文档内容
二次函数的应用
一 二次函数的实际应用
(教材P51探究3)
图1中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m．水面下降1 m时，水面宽度增加
多少？
图1
教材母题答图
解：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系(如图)，
可设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2.
由抛物线经过点(2，－2)，可得
－2＝a×22，a＝－.
这条抛物线表示的二次函数为y＝－x2.
当水面下降1 m时，水面的纵坐标为y＝－3.
由y＝－3解得x＝，x＝－，
1 2
所以此时水面宽度为2 m，
所以水面宽度增加(2－4)m.
【思想方法】 建模：把问题中各个量用两个变量x，y来表示，并建立两种量的二次函数关系，
再求二次函数的最大(小)值，从而解决实际问题．应用最多的是根据二次函数的最值确定最
大利润，最节省方案等问题．注意：建立平面直角坐标系时，遵从就简避繁的原则，这样求解
析式就比较方便．
某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图2所示．
(1)以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛
物线对应的函数解析式；
(2)某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱，集装箱宽3 m，车与集装箱共高4.5 m，此
车能否通过隧道？并说明理由．
图2
解：(1)设抛物线对应的函数解析式为y＝ax2
抛物线的顶点为原点，隧道宽6 m，高5 m，矩形的高为2 m，所以抛物线过点A(－3，－3)，
代入得－3＝9a，
解得a＝－
所以函数关系式为y＝－.
(2)如果此车能通过隧道，集装箱处于对称位置，
将x＝1.5代入抛物线方程，得y＝－0.75，
此时集装箱上部的角离隧道的底为5－0.75＝4.25米，不及车与集装箱总高4.5米，即4.25＜
4.5.
所以此车不能通过此隧道．
如图3，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2 m的A处发出，把球
看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与点
O的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距点O的水平距离为18 m.
(1)当h＝2.6时，求y与x的关系式．(不要求写出自变量x的取值范围)
(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．
图3
解：(1)∵h＝2.6，球从点O正上方2 m的A处发出，
∴y＝a(x－6)2＋h过点(0，2)，
∴2＝a(0－6)2＋2.6，
解得：a＝－，
故y与x的关系式为y＝－(x－6)2＋2.6，
(2)当x＝9时，y＝－(x－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，
所以球能越过球网；
当y＝0时，－(x－6)2＋2.6＝0，
解得：x＝6＋2＞18，x＝6－2(舍去)
1 2
故会出界；
(3)当球正好过点(18，0)时，y＝a(x－6)2＋h还过点(0，2)，
代入解析式得：
解得：
此时二次函数解析式为：y＝－(x－6)2＋，
此时球若不出边界则h≥，
当球刚能过网，此时函数图象过(9，2.43)，y＝a(x－6)2＋h还过点(0，2)，代入解析式得：
解得：
此时球要过网则h≥，
∵＞，∴h≥，
故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是h≥.
二 二次函数的综合应用
(教材P47习题22.2第4题)抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点是(－1，0)，(3，0)，求这条抛物线的对称轴．
解：解法一：∵点(－1，0)，(3，0)的纵坐标相等，
∴这两点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，
∴这条抛物线的对称轴是x＝＝1.
解法二：∵函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的两根
x，x，
1 2
∴x＋x＝－＝(－1)＋3＝2，
1 2
∴这条抛物线的对称轴是x＝－＝1.
【思想方法】 (1)二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，充分利用 抛物线的轴对称性是
研究二次函数的性质的关键；(2)已知二次函数图象上几个点的坐标，一般用待定系数法直接
列方程(组)求解；(3)已知二次函数图象上的一个点(除顶点外)和对称轴，便能确定与此点关
于对称轴对称的另一个点的坐标．
[2012·南通改编]如图4，经过点A(0，－4)的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴相交于B(－
2，0)，C两点，O为坐标原点．
图4
(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线y＝x2＋bx＋c向上平移个单位长度，再向左平移m(m＞0)个单位长度得到新抛物
线．若新抛物线的顶点P在△ABC的内部，求m的取值范围．
解：(1)∵点A(0，－4)，B(－2，0)在抛物线y＝x2＋bx＋c上，∴解得
∴抛物线的解析式为y＝x2－x－4.
(2)将抛物线y＝x2－x－4＝(x－1)2－向上平移个单位长度，再向左平移m(m>0)个单位长度后，
得到的新抛物线的顶点P的坐标为(1－m，－1)．
设直线AB的解析式为y＝kx＋b，则解得
∴y＝－2x－4，当y＝－1时，x＝－；
同理求得直线BC的解析式为y＝x－4，当y＝－1时，x＝3.
∵新抛物线的顶点P在△ABC的内部，
∴－<1－m<3且m>0，解得0
