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浙江省三门县珠岙中学九年级数学上册 本章复习同步测试4
类型之一 中心对称图形与轴对称图形
1．在下列图中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( B )
2．下列图形：①平行四边形；②菱形；
③圆；④梯形；⑤等腰三角形；⑥直角三角形；⑦国旗上的五角星．这些图形中既是轴对称图
形又是中心对称图形的有( B )
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
类型之二 图形平移、旋转或轴对称的计算问题
3．如图23－1，直角三角板ABC的斜边AB＝12 cm，∠A＝30°，将三角板ABC绕点C顺时针
旋转90°至三角板A′B′C′的位置后，再沿CB方向向左平移，使点B′落在原三角板ABC
的斜边AB上，则三角板A′B′C′平移的距离为( C )
图23－1
A．6 cm
B．4 cm
C．(6－2)cm
D．(4－6)cm
【解析】 过B′作B′D⊥AC，交AB于D，
则三角板A′B′C′平移的距离为B′D，
在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
所以BC＝AB＝×12＝6，AC＝＝6，
由旋转性质知B′C＝BC＝6，所以AB′＝6－6，
所以B′D＝AB′＝(6－6)＝6－2.
图23－2
4．如图23－2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后
得到△EDC，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为__ 2 α __．
类型之三 坐标系中的图形变换
5．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图23－3所示．
(1)将△ABC向右平移6个单位得到△ABC ，请画出△ABC ，并写出点C 的坐标；
1 1 1 1 1 1 1
(2)将△ABC绕原点O旋转180°得到△ABC ，请画出△ABC .
2 2 2 2 2 2图23－3
第5题答图
【解析】 (1)将△ABC向右平移6个单位即是将三点的横坐标加6；
(2)将△ABC绕原点O旋转180°即是所画图形和原图形关于原点对称．
解：(1)如图所示，点C 的坐标为(1，1)；
1
(2)如图所示．
6．△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图23－4所示．
(1)作△ABC关于点C成中心对称的△ABC .
1 1 1
(2)将△ABC 向右平移4个单位，作出平移后的△ABC .
1 1 1 2 2 2
(3)在x轴上求作一点P，使PA＋PC 的值最小，并写出点P的坐标(不写解答过程，直接写出
1 2
结果)
图23－4
解：(1)如图所示：
(2)如图所示：(3)如图所示：作出A 的对称点A′，连接A′C ，交x轴于点P，可得P点坐标为(，0)．
1 2
类型之四 旋转证明
7．如图23－5所示，P为等边三角形ABC内一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比是
5∶6∶7，则以PA，PB，PC的长为三边的三角形三个内角的大小之比为( A )
A．2∶3∶4 B．3∶4∶5
C．4∶5∶6 D．5∶6∶7
图23－5
第7题答图
【解析】 如图，把△APB绕顶点A顺时针旋转60°到△AQC的位置，连接PQ，则PA＝QA＝
PQ，QC＝PB，以PA，PB，PC为边长的三角形是△PQC.
由题意，知∠APB＝100°，∠BPC＝120°，∠CPA＝140°，所以∠QPC＝140°－60°＝80°.而
∠AQC＝∠APB＝100°，所以∠PQC＝100°－60°＝40°，从而∠QCP＝60°.
故所求三角形的三个内角的大小之比为2∶3∶4，选A.
8．如图23－6，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B
＝135°，P′A∶P′C＝1∶3，则P′A∶PB＝( B )
A．1∶ B．1∶2 C.∶2 D．1∶
【解析】 连接AP，∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，∴BP＝BP′，∠ABP＋∠ABP′＝90°，
又∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC，∠CBP′＋∠ABP′＝90°，∴∠ABP＝∠CBP′.
在△ABP和△CBP′中，∵
∴△ABP≌△CBP′(SAS)，∴AP＝P′C.
∵P′A∶P′C＝1∶3，∴AP＝3P′A.
连接PP′，则△PBP′是等腰直角三角形，
∴∠BP′P＝45°，PP′＝PB.∵∠AP′B＝135°，
∴∠AP′P＝135°－45°＝90°，∴△APP′是直角三角形，
设P′A＝x，则AP＝3x，
根据勾股定理，PP′＝＝＝2x，∴PP′＝PB＝2x，解得PB＝2x，
∴P′A∶PB＝x∶2x＝1∶2.故选B.
图23－6图23－7
9．如图23－7，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，将△ABC绕点C逆时针旋转
至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，连接BB′，则BB′的长度为____．
10．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板
ABC与AFE按如图(1)所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°＜α＜
90°)，如图(2)，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.
图23－8
(1)求证：AM＝AN；
(2)当旋转角α＝30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．
解：(1)证明：∵用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图(1)所示位置
放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，
∴AB＝AF，∠BAM＝∠FAN，∠B＝∠F.
△ABM≌△AFN(ASA)，
∴AM＝AN；
(2)当旋转角α＝30°时，四边形ABPF是菱形．
理由：连接AP，∵∠α＝30°，
∴∠FAN＝30°，∴∠FAB＝120°，
∵∠B＝60°，∴AF∥BP，∴∠F＝∠FPC＝60°，
∴∠FPC＝∠B＝60°，∴AB∥FP，
∴四边形ABPF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴平行四边形ABPF是菱形．
