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专题 22.29 二次函数与一元二次方程（基础篇）（专项练习）
一、单选题
类型一：抛物线与坐标轴交点坐标
1．抛物线 与坐标轴的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解
为（ ）
A．x＝﹣4，x＝2 B．x＝﹣3，x＝﹣1
1 2 1 2
C．x＝﹣4，x＝﹣2 D．x＝﹣2，x＝2
1 2 1 2
3．抛物线 与y轴的交点坐标为（ ）
A．(7，0) B．(－7，0) C．(0，7) D．(0，－7)
类型二：由函数值求自变量的值
4．根据下面表格中的对应值：
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09
判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
A．3.22＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
5．点 是二次函数 的图象上的点，当 （a为整数）时，点P到x
轴的距离小于15，则a的值可以的是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
6．探索一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个正数解的过程如下表：可以看出方程的一个
正数解的取值范围为（ ）
x -1 0 1 2 3 4
ax2+bx+c -7 -5 -1 5 13 23
A．-1<x<0 B．0<x<1 C．1<x<2 D．-1<x<5
类型三：图象法确定一元二次方程的近似根
7．观察下列表格，估计一元二次方程 的正数解在（ ）
－1 0 1 2 3 4
－
－7 －5 5 13 23
1
A．－1和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间
8．根据下列表格的对应值：
x … 6.17 6.18 6.19 6.20 …
ax2＋bx＋c … －0.02 －0.01 0.01 0.04 …
判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)一个解x的取值范围是( )
A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
9．已知二次函数 的 与 的部分对应值如下表：
… …
… …
关于此函数的图象和性质有如下判断：
①抛物线开口向下．②当 时，函数图象从左到右上升．
③方程 的一个根在 与 之间．
其中正确的是（ ）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
类型四：图象法解一元二次不等式10．函数 图象如图，一元二次方程 有实数根，则m最大值为
（ ）
A．-3 B．-5 C．3 D．9
11．如图，一次函数y＝kx+b与二次函数y＝ax2交于A（﹣1，1）和B（2，4）两点，则当
1 2
y＞y 时x的取值范围是（ ）
1 2
A．x＜﹣1 B．x＞2 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1或x＞2
12．如图是二次函数 的部分图象，由图象可知不等式 的解集是
（ ）
A． B．
C． 且 D． 或类型五：图象法求自变量或因变量的取值范围
13．在平面直角坐标系中，已知点A（4，2），B（4，4）抛物线L：y＝﹣（x﹣t）2+t
（t≥0），当L与线段AB有公共点时，t的取值范围是（ ）
A．3≤t≤6 B．3≤t≤4或5≤t≤6
C．3≤t≤4，t＝6 D．5≤t≤6
14．若A（﹣ ，y）、B（﹣ ，y）、C（ ，y）为二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的图象上的
1 2 3
三点，则y、y、y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y＜y＜y B．y＜y＜y C．y＜y＜y D．y＜y＜y
1 2 3 3 2 1 3 1 2 2 1 3
15．若二次函数 中函数y与自变量x之间的部分对应值如下表
x … 0 1 2 3 …
y … 2 3 2 …
点 点 在该函数图象上，当 与 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
类型六：根据交点确定不等式的解集
16．如图，抛物线 与直线 相交于点 和 ，若
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． 戓 D． 戓
17．已知抛物线 与x轴交于两点 ， ，则x为（ ）时， ．
A． B． 或 C． 或 D．
18．如图，二次函数 的图象与一次函数 的图象相交于点A，B．若点A的坐标是 ．那么不等式 的解集是（ ）
A． B． 或 C． D． 或
类型七：抛物线与x轴交点问题
19．已知 的图象如图所示，对称轴为直线 ，若 是一元二次方
程 的两个根，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
20．已知二次函数y=ax+(b-1)x+c+1的图象如图所示，则在同一坐标系中y=ax+bx+1与
1
y=x-c的图象可能是（ ）
2
A． B． C． D．21．若抛物线 与x轴只有一个交点，则k的值为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
类型八：根据二次函数的图象确定相应方程根的情况
22．二次函数 的部分图象如图，图象过点（-2，0）对称轴为直线
x=1，下列结论：① <0；② =0；③ >0；④当y>0时， 的取值范围是 ；
⑤ > 3b，其中正确的结论序号为（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．②③④
23．已知二次函数 的顶点为(1，5)，那么关于x的一元二次方程
的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
24．下表中列出的是二次函数 （a，b，c为常数， ）的自变量x与函数y
的几组对应值．
x … 0 1 3 …
y … 6 …
有下列结论：① ；②当 时，y的取值范围是 ；③ ；
④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3类型九：求抛物线与x轴截线长
25．抛物线y＝﹣x2＋2x＋6在直线y＝﹣9上截得的线段长度为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
26．如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段
AB上移动．若点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），点N的横坐标的最大值为4，则点
M的横坐标的最小值为（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣7
27．老师出示了小黑板上的题后（如图），小华说：过点（3，0）；小彬说：过点（4，
3）；小明说：a=1；小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2．你认为四人的说法中，正确的有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
类型一：抛物线与坐标轴交点坐标
28．抛物线 与 轴的交点坐标是___________．
29．抛物线 交 轴于 ， 两点，则 长为______．
30．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2﹣
2x+m＝0的解为 _____．类型二：由函数值求自变量的值
31．若二次函数 的对称轴是 ，则关于 的方程 的解为__________．
32．如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC分别交抛物线 与
于B、C两点，那么线段BC的长是________．
33．抛物线 ，当 时，自变量的值为_________．
类型三：图象法确定一元二次方程的近似根
34．小颖用计算器探索方程ax2+bx+c＝0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x
＝﹣3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为__________________．35．根据所给的表格，估计一元二次方程x2+12x﹣15＝0的近似解x，则x的整数部分是___．
x 0 1 2 3
x2+12x﹣15 ﹣15 ﹣2 13 30
36．二次函数 （a≠0，a，b，c是常数）中，自变量x与函数y的对应值如下
表：
x -1 0 1 2 3
-
y -2 1 2 1 -2
一元二次方程 （a≠0，a，b，c是常数）的两个根 的取值范围是下列选项
中的哪一个 ______ （填序号）
① ②
③ ④
类型四：图象法解一元二次不等式
37．如图，抛物线 的对称轴是 ，与x轴的一个交点为 ，则不等式
的解集为___________．38．如图，抛物线 与直线 交于 ， 两点，则关于 的不等式
的解集是________．
39．如图，一次函数 的图像与二次函数 的图像相交于点
，则 解集是_______．
类型五：图象法求自变量或因变量的取值范围
40．已知关于x的二次函数y＝x2﹣（a+1）x+a图象与直线x＝t相交于点P，仅存在两个整
数t使点P在x轴下方，则实数a的取值范围是 ________________．
41．抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则当y≥0时，x的取值范围是_________．42．如图，直线 和抛物线 ，当 时，x的取值范围是______．
类型六：根据交点确定不等式的解集
43．若二次函数 （a，k为常数，且 ）的图象与x轴的一个交点为 ，
则关于x的不等式 的解集为______．
44．函数y=-x3+x的部分图像如图所示，当y＞0时，x的取值范围是____________．
45．如图，已知抛物线 与直线 交于 ， 两点，则关于 的
不等式 的解集是______．类型七：抛物线与x轴交点问题
46．已知二次函数 （ 为常数）．点 ， ， 在二次
函数的图像上，当 时， 的取值范围是_____________________．
47．若抛物线 与x轴只有一个公共点，则k的值为________．
48．二次函数 的图像如图所示，对称轴为直线 ，若 ， 是—元
二次方程 的两个根，且 ， ，则 的取值范围是______．
类型八：根据二次函数的图象确定相应方程根的情况
49．已知函数 的图象如图所示，若直线 与该图象只有一个交
点，则m的取值范围为______________．50．二次函数 的图象如图所示，则三个代数式①abc，② ，③
中，值为正数的有______．（填序号）
51．已知二次函数 的图象的顶点为 ，与x轴交于点 ，
根据图像回答下列问题：
（1）当x_______时，y随x的增大而减小：
（2）方程 的两个根是___________．
类型九：求抛物线与x轴截线长
52．如图，已知二次函数 的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
若 ，则m的值是______．53．如图，抛物线 向下平移 个单位后，交 轴于 ，A两点，则 的
长为______．
54．已知抛物线 与 轴交于 、 两点，设抛物线顶点为 ，若 ，
则 的值为________．
三、解答题
55．如图，二次函数 的图象与 轴的一个交点为 ，另一个交点为 ，且
与 轴交于点 ．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求 的面积；
(3)该二次函数图象上是否存在点 ，使 与 的面积相等？若存在，请求出 点
的坐标；若不存在，请说明理由．56．已知：二次函数 ．
(1)通过配方，将其写成 的形式；
(2)求出函数图象与 轴的交点 的坐标；
(3)当 时，直接写出 的取值范围；
(4)当 ________时， 随 的增大而减少．
57．已知关于x的一元二次方程x2+x−m=0．
(1)设方程的两根分别是x，x，若满足x+x=x•x，求m的值．
1 2 1 2 1 2
(2)二次函数y=x2+x−m的部分图象如图所示，求m的值．58．请阅读下列解题过程：
解一元二次不等式：x2-5x＞0．
解：设x2-5x＝0，解得：x＝0，x＝5，则抛物线y＝x2-5x与x轴的交点坐标为（0，0）和
1 2
（5，0）．画出二次函数y＝x2-5x的大致图象（如图所示）．由图象可知：当x＜0或x＞5时函
数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2-5x＞0．所以一元二次不等式x2-5x＞0的解集为：x＜0或
x＞5．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
(1)上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的 和 ．（只填序号）
①转化思想；②分类讨论思想；③数形结合思想．
(2)用类似的方法解一元二次不等式：x2-2x-3＜0．
59．已知，如图，二次函数 的图象与 轴交于A， 两点，与 轴交于点
，且经过点
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴．
（3）求 的面积，写出 时 的取值范围．60．如图，已知二次函数y=﹣x2﹣3x+4的图象与x轴的交于A，B两点，与y轴交于点C．
一次函数的图象过点A、C．
（1）求△ABC的面积．
（2）求一次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围 ．参考答案
1．D
【分析】
先运用根判别式判断抛物线与x轴的交点个数，而抛物线与y轴一定有一个交点，由此解答
即可．
解：在 中，
令y=0，则 ，
∵△=22-4×（-3）3=15＞0，
∴方程 有两个不相等的实数根，
∵x=0时，y=-3，
∴抛物线与y轴的交点为（0，-3），
∴抛物线 的图象与坐标轴的交点个数为3．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，
a≠0），△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．注意仔细
审题，不要忽略了抛物线与y轴交点．
2．A
【分析】
关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根即为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图
象与x轴的交点的横坐标．
解：根据图象知，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴的一个交点是（2，0），对称轴是直
线x＝−1．
设该抛物线与x轴的另一个交点是（x，0）．
则 ，
解得，x＝－4 ，
即该抛物线与x轴的另一个交点是（－4，0）．所以关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根为x
1
＝−4，x
2
＝2．
故选：A．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，注意抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与关
于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）间的转换．
3．D
【分析】
将x=0代入抛物线解析式即可求得抛物线y=-x2+2x-7与y轴的交点坐标．
解：当x=0时，y=-x2+2x-7=-7，
∴抛物线y=-x2+2x-7与y轴的交点坐标为（0，-7），
故选：D．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．C
【分析】
根据表中数据得到x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，则x取2.24
到2.25之间的某一个数时，使ax2+bx+c＝0，于是可判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一
个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
解：∵x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；
x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
故选：C．
【点拨】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具
体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈
接近方程的根．
5．A
【分析】
先求得抛物线的开口向下，顶点为（4，16），然后根据图象上点的坐标特征即可得到结论．
解：∵y=-x（x-8）=-（x-4）2+16，
∴图象开口向下，顶点为（4，16），
把y=15代入y=-x（x-8）得15=-x2+8x，
解得x=3或5，
∴当1≤x＜3时，点P到x轴的距离小于15，∴a可以是3，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，求得函数值为
15时的x值是解题的关键．
6．C
【分析】
根据表格确定当ax2+bx+c=0的值大于-1小于5，由此得到x的取值范围．
解：设y=ax2+bx+c，
由表格可知，当y=-1时，x=1；
当y=5时，x=2，
而-1<0<5，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0的解的取值范围是1<x<2，
故选：C．
【点拨】此题考查了利用函数值的范围判断自变量的取值范围，正确理解表格数值的对应关
系是解题的关键．
7．C
【分析】
令 x2＋3x－5根据 ﹣1和 5时的函数值，即可得到答案．
解：令 x2＋3x－5，
当 时， ，
当 时， ，
x2＋3x－5=0的一个正数x的取值范围为1＜x＜2，
故选C．
【点拨】本题考查二次函数的与坐标轴的交点问题，掌握二次函数的性质是解题关键．
8．C
【分析】
根据在6.18和6.19之间有一个值能使ax2+bx+c的值为0，于是可判断方程ax2+bx+c=0一个
解x的范围．
解：由 ，
得 时 随 的增大而增大，
得 时， ，时， ，
∴ 的一个解x的取值范围是 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了估算一元二次方程的近似解，解答此题的关键是利用函数的增减性．
9．B
【分析】
根据函数图象具有对称性和表格可知对称轴和顶点坐标，以及开口方向，从而可以判断选项
是否正确，从而得出答案．
解：根据表格可知：①函数的对称轴为 ，在对称轴右侧 ，y随x的增大而减小，故
函数图象是抛物线，且开口向下，符合题意；
②函数对称轴为 ，当 ，y随x的增大而减小，所以函数图象从左至右下降，不
符合题意；
③当 时， ，当 时， ，所以方程 的一个根在 与
之间，符合题意；
故选B．
【点拨】本题考查了抛物线的性质，解题的关键是正确理解题意、熟练掌握其性质．
10．C
【分析】
求m最大值转化为二次函数 的图象与直线y＝﹣m有交点，解不等式得解．
解：∵一元二次方程 有实数根，
∴二次函数 的图象与直线y＝﹣m有交点，
由图象得，﹣m≥﹣3，
解得m≤3，
∴m的最大值为3，
故答案选：C．
【点拨】本题考查的是利用函数图像解不等式，把最值问题转化为两个函数图像有交点的问
是解答此题的关键．
11．C
【分析】从图象上找出两函数图象交点坐标，再根据两函数图象的上下位置关系，判断 时，x
的范围．
解：已知函数图象的两个交点坐标分别为A 和B 两点，
∴当 时，有﹣1＜x＜2；
故答案为：C．
【点拨】本题考查了利用图象求解的能力，找出两函数图象交点坐标，再根据两函数图象的
上下位置关系，判断 时，x的范围是解题的关键．
12．A
【分析】
根据二次函数的对称性求出与x轴的另一个交点坐标，然后根据函数图象写出x轴上方部分
的x的取值范围即可．
解：由图可知，对称轴为直线x＝2，
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（5，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（−1，0），
又∵抛物线开口向下，
∴不等式 的解集是−1＜x＜5．
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数与不等式组，二次函数的性质，此类题目，利用数形结合的思
想求解是解题的关键．
13．B
【分析】
根据题意知线段AB平行于y轴，先根据二次函数经过点A与点B构建方程，进而得出二次
函数与线段交点解集即可．
解：根据题意知：
∵点 ， ，
故对于二次函数 与线段 有公共点时，即当x=4时， ，
即 ，
当 时，解得 ，
当 时，解得 ，
∴ 的解集为 或 ；
故选：B．
【点拨】此题考查二次函数与线段交点问题，主要理解函数图像与线段有交点的真实含义，
难度一般，主要是计算．
14．C
【分析】
先求出二次函数的开口方向和对称轴，再根据二次函数的对称性和增减性即可解答．
解：∵y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，
∴抛物线开口向下，对称轴是直线x＝﹣2，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，
∴A（﹣ ，y）与点（ ，y）关于直线x＝﹣2对称，
1 1
∵﹣2＜﹣ ＜ ＜ ，
∴y＜y＜y，
3 1 2
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性
质是解此题的关键．
15．A
【分析】
根据表格数据判断出对称轴为直线x=2，再根据二次项系数小于0判断出函数图象开口向下，
然后根据x的取值范围写出大小关系即可．
解：由表可知，抛物线的对称轴为直线x=2，
∵a=-1＜0，
∴函数图象开口向下，
∵0＜x＜1，2＜x＜3，
1 2∴y＜y．
1 2
故选A．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，判断出对称轴和开口方向是解题的关键．
16．C
【分析】
根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
解：抛物线 与直线 相交于点 和 ，
则 的解集为： 戓 ．
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题
更是如此．
17．B
【分析】
根据 可得抛物线开口向上，根据与 轴的交点坐标即可判断，当点位于交点两侧时，函
数值大于0，即可求解
解：∵抛物线 与x轴交于两点 ， ，
∴当 或 时，
故选：B
【点拨】本题考查了根据二次函数与 轴的交点求不等式的解集，理解抛物线的图象的性质
是解题的关键．
18．A
【分析】
将A 代入二次函数 ，可求得m的值，再将A点坐标代入一次函数
中，可求得一次函数解析式，联立可求得B点坐标，结合图象即可得到答案．
解：将A 代入 ，得： ，
解得： ，
∴A点坐标为 代入一次函数 中，
得： ，解得：b= ，
∴一次函数的解析式为 ，
联立可得： ，解得： ，
∴点B的坐标为 ，
结合图象可得： 的解集为： ，
故答案选：A．
【点拨】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所
求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
19．D
【分析】
根据函数图像判断 ，对称轴为 ，即可判断A，根据对称轴为 ，
即可判断B，根据 ， ，即可判断C,D．
解： 抛物线开口向下，则 ，对称轴为 ，即
则 ，故A错误，
对称轴为 ，，故B错误，
，
，
，
解得 ，故C不正确，D正确，
故选D
【点拨】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数与坐标轴交点坐标，掌握二次
函数图象的对称性是解题的关键．
20．A
【分析】
由已知二次函数y=ax2+（b-1）x+c+1的图象与x轴的交点的横坐标都在0 2之间，就可以确
定二次函数y=ax2+bx+1与直线y=x-c的交点的横坐标也都在0 2之间．
解：∵二次函数y=ax2+（b-1）x+c+1的图象与x轴的交点的横坐标都在0 2之间，
而y=ax2+（b-1）x+c+1= ax2+bx+1-(x-c)，
∴二次函数y=ax2+bx+1与直线y=x-c的交点的横坐标也都在0 2之间，
∴在同一坐标系中y=ax2+bx+1与y=x-c的图象可能是选项A，
1 2
故选：A．
【点拨】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，二次函数及一次函数的图象和性质，
熟知以上知识是解答此题的关键．
21．C
【分析】
根据抛物线y=x2-2x+k与x轴只有一个交点，可知Δ=0，从而可以求得k的值．
解：∵抛物线y=x2-2x+k与x轴只有一个交点，
∴Δ=（-2）2-4×1×k=0，
解得，k=1，
故答案为：C．
【点拨】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质
解答．22．B
【分析】
①由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后
根据对称轴，判断b与0的关系，即可得出abc与0的关系；
②根据对称轴为直线x=1，即可判断2a+b=0；
③根据抛物线与x轴的交点个数，即可判断b2-4ac＞0；
④根据抛物线的对称轴，抛物线与x轴的交点的一个坐标为（-2，0）得出抛物线与x轴另外
一个交点坐标为（4，0），即可得出y>0时，x的取值范围；
⑤把x=-3代入y=ax2+bx+c得出y=9a-3b+c，根据图象可知，当x=-3时， ，得出9a-3b+c
＜0，即可得出答案．
解：①由图象可得c＞0， ，
∵x= =1，
∴ ，
∴abc＜0，故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x= =1，
∴b=-2a，即2a+b=0，故②错误；
③∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2-4ac＞0，故③正确；
④∵抛物线与x轴的交点的一个坐标为（-2，0），对称轴为直线x=-1，
∴抛物线与x轴的另外一个交点坐标为（4，0），
∴当y>0时，x的取值范围是−2<x<4，故④正确；
⑤∵当x=-3时，y＜0，
∴9a-3b+c＜0，
即9a+c＜3b，故⑤错误；
综上分析可知，①③④正确，故B正确．
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系
数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线
与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交
点；Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
23．A
【分析】
根据题意可知抛物线 与x轴必定有两个不同的交点，则关于x的一元二次方
程 有两个不相等的实数根．
解：∵抛物线的 的顶点坐标为（1，5）
∴抛物线开口向下，顶点在第一象限，
∴抛物线 与x轴必定有两个不同的交点，
∴关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
故选A．
【点拨】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，正确理解抛物线 与x
轴必定有两个不同的交点，则关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根是解
题的关键．
24．D
【分析】
根据抛物线经过点（0，−4），（3，−4）可得抛物线对称轴为直线x＝ ，由抛物线经过点
（−2，6）可得抛物线开口向上，进而求解．
解：∵抛物线经过点（0，−4），（3，−4），（1，−6），
∴抛物线对称轴为直线x＝ ，
，解得 ，
抛物线解析式为 ，
故①正确；
②由
顶点为 ，
当 取得最小值，最小值为 ，
，开口向上，
根据离对称轴越远的点的函数越大，
，
当 时，取得最大值，最大值为 ，
当 时，y的取值范围是 ；
故②不正确；
，
，
故③正确；
，
，
，
关于x的方程 有两个不相等的实数根，
故④正确；
故正确的有①③④，共3个，
故选D．
【点拨】本题考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
25．C
【分析】
求得抛物线与直线的交点坐标后即可求得截得的线段的长．
解：由题意得： ，
解得：x＝−3或x＝5，
故在直线y＝−9上截得的线段的长为5−（−3）＝8，
故选：C．
【点拨】本题考查了抛物线与直线的交点，要熟悉二次函数与一元二次方程的关系．
26．C
【分析】
根据顶点P在线段AB上移动，又知点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），分别求
出对称轴过点A和B时的情况，即可判断出M点横坐标的最小值．
解：根据题意知，
点N的横坐标的最大值为4，此时对称轴过B点，点N的横坐标最大，此时的M点坐标
为（﹣2，0），
当对称轴过A点时，点M的横坐标最小，此时的N点坐标为（1，0），M点的坐标为
（﹣5，0），
故点M的横坐标的最小值为﹣5，
故选：C．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是理解
二次函数在平行于x轴的直线上移动时，两交点之间的距离不变．
27．C
【分析】
首先求出抛物线的解析式，然后逐一进行判断即可得出答案．
解：∵抛物线过（1,0），对称轴是x＝2，
∴ ，解得a＝1，b＝－4，
∴y＝x2－4x＋3，当x＝3时，y＝0，所以小华正确，
当x＝4时，y＝3，小彬正确，
a＝1，小明也正确，
抛物线被x轴截得的线段长为2，已知过点(1,0)，则可得另一点为(－1,0)或(3,0)，所以
对称轴为y轴或x＝2，此时答案不唯一，所以小颖也错误，
故答案为：C．
【点拨】本题主要考查抛物线，掌握二次函数的性质是解题的关键．
28．（0，-1）
【分析】
根据 轴上点的坐标，横坐标为0，故只要令 即可求解．
解：令 ，则 ，
∴抛物线 与 轴的交点坐标是(0，-1)，
故答案为：(0，-1)
【点拨】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，熟悉坐标轴上点的坐标特点是解题的关键．
29．6
【分析】
根据抛物线y=x2-4x-5与x轴分别交于A、B两点，可以令y=0求得点A、B的坐标，从而可以
求得AB的长．
解：∵y=x2-4x-5，
∴y=0时，x2-4x-5=0，
解得，x=-1，x=5．
1 2
∵抛物线y=x2-4x-5与x轴分别交于A、B两点，
∴点A的坐标为(-1，0)，点B的坐标为(5，0)，
∴AB的长为：5-(-1)=6．
故答案为：6．
【点拨】本题考查抛物线与x轴的交点，以及数轴上两点间的距离，解题的关键是明确抛物
线与x轴相交时，y=0．
30．x＝﹣4，x＝2
1 2
【分析】
根据图象可知，二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的部分图象经过点（﹣4，0），把该点代入方程，
求得m值；然后把m值代入关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0，求根即可．解：根据图象可知，二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的部分图象经过点（﹣4，0），所以该点适合
方程y＝﹣x2﹣2x+m，代入，得
（﹣4）2+2×（﹣4）+m＝0
解得，m＝8 ①
把①代入一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0，得
﹣x2﹣2x+8＝0，②
解②，得
x＝﹣4，x＝2
1 2
∴关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0的解为x＝﹣4，x＝2
1 2
故答案为x＝﹣4，x＝2．
1 2
【点拨】本题考查的是关于二次函数与一元二次方程，在解题过程中，充分利用二次函数图
象，求出m的值是解题关键．
31．3或
【分析】
先根据二次函数y=x2+mx的对称轴是x=1求出m的值，再把m的值代入方程x2+mx=3，求
出x的值即可．
解：∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=1，
∴ =1，
解得m=-2，
∴关于x的方程x2+mx=3可化为x2-2x-3=0，即（x+1）（x-3）=0，
解得x=-1，x=3．
1 2
故答案为：3或-1．
【点拨】本题考查二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解题的关键．
32．2
【分析】
根据题意，将 分别代入 ， ，求得 的正数解，即求得
的坐标，进而即可求得 的长．
解： ，则 解得 ，即解得 ，即
故答案为：
【点拨】本题考查了根据二次函数的函数值求自变量，联立解方程是解题的关键．
33．1或
【分析】
把y=1代入解析式中得到关于x的方程，解方程即可
解： ，
当 时， ，
解得 ， ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查函数值以及自变量，解题的关键是掌握函数值的计算方法．
34．1.4
【分析】
根据一元二次方程的一个近似根，得到抛物线与x轴的一个交点，根据抛物线的对称轴，求
出另一个交点坐标，得到方程的另一个近似根．
解：∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣3.4，0），又抛物线的对称轴为：x＝﹣1，
∴另一个交点坐标为：（1.4，0），
则方程的另一个近似根为1.4，
故答案为：1.4．
【点拨】本题考查的是用图象法求一元二次方程的近似根，掌握二次函数的对称性和抛物线
与x轴的交点与一元二次方程的解的关系是解题的关键．
35．1
【分析】
根据表格中的数据，可以发现：x＝1时，x2+12x﹣15＝﹣2；x＝2时，x2+12x﹣15＝13，故
一元二次方程x2+12x﹣15＝0的其中一个解x的范围是1＜x＜2，进而可得答案．
解：∵x＝1时，x2+12x﹣15＝﹣2；x＝2时，x2+12x﹣15＝13，∴方程的一个解x的范围是：1＜x＜2，
∴方程的其中一个解的整数部分是1．
故答案为：1．
【点拨】本题考查求一元二次方程的近似解，求近似解的过程就是找到这样的x，使
ax2+bx+c的值接近0，则可以大致确定x的取值范围；正确确定x的取值范围是解题关键．
36．③
【分析】
根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数
的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0两个根的范围．
解：函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c的图
象与x轴的交点的纵坐标为0．
由表中数据可知：y=0在y= 与y=1之间，
∴- ＜x＜0，2＜x＜ 时y的值最接近0，
1 2
的取值范围是：- ＜x＜0；2＜x＜ ．
1 2
故答案为：③．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，掌握函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点与方程
ax2+bx+c=0的根的关系是解决此题的关键所在．
37．﹣3＜x＜5
【分析】
先根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标（5，0），由y＝ax2+bx+c＞0得
函数值为正数，即抛物线在x轴上方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式
ax2+bx+c＞0的解集．
解：根据图示知，抛物线y＝ax2+bx+c图象的对称轴是x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣
3，0），
根据抛物线的对称性知，抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x＝1对称，
即
抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与（﹣3，0）关于直线x＝1对称，
∴另一个交点的坐标为（5，0），
∵不等式ax2+bx+c＞0，即y＝ax2+bx+c＞0，∴抛物线y＝ax2+bx+c的图形在x轴上方，
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣3＜x＜5．
故答案为﹣3＜x＜5．
【点拨】此题主要考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然
后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．
38．
【分析】
根据不等式ax2﹣kx＋c＜b可变形为 ，进而得出谁大谁的函数图象在上面，进
而求出x取值范围即可．
解：∵不等式ax2﹣kx＋c＜b可变形为 ，
∴图象上抛物线在直线下方时对应x的范围即为不等式的解集，
观察函数图象可知：当 时，抛物线 在直线 的下方，
∴不等式ax2﹣kx＋c＜b的解集为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是二次函数与不等式（组）的知识点，解题关键在于对图象的理解，谁
大谁的图象在上面．
39．
【分析】
写出直线在抛物线下方所对应的自变量的范围即可．
解：根据 ，
当 时，直线在抛物线下方，
故关于 的不等式 的解集是： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数与不等式（组 ：对于二次函数 、 、 是常
数， 与不等式的关系，解题的关键是利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求
自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
40．﹣2≤a＜﹣1或3＜a≤4
【分析】根据二次函数y＝x2﹣（a+1）x+a图象与直线x＝t相交于点P，设出P点坐标，由P在x轴
下方得到t2﹣（a+1）t+a＜0，即（t﹣a）（t﹣1）＜0，分两种情况谈论，即可解答．
解：∵二次函数y＝x2﹣（a+1）x+a图象与直线x＝t相交于点P，
∴点P坐标为：（t，t2﹣（a+1）t+a），
∵点P在x轴下方，
∴t2﹣（a+1）t+a＜0，即（t﹣a）（t﹣1）＜0，
①当a＞1时，则1＜t＜a，
∵t仅有两个整数，
∴3＜a≤4；
②当a＜1时，则a＜t＜1，
又∵t仅有两个整数，
∴﹣2≤a＜﹣1．
综上所述，实数a的取值范围为：﹣2≤a＜﹣1或3＜a≤4．
故答案为：﹣2≤a＜﹣1或3＜a≤4．
【点拨】本题考查了二次函数与不等式．解题的关键在于找出不等关系．
41．﹣1≤x≤3
【分析】
首先根据对称轴和与x轴的一个交点确定另一个交点的坐标，然后根据其图象确定自变量的
取值范围即可．
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（−1，
0），
∴与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴y≥0时，x的取值范围为：﹣1≤x≤3，
故答案是：﹣1≤x≤3．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴求得
另一个交点坐标．
42．
【分析】
当 ＜ 时，一次函数的图像在二次函数的图像的下方，利用函数图像可以得到自变量的取
值范围，即不等式的解集．解：联立方程组 ，
解得 ，
直线 与抛物线 的交点为：
当 ＜ 时，一次函数的图像在二次函数的图像的下方，
所以此时： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是利用图像法求不等式的解集，掌握利用二次函数与一次函数的图像写
不等式的解集是解题的关键．
43．
【分析】
根据函数的对称轴可求出二次函数 与x轴的另一个交点，再根据二次函数的
平移特点求出y= 与x轴的交点，再根据二次函数的图象与性质即可求解．
解：∵二次函数 的对称轴为x=1，图象与x轴的一个交点为 ，
∴二次函数 与x轴的另一个交点为（3，0），
∵二次函数 向右平移1个单位得到y= ，
故二次函数y= 与x轴的交点为（0，0）和（4，0），
∵ ，
∴二次函数y= ＞0时，x的取值为 ，
∴关于x的不等式 的解集为 ，
故答案为： ．
【点拨】此题主要考查二次函数与不等式综合，解题的关键是熟知二次函数的图象与性质、平移的特点．
44．x＜-1或0＜x＜1
【分析】
根据y=0时，对应x的值，再求函数值y＞0时，对应x的取值范围．
解：y=0时，即-x3+x=0，
∴-x(x2-1)=0，
∴-x(x+1) (x-1)=0，
解得x=0或x=-1或x=1，
∴函数y=-x3+x的部分图像与x轴的交点坐标为（-1，0），（0，0），（1，0），
故当函数值y＞0时，对应x的取值范围上是：x＜-1，0＜x＜1．
故答案为：x＜-1或0＜x＜1．
【点拨】本题考查了函数值与对应自变量取值范围的关系，需要形数结合解题．
45．
【分析】
根据图象，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
解：∵知抛物线 与直线 交于 ，
∴不等式 的解集是 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于
对图像的理解，谁大谁的图象在上面．
46． 或0≤m≤2或m≥3
【分析】
分别求出y，y，y，利用y•y•y 0，得出关于m的不等式，求出m的值即可．
1 2 3 1 2 3≥
解：由题意可知，y=（1-m）（1-m-2）=（m-1）（m+1），
1
y=（2-m）（2-m-2）=m（m-2），
2
y=（3-m）（3-m-2）=（m-1）（m-3），
3
∵y•y•y 0，
1 2 3
∴（m-1）（m+1）•m•（m-2）•（m-1）（m-3）≥0，即m（m+1）（m-2）（m-3）
（m-1）2 0，
∵（m-1）2≥0，
∴m，（m+1），（m-2），（m-3）的负数有偶数个，且m+1＞m＞m-2＞m-3，当负数有4个时，m+1 0，
∴m ；
当负数有2个时，m-2 0且m 0，
∴ ，
当负数有0个时， ，
∴
∴m的取值范围为： ．
故答案为：
【点拨】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题
是关键．
47．16
【分析】
令y=0得到关于x的一元二次方程，由抛物线与x轴只有一个交点，得到方程根的判别式等
于0，计算求解即可．
解：令y=0，得到 ．
∵二次函数 的图象与x轴只有一个交点，
∴方程 有两个相等的实数根，
∴ = =64-4k=0，解得k=16
故答案为：16．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题的关键在于明确交点个数与判别式△的关系．
48．4＜x＜5
2
【分析】
根据题意可得 ，代入 即可求解．
解：∵x，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，
1 2
∴x、x 是抛物线与x轴交点的横坐标，
1 2
∵抛物线的对称轴为直线x=2，
∴ ，即x+x=4＞0，
1 2
∵x＜x，-1＜x＜0，
1 2 1∴-1＜4-x＜0，
2
解得：4＜x＜5，
2
故答案为：4＜x＜5，
2
【点拨】本题考查了，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，掌握二次函
数的性质是解题的关键．
49． 或
【分析】
分情况讨论：①直线与y=-x无交点，与y=-x2+2x有1个交点，则有 ，②直线与y=-x有
1个交点，与y=-x2+2x无交点令 <0，即可求解．
解：①根据图象可知：直线与y=-x 无交点，与y=-x2+2x有1个交点，
②直线与y=-x有1个交点，与y=-x2+2x无交点
解得
故答案为： 或
【点拨】本题考查了二次函数与一次函数的图象及性质，能够根据条件，数形结合的进行分
析，分类讨论是解题的关键．
50．①②③
【分析】
根据对称轴位置，确定ab的符号，根据抛物线与y轴的交点位置，确定c的符号；根据抛物
线与x轴交点的个数，确定 的符号，作直线x=-1，观察直线与抛物线的交点，x轴上方，
函数值为正，反之，为负．
解：∵抛物线的对称轴在x轴的正半轴，且抛物线与x轴有两个不同交点，与y轴交于负半
轴，
∴ab＜0，c＜0， ＞0，
∴abc＞0，如图，直线x=-1，与抛物线的交点在x轴上方，
∴ ＞0，
故答案为：①②③．
【点拨】本题考查了抛物线的性质，抛物线与坐标轴交点性质，特殊值对应的函数值判断，
熟练掌握抛物线的基本性质是解题的关键．
51． 小于2； x＝3，x＝1
1 2
【分析】
（1）根据二次函数图象与x轴的两个交点可知，二次函数的对称轴为直线x=2，在对称轴的
左侧y随x的增大而减小；
（2）根据图象与x轴的两个交点坐标可知，ax2+bx+c=0的两个根．
解：（1）∵二次函数图象与x轴的两个交点坐标为（1，0）、（3，0），
∴二次函数的对称轴为直线x=2，
∵抛物线的开口向上，
∴当 时，y随x的增大而减小；
（2）∵二次函数图象与x轴的两个交点坐标为（1，0）、（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是 ， ．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，会读图用图是解决本题的关键．
52．4
【分析】
根据抛物线的解析式和抛物线的对称性质，得点A、B关于y轴对称，设B(p,0)(x>)，则A（-
p,0），所以OA=OB=p，AB=p-（-p）=2p，p,-p为方程-x2+m=0的两根，根据地一元二次方程根与
系数关系，得p2=m，又因为OC=AB，所以C(0,2P)，代入解析式得2p=m，则可求出m值．
解：∵二次函数 ，∴二次函数图象的对称轴为y轴，
又∵函数图像与x轴交于A、B两点，
∴点A、B关于y轴对称，
设B(p,0)(P>0)，则A（-p，0），
∴OA=OB=p，AB=p-（-p）=2p，x=p，x=-p为方程-x2+m=0的解，
∴-p2=-m，即p2=m，
∴OC=AB=2p，
∴C(0,2P)，
代入函数解析式，得2p=m，
∴p= ,
∴ ，
∵m>0，
∴m=4，
故答案为：4．
【点拨】本题考查抛物线的性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数
和关系，熟练掌握二次函数的性质，一元二次方程根与系数关系是解题的关键．
53．4
【分析】
首先根据图象的平移规律得出平移后的抛物线的解析式，然后令 ，求出两个x
的值，即可求解．
解：抛物线 向下平移 个单位后的解析式为 ,
令 ，
解得 ，
∴ 的长为4，
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查二次函数的平移及与二次函数与一元二次方程，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．
54．
【分析】
解答此题可分以下几步:①设A、B点坐标分别为 、 ,求出用 、 表示的AB长度的表
达式;
②求出抛物线顶点纵坐标表达式,其绝对值即为△APB的高;
③根据∠PAB=30°通过三角函数建立起AB的长度与△APB的高的关系式;
④将 看做一个整体,解方程即可得到正确答案.
解：解:如图,
作PD⊥x轴于设A、B点坐标分别为 、 ，
AB= = ＝ = ；
抛物线顶点坐标为( ， )
则DP的长为 ，
由抛物线是轴对称图形可知,△APB为等腰三角形,
∠PAD=30°,
DP=tan30° AD= tan30° AB,
即 ＝ ，
两边平方得： ＝ ，
去分母得： ，
移项得： ， ，解得： ＝0或 ＝0，
由于抛物线y=a +bx+c与x轴交于A,B两点,故△>0
即: ＝ ，
故答案： ．
【点拨】此题考查了抛物线与x轴的交点横坐标与两点间的距离的关系、抛物线顶点坐标及
等腰三角形的性质和三角函数的相关知识,综合性较强.
55．(1) (2)10(3)存在， 或 或
【分析】
（1）将点 的坐标代入解析式求解即可；
（2）令 ，求得点 的坐标，根据三角形的面积公式求解即可；
（3）设 ，边 上的高为 ，则 ，根据 与 的面积相，求得 ，
令 解方程即可求解．
(1)解：∵二次函数 的图象与 轴的一个交点为 ，
∴ ，
解得 ，
即 ，
；
(2)存在， 或 或 ，理由如下，
由 ，令 ，
即 ，
解得 ，
，
；
(3)设 ，边 上的高为 ，
与 的面积相等，
，
是 上的点，
则 ，
或 ，
解得 或 .，
或 或 ．
【点拨】本题考查了待定系数法求解析式，求二次函数与坐标轴的交点，三角形面积问题，
掌握二次函数的性质是解题的关键．
56．(1) (2)A（-2，0），B（4，0），C（0，4）(3)-2＜x＜4(4)＞1
【分析】
（1）利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把
一般式转化为顶点式；
（2）令y=0，解得x的值，可得出函数图象与x轴的交点坐标，令x=0，解得y的值，可得
出函数图象与y轴的交点坐标．
（3）根据函数的开口方向，与x轴的交点坐标结合图象可得；（4）根据二次函 的性质即可求得．
(1)解：
=
=
= ；
(2)令y=0，则 ，
解得：x=-2或x=4，
∴函数图象与x轴的交点坐标为A（-2，0）和B（4，0），
令x=0，则y=4，
∴函数图象与y轴的交点坐标为C（0，4）；
(3)∵ 中， ，
∴函数图象开口向下，
∵函数图象与x轴交于A（-2，0）和B（4，0），
∴当y＞0时，x的取值范围是-2＜x＜4；
(4)∵ ，
∴函数图象开口向下，对称轴为直线x=1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小．
【点拨】本题主要考查抛物线与坐标轴的交点，二次函数的性质，等知识点，掌握二次函数
的顶点式y=a（x-h）2+k的性质和数形结合思想是解题的关键．
57．(1) (2)
【分析】
（1）根据根与系数的关系求得x+x、x•x，然后代入列出方程，通过解方程来求m的值；
1 2 1 2
（2）把点（1，0）代入抛物线解析式，求得m的值．
(1)解：由题意得：x+x=-1，x•x=-m，
1 2 1 2
∴-1=-m．
∴m=1．当m=1时，x2+x-1=0，
此时Δ=1+4m=1+4=5＞0，符合题意．
∴m=1；
(2)解：图象可知：过点（1，0），
当x=1，y=0，代入y=x2+x-m，得
12+1-m=0．
∴m=2．
【点拨】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，解题的关键是掌握如果
x，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，那么有x+x=- ，xx= ．
1 2 1 2 1 2
58．(1)①③(2)﹣1＜x＜3．
【分析】
（1）解答过程将求一元二次不等式解集的问题转化成一元二次方程与二次函数的问题，并
结合函数草图判断自变量的取值范围，所以涉及的数学思想有转化思想与数形结合的思想；
（2）先求方程x2-2x-3=0的解，再结合二次函数y=x2-2x-3的大致图象，根据图象在x 轴下方
的部分确定x的取值范围即可得不等式的解集．
(1)
解：根据示例可知，将一元二次不等式解集的问题转化成一元二次方程与二次函数的问题，
并结合函数草图判断自变量的取值范围，所以涉及的数学思想有转化思想与数形结合的思想，
故答案为：①③；
(2)解：解一元二次不等式：x2-2x-3＜0．
设x2-2x-3=0，解得：x=-1，x=3，
1 2
则抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点坐标为（-1，0）和（3，0）．
画出二次函数y=x2-2x-3的大致图象（如下图所示）．由图象可知：当-1＜x＜3时函数图象位于x轴下方，此时y＜0，即x2-2x-3＜0．
所以一元二次不等式x2-2x-3＜0的解集为：-1＜x＜3．
【点拨】本题考查的二次函数与一元二次不等式的关系，根据转化思想将一元二次不等式解
集的问题转化成一元二次方程与二次函数的问题，再根据数形结合的思想求解集是本题的关键．
59．（1） ；（2）顶点坐标是 ，对称轴是 ；（3） 的面积
为21， 时， 的取值范围是 ．
【分析】
（1）直接利用待定系数法将已知点代入得出方程组求出答案；
（2）直接利用配方法求出抛物线顶点坐标和对称轴即可；
（3）首先求出抛物线与x轴的交点坐标，然后利用三角形面积公式和图像得出答案．
解：（1）∵二次函数 的图象经过点 、 ，
∴ ，
解这个方程组，得 ，
∴该二次函数的解析式是 ；
（2） ，∴顶点坐标是 ；
对称轴是 ；
（3）∵二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，
∴ ，
解这个方程得： ， ，
即二次函数 与 轴的两个交点的坐标为 ， ．
∴ 的面积 ．
由图像可得，当 时， ，
故 时， 的取值范围是 ．
【点拨】本题主要考查了待定系数法求函数表达式，求三角形面积，图像法求自变量求职范
围，用配方法求抛物线顶点坐标和对称轴，求出函数表达式是解决问题的关键．
60．（1）10；（2）y=﹣x+4；（3）x＜0或x＞4．
解：试题分析：（1）由抛物线解析式可分别求出点A、点C、点B的坐标，由此可得AB，
OC的长，再由三角形的面积公式即可得到△ABC的面积．
（2）设过A、C的直线解析式为y=kx+b，把点A、C的坐标分别代入求出k和b的值即可．
（3）利用函数图象结合交点坐标得出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
解：（1）设y=0，则0=﹣x2﹣3x+4，
解得x=﹣1或4，
∴点A（4，0），点B（﹣1，0），
∴AB=5，
设x=0，则y=4，
∴点C的坐标为（0，4），
即OC=4，
∴△ABC的面积= ×5×4=10；
（2）设过A、C的直线解析式为y=kx+b，则 ，
解得： ，
所以一次函数的解析式是y=﹣x+4；
（3）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是：x＜0或x＞4．
故答案为x＜0或x＞4．
【点拨】抛物线与x轴的交点．
