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专题 22.21 两个或多个二次函数综合专题（专项练习）
一、单选题
1．已知二次函数 如图所示，那么 的图像可能是（
）
A． B． C． D．
2．函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则选项中函数y＝a（x﹣b）2＋c的图象正确
的是（ ）
A． B． C． D．
3．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是( )A． B． C． D．
4．如果两个不同的二次函数的图象相交，那么它们的交点最多有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
5．如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和抛物
线y＝ x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝ x2于点C，过点B作
BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，抛物线y＝a（x﹣2）2＋1（a＞0）的
顶点为A，过点A作y轴的平行线交抛物线 于点B，连接AO、BO，则△AOB
的面积为________．7．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，若|ax2+bx+c|=k有两个不相等的实数根，则
k的取值范围是____．
三、解答题
8．已知，点M为二次函数 图象的顶点，直线 分别
交x轴正半轴和y轴于点A，B．
(1)判断顶点M是否在直线 上？并说明理由；
(2)如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且 ，结合图
象，求x的取值范围；
(3)如图2，点A坐标为 ，点M在 内，若点 ， 都在二次
函数图象上，试比较 与 的大小．9．定义：若二次函数 的图象记为 ，其顶点为 ，二次函数
的图象记为 ，其顶点为 ，我们称这样的两个二次函数互为
“反顶二次函数”．
分类一：若二次函数 经过 的顶点B，且 经
过 的顶点A，我们就称它们互为“反顶伴侣二次函数”．
(1)所有二次函数都有“反顶伴侣二次函数”是______命题．（填“真”或“假”）
(2)试求出 的“反顶伴侣二次函数”．
(3)若二次函数 与 互为“反顶伴侣二次函数”，试探究 与 的关系，并说明理
由．
(4)分类二：若二次函数 可以绕点M旋转180°得到二次函数 ；
，我们就称它们互为“反顶旋转二次函数”．
①任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”是______命题．（填“真”或“假”）
②互为“反顶旋转二次函数”的对称中心点M有什么特点？
③如图， ， 互为“反顶旋转二次函数”，点E，F的对称点分别是点Q，G，且
轴，当四边形EFQG为矩形时，试探究二次函数 ， 的顶点有什么关系．
并说明理由．10．已知抛物线 与 轴交于点 ，其关于 轴对称的抛物线为 ： ，
且 经过点 和点 ．
（1）求抛物线 的解析式；
（2）将抛物线 沿 轴向右平移得到抛物线 ，抛物线 与 轴的交点记为点 和
点 （ 在 的右侧），与 轴交于点 ，如果满足 与 相似，请求出平移
后抛物线 的表达式．
11．在平面直角坐标系中，我们将抛物线 通过平移后得到
，且设平移后所得抛物线的顶点依次
为 ，这些顶点均在格点上，我们将这些抛物线称为“缤纷抛物线”（k为整
数）．（1） 的坐标为____________，直接写出平移后抛物线 的解析式为____________
（用k表示）；
（2）若平移后的抛物线 与抛物线 交于点A，对称轴与抛物线 交于点
B，若 ，求整数k的值．
12．如图，抛物线F： 的顶点为P，抛物线：与y轴交于点A，与直
线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线
F′： ，抛物线F′与x轴的另一个交点为C．
⑴当a = 1，b=－2，c = 3时，求点C的坐标(直接写出答案)；
⑵若a、b、c满足了
①求b：b′的值；
②探究四边形OABC的形状，并说明理由．13．在平面直角坐标系中，已知：函数 ．
（1）当 时，
①求 随 增大而增大时， 的取值范围；
②当 时，求 的取值范围；
③当 时，设 的最大值与最小值之差为 ，当 时，求 的值．
（2）若 ，连结 .当此函数的图象与线段 只有两个公共点时，直
接写出 的取值范围．参考答案
1．C
试题分析：根据二次函数的图像可知，开口向上，排除选项D；该二次函数经过点
（0,3），不经过（0，0）这点，把A项排除；根据图像平移可以可知，对二次函数
向右平移一个单位即可得到 图像，可以排除B项，选
C是正确的．
【点拨】1、二次函数的性质 2、图像平移
2．B
【分析】
先根据y＝ax2+bx+c的图象得到a、b、c的正负情况，从而得到函数y＝a（x﹣b）2+c
的图象的开口方向和顶点坐标所在的位置，分析判断即可得到正确的函数图象．
解：由y＝ax2+bx+c的图象可得a＜0，b＞0，c＞0，
∵函数y＝a（x﹣b）2+c，
∴该函数的图象开口向下，顶点坐标为（b，c），且该函数图象的顶点在第一象
限，
故选：B
【点拨】本题考查由二次函数图象判断各项系数的符号，牢记相关知识点是解题关键．
3．D
【分析】
根据两个函数的开口方向及第一个函数与y轴的交点，第二个函数的对称轴可得相关
图象．
解：A、两个函数的开口方向都向上，那么a＞0，b＞0，可得第一个函数的对称轴是
y轴，与y轴交于正半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；
B、两个函数的开口方向都向下，那么a＜0，b＜0，可得第一个函数的对称轴是y
轴，与y轴交于负半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；
C、D、两个函数一个开口向上，一个开口向下，那么a，b异号，可得第二个函
数的对称轴在y轴的右侧，故C错误，D正确．
故选D．
【点拨】本题考查二次函数图象的性质，用到的知识点为：二次函数的二次项系数大
于0，开口方向向上，小于0，开口方向向下；二次项系数和一次项系数同号，对称轴在y轴的左侧，异号在y轴的右侧；一次项系数为0，对称轴为y轴；常数项是二次函数与y轴
交点的纵坐标．
4．B
【分析】
根据二次函数图像的特点进一步求解即可.
解：∵二次函数的图像为抛物线，
∴两个不同二次函数的图像的交点最多只能有2个，
故选：B.
【点拨】本题主要考查了二次函数图像的性质与特点，熟练掌握相关概念是解题关键.
5．C
【分析】
设A（m，m2），则B（m， m2），根据题意得出C（2m，m2），D（ m， m2），
即可求得BD＝m﹣ m＝ m，AC＝2m﹣m＝m，从而求得 ＝ ．
解：设A（m，m2），则B（m， m2），
∵AC∥x轴交抛物线y＝ x2于点C，BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，
∴C（2m，m2），D（ m， m2），
∴BD＝m﹣ m＝ m，AC＝2m﹣m＝m，
.
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征.根据特征表示出A、B、C、D点的
坐标是解题的关键．
6．
【分析】
先求得顶点A的坐标，然后根据题意得出B的横坐标，把横坐标代入抛物线，得出B点坐标，从而求得A、B间的距离，最后计算面积即可．
解：设AB交x轴于C
∵抛物线线y＝a（x﹣2）2＋1（a＞0）的顶点为A，
∴A（2，1），
∵过点A作y轴的平行线交抛物线 于点B，
∴B的横坐标为2，OC=2
把x=2代入 得y=-3，
∴B（2，-3），
∴AB=1+3=4，
．
故答案为：4．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求得A、B的坐标是解题的关键．
7．k=0或k＞2．
【分析】
先根据题意画出y＝|ax2＋bx＋c|的图象，即可得出|ax2＋bx＋c|＝k（k≠0）有两个不相
等的实数根时，k的取值范围．
解：∵当ax2＋bx＋c≥0，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象在x轴上方，
∴此时y＝|ax2＋bx＋c|＝ax2＋bx＋c，
∴此时y＝|ax2＋bx＋c|的图象是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x轴上方部分的图象．
∵当ax2＋bx＋c＜0时，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象在x轴下方，
∴此时y＝|ax2＋bx＋c|＝－(ax2＋bx＋c)，
∴此时y＝|ax2＋bx＋c|的图象是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x轴下方部分与x轴对
称的图象．∵y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点纵坐标是－2，
∴函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x轴下方部分与x轴对称的图象的顶点纵坐标是2，
∴y＝|ax2＋bx＋c|的图象如右图．
∵观察图象可得当k≠0时，
函数图象在直线y＝2的上方时，纵坐标相同的点有两个，
函数图象在直线y＝2上时，纵坐标相同的点有三个，
函数图象在直线y＝2的下方时，纵坐标相同的点有四个，
∴若|ax2＋bx＋c|＝k有两个不相等的实数根，
则函数图象应该在y＝2的上边，
故k＝0或k＞2．
【点拨】本题考查了二次函数的图象，解题的关键是根据题意画出y＝|ax2＋bx＋c|的
图象，根据图象得出k的取值范围．
8．(1)点M在直线 上，理由见分析
(2) 或 (3)当 时， ；当 时， ；当 时，
【分析】
（1）把抛物线解析式化为顶点式，得到M的坐标是 ，再把 代入
，即可求解；
（2）先根据直线 ，求出B点坐标为 ．可求出抛物线解析式，进而得到
，再结合图象，即可求解；（3）先求出直线AB的解析式为 ，可得到点 ，再由点M在
内，可得 ．再由当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，可得 ，即可求解．
(1)解： ，
∴顶点M的坐标是 ，
把 代入 ，得 ，
∴点M在直线 上；
(2)如图1，直线 交y轴于点B，
∴B点坐标为 ．
又B在抛物线上，
∴ ，解得 ，
∴二次函数的解析式为 ，
当 时， ，
解得 ， ，
∴ ．
由图象得，当 时，
x的取值范围是 或 ．
(3)如图所示，∵直线 与直线AB交于点E，与y轴交于F，∵ ，
∴m=-1，
∴直线AB的解析式为 ，
联立EF，AB得方程组 ，
解得 ，
∴点 ，
当x=0时，y=1，
∴ ．
∵点M在 内，
∴ ，
∴ ．
当点C，D关于抛物线的对称轴对称时， ，
∴ ，
∵二次函数图象开口向下，顶点M在直线 上，∴当 时， ；当 时， ；当 时， ．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数，熟练掌握二次函数和一
次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
9．(1)假(2) (3)见分析(4)①真；②见分析；③见分析
【分析】
（1）根据题意举反例验证求解即可；
（2） ，则“反顶伴侣二次函数”为 ，再将
（2，1）代入求出a值，即可得出解析式；
（3）根据题意，分别表示出过顶点坐标的函数解析式，进行相加化简即可得出结果；
（4）①由旋转的性质，找到对称中心M，可知对于任意二次函数都有“反顶旋转二次
函数”；
②利用A，B坐标求出中点M的坐标，进而得出结论；
③根据矩形的性质和平行的性质，得出AB∥y轴，进而得出A，B点的坐标均为（h，
h），最后得出结论．
(1)解：令 的顶点坐标A为（1，4），开口向上，则 的顶点坐标B为（4，1），
此时C 不经过B（4，1），
1
∴所有二次函数都有“反顶伴侣二次函数”是假命题．
故答案为：假．
(2)解： ，则“反顶伴侣二次函数”为 ，
由题意，得将（2，1）代入 ，得
，
解得a=-1，
∴ 的“反顶伴侣二次函数”为 ．
(3)解：∵二次函数 经过 的顶点B，且 经过的顶点A，
∴ ①，
②，
①+②，得 ，
当h=k时， 与 任意非零实数；
当h≠k时， =0．
(4)解：①如图
∵A，B的中点为M，
∴对称中心为M，
∴任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”．
故答案为：真；
②∵M为A，B的中点，
∴M的坐标为 ，
即M在直线y=x上．
③解：∵ 轴，四边形EFQG为矩形，
∴AB∥y轴，
∴h=k，
即A，B的坐标均为（h，h），
∴A，B两点重合在直线y=x上．【点拨】本题考查二次函数的性质，以及矩形的性质，读懂题意，理解新定义是解决
问题的关键．
10．（1） 的解析式为 ；（2）平移后抛物线 的表达式为
或 .
【分析】
（1）根据抛物线关于 轴对称的原则可以得到 均互为相反数，所以可以设 ：
，同时 经过点 和点 ，那么 也经过点 和点 ，
将这两点代入 即可求解；
（2）首先根据函数图像的平移原则，设抛物线 沿 轴向右平移 个单位得到抛物线
，继而写出 的解析式，然后分别求出点 和点 的坐标，再结合 与
相似，可得△DOQ为等腰直角三角形，利用坐标建立方程，求解即可.
解：（1） 抛物线 和抛物线 关于 轴对称，且 ： ，
： ，
经过点 和点 ，经过点 和点 ，
把点 和点 代入 ： 可得：
，
解得： ，
： ；
（2）设抛物线 沿 轴向右平移 个单位得到抛物线 ，
： ，
的解析式可以表示为：
，
抛物线 与 轴的交点为点 和点 ，且 在 的右侧，
，
抛物线 与 轴交于点 ，
，
∵A（-3，0），C（0，3），
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴当△AOC和△DOQ相似时，
△DOQ为等腰直角三角形，
∴OQ=OD，
当点Q在y轴正半轴上时，
OQ=OD=OA=OC，
∴ ，解得：a=0（舍）或2，
此时 ： ；
当点Q在y轴负半轴时，
OD=OQ，
则 ，
解得：a=-1（舍）或4，
此时 ： ；
综上：平移后抛物线W 的表达式为： 或 .
3
【点拨】本题主要考查二次函数的图象变化，以及二次函数和相似三角形的存在性问
题，熟练掌握二次函数的图象平移和对称变化规律，同时对相似三角形的存在性进行正确
的分类讨论是求解本题的关键.
11．（1）（6，12）， ；（2）4或 ．
【分析】（1）观察平移后抛物线顶点坐标的特点，然后依据规律即可得到平移后抛物线 的
解析式；
（2）如图1所示：过点 作 ，垂足为 ，由 可知顶点
，对称轴为 ，对称轴与抛物线 的交点为 ，然后求得抛物线的
交点 ， ，最后依据 列方程求解即可；
解：（1） 抛物线 通过平移后得到 ， ， ，
， ，
∴ 的坐标为：（6，12），
∴ ；
（2）如图1所示：过点 作 ，垂足为 ．
由 可知顶点 ，对称轴为 ，对称轴与抛物线 的
交点为 ，
解 得 ，
， ，
，即 ，整理得： ，
解得 或 或 ；
当 时原方程无意义，故 不是原方程的根．
的值为4或 ．
【点拨】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的顶
点式、锐角三角函数的定义、点的坐标与函数解析式的关系，找出抛物线的顶点坐标存在
的规律是解答问题（1）的关键，求得点 、 、 的坐标是解答问题（2）的关键．
12．解：（1） C（3，0）；
（2）①抛物线 ，令 =0，则 = ，
∴A点坐标（0，c）．
∵ ，∴ ，
∴点P的坐标为（ ）．
∵PD⊥ 轴于D，∴点D的坐标为（ ）．
根据题意，得a=a′，c= c′，∴抛物线F′的解析式为 ．
又∵抛物线F′经过点D（ ），∴ ．
∴ ．
又∵ ，∴ ．
∴b:b′= ．②由①得，抛物线F′为 ．
令y=0，则 ．
∴ ．
∵点D的横坐标为 ∴点C的坐标为（ ）．
设直线OP的解析式为 ．
∵点P的坐标为（ ），
∴ ，∴ ，∴ ．
∵点B是抛物线F与直线OP的交点，∴ ．
∴ ．
∵点P的横坐标为 ，∴点B的横坐标为 ．
把 代入 ，得 ．
∴点B的坐标为 ．
∴BC∥OA，AB∥OC．（或BC∥OA，BC =OA），
∴四边形OABC是平行四边形．
又∵∠AOC=90°，∴四边形OABC是矩形．
解：（1）先求出抛物线解析式，再根据平移的特征即可得到点C的坐标；
（2）①根据抛物线顶点坐标的表达式及抛物线与坐标轴的交点坐标的特征即可得到结果；
②根据抛物线与坐标轴的交点坐标及抛物线与直线OP的交点坐标的特征即可得到结
果；
13．（1）① 或 ；② ；③ 或 ；（2）
或 或 ．
【分析】
（1）①利用函数图像，直接作答即可；
②观察函数图像直接作答即可；
③分 、 、 、 四种情况分类讨论即可；
（2）利用两个函数的对称轴都是直线 ，分类讨论 所处的位置，即可得出答案．
解：（1）① 或 .
当 时，函数变为 ，
函数图像如图所示：
函数 的对称轴是直线 ，
所以通过观察图像可以得到当 随 增大而增大时， 的取值范围是： 或
；
② ；通过观察图像可以得到：当 时， ；
③当 ，即 时，
，
当 时，由图象可知
当 时，
由 ，
得 ，
当 时，
舍去.
综上所述: 或 ；或 或 ，
∵
∴ 的对称轴为直线： ，
的对称轴为直线： ，
①由（1）可知：当 时，函数与AB有两个交点，一个为（0,2），一个为（
），满足条件；
②当 时，函数变为： ，此时只有一个交点 ，
不合题意；
③当 时，函数变为： ，此时只有一个交点 ，不
合题意；
④当 时，此时 的顶点坐标为 ，
∵ ，
∴ 与AB无交点；
对于函数 一直小于0，因此与AB无交点；⑤当 时，
对于函数 来说，当 时，有最小值此时 ，因此
函数 与AB最多有一个交点，
对于函数 ，当 时，有最大值，为
，与AB无交点；
⑥当 时，
对于函数 来说， ，因此与AB必有一个交点，
只须保证： 与AB有一个交点即可，
当 时，当 时，有最大值为 ，根据对称性可知：此时
与AB有两个交点，
∴当 时，有三个交点，不合题意；
当 时，
函数变为： ，此时与AB共有两个交点；
当 时： 与AB有一个交点，
∴此时函数 与AB有两个交点；
⑦当 时，
对于函数 ： ，与AB无交点，
当函数 过 时，得： ，解得： ，
∵ ，
∴ ，此时与AB有两个交点，
∴当 时， 与AB有两个交点；
综上所述：当 或 或 时，
与AB只有两个交点．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图像与性质，利用了数形结合思想，分类讨论思
想，牢记图像与性质以及对称轴不确定性的分类讨论思想的利用是解决本题的关键．
