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专题 22.33 实际问题与二次函数（基础篇）（专项练习）
一、单选题
类型一：图形问题
1．如图，用绳子围成周长为 的矩形，记矩形的一边长为 ，矩形的面积为 ．当x
在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设
AB边长为x米，BC的长y米，菜园的面积为S(单位：平方米) ．当x在一定范围内变化时，y和
S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系
3．如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC＋BD＝12，则四边形ABCD的面积最
大值是（ ）．
A．12 B．18 C．20 D．24类型二：图形运动问题
4．如图，等边 的边长为 ，动点 从点 出发，以每秒 的速度，沿
的方向运动，当点 回到点 时运动停止．设运动时间为 秒 ， ，则
关于 的函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝6cm，AD＝4cm．点E沿A→B移动，同
时点F沿A→D移动，且速度都为1cm/秒，设点E，F移动的时间为xs（其中0≤x≤4），△BEF
的面积为ycm2，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．C． D．
6．如图所示，矩形 中， ，P是线段 上一点（P不与B重合），M是
上一点，且 ，设 的面积为y，则y与x之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
类型三：拱挢问题
7．如图，某大门的形状是一抛物线形建筑，大门的地面宽8 m，在两侧距地面3.5 m高处有
两个挂单位名牌匾用的铁环，两铁环的水平距离是6 m．若按图所示建立平面直角坐标系，则抛
物线的解析式是（ ）．（建筑物厚度忽略不计）
A． B． C． D．
8．如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m，当水面宽4m时，
拱顶离水面2m，如图，以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线
的函数表达式为（ ）A． B． C． D．
9．如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O与水面的距离
CO是2m，则当水位上升1.5m时，水面的宽度为（ ）
A．0.4m B．0.6m C．0.8m D．1m
类型四：销售问题
10．某种商品每件的进价为30元，在某时间段内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件．
若想获得最大利润，则定价x应为（ ）
A．35元 B．45元 C．55元 D．65元
11．某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率 ，第
3年的销售量为 台，则 关于 的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
12．某超市销售一种商品，每件成本为 元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量
（件）与销售单价 （元）之间满足函数关系式 ，若要求销售单价不得低于成本，
为每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少？（ ）
A． 元， 元 B． 元， 元
C． 元， 元 D． 元， 元类型五：掷球问题
13．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的函数表达式为
，若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则下列时间中炮弹所在高度
最高的是（ ）
A．第7秒 B．第9秒 C．第11秒 D．第13秒
14．在中考体育训练期间，小学对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高
度y(米)与水平距离x(米)之间的关系式为y＝－ ＋ x＋ ，由此可知小宇此次实心球训练的
成绩为（ ）
A． 米 B．2米 C．8米 D．10米
15．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线 的一部分，
其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析
式是( )
A． B．
C． D．
类型六：喷水问题
16．某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平
距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝
8m，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（ ）．A．9m B．10m C．11m D．12m
17．从某幢建筑物2.25米高处的窗口A用水管向外喷水，水流呈抛物线，如果抛物线的最高
点M离墙1米，离地面3米，那么水流落点B与墙的距离OB是（ ）
A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
18．广场上水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）
关于水珠和喷头的水平距离 （米）的函数解析式是 ，那么水珠的高度
达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（ ）
A．1米 B．2米 C．5米 D．6米
类型七：增长率问题
19．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投
放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数
关系是（ ）
A． B． C． D．
20．今年由于受新型冠状病毒的影响，一次性医用口罩的销量剧增．某药店一月份销售量是
5000枚，二、三两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x，则该药店三月份销售口罩枚数y
（枚）与x的函数关系式是（ ）
A．y＝5000（1+x） B．y＝5000（1+x）2
C．y＝5000（1+x2） D．y＝5000（1+2x）
21．你知道吗？股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，
叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时
间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（ ）
A．（1+x）2= B．x+2x= C．（1+x）2= D．1+2x=类型八：其他问题
22．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线呈抛物线形，羽毛球距地面的高度 与水
平距离 之间的关系如图所示，点B为落地点，且 ， ，羽毛球到达的最高
点到y轴的距离为 ，那么羽毛球到达最高点时离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
23．北京冬奥会跳台滑雪项目比赛其标准台高度是90m．运动员起跳后的飞行路线可以看作
是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y （单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足
函数关系 （ ）．下图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述
函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（ ）
A．10m B．15m
C．20m D．22.5m
24．已知烟花弹爆炸后某个残片的空中飞行轨迹可以看成为二次函数 图像
的一部分，其中x为爆炸后经过的时间（秒），y为残片离地面的高度（米），请问在爆炸后1秒到6秒之间，残片距离地面的高度范围为（ ）
A．0米到3米 B．5米到8米 C． 到8米 D．5米到 米
二、填空题
类型一：图形问题
25．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长12m），中间用一道墙隔开，并在如
图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成
的饲养室面积最大为 ___m2．
26．为改善环境，某小区拆除了自建房，改建绿地，如图，自建房是占地边长为20m的正方
形 ，改建的绿地是矩形 ，其中点E在 上，点G在 的延长线上，且 ，
当 的长为________________m时，绿地 的面积最大.
27．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所
示的两处各留 宽的门，所有围栏的总长（不含门）为 ，若要使得建成的饲养室面积最大，
则利用墙体的长度为______ ．
类型二：图形运动问题
28．如图，在 中， ， ， 为 边上的高，动点 在上，从点 出发，沿 方向运动，设 ， 的面积为 ，矩形 的面积为
， ，则 与 的关系式是________．
29．已知k为任意实数，随着k的变化，抛物线y＝x2﹣2（k＋2）x＋k2﹣2的顶点随之运动，
则顶点运动时经过的路径与两条坐标轴围成图形的面积是_____．
30．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣1交y轴于点A，过点A作AB∥x轴交
抛物线于点B，点P在抛物线上，连结PA、PB，若点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上，
则△ABP的面积是_____．
类型三：拱挢问题
31．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位
下降1.5米后，水面的宽度为 _____米．
32．如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，水面在l时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水
面3米，水面宽4米．如果按图（2）建立平面直角坐标系，那么抛物线的解析式是_____．33．如图，某隧道美化施工，横截面形状为抛物线y＝﹣ x2+8（单位：米），施工队计划
在隧道正中搭建一个矩形脚手架DEFG，已知DE：EF＝3：2，则脚手架高DE为___米．
类型四：销售问题
34．某企业研发出了一种新产品准备销售，已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，据
调查年销售量y（万件）关于售价x（元/件）的函数解析式为： ，则
当该产品的售价x为________．（元/件）时，企业销售该产品获得的年利润最大．
35．超市销售的某商品进价10元/件．在销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与
售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝－5x＋150，该商品售价定为____元/件时，每天销售该
商品获利最大．
36．某商品的利润 元 与售价 元 之间的函数解析式是 ，且售价x的范围
是 ，则最大利润是 ___________．
类型五：掷球问题
37．亮亮推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为 ，则小明推铅球的成绩是______m．
38．如图，物体从点A抛出，物体的高度y(m)与飞行时间t(s)近似满足函数关系式y=−
(t−3)2+5．
（1）OA=______ ．
（2）在飞行过程中，若物体在某一个高度时总对应两个不同的时间，则t的取值范围是
________．
39．跳台滑雪是2022年北京冬奥会比赛项目之一．一名参赛运动员起跳后，他的飞行路线
可以看作是抛物线 的一部分（如图所示），则这名运动员起跳后的最大飞行
高度是______m．
类型六：喷水问题
40．某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度 与水平距
离 之间的有关系如图所示，D为该水流的最高点， ，垂足为A．已知
， ，则该水流距水平面的最大高度AD的为______m．41．某种礼炮的升空高度 与飞行时间 的关系式是 ，则这种礼炮在
点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为__________s；
42．某市民休闲广场中有一喷水设施，如图是喷水设施的一个喷头A喷出的水珠路线，它是
一条经过A、M、C三点的抛物线．点A离地面1.4米，点M是路线的最高点，离地面3.2米，离
喷头的水平距离为6米，点C是水珠落地点．那么水珠落地点C距喷头底部的水平距离为______
米．
类型七：增长率问题
43．某厂今年一月份新产品的研发资金为1000元，以后每月新产品的研发资金与上月相比
增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为 ______．
44．某厂七月份的产值是10万元，设第三季度每个月产值的增长率相同，都为x（x＞0），
九月份的产值为y万元，那么y关于x的函数解析式为_______．（不要求写定义域）
45．某工厂实行技术改造，产量年均增长率为x，已知2020年产量为1万件，那么2022年
的产量y（万件）与x间的关系式为___________．
类型八：其他问题
46．随着经济的发展和人们生活水平的提高，越来越多的人选择乘飞机出行．某种型号的飞
机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间（单位：s）的函数关系式为 ，那么飞机着陆后滑行_____s停下．
47．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离 （米）关于滑行的时间 （秒）的函数解析
式是 ，无人机着陆后滑行______秒才能停下来．
48．在东京奥运会跳水比赛中，中国小花全红婵的表现，令人印象深刻．在正常情况下，跳
水运动员进行10米跳台训练时，必须在距水面5米之前完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿
势，否则容易出现失误．假设某运动员起跳后第t秒离水面的高度为h米，且 ．
那么为了避免出现失误，这名运动员最多有_____秒时间，完成规定的翻腾动作．
三、解答题
49．用一根长20 cm的铁丝围矩形．
(1)若围成的矩形的面积是16 cm2，求该矩形的长和宽；
(2)当长和宽分别为多少时，该矩形的面积最大？最大面积是多少？
50．如图，正方形 的边长为 ， ， 分别是 ， 边上一动点，点 ， 同
时从点 出发，以每秒 的速度分别向点 ， 运动，当点 与点 重合时，运动停止，设运
动时间为 ，运动过程中 的面积为 ，求 关于 的函数表达式，并写出自变量
的取值范围．51．一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点P位
于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系．
(1)求抛物线的表达式；
(2)一辆货车高4m，宽2.4m，能否从该隧道内通过，为什么？
52．某宾馆有240间标准房，当标准房价格150元时，每天都客满，市场调查表明，当房价
在150~225元之间（含150元，225元）浮动时，每提高25元，日均入住客房数减少20间．如
果不考虑其它因素，宾馆将标准房价格提高到多少元时，客房的日营业收入最大？
53．如图，一名垒球运动员进行投球训练，站在点O开始投球，球出手的高度是2米，球运
动的轨迹是抛物线，当球达到最高点E时，水平距离EG=20米，与地面的高度EF=6米，掷出的
球恰好落在训练墙AB上B点的位置，AB=3米．(1)求抛物线的函数关系式；
(2)求点O到训练墙AB的距离OA的长度．
54．如图，有一个竖直的喷水枪AB，由喷水口A喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流
的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为3m，且到地面BC的距离为5m，水流的落地点C到
喷水枪底部B的距离为8m，求喷水枪AB的长度．
55．某公司的生产利润原来是 万元，经过连续两年的增长达到了 万元，如果每年增长率都是 ，写出利润 与增长的百分率 之间的函数解析式，它是什么函数？
56．跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为抛物线．如图是甲，
乙两人将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距
4m，现以两人的站立点所在的直线为x轴，过甲拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示
的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线解析式为 ．
(1)求绳子所对应的抛物线解析式（不要求写自变量的取值范围）；
(2)身高1.70m的小明，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？
(3)身高1.64m的小军，站在绳子的下方，设他距离甲拿绳子的手sm，为确保绳子能通过他
的头顶，请求出s的取值范围．参考答案
1．A
【分析】
矩形的周长为2（x+y）＝10，可用x来表示y，代入S＝xy中，化简即可得到S关于x的函数
关系式．
解：由题意得，
2（x+y）＝10，
∴x+y＝5，
∴y＝5﹣x，
∵S＝xy
＝x（5﹣x）
∴矩形面积满足的函数关系为S＝x（5﹣x），
由题意可知自变量的取值范围为 ，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函
数的解析式形式是解题的关键．
2．A
【分析】
根据题意求得y和S与x的函数关系式，然后由函数关系式可直接进行判别即可．
解：由题意可知： ，，则 ，即 ，y与x满足一次函数关系
菜园的面积： ，S与x满足二次函数的关系
故选A
【点拨】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的应用是
解题的关键．
3．B
【分析】
设AC=x，BC=12-x，根据题意表示出四边形的面积，再利用二次函数的性质解答即可．
解：设AC=x，BC=12-x，
则四边形ABCD的面积的面积为：
．
所以，当x=6时，四边形ABCD的面积最大，为18．
故答案为：B．
【点拨】本题考查的知识点是二次函数的图象，根据题意用含x的代数式表示出四边形
ABCD的面积是解此题的基础，掌握二次函数的图象是解此题的关键．
4．D
【分析】
如图，过 作 于点 ，然后可得 ， ，则分 当点 在
上时， 当 时，即点 在线段 上时， 当 时，即点 在线段 上，进而问
题可求解．
解：如图，过 作 于点 ，
则 ， ，当点 在 上时， ， ， ，
，
该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线 ；由此可排除 ， ， ．
当 时，即点 在线段 上时， ；
则 ，
该函数的图象是在 上的抛物线，且对称轴为 ；
当 时，即点 在线段 上，此时， ，
则 ，
该函数的图象是在 上的抛物线，且对称轴为直线 ；
故选： ．
【点拨】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
5．D
【分析】
根据题意得AF＝x，AE＝x，BE＝6﹣x，从而根据三角形的面积公式列式整理即可判断．
解：由题意得AF＝x，AE＝x，
∴BE＝6﹣x，
由三角形的面积公式得：y ，
该函数是二次函数，且开口向下，
当x＝3时，y＝4.5，只有D选项符合题意，
故选：D．
【点拨】本题考查动点问题的函数图象，理解题意，准确根据题意建立出二次函数解析式，
熟练利用解析式进行分析是解题关键．
6．A
【分析】
根据勾股定理可得 ，因为 ，所以 ，过点M作 于点E，可得 ，然后根据相似三角形的性质得到 ，由此可用x表示ME，最后根
据三角形的面积公式即可确定函数关系．
解：∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
如图，过点M作 于点E，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，而 ，
∴ ，P不与B重合，那么 ，可与点C重合，那么 ．
故y与x之间的函数关系式为 ．
故答案选A．
【点拨】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，主要是通过三角形相似得出等式．
7．A
【分析】
先根据函数图象可得抛物线与 轴的两个交点坐标为 和 ，再设抛物线的解析式为
，将点 代入即可得．
解：由函数图象可知，抛物线与 轴的两个交点坐标为 和 ，且经过点 ，
设抛物线的解析式为 ，
将点 代入得： ，解得 ，
则抛物线的解析式为 ，即为 ，
故选：A．
【点拨】本题考查了求抛物线的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
8．C
【分析】
观察函数图象可知，抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，设抛物线的解析式为 ，根
据水面宽4m时，拱顶离水面2m，可知图象经过点 ，代入 中即可求解．
解：设抛物线的解析式为 ，
由水面宽4m时，拱顶离水面2m，可知点 在函数图象上，
将 代入 中，得 ，
解得 ，
故抛物线的解析式为 ，
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的实际应用，根据题意找出函数图象上点的坐标是解题的关键．
9．C
【分析】
根据题意可建立平面直角坐标系，然后设函数关系式为 ，由题意可知 ，
代入求解函数解析式，进而问题可求解．
解：建立如图所示的坐标系：设函数关系式为 ，由题意得： ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
当y=-0.5时，则有 ，
解得： ，
∴水面的宽度为0.8m；
故选C．
【点拨】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
10．D
【分析】
设所获得的利润为W，根据利润=（售价-进价）×数量，列出W关于x的二次函数，利用二
次函数的性质求解即可．
解：设所获得的利润为W，
由题意得 ，
∵ ，
∴当 时，W有最大值1225，
故选D．
【点拨】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键在于能够根据题意列出利润关于售价
的二次函数．
11．B
【分析】
根据增长率问题的计算公式解答．
解：第2年的销售量为 ，
第3年的销售量为 ，
故选：B．【点拨】此题考查了增长率问题的计算公式 ，a是前量，b是后量，x是增长率，
熟记公式中各字母的意义是解题的关键．
12．B
【分析】
设每月所获利润为w，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可．
解：设每月总利润为 ，
依题意得：
，此图象开口向下，又 ，
当 时， 有最大值，最大值为 元．
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数
求最值的方法是解题的关键．
13．B
【分析】
本题需先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最
高时 的值．
解：∵此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴是： ，
∴炮弹所在高度最高时：时间是第9.5秒，
∵炮弹所处的高度与时间的函数图象的开口向下，
∴距离对称轴越近的点函数值越大，即炮弹的高度越高，
∴第9秒时炮弹所在高度最高，故B正确．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了二次函数的应用，根据题意求出抛物线的对称轴，是解答本题的关
键．
14．C【分析】
令y=0，求得x的值，取正值即可．
解：∵y＝－ ＋ x＋ ，
令y=0，
∴－ ＋ x＋ =0，
∴ ，
解得x=8或x=-2(舍去)，
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，正确解方程是解题的关键．
15．A
【分析】
根据已知得出B点的坐标为：（0，1），A点坐标为（4，0），代入解析式即可求出b，c的
值，即可得出答案．
解：∵出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，
∴B点的坐标为：（0，1），A点坐标为（4，0），
将两点代入解析式得： ，
解得： ，
∴这条抛物线的解析式是： ．
故选：A．
【点拨】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出B，A两点的坐标是解决问题的关
键．
16．A
【分析】
设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k，将点C（0，8）、B（8，0）代入求出a、k的值即可．
解：根据题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k，
将点C（0，8）、B（8，0）代入，得：，
解得 ，
∴抛物线解析式为y＝﹣ （x﹣2）2+9，
∴当x＝2时，y＝9，
即AD＝9m，
故选：A．
【点拨】本题考查二次函数的实际应用，解题关键是用待定系数法求出函数的解析式．
17．C
【分析】
根据题意可以求得抛物线的解析式，从而可以求得点B的坐标，本题得以解决．
解：由题意可得，抛物线的顶点坐标为（1，3），
设抛物线的解析式为：y=a（x-1）2+3，
2.25=a（0-1）2+3，
解得a=-0.75，
∴y=- （x-1）2+3，
当y=0时，- （x-1）2+3=0，
解得，x=-1，x=3，
1 2
∴点B的坐标为（3，0），
∴OB=3，
答：水流下落点B离墙距离OB的长度是3米．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，
利用二次函数的性质解答．
18．B
【分析】
先把函数关系式配方，即可求出函数取最大值时自变量的值．解：∵y=- x2+6x=- （x2-4x）=- [（x-2）2-4]=- （x-2）2+6，
∴当x=2时，y有最大值，
∴水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2．
故选B．
【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，关键是把二次函数变形，求出当函数取最大值时
自变量的值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
19．A
【分析】
根据增长率的问题可直接进行求解．
解：由题意得： ，故A正确．
故选：Ａ．
【点拨】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
20．B
【分析】
月平均增长率为x，可求三月份销售量5000（1+x）2，该药店三月份销售口罩枚数y（枚）
与x的函数关系式是：y＝5000（1+x）2．
解：月平均增长率为x，
二月份销售量＝5000+5000x=5000(1+x),
三月份销售量5000(1+x)+ 5000(1+x)x=5000（1+x）2，
该药店三月份销售口罩枚数y（枚）与x的函数关系式是：y＝5000（1+x）2．
故选择：B．
【点拨】本题考查二次函数的应用，掌握增长率问题中增加量=平均增长率×原销售量，抓住
公式列函数式是解题关键．
21．C
解：设票股价的平均增长率x.
则
即
故选C
22．D【分析】
由题意，设抛物线的顶点式为y=a（x- ）2+k，将A，B两点坐标代入求解即可．
解：∵ ，
由图可知A（0，1），B（4，0）
∵羽毛球到达的最高点到y轴的距离为
∴设抛物线的顶点式为y=a（x- ）2+k
将A（0，1），B（4，0）代入解析式，得
解得
∴羽毛球到达最高点时离地面的高度为
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的应用，二次函数与坐标轴的交点坐标以及最值问题，解二元一
次方程组，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键．
23．B
【分析】
将点（0，90.0）、（40，82.2）、（20，93.9）分别代入函数解析式，求得系数的值，然后
由抛物线的对称轴公式可以得到答案．
解：根据题意知，抛物线 （ ）经过点（0，90.0）、（40，82.2）、
（20，93.9），
则 ，
解得： ，∴ （m）．
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的应用．熟练掌握抛物线的对称轴公式是解决本题的关键．此
题也可以将所求得的抛物线解析式利用配方法求得顶点式方程，然后直接得到抛物线顶点坐标，
由顶点坐标推知该运动员起跳后飞行到最高点时的水平距离即可．
24．B
【分析】
先将抛物线解析式化为顶点式，可得当 时， ，即此时残片离地面的高度最大，
最大为8米，再由抛物线的增减性，即可求解．
解：∵ ，
∴当 时， ，即此时残片离地面的高度最大，最大为8米，
∵ ，
∴在直线 的左侧， 随 的增大而增大；在直线 的右侧， 随 的增大而
减小，
∵当 时， ，当 时， ，且 ，
∴在爆炸后1秒到6秒之间，残片距离地面的高度范围为5米到8米．
故选：B
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的
关键．
25．72
【分析】
设垂直于墙的材料长为x米，则平行于墙的材料长为27+3-3x=30-3x，表示出总面积S=x
（30-3x）=-3x2+30x=-3（x-5）2+75，再根据x米的长取值范围和二次函数性质即可求得面积的最
值．
解：设垂直于墙的材料长为x米，
则平行于墙的材料长为27+3﹣3x=30﹣3x，
则总面积S=x（30﹣3x）=﹣3x2+30x=﹣3（x﹣5）2+75，又∵ ，
∴ ，
∵ ，对称轴 ，
故当 时，总面积S随x增大而减少，
∴ ，总面积S最大，最大面积=72（平方米），
故饲养室的最大面积为72平方米．
故答案为72．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出函数模型．需要注
意墙长12m对平行于墙的材料长限制．
26．5
【分析】
设 的长为x，得到 ， ，根据面积公式列出二次函数即可求解.
解：设 的长为x，则 ， ，
∴ ，
∵矩形绿地 的面积为： ，
即矩形绿地的面积为 ，
∴当 时，矩形绿地 的面积最大.
故答案为：5.
【点拨】此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出函数进行求解.
27．14
【分析】
设平行于墙体的材料长度为 ，则垂直于墙体的材料长度为 根
据题意列出函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求解．
解：设平行于墙体的材料长度为 ，建成的饲养室的总面积为 ，则垂直于墙体的材
料长度为 根据题意得：
建成的饲养室的总面积为 ，
∴当 时，建成的饲养室面积最大，
即此时利用墙体的长度为 ．故答案为：14
【点拨】本题主要考查了二次函数的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
28．
【分析】
先利用勾股定理求BC，AD是等腰直角三角形斜边上的高得AD=BD=DC=
由 ，则PD= ，S= ，S= ，求 即可．
1 2
解：在 中， ， ，
∴ ，
∵ 为 边上的高，
∴AD=BD=DC=
设 ，
∴PD= ，
∵矩形 ，由于DF在BC上，
∴PE∥DC，
∴∠AEP=∠C=∠DAC=45º，
∴PE=AP=x，
S= ，
1
S= ，
2
∴ ，
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积，矩形的性质与面积，掌
握等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积，矩形的性质与面积是解题关键．
29．【分析】
利用配方法求出顶点坐标，推出顶点在直线y＝－4x＋2上运动，由此即可解决问题.
解：∵ ,
∴抛物线的顶点坐标为 ,
∴抛物线的顶点在直线y＝－4x＋2上,
∴顶点运动时经过的路径与两条坐标轴围成图形的面积＝ ×2× ＝ .
【点拨】本题主要考查了二次函数图像的性质，关键点是配方法求出顶点坐标和求出顶点所
在的直线解析式，知识点的应用要熟练.
30．2
【分析】
求得C的坐标，进而求得B的坐标，根据点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上得出三
角形的高，然后根据三角形面积公式即可求得．
解：令x=0，则y=x2-2x-1=-1，
∴A(0，-1)，
把y=-1代入y=x2-2x-1得-1=x2-2x-1，
解得x=0，x=2，
1 2
∴B(2，-1)，
∴AB=2，
∵点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上，
∴△PAB边AB上的高为2，
∴S= ×2×2=2．
故答案为2．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求得A、B的坐标以及三角形的高是解
题的关键．
31．
【分析】
根据二次函数图象和性质即可求解．
解：如图：以拱顶到水面的距离为2米时的水面为x轴，拱顶所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
根据题意设二次函数解析式为：y=ax2+2，
把A（2，0）代入，得
a=- ，
所以二次函数解析式为：y=- x2+2，
当y=-1.5时，- x2+2=-1.5，
解得x=± ．
所以水面的宽度为2 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是把实际问题转化为二次函数问题解
决．
32．
【分析】
设出抛物线方程y=ax2（a≠0）代入坐标（-2，-3）求得a．
解：设出抛物线方程y=ax2（a≠0），由图象可知该图象经过（-2，-3）点，
∴-3=4a，
a=- ，
∴抛物线解析式为y=- x2．故答案为： ．
【点拨】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法求解二次
函数解析式．
33．6
【分析】
根据DE：EF＝3：2，可以先设DE＝3a，EF＝2a，然后即可表示出点D的坐标，再根据点
D在抛物线y＝﹣ x2+8上，即可求得a的值，从而可以得到DE的值．
解：设DE＝3a，EF＝2a，
则点D的坐标为（﹣a，3a），
∵点D在抛物线y＝﹣ x2+8上，
∴3a＝﹣ a2+8，
解得：a＝2，a＝﹣8（舍去），
1 2
∴DE＝3a＝6（米），
故答案为：6．
【点拨】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是求出点D的坐标，利用数形结合的思
想解答．
34．50
【分析】
设企业销售该产品获得的年利润为w元，根据题意分别列出当 时和当
时的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．
解：设企业销售该产品获得的年利润为w元，根据题意得：
当 时，
，
∵-2<0，
∴当x=50时，w有最大值，最大值为800；
当 时，
，∵-1<0，
∴当x>55时，w随x的增大而减小，
∴当x=60时，w有最大值，最大值为600；
∵800>600，
∴当x=50时，w有最大值，
即当该产品的售价x为50（元/件）时，企业销售该产品获得的年利润最大．
故答案为：50
【点拨】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关
键．
35．20
【分析】
根据利润=单件利润×销售量可得W=（x-10）（-5x+150），再根据二次函数的性质，用配方
法算出售价即可；
解：设获利W元，则W=（x-10）·y
∴W=（x-10）（-5x+150）
=-5x2+200x-1500
当x= = =20时，W的值最大
∴当x=20时，每天销售该商品获利最大．
故答案为：20．
【点拨】本题考查二次函数的实际应用．熟练掌握配方法和二次函数的性质是解决本题的关
键．
36．24元
【分析】
将二次函数一般式改为顶点式，即得出其当 时，y随x的增大而增大．再结合题意可知
当 时，y有最大值，求出最大值即可．
解：∵ ，且-1<0，
∴该二次函数图象开口向下，
∴当 时，y随x的增大而增大．
∵售价x的范围是 ，
∴当 时，y有最大值，最大值为 ，∴最大利润是24元．
故答案为：24元．
【点拨】本题考查二次函数的实际应用．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
37．11
【分析】
根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题理解为当y＝0时，求x的值即可．
解：铅球落地时，高度y＝0，
令函数式 中y＝0，即 ，
解得：x
1
＝11，x
2
＝−1（舍去），
即小强推铅球的成绩是11m，
故答案为：11．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解
题关键．
38． 0≤t≤6且t≠3
【分析】
（1）当t=0时，求得y的值，即可求解；
（2）观察图象，当y≥ ，顶点除外时，物体在某一个高度时总对应两个不同的时间，据此
求解即可．
解：（1）当t=0时，y=− (t−3)2+5=- +5= ；即OA= (m)；
故答案为： ；
（2）当y= 时，− (t−3)2+5= ，
∴t=0或t=6，
∴当0≤t≤6且t≠3时，物体在某一个高度时总对应两个不同的时间，
故答案为：0≤t≤6且t≠3．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，准确读图是解答本题的关键．
39．45
【分析】将抛物线表达式变换为顶点式，确定抛物线的顶点坐标，即可确定运动员起跳后的最大飞行
高度．
解：抛物线 ，
∴抛物线顶点C的坐标为（15，45），
∴这名运动员起跳后的最大飞行高度是45m．
故答案为：45．
【点拨】本题主要考查了二次函数的应用，解题关键是能够熟练将抛物线表达式由一般式转
换为顶点式．
40．9
【分析】
设抛物线解析式为 ，将点C（0，8）、B（8，0）代入求出k值即可．
解：根据题意，设抛物线解析式为 ，
将点C（0，8）、B（8，0）代入得： ，
解得 ，
∴抛物线解析式为
∴ m，
故答案为：9．
【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于用待定系数法求出函数的解析式．
41．6
【分析】
把二次函数的一般式写成顶点式，找出顶点坐标，即可知道多长时间后得到最高点．
解：
＝− （t−6）2＋91，∵− ＜0
∴这个二次函数图象开口向下．
∴当t＝6时，升到最高点．
故答案为：6．
【点拨】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
42．14
【分析】
设抛物线的解析式为y=a（x-6）2+3.2，将点A（0，1.4）代入求出a的值即可得解析式，求
出y=0时x的值即可得．
解：由题意得顶点M坐标为（6,3.2）
∴设抛物线的解析式为y=a（x-6）2+3.2，
将点A（0，1.4）代入，
得：36a+3.2=1.4，
解得：a=-0.05，
则抛物线的解析式为y=-0.05（x-6）2+3.2；
当y=0时，-0.05（x-6）2+3.2=0，
解得：x=-2（舍），x=14，
1 2
所以水珠落地点C距喷头底部的水平距离为14米．
故答案为：14．
【点拨】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及
将实际问题转化为二次函数问题的能力．
43．
【分析】
由一月份新产品的研发资金为1000元，根据题意可以得到2月份研发资金为1000（1+x）万
元，而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x表示出来，由此
即可确定函数关系式．
解：∵一月份新产品的研发资金为1000元，
2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，
∴2月份研发资金为1000（1+x），
∴三月份的研发资金为y=1000（1+x）×（1+x）=1000（1+x）2．故答案是：1000（1+x）2．
【点拨】考查了根据实际问题列二次函数解析式，解题的关键是运用了平均增长率的问题，
可以用公式a（1±x）2=b来解题．
44．y＝10(1+x)2
【分析】
利用该厂九月份的产值=该厂七月份的产值×（1+增长率）2，即可得出结论．
解：∵该厂七月份的产值是10万元，且第三季度每个月产值的增长率相同，均为x，
∴该厂八月份的产值是10（1+x）万元，九月份的产值是10（1+x）2万元，
∴y＝10（1+x）2．
故答案为：y＝10（1+x）2．
【点拨】本题考查了由根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，正确列出
二次函数关系式是解题的关键．
45．
【分析】
因为产量的平均增长率相同，所以2021的产量为 ，2022年的产量为 ，
由此即可知道2022年的产量y（万件）与x间的关系式．
解：∵2020年产量为1万件，且产量年均增长率为x．
∴2021年产量为 ；2022年的产量为 ．
∴2022年的产量y（万件）与x间的关系式为 ．
故答案为：
【点拨】本题考查二次函数的实际问题，能够根据题意分步列出相关的代数式是解题的关键．
46．20
【分析】
根据题目中的函数解析式，可以将其化为顶点式， 取最大值时对应的时间即为所求；
解：∵ ，
∴当 时，s取得最大值，
故答案为： ．【点拨】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答，
注意 取最大值时对应的时间即为所求．
47．16
【分析】
将函数解析式配方成顶点式求出Ｓ取得最大值时的t的值即可得答案．
解：∵ ，
∴当 时，Ｓ取得最大值64，
即飞机着陆后滑行16秒才能停下来．
故答案为：16
【点拨】本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出飞机滑行的距离即为S的最大值是解
题的关键．
48． ##1.5
【分析】
根据题意，令 ，解一元二次方程求解即可．
解：依题意
整理得
即
解得 （不符合题意，舍）
故答案为：
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意将 代入关系式是解题的关键．
49．(1)长为8 cm，宽为2 cm
(2)当长和宽都是5 cm时，该矩形的面积最大，最大面积是25 cm2
【分析】
（1）首先表示矩形的另一边长，进而利用矩形面积求法得出答案；
（2）利用二次函数最值求法得出答案．
(1)解：设该矩形的一组邻边的长为x cm和 cm．
根据题意，得x ＝16．
解这个方程，得x＝2，x＝8．
1 2
当x＝2时， －x＝8；
当x＝8时， －x＝2．
答：该矩形的长为8 cm，宽为2 cm．
(2)解：设该矩形的一组邻边的长为x cm和 cm，面积为y cm．
根据题意，得
y＝x ，
即y＝－x2＋10x，
配方，得y＝－(x－5)2＋25，
因为－1＜0，
所以当x＝5时，y有最大值25．
则 －x＝10-5=5．
答：当长和宽都是5 cm时，该矩形的面积最大，最大面积是25 cm2
【点拨】此题考查了解一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是根据题意表示出矩形
的面积．
50．
【分析】
△AEF的面积=正方形ABCD的面积-△ABE的面积-△ADF的面积-△ECF的面积，分别表示
正方形ABCD的面积、△ABE的面积、△ADF的面积、△ECF的面积代入即可．
解：设运动时间为 ，
点 ， 同时从点 出发，以每秒 的速度分别向点 ， 运动，
， ， ， ，
的面积 正方形 的面积 的面积 的面积 的面积，
即：【点拨】此题考查了函数关系式，解题关键是正确表示正方形ABCD的面积、△ABE的面积、
△ADF的面积、△ECF的面积．
51．(1) (2)货车可以通过，说明见分析
【分析】
（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标（4，6），设抛物线的解析式为 ，将A
点坐标代入求解a的值，进而得到抛物线的表达式；
（2）令y=4，代入解析式，得到方程的两根，比较 与2.4的大小即可判断货车是否可
以通过．
(1)解：由题意可知，抛物线的顶点坐标（4，6）
设抛物线的解析式为
又∵点A（0，2）在抛物线上
∴
解得
∴抛物线的表达式为： ．
(2)解：令y=4，则有
解得 ，
∵
∴货车可以通过．
【点拨】本题考查了二次函数的解析式与应用．解题的关键在于适当的设二次函数解析式的
形式．
52．每间租金225元时，客房租金总收入最高，日租金40500元
【分析】首先设宾馆客房租金每间日租金提高x个25元，以及客房租金总收入为y，建立y与x的关
系式，并通过二次函数求解最大值．
解：设宾馆客房租金每间日租金提高x个25元，将有20x间客房空出，客房租金总收入为
y．
由题意可得：
y＝（150＋25x）（240−20x）
＝−500x2＋3000x＋36000
＝−500（x−3）2＋40500
当x＝3时，y最大值＝40500．
因此每间租金150＋25×3＝225元时，客房租金总收入最高，日租金40500元．
【点拨】本题考查根据实际问题选择函数类型，通过实际问题，抽象出函数模型，并通二次
函数计算最大值，考查对知识的综合运用能力，属于中档题．
53．(1)抛物线的关系式为y=-0.01（x-20）2+6；(2)点O到训练墙AB的距离OA的长度为
（20+10 ）米．
【分析】
（1）根据抛物线的顶点设关系式为y=a（x-20）2+6，再根据点C的坐标可得关系式；
（2）把y=3代入可得答案．
(1)解：由题意得，顶点E（20，6）和C（0，2），
设抛物线的关系式为y=a（x-20）2+6，
∴2=a（0-20）2+6，
解得a=-0.01，
∴抛物线的关系式为y=-0.01（x-20）2+6；
（2）解：当y=3时，3=-0.01（x-20）2+6，
解得x=20+10 ，x=20-10 （舍去），
1 2
答：点O到训练墙AB的距离OA的长度为（20+10 ）米．
【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，利用待定系数法得到抛物线的关系式是解题关键．
54．喷水枪AB的长度为3.2m
【分析】
以BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立直角坐标系，根据题意可知抛物线的顶点，点 ，可设抛物线的解析式为 ，再将C点坐标代入解析式，即可求
出a的值，即得出该抛物线的解析式，最后令y=0，即可求出A点坐标，从而可求出AB的长，即
喷水枪的长度．
解：如图，以BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立直角坐标系，
由题意知，抛物线的顶点 ，点
故可设抛物线的解析式为 ，
将点 代入，得 ，
解得 ，
则抛物线的解析式为 ，
当 时， ，
即A点坐标为(0，3.2)．
∴ ．
答：喷水枪AB的长度为3.2m．
【点拨】本题考查二次函数的应用．根据题意利用待定系数法求出该抛物线的解析式是解答
本题的关键．
55．见分析．
【分析】
根据增长率的问题，基数是a元，增长次数2次，结果为y，根据增长率的公式表示函数关
系式．
解：依题意，得： ，
此函数是二次函数.【点拨】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，在表示增长率问题时，要明确基
数，增长次数，最后的结果．
56．(1)y＝ (2)不能(3)
【分析】
（1）因为抛物线过原点，可设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），把（0，1），
（4，1），（1，1.5）代入，得到三元一次方程组，解方程组即可；
（2）由自变量的值求出函数值，再比较便可；
（3）由y=1.64时求出其自变量的值，便可确定s的取值范围．
解：(1)根据题意，抛物线 经过点（0，1），（4，1）．
∴
解得
∴绳子所对应的抛物线解析式为：y＝ ．
解：(2)身高1.70m的小明，不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶．
理由如下：
∵y＝ ，当x＝ 时，
y最大值＝ ＝ ．
∴绳子能碰到小明，小明不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶．
解：(3)当y＝1.64时， ＝1.64，
即 ＝0．
解得x＝ ＝ ．∴x＝2.4，x＝1.6．
1 2
∴ ．
【点拨】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，应用二次函数的解析式由自变量
求函数值，由函数值确定自变量等知识判定实际问题，关键是应用二次函数解析式解决实际问题．
