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专题 22.29 二次函数与一元二次方程（基础篇）（专项练习）
一、单选题
类型一：抛物线与坐标轴交点坐标
1．抛物线 与坐标轴的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解
为（ ）
A．x＝﹣4，x＝2 B．x＝﹣3，x＝﹣1
1 2 1 2
C．x＝﹣4，x＝﹣2 D．x＝﹣2，x＝2
1 2 1 2
3．抛物线 与y轴的交点坐标为（ ）
A．(7，0) B．(－7，0) C．(0，7) D．(0，－7)
类型二：由函数值求自变量的值
4．根据下面表格中的对应值：
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09
判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
A．3.22＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
5．点 是二次函数 的图象上的点，当 （a为整数）时，点P到x
轴的距离小于15，则a的值可以的是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
6．探索一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个正数解的过程如下表：可以看出方程的一个
正数解的取值范围为（ ）
x -1 0 1 2 3 4
ax2+bx+c -7 -5 -1 5 13 23
A．-10；④当y>0时， 的取值范围是 ；
⑤ > 3b，其中正确的结论序号为（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．②③④
23．已知二次函数 的顶点为(1，5)，那么关于x的一元二次方程
的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
24．下表中列出的是二次函数 （a，b，c为常数， ）的自变量x与函数y
的几组对应值．
x … 0 1 3 …
y … 6 …
有下列结论：① ；②当 时，y的取值范围是 ；③ ；
④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3类型九：求抛物线与x轴截线长
25．抛物线y＝﹣x2＋2x＋6在直线y＝﹣9上截得的线段长度为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
26．如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段
AB上移动．若点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），点N的横坐标的最大值为4，则点
M的横坐标的最小值为（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣7
27．老师出示了小黑板上的题后（如图），小华说：过点（3，0）；小彬说：过点（4，
3）；小明说：a=1；小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2．你认为四人的说法中，正确的有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
类型一：抛物线与坐标轴交点坐标
28．抛物线 与 轴的交点坐标是___________．
29．抛物线 交 轴于 ， 两点，则 长为______．
30．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2﹣
2x+m＝0的解为 _____．类型二：由函数值求自变量的值
31．若二次函数 的对称轴是 ，则关于 的方程 的解为__________．
32．如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC分别交抛物线 与
于B、C两点，那么线段BC的长是________．
33．抛物线 ，当 时，自变量的值为_________．
类型三：图象法确定一元二次方程的近似根
34．小颖用计算器探索方程ax2+bx+c＝0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x
＝﹣3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为__________________．35．根据所给的表格，估计一元二次方程x2+12x﹣15＝0的近似解x，则x的整数部分是___．
x 0 1 2 3
x2+12x﹣15 ﹣15 ﹣2 13 30
36．二次函数 （a≠0，a，b，c是常数）中，自变量x与函数y的对应值如下
表：
x -1 0 1 2 3
-
y -2 1 2 1 -2
一元二次方程 （a≠0，a，b，c是常数）的两个根 的取值范围是下列选项
中的哪一个 ______ （填序号）
① ②
③ ④
类型四：图象法解一元二次不等式
37．如图，抛物线 的对称轴是 ，与x轴的一个交点为 ，则不等式
的解集为___________．38．如图，抛物线 与直线 交于 ， 两点，则关于 的不等式
的解集是________．
39．如图，一次函数 的图像与二次函数 的图像相交于点
，则 解集是_______．
类型五：图象法求自变量或因变量的取值范围
40．已知关于x的二次函数y＝x2﹣（a+1）x+a图象与直线x＝t相交于点P，仅存在两个整
数t使点P在x轴下方，则实数a的取值范围是 ________________．
41．抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则当y≥0时，x的取值范围是_________．42．如图，直线 和抛物线 ，当 时，x的取值范围是______．
类型六：根据交点确定不等式的解集
43．若二次函数 （a，k为常数，且 ）的图象与x轴的一个交点为 ，
则关于x的不等式 的解集为______．
44．函数y=-x3+x的部分图像如图所示，当y＞0时，x的取值范围是____________．
45．如图，已知抛物线 与直线 交于 ， 两点，则关于 的
不等式 的解集是______．类型七：抛物线与x轴交点问题
46．已知二次函数 （ 为常数）．点 ， ， 在二次
函数的图像上，当 时， 的取值范围是_____________________．
47．若抛物线 与x轴只有一个公共点，则k的值为________．
48．二次函数 的图像如图所示，对称轴为直线 ，若 ， 是—元
二次方程 的两个根，且 ， ，则 的取值范围是______．
类型八：根据二次函数的图象确定相应方程根的情况
49．已知函数 的图象如图所示，若直线 与该图象只有一个交
点，则m的取值范围为______________．50．二次函数 的图象如图所示，则三个代数式①abc，② ，③
中，值为正数的有______．（填序号）
51．已知二次函数 的图象的顶点为 ，与x轴交于点 ，
根据图像回答下列问题：
（1）当x_______时，y随x的增大而减小：
（2）方程 的两个根是___________．
类型九：求抛物线与x轴截线长
52．如图，已知二次函数 的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
若 ，则m的值是______．53．如图，抛物线 向下平移 个单位后，交 轴于 ，A两点，则 的
长为______．
54．已知抛物线 与 轴交于 、 两点，设抛物线顶点为 ，若 ，
则 的值为________．
三、解答题
55．如图，二次函数 的图象与 轴的一个交点为 ，另一个交点为 ，且
与 轴交于点 ．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求 的面积；
(3)该二次函数图象上是否存在点 ，使 与 的面积相等？若存在，请求出 点
的坐标；若不存在，请说明理由．56．已知：二次函数 ．
(1)通过配方，将其写成 的形式；
(2)求出函数图象与 轴的交点 的坐标；
(3)当 时，直接写出 的取值范围；
(4)当 ________时， 随 的增大而减少．
57．已知关于x的一元二次方程x2+x−m=0．
(1)设方程的两根分别是x，x，若满足x+x=x•x，求m的值．
1 2 1 2 1 2
(2)二次函数y=x2+x−m的部分图象如图所示，求m的值．58．请阅读下列解题过程：
解一元二次不等式：x2-5x＞0．
解：设x2-5x＝0，解得：x＝0，x＝5，则抛物线y＝x2-5x与x轴的交点坐标为（0，0）和
1 2
（5，0）．画出二次函数y＝x2-5x的大致图象（如图所示）．由图象可知：当x＜0或x＞5时函
数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2-5x＞0．所以一元二次不等式x2-5x＞0的解集为：x＜0或
x＞5．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
(1)上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的 和 ．（只填序号）
①转化思想；②分类讨论思想；③数形结合思想．
(2)用类似的方法解一元二次不等式：x2-2x-3＜0．
59．已知，如图，二次函数 的图象与 轴交于A， 两点，与 轴交于点
，且经过点
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴．
（3）求 的面积，写出 时 的取值范围．60．如图，已知二次函数y=﹣x2﹣3x+4的图象与x轴的交于A，B两点，与y轴交于点C．
一次函数的图象过点A、C．
（1）求△ABC的面积．
（2）求一次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围 ．参考答案
1．D
【分析】
先运用根判别式判断抛物线与x轴的交点个数，而抛物线与y轴一定有一个交点，由此解答
即可．
解：在 中，
令y=0，则 ，
∵△=22-4×（-3）3=15＞0，
∴方程 有两个不相等的实数根，
∵x=0时，y=-3，
∴抛物线与y轴的交点为（0，-3），
∴抛物线 的图象与坐标轴的交点个数为3．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，
a≠0），△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．注意仔细
审题，不要忽略了抛物线与y轴交点．
2．A
【分析】
关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根即为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图
象与x轴的交点的横坐标．
解：根据图象知，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴的一个交点是（2，0），对称轴是直
线x＝−1．
设该抛物线与x轴的另一个交点是（x，0）．
则 ，
解得，x＝－4 ，
即该抛物线与x轴的另一个交点是（－4，0）．所以关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根为x
1
＝−4，x
2
＝2．
故选：A．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，注意抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与关
于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）间的转换．
3．D
【分析】
将x=0代入抛物线解析式即可求得抛物线y=-x2+2x-7与y轴的交点坐标．
解：当x=0时，y=-x2+2x-7=-7，
∴抛物线y=-x2+2x-7与y轴的交点坐标为（0，-7），
故选：D．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．C
【分析】
根据表中数据得到x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，则x取2.24
到2.25之间的某一个数时，使ax2+bx+c＝0，于是可判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一
个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
解：∵x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；
x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
故选：C．
【点拨】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具
体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈
接近方程的根．
5．A
【分析】
先求得抛物线的开口向下，顶点为（4，16），然后根据图象上点的坐标特征即可得到结论．
解：∵y=-x（x-8）=-（x-4）2+16，
∴图象开口向下，顶点为（4，16），
把y=15代入y=-x（x-8）得15=-x2+8x，
解得x=3或5，
∴当1≤x＜3时，点P到x轴的距离小于15，∴a可以是3，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，求得函数值为
15时的x值是解题的关键．
6．C
【分析】
根据表格确定当ax2+bx+c=0的值大于-1小于5，由此得到x的取值范围．
解：设y=ax2+bx+c，
由表格可知，当y=-1时，x=1；
当y=5时，x=2，
而-1<0<5，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0的解的取值范围是10时，x的取值范围；
⑤把x=-3代入y=ax2+bx+c得出y=9a-3b+c，根据图象可知，当x=-3时， ，得出9a-3b+c
＜0，即可得出答案．
解：①由图象可得c＞0， ，
∵x= =1，
∴ ，
∴abc＜0，故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x= =1，
∴b=-2a，即2a+b=0，故②错误；
③∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2-4ac＞0，故③正确；
④∵抛物线与x轴的交点的一个坐标为（-2，0），对称轴为直线x=-1，
∴抛物线与x轴的另外一个交点坐标为（4，0），
∴当y>0时，x的取值范围是−2)，则A（-
p,0），所以OA=OB=p，AB=p-（-p）=2p，p,-p为方程-x2+m=0的两根，根据地一元二次方程根与
系数关系，得p2=m，又因为OC=AB，所以C(0,2P)，代入解析式得2p=m，则可求出m值．
解：∵二次函数 ，∴二次函数图象的对称轴为y轴，
又∵函数图像与x轴交于A、B两点，
∴点A、B关于y轴对称，
设B(p,0)(P>0)，则A（-p，0），
∴OA=OB=p，AB=p-（-p）=2p，x=p，x=-p为方程-x2+m=0的解，
∴-p2=-m，即p2=m，
∴OC=AB=2p，
∴C(0,2P)，
代入函数解析式，得2p=m，
∴p= ,
∴ ，
∵m>0，
∴m=4，
故答案为：4．
【点拨】本题考查抛物线的性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数
和关系，熟练掌握二次函数的性质，一元二次方程根与系数关系是解题的关键．
53．4
【分析】
首先根据图象的平移规律得出平移后的抛物线的解析式，然后令 ，求出两个x
的值，即可求解．
解：抛物线 向下平移 个单位后的解析式为 ,
令 ，
解得 ，
∴ 的长为4，
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查二次函数的平移及与二次函数与一元二次方程，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．
54．
【分析】
解答此题可分以下几步:①设A、B点坐标分别为 、 ,求出用 、 表示的AB长度的表
达式;
②求出抛物线顶点纵坐标表达式,其绝对值即为△APB的高;
③根据∠PAB=30°通过三角函数建立起AB的长度与△APB的高的关系式;
④将 看做一个整体,解方程即可得到正确答案.
解：解:如图,
作PD⊥x轴于设A、B点坐标分别为 、 ，
AB= = ＝ = ；
抛物线顶点坐标为( ， )
则DP的长为 ，
由抛物线是轴对称图形可知,△APB为等腰三角形,
∠PAD=30°,
DP=tan30° AD= tan30° AB,
即 ＝ ，
两边平方得： ＝ ，
去分母得： ，
移项得： ， ，解得： ＝0或 ＝0，
由于抛物线y=a +bx+c与x轴交于A,B两点,故△>0
即: ＝ ，
故答案： ．
【点拨】此题考查了抛物线与x轴的交点横坐标与两点间的距离的关系、抛物线顶点坐标及
等腰三角形的性质和三角函数的相关知识,综合性较强.
55．(1) (2)10(3)存在， 或 或
【分析】
（1）将点 的坐标代入解析式求解即可；
（2）令 ，求得点 的坐标，根据三角形的面积公式求解即可；
（3）设 ，边 上的高为 ，则 ，根据 与 的面积相，求得 ，
令 解方程即可求解．
(1)解：∵二次函数 的图象与 轴的一个交点为 ，
∴ ，
解得 ，
即 ，
；
(2)存在， 或 或 ，理由如下，
由 ，令 ，
即 ，
解得 ，
，
；
(3)设 ，边 上的高为 ，
与 的面积相等，
，
是 上的点，
则 ，
或 ，
解得 或 .，
或 或 ．
【点拨】本题考查了待定系数法求解析式，求二次函数与坐标轴的交点，三角形面积问题，
掌握二次函数的性质是解题的关键．
56．(1) (2)A（-2，0），B（4，0），C（0，4）(3)-2＜x＜4(4)＞1
【分析】
（1）利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把
一般式转化为顶点式；
（2）令y=0，解得x的值，可得出函数图象与x轴的交点坐标，令x=0，解得y的值，可得
出函数图象与y轴的交点坐标．
（3）根据函数的开口方向，与x轴的交点坐标结合图象可得；（4）根据二次函 的性质即可求得．
(1)解：
=
=
= ；
(2)令y=0，则 ，
解得：x=-2或x=4，
∴函数图象与x轴的交点坐标为A（-2，0）和B（4，0），
令x=0，则y=4，
∴函数图象与y轴的交点坐标为C（0，4）；
(3)∵ 中， ，
∴函数图象开口向下，
∵函数图象与x轴交于A（-2，0）和B（4，0），
∴当y＞0时，x的取值范围是-2＜x＜4；
(4)∵ ，
∴函数图象开口向下，对称轴为直线x=1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小．
【点拨】本题主要考查抛物线与坐标轴的交点，二次函数的性质，等知识点，掌握二次函数
的顶点式y=a（x-h）2+k的性质和数形结合思想是解题的关键．
57．(1) (2)
【分析】
（1）根据根与系数的关系求得x+x、x•x，然后代入列出方程，通过解方程来求m的值；
1 2 1 2
（2）把点（1，0）代入抛物线解析式，求得m的值．
(1)解：由题意得：x+x=-1，x•x=-m，
1 2 1 2
∴-1=-m．
∴m=1．当m=1时，x2+x-1=0，
此时Δ=1+4m=1+4=5＞0，符合题意．
∴m=1；
(2)解：图象可知：过点（1，0），
当x=1，y=0，代入y=x2+x-m，得
12+1-m=0．
∴m=2．
【点拨】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，解题的关键是掌握如果
x，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，那么有x+x=- ，xx= ．
1 2 1 2 1 2
58．(1)①③(2)﹣1＜x＜3．
【分析】
（1）解答过程将求一元二次不等式解集的问题转化成一元二次方程与二次函数的问题，并
结合函数草图判断自变量的取值范围，所以涉及的数学思想有转化思想与数形结合的思想；
（2）先求方程x2-2x-3=0的解，再结合二次函数y=x2-2x-3的大致图象，根据图象在x 轴下方
的部分确定x的取值范围即可得不等式的解集．
(1)
解：根据示例可知，将一元二次不等式解集的问题转化成一元二次方程与二次函数的问题，
并结合函数草图判断自变量的取值范围，所以涉及的数学思想有转化思想与数形结合的思想，
故答案为：①③；
(2)解：解一元二次不等式：x2-2x-3＜0．
设x2-2x-3=0，解得：x=-1，x=3，
1 2
则抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点坐标为（-1，0）和（3，0）．
画出二次函数y=x2-2x-3的大致图象（如下图所示）．由图象可知：当-1＜x＜3时函数图象位于x轴下方，此时y＜0，即x2-2x-3＜0．
所以一元二次不等式x2-2x-3＜0的解集为：-1＜x＜3．
【点拨】本题考查的二次函数与一元二次不等式的关系，根据转化思想将一元二次不等式解
集的问题转化成一元二次方程与二次函数的问题，再根据数形结合的思想求解集是本题的关键．
59．（1） ；（2）顶点坐标是 ，对称轴是 ；（3） 的面积
为21， 时， 的取值范围是 ．
【分析】
（1）直接利用待定系数法将已知点代入得出方程组求出答案；
（2）直接利用配方法求出抛物线顶点坐标和对称轴即可；
（3）首先求出抛物线与x轴的交点坐标，然后利用三角形面积公式和图像得出答案．
解：（1）∵二次函数 的图象经过点 、 ，
∴ ，
解这个方程组，得 ，
∴该二次函数的解析式是 ；
（2） ，∴顶点坐标是 ；
对称轴是 ；
（3）∵二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，
∴ ，
解这个方程得： ， ，
即二次函数 与 轴的两个交点的坐标为 ， ．
∴ 的面积 ．
由图像可得，当 时， ，
故 时， 的取值范围是 ．
【点拨】本题主要考查了待定系数法求函数表达式，求三角形面积，图像法求自变量求职范
围，用配方法求抛物线顶点坐标和对称轴，求出函数表达式是解决问题的关键．
60．（1）10；（2）y=﹣x+4；（3）x＜0或x＞4．
解：试题分析：（1）由抛物线解析式可分别求出点A、点C、点B的坐标，由此可得AB，
OC的长，再由三角形的面积公式即可得到△ABC的面积．
（2）设过A、C的直线解析式为y=kx+b，把点A、C的坐标分别代入求出k和b的值即可．
（3）利用函数图象结合交点坐标得出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
解：（1）设y=0，则0=﹣x2﹣3x+4，
解得x=﹣1或4，
∴点A（4，0），点B（﹣1，0），
∴AB=5，
设x=0，则y=4，
∴点C的坐标为（0，4），
即OC=4，
∴△ABC的面积= ×5×4=10；
（2）设过A、C的直线解析式为y=kx+b，则 ，
解得： ，
所以一次函数的解析式是y=﹣x+4；
（3）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是：x＜0或x＞4．
故答案为x＜0或x＞4．
【点拨】抛物线与x轴的交点．
