如图所示，且抛物线C经过
点 和 ，点P是抛物线C上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，
则 的最大值为______．
19．已知二次函数 的图象如图所示，下列结论中： 是方程
的一个根； 当 时， 随 的增大而减小； ；正
确的是______ 把所有正确结论的序号都写在横线上
20．如图，抛物线 与图象l关于直线 对称，则图象l所对应的关于x与y
的关系式为______．21．已知直线y x＋b经过点A（﹣1，2）和B（m，1），则m＝____，若抛物线y
x2﹣x＋a与线段AB有交点，则a的取值范围是____．
22．如图，在 中， ， ， 为边 上一动点（ 点除
外），连接 ，作 ，且 ，连接 ，则 面积的最大值为 _________．
三、解答题
23．已知二次函数y＝－x2＋4x.
(1)用配方法把该函数化为y＝a(x－h)2＋k的形式；
(2)求该函数图象的对称轴和顶点坐标．
24．如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a为常数且a≠0）与y轴交于点A（0， ）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若直线y＝kx （k≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x，x，当x2+x2
1 2 1 2
＝10时，求k的值；
（3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值 ，求m的值．25．受“新冠”疫情的影响，某销售商在网上销售A、B两种型号的“手写板”，获利颇丰．
已知A型，B型手写板进价、售价和每日销量如表格所示：
进价（元/个） 售价（元/个） 销量（个/日）
A型 600 900 200
B型 800 1200 400
根据市场行情，该销售商对A手写板降价销售，同时对B手写板提高售价，此时发现A手写
板每降低5就可多卖1，B手写板每提高5就少卖1，要保持每天销售总量不变，设其中A手写板
每天多销售x，每天总获利的利润为y
（1）求y、x间的函数关系式并写出x取值范围；
（2）要使每天的利润不低于234000元，直接写出x的取值范围；
（3）该销售商决定每销售一个B手写板，就捐a元给 因“新冠疫情”影响的困
难家庭，当 时，每天的最大利润为229200元，求a的值．
26．综合与探究
如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线W的函数表达式为y=﹣ x2+ x+4．抛物线W
与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点D，直线
l经过C、D两点．
(1)求A、B两点的坐标及直线l的函数表达式．
(2)将抛物线W沿x轴向右平移得到抛物线W′，设抛物线W′的对称轴与直线l交于点F，当
△ACF为直角三角形时，求点F的坐标，并直接写出此时抛物线W′的函数表达式．(3)如图2，连接AC，CB，将△ACD沿x轴向右平移m个单位（0＜m≤5），得到△A′C′D′．
设A′C交直线l于点M，C′D′交CB于点N，连接CC′，MN．求四边形CMNC′的面积（用含m的
代数式表示）．
参考答案
1．A
【分析】
根据二次函数的定义判断即可；
解：y＝2x﹣1是一次函数；
y＝﹣2x2﹣1是二次函数；
y＝3x3﹣2x2不是二次函数；
④y=2（x+3）2-2x2 ，不是二次函数；y＝ax2+bx+c，没告诉a不为0，故不是二次函数；
故二次函数有1个；
故答案选A．
【点拨】本题主要考查了二次函数的定义，准确判断是解题的关键．
2．C
【分析】
当D点横坐标最大值时，抛物线顶点必为 ，可得此时抛物线的对称轴为直线 ，
求出 间的距离；当C点横坐标最小时，抛物线顶点为 ，再根据此时抛物线的对称轴及
的长，可判断C点横坐标的最小值．
解：当点D横坐标为6时，抛物线顶点为 ，
∴对称轴为直线 ， ；
当抛物线顶点为 时，抛物线对称轴为直线 ，
∵ ，
∴ ，
∴点C的横坐标最小值为 ，
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数的性质和图象．明确CD的长度是定长是解题的关键．
3．C
【分析】
根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．
解：∵y＝﹣ （x﹣4）2+3，
∴此函数的顶点坐标为（4，3），
故选：C．
【点拨】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标
是（h，k），对称轴是直线x=h．
4．A
【分析】
先确定抛物线的对称轴，然后比较三个点到对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应的函数值的大小．
解：二次函数y＝﹣（x+2）2+4图象的对称轴为直线x＝﹣2，
又∵a=-1，二次函数开口向下，
∴点到对称轴越近，函数值越大；
∵点A（﹣3，y）到直线x＝﹣2的距离最小，点C（3，y）到直线x＝﹣2的距离最大，
1 3
∴y＜y＜y．
3 2 1
故选：A．
【点拨】本题考查二次函数的图象及性质；理解开口向上的函数，点到对称轴距离越远，其
函数值越大，反之，开口向下，点到对称轴越近，函数值越大是解题的关键．
5．C
【分析】
利用抛物线的图象与性质逐一判断即可．
解：由表格可知，该抛物线图象经过点 ，
∴该抛物线的对称轴为 ， ；
∵当 时，与其对应的函数值 ，
∴抛物线开口向上，
∴ ，
∴ ，故①正确；
由图象经过的点和抛物线对称性可知， ，故②正确；
由当 时，与其对应的函数值 ，
得到
∴ ，
当 时， ，
∴ ，故③错误；
由对称轴为 ，图象开口向上可得：，
∴ ，故④正确；
故选：C．
【点拨】本题考查了抛物线的图象与性质，解题十五关键是掌握抛物线的对称轴公式以及利
用抛物线的对称性进行解决问题，并能正确利用点的坐标判断代数式的取值情况．
6．B
【分析】
由函数 与x轴无交点，可得 来判断①；当 时，
来判断②；当 时，二次函数值小于一次函数值，可得 来求解③；把 和
两点代入 求出抛物线解析式进行得用抛物线与双曲线的交点坐标，分第一象
限内和第三象限内来求解④．
解：∵函数 与x轴无交点，
∴ ，故①不正确；
当x=3时， ，
即 ，故②正确；
∵当 时，二次函数值小于一次函数值，
∴ ，
∴ ，故③正确；
把 和 两点代入 得抛物线的解析式为 ，
当 时， ， ，
抛物线和双曲线的交点坐标为 ，
第一象限内，当 时， ；或第三象限内，当 时， ，故④错误．
综上所述，正确的有②③共2个．
故选：B．
【点拨】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用，注意掌握数形结合思想的应用．
7．C
【分析】
根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
解：①由图象可知：抛物线与x轴有两个交点，
∴ ，故①错误；
②当 时， ，由图象可知当 时， ，
∴ ，故②正确；
③ 关于直线x=1的对称点为 ，故③正确；
④当 时，由图象可知y先随x的增大而增大，再随x的增大而减小，故④错误；
⑤由图象及③可知，抛物线与x轴的交点为 ， ，
∴当 时， 可 ，故⑤错误；
综上，有②，③是正确的，故有2个正确的，
故选：C．
【点拨】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的位置与系数a，b，c的关系是
正确判断的关键．
8．D
【分析】
根据函数图象可知，不等式ax2+bx+c>kx+h，即 的解集为：x<2或>4；方
程ax2+bx+c=x+h，即 的解为 或 ．据此即可求解．
解：由函数图象可得，不等式ax2+bx+c>kx+h，即 的解集为：x<2或>4；
故A、B、C不符合题意；
方程ax2+bx+c=x+h，即 的解为 或 ，故D符合题意；故选：D．
【点拨】本题考查二次函数与不等式，方程的联系，利用图象法求解，掌握数形结合思想是
解题的关键．
9．D
【分析】
连接AC，BD，得到ΔABC为等边三角形，设AP＝a，AE＝CF a，
从而求出EF=6-a，求出PQ= ,即可得出S与a的函数关系式,即可得到答案.
解：如图：
连接AC，BD交于点O，AC分别交PQ，MN于点E，F．
∵菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，∠ABD＝30°，
∴AC＝AB＝6．
∵矩形MNQP，
∴PQ∥BD，PM＝EF，PQ⊥AC．
∴∠APE＝∠ABD＝30°，
设AP＝a，AE＝CF a，
∴EF＝PM＝6﹣a．
由勾股定理得：PE ．
∴PQ＝2PE a．
∴S PMNQ＝PM•PQ a×（6﹣a） （﹣a2+6a）
矩形
（a﹣3）2+9 ．∵ 0，
∴当a＝3时，矩形面积有最大值9 ．
故选：D．
【点拨】本题考查了菱形的性质，矩形的性质以及二次函数的性质，正确利用a表示出矩形
PMNQ的面积是关键．
10．A
【分析】
先根据题意确定抛物线顶点 的坐标，过 作 于 ，得到 ， 的长，再根据题
意， 与 重合，进而得到 和 的长，于是得到 的坐标，由于 在抛物线
上，进而求解．
解：过 作 于 ，如图
∵抛物线的解析式： ，
∴其顶点是 ，对称轴
∵
∴ ，
根据题意， 与 重合，
∵
∴
∴ ，∴
∵ ， 在抛物线 上
∴
∴
故选：A
【点拨】本题考查了二次函数与几何图形的综合，几何图形的平移与旋转的性质，掌握数形
结合的思想方法和灵活运用所学知识是解本题的关键．
11．－1
解：试题分析：根据二次函数的定义列出方程及不等式，解之即可.
解：∵函数 是二次函数
∴ 且
∴
故答案为－1.
12． ．
【分析】
抛物线的开口方向由a的符号决定，开口大小由 的绝对值决定，绝对值越大，开口越小．
解：∵二次函数y=ax2的开口最大，二次函数y=ax2的开口最小，
1 1 3 3
而抛物线的开口都是向上的，则二次项的系数都为正数，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向和开口大小由a的值决定是
解题的关键．
13．
【分析】
先求得顶点A的坐标，然后根据题意得出B的横坐标，把横坐标代入抛物线 ，得出B点坐标，从而求得A、B间的距离，最后计算面积即可．
解：设AB交x轴于C
∵抛物线线y＝a（x﹣2）2＋1（a＞0）的顶点为A，
∴A（2，1），
∵过点A作y轴的平行线交抛物线 于点B，
∴B的横坐标为2，OC=2
把x=2代入 得y=-3，
∴B（2，-3），
∴AB=1+3=4，
．
故答案为：4．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求得A、B的坐标是解题的关键．
14．
【分析】
先设第一个等腰直角三角形的直角边长为x，表示出点A 的坐标，代入二次函数的解析式，
1
求出x；设第二个等腰直角三角形的直角边长为m，表示出A 的坐标，代入二次函数的解析式，
2
求出m，同理求出第2022个等腰直角三角形的直角边长，即可求出斜边．
解：设AB=x，
1 1
∵△OAB 是等腰直角三角形，
1 1
∴OB=x，
1
则A 的坐标为（x，x），代入二次函数y= x2+ x，
1得x= x2+ x，
解得x=1或x=0（舍），
设AB=m，
2 2
∵△BAB 腰是等腰直角三角形，
1 2 2
∴BB=m，
1 2
∴A 的坐标为（m，1+m），
2
代入二次函数y= x2+ x，
得 m2+ m＝1+m，
解得m=2或m=-1（舍），
同理可求出AB=3，
3 3
AB=4，
4 4
∴B A =2022，根据勾股定理，
2022 2022
得B A = ，
2021 2022
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数图象与规律综合题，利用等腰直角三角形的性质和二次函数的
点坐标特征是解决本题的关键．
15． 或
【分析】
分两种情况讨论，如图，当 时，利用 建立方程求解即
可；当 利用 建立方程求解即可；从而可得答案.
解：如图，当 时，A， 的横坐标分别为 ，2,
，
过 作 于 则
解得： （负根舍去）
当
同理可得：
解得： （负根舍去）综上： 或
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，二次函数的性质，掌握“利用勾股定理求解两点之
间的距离”是解题的关键.
16．
【分析】
根据点B在抛物线y=x2的第一象限部分，可设B点坐标为（x，x2），则x＞0．根据B点的
横坐标与纵坐标之和等于6，列出方程x+x2=6，解方程求出x的值，再求出OB的长即可得到结
论．
解：连接OB，如图，
∵正方形OABC的顶点B在抛物线y=x2的第一象限部分，
∴可设B点坐标为（x，x2），且x＞0．
∵B点的横坐标与纵坐标之和等于6，
∴x+x2=6，
解得x=2，x=-3（不合题意舍去），
1 2
∴B（2，4），
∴OB2=22+42=20，
∴
∵四边形OABC是正方形，
∴ ．
故答案为 ．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，求出
B点坐标是解题的关键．17．24
【分析】
根据抛物线的解析式即可确定对称轴，则可以确定AB的长度，然后根据等边三角形的周长
公式即可求解．
解：抛物线 的对称轴是
过 点作 于点 ，如下图所示
则 ，则
则以 为边的等边 的周长为3×8=24．
故答案为24．
【点拨】此题考查了二次函数的性质，根据抛物线的解析式确定对称轴，从而求得AB的长
是关键．
18．
【分析】
求得抛物线C的解析式，设Q（x，0），则P（x，-x2+2x+3），即可得出OQ+PQ，根据二
次函数的性质即可求得．
解：设平移后的解析式为y=-x2+bx+c，
∵抛物线C经过点A（-1，0）和B（0，3），
∴ ，解得 ，
∴抛物线C的解析式为y=-x2+2x+3，
设Q（x，0），则P（x，-x2+2x+3），
∵点P是抛物线C上第一象限内一动点，
∴OQ+PQ=x+（-x2+2x+3）
=-x2+3x+3∴OQ+PQ的最大值为
故答案为：
【点拨】本题考查了二次函数的性质，平移，二次函数图象与几何变换，根据题意得出
OQ+PQ=-x2+3x+3是解题的关键．
19．
【分析】
由抛物线的开口方向判断 与 的关系，由抛物线与 轴的交点判断 与 的关系，然后根据
对称轴及抛物线与 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解： 抛物线开口向下，故 错误，不符合题意；
方程的一个根是 ，函数对称轴为： ，则 是方程 的一个根，符
合题意；
当 时， ，正确，符合题意；
当 时， 随 的增大而减小错误，不符合题意；
抛物线和 轴有两个交点，故 ，符合题意；
故答案为： ．
【点拨】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用函数图象确定字母系数的取值范
围，以及二次函数与方程之间的转换是解题的关键．
20．
【分析】
设（x，y）是图象l上的任意点，则它关于直线 的对称点一定在抛物线 上，
因此将对称点（y，x）代入抛物线即可．
解：设（x，y）是图象l上的任意点，
则关于直线 的对称点是（y，x），
把（y，x）代入 得 ，
故答案为： ．【点拨】本题主要考查了二次函数图像与几何变换的知识，明确关于 的对称的点的坐
标特征是解题的关键．
21． 2 a≤5##
【分析】
将点A坐标代入直线解析式求出b，再将点B坐标代入解析式求m的值．根据抛物线解析式
可得抛物线开口方向及对称轴，顶点坐标，再根据点A，B坐标求解即可．
解：将（﹣1，2）代入y x+b得2 b，
解得b ，
∴y x ，
把（m，1）代入y x 得1 m ，
解得m＝2，
∴点B坐标为（2，1），
∵y x2﹣x+a （x+1）2 a，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1， a），
当抛物线经过点A时， a＝2，
解得a ，
令 x2﹣x+a x ，整理得3x2+4x+10﹣6a＝0，
当Δ＝42﹣4×3（10﹣6a）≥0时， ，
把（2，1）代入y x2﹣x+a得1＝﹣2﹣2+a，
解得a＝5，
当 a≤5时，满足题意．故答案为：2； a≤5．
【点拨】本题考查一次函数与二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握函数与方程的
关系，掌握二次函数的性质．
22．4.5
【分析】
过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．由 ，
AB＝AC＝4，可得BC＝4 ，得到BM＝CM＝2 ，求得GB＝6，设BD＝x，则DG＝6−x，证
△EDH≌△DCG，EH＝DG＝6−x，求得S BDE，根据二次函数的性质求得最大值即可．
△
解：过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．
∵ ， ，
∴BM＝CM＝ ，
∴GB＝ ，
设BD＝x，则DG＝6−x，
∵ED＝DC，∠EDC=90°，∠EDH+∠GDC=90°，∠EDH+∠HED＝90°，
∴∠EHD＝∠DGC，∠HED＝∠GDC，
∴△EDH≌△DCG（AAS），
∴EH＝DG＝6−x，
∴S BDE＝ BD•EH＝ x(6−x)＝ (x−3)2＋4.5，
△
当x＝3时，△BDE面积的最大值为4.5．
故答案为4.5．【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，二次函数的性质以及全等三角形的判
定与性质，熟练运用以上知识是解题的关键．
23．(1)y=－(x－2)2＋4;(2) 对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，4)
【分析】
（1）利用配方法时注意要先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平
方式，可把一般式转化为顶点式；
（2）根据y＝a(x－h)2＋k的形式直接得出其对称轴和顶点坐标．
解：(1)y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4.
(2)由(1)得，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，4)．
【点拨】二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常
数）；（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x）（x-x）．
1 2
24．（1） ；（2） ；（3）
【分析】
（1）把 代入抛物线的解析式，解方程求解即可；
（2）联立两个函数的解析式，消去 得： 再利用根与系数的关系与
可得关于 的方程，解方程可得答案；
（3）先求解抛物线的对称轴方程，分三种情况讨论，当 ＜ ＜ 结合函
数图象，利用函数的最大值列方程，再解方程即可得到答案.
解：（1）把 代入 中，
抛物线的解析式为：
（2）联立一次函数与抛物线的解析式得：整理得：
∵x+x=4-3k，x•x=-3，
1 2 1 2
∴x2+x2=（4-3k）2+6=10，
1 2
解得：
∴
（3）∵函数的对称轴为直线x=2，
当m＜2时，当x=m时，y有最大值， =- （m-2）2+3，
解得m=± ，∴m=- ，
当m≥2时，当x=2时，y有最大值，
∴ =3，
∴m= ，
综上所述，m的值为- 或 ．
【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线与 轴的交点坐标，一
元二次方程根与系数的关系，二次函数的增减性，掌握数形结合的方法与分类讨论是解题的关键.
25．（1） （ ），且x为整数；（2） ，且x为整数；（3）a=30
【分析】
（1）根据题意列函数关系式和不等式组，于是得到结论；
（2）根据题意列方程和不等式，于是得到结论；
（3）根据题意列函数关系式，然后根据二次函数的性质即可得到结论．
解：（1）由题意得，
，
解得 ，
故 的取值范围为 且 为整数；
（2） 的取值范围为 ．
理由如下： ，
当 时， ，
， ，
解得： 或 ．
要使 ，
得 ；
，
；
（3）设捐款后每天的利润为 元，
则 ，
对称轴为 ，
，
，
抛物线开口向下，当 时， 随 的增大而增大，
当 时， 最大，
，
解得 ．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式的应用，列函数关系式等等，最大销
售利润的问题常利用函数的增减性来解答．
26．（1）点A坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（7，0），y=﹣2x+4；(2) 点F的坐标为
（5，﹣6），y=﹣ x2+ x；(3) 四边形CMNC′的面积为 m2．
【分析】
根据抛物线的解析式，令y＝0即可求出两点的坐标．根据抛物线的解析式可分别求出C，D
两点的坐标，再用待定系数法即可求出直线的表达式．
根据题意，利用角的等量关系可以得到∠1＝∠3，进而得到tan∠1＝tan∠3，根据三角函数的
计算方法列出等式，根据一次函数的解析式设点 的坐标为（xF，﹣2xF＋4），将各线段的长度
代入等式即可求出点F的坐标，再根据平移的法则即可求出w′的表达式．
根据平移，可以得到点C′，A′，D′的坐标，再根据待定系数法可以得到直线A′C′，BC，C′D′
的解析式，根据交点的计算方法列方程组可以求得点M，N的坐标，根据平移的定义和平行四边
形的定义可知四边形CMNC′是平行四边形，再根据平行四边形面积的计算方法可以得到平行四
边形CMNC′的面积．
解：（1）当y＝0时，﹣ x2＋ ＋4＝0，解得x＝﹣3，x＝7，
1 2
∴点A坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（7，0）．
∵﹣ ＝
∴抛物线w的对称轴为直线x＝2，
∴点D坐标为（2，0）．
当x＝0时，y＝4，
∴点C的坐标为（0，4）．
设直线l的表达式为y＝kx＋b，解得
∴直线l的解析式为y＝﹣2x＋4；
(2)∵抛物线w向右平移，只有一种情况符合要求，
即∠FAC＝90°，如图．
此时抛物线w′的对称轴与x轴的交点为G，
∵∠1＋∠2＝90°∠2＋∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
∴tan∠1＝tan∠3，
∴ = ．设点F的坐标为（xF，﹣2xF＋4），
∴ ＝ ，解得xF＝5，﹣2xF＋4＝﹣6，
∴点F的坐标为（5，﹣6），此时抛物线w′的函数表达式为y＝﹣ x2＋ x；
(3)由平移可得：点C′，点A′，点D′的坐标分别为C′（m，4），A′（﹣3＋m，0），D′（2＋
m，0），CC′∥x轴，C′D′∥CD，
可用待定系数法求得
直线A′C′的表达式为y＝ x＋4﹣ m，
直线BC的表达式为y＝﹣ x＋4，直线C′D′的表达式为y＝﹣2x＋2m＋4，
分别解方程组 和
解得 和
∴点M的坐标为（ m，﹣ m＋4），点N的坐标为（ m，﹣ m＋4），
∴yM＝yN
∴MN∥x轴，
∵CC′∥x轴，
∴CC′∥MN．
∵C′D′∥CD，
∴四边形CMNC′是平行四边形，
∴S＝m[4﹣（﹣ m＋4）]
＝ m2
【点拨】本题主要考查二次函数的图象与性质、一次函数的解析式以及二次函数的应用，数
形结合思想是关键．
