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概率与代数、几何知识的综合
[ 见 B 本 P 56 ]
(教材P141习题25.2第9题)
盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．
(1)从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，写出表示x和y关系的表达式．
(2)往盒中再放进10枚黑棋，取得黑棋的概率变为，求x和y的值．
解：(1)∵从盒中随机地取出一个棋子是黑色棋子的概率是，∴＝，y＝x.①
(2)∵如果往盒中再放进10颗黑色棋子，则取得黑色棋子的概率变为，∴＝.②
由①②解得
【思想方法】 概率与代数、几何的综合运用其本质还是求概率，只不过应用代数和几何的方
法确定某些限制条件的事件数．一般的方法是利用列表或树状图求出所有等可能的情形，再
求出满足所涉及知识的情形，进一步求概率，此类问题能很好地考查学生对概率与其他知识
的综合运用．
一 概率与代数的综合
有三张正面分别写有数字－2，－1，1的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片
背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为x的值，放回卡片洗匀，再从三张卡片中
随机抽取一张，以其正面数字作为y的值，两次结果记作(x，y)．
(1)用树状图或列表法表示(x，y)所有可能出现的结果；
(2)求使分式＋有意义的(x，y)出现的概率；
(3)化简分式＋，并求使分式的值为整数的(x，y)出现的概率．
解：(1)画树状图如下：
或列表如下：
第一次
－2 －1 1
第二次
－2 (－2，－2) (－1，－2) (1，－2)
－1 (－2，－1) (－1，－1) (1，－1)
1 (－2，1) (－1，1) (1，1)
∴所有可能出现的结果为(－2，－2)，(－2，－1)，(－2，1)，(－1，－2)，(－1，－1)，(－1，1)，(1，
－2)，(1，－1)，(1，1)．
(2)要使分式＋有意义，则有(x＋y)(x－y)≠0，只有(－2，－1)，(－2，1)，(－1，－2)，(1，－2)符合
条件，
∴使分式＋有意义的(x，y)出现的概率为.
(3)＋＝＋＝＋＝＝＝＝，将符合条件的(－2，－1)，(－2，1)，(－1，－2)，(1，－2)分别代入上式
计算可得原式＝，3，－，－3，∴使分式的值为整数的(x，y)出现的概率为.
二 概率与几何的综合
如图1，直线a//b，直线c与a，b都相交，从所标识的∠1，∠2，∠3，∠4，∠5这五个
角中任意选取两个角，则所选取的两个角是互为补角的概率是( A )图1
A. B. C. D.
小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图2所示的靶子，点E，F分别是矩形
ABCD的两边AD，BC上的点，且EF∥AB，点M，N是EF上任意两点，则投掷一次，飞镖落在
阴影部分的概率是( C )
A. B. C. D.
图2
如图3，4张背面完全相同的纸牌(用①，②，③，④表示)，在纸牌的正面分别写有四
个不同的条件，小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，先随机摸出一张(不放回)，再随机摸出一
张．
(1)用树状图或列表法表示两次摸牌出现的所有可能结果；
(2)以两次摸出牌上的结果为条件，求能判断四边形ABCD是平行四边形的概率．
图3
解：(1)解法一：画树状图如图：
解法二：列表如下：
① ② ③ ④
① ①② ①③ ①④
② ③
② ②① ②④
学科
③ ③① ③② ③④
④ ④① ④② ④③
(2)由(1)可知共12种可能性相等的情况，其中能使四边形ABCD是平行四边形的有8种，即①②，②①，①③，③①，②④，④②，③④，④③，∴P(能判断四边形ABCD是平行四边形)＝
＝.
如图4，在方格纸中，△ABC的三个顶点及D，E，F，G，H五个点分别位于小正方形
的顶点上．
(1)现以D，E，F，G，H中的三个点为顶点画三角形，在所画的三角形中与△ABC不全等但面
积相等的三角形是______(只需要填一个三角形)；
(2)先从D，E两个点中任意取一个点，再从F，G，H三个点中任意取两个不同的点，以所取的
这三个点为顶点画三角形，求所画三角形与△ABC面积相等的概率(用画树状图或列表的方
法求解)．
图4
解：(1)△DFG或△DHF；
(2)画树状图：
由树状图可知共有6种等可能结果．其中与△ABC面积相等的有3种，即△DHF，△DGF和
△EGF.
所以所画三角形与△ABC面积相等的概率为P＝＝.
答：所画三角形与△ABC面积相等的概率为.
三 概率与方程(或不等式)的综合
从3，0，－1，－2，－3这五个数中，随机抽取一个数，作为函数y＝(5－m2)x和关于x
的方程(m＋1)x2＋mx＋1＝0中m的值，恰好使所得函数的图象经过第一、三象限，且方程有
实数根的概率为____.
四 概率与坐标系的综合
如图5，在平面直角坐标系中，A(－2，2)，B(－3，－2)．
(1)若点C与点A关于原点O对称，则点C的坐标为__ (2 ， － 2) __；
(2)将点A向右平移5个单位得到点D，则点D的坐标为__ (3 ， 2 ) __；
(3)由点A，B，C，D组成的四边形ABCD内(不包括边界)任取一个横、纵坐标均为整数的点，
求所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率．
图5解：(3)四边形ABCD内(不包括边界)任取一个横、纵坐标均为整数的点有15个，如图
其中横、纵坐标之和恰好为零的有3个，所以所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率是＝.
五 概率与一次函数的综合
甲、乙两个袋中均装有三张除所标数字外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片
上所标的数字分别为－7，－1，3，乙袋中的三张卡片上所标的数字分别为－2，1，6.先从甲袋
中随机取出一张卡片，用x表示取出的卡片上标的数字，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y
表示取出的卡片上标的数字，把x，y分别作为点A的横坐标、纵坐标．
(1)用适当的方法写出点A(x，y)的所有情况；
(2)求点A落在第三象限的概率．
解：(1)画树状图如图：
所以点A的所有坐标为(－7，－2)，(－7，1)，(－7，6)，(－1，－2)，(－1，1)，(－1，6)，(3，－2)，
(3，1)，(3，6)；
(2)由树状图可知，所有等可能的情况共有9种，点A落在第三象限的情况有2种，所以P(点
A落在第三象限)＝.
在一个不透明的布袋里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，
小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机取出一个小
球，记下数字为y.
(1)计算由x，y确定的点(x，y)在函数y＝－x＋5的图象上的概率．
(2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若x，y满足xy＞6，则小明胜，若x，y满足xy＜6，
则小红胜，这个游戏公平吗？说明理由．若不公平，请写出公平的游戏规则．
解： (1)列表如下：
y
1 2 3 4
x
1 (1，2) (1，3) (1，4)
2 (2，1) (2，3) (2，4)
3 (3，1) (3，2) (3，4)
4 (4，1) (4，2) (4，3)
由上表可知共有12种等可能的情况，点(x，y)在函数y＝－x＋5的图象上的有4种，所以所求
的概率为＝.
(2)由(1)可知，xy>6的概率为＝，xy<6的概率为＝，因为>，所以游戏不公平．
公平的游戏规则为：若x，y满足xy≥6，则小明胜，若x，y满足xy<6，则小红胜．
六 概率与二次函数的综合
[2013·内江]同时抛掷A，B两个均匀的小立方体(每个面上分别标有数字1，2，3，4，
5，6)，设两立方体朝上的数字分别记为x，y，并以此确定点P(x，y)，那么点P落在抛物线y＝－x2＋3x上的概率为( A )
A. B. C. D.
