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浙江省三门县珠岙中学九年级数学上册 本章复习同步测试3
类型之一 二次函数的图象和性质
1．已知二次函数y＝a(x＋1)2－b(a≠0)有最小值1，则a，b的大小关系为( A )
A．a>b B．a0；⑤4a＋2b＋c>0，错误的个数有( B )
图22－4
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】 ①∵函数图象开口向下∴a＜0，∵函数的对称轴x＝－＜0，且>－1
∴－b<－2a
∴b>2a
即2a－b<0，即①正确．
②∵a＜0，对称轴在y轴左侧，a，b同号，图象与y轴交于负半轴，则c＜0，故abc＜0；②正确；
③当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，③正确；
④当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，④错误；
⑤当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＜0，⑤错误；
故错误的有2个．
故选B.
6．如图22－5是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，其对称轴为x＝－1，且过点(－3，
0)．下列说法：①abc＜0；②2a－b＝0；③4a＋2b＋c＜0，④若(－5，y)，(，y)是抛物线上两点，
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则y＞y.其中说法正确的是( C )
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图22－5
A．①② B．②③
C．①②④ D．②③④
【解析】 根据图象得出a＞0，b＝2a＞0，c＜0，即可判断①②正确；把x＝2代入抛物线的解
析式即可判断③错误，求出点(－5，y)关于对称轴的对称点的坐标是(3，y)，根据当x＞－1
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时，y随x的增大而增大即可判断④正确．
类型之四 抛物线的平移、对称
7．将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关
系式是( B )
A．y＝(x＋2)2＋2 B．y＝(x＋2)2－2C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2－2
8．[2013·聊城]如图22－6，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2经过平移得到抛物线y＝x2－
2x，其对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面积为( B )
图22－6
A．2 B．4
C．8 D．16
解：过点C作CA⊥y，
∵抛物线y＝x2－2x＝(x2－4x)＝(x2－4x＋4)－2＝(x－2)2－2，
∴顶点坐标为C(2，－2)，
对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2＝4，故选B.
9．如图22－7，抛物线y＝ax2－5ax＋4a与x轴相交于点A，B，且过点C(5，4)．
(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标；
(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线
的解析式．
图22－7
【解析】 (1)把点C(5，4)代入y＝ax2－5ax＋4a求出a，通过配方求顶点坐标；(2)第二象限的点
横坐标为负，纵坐标为正．
解：(1)把点C(5，4)代入抛物线y＝ax2－5ax＋4a得25a－25a＋4a＝4，解得a＝1，
∴该二次函数的解析式为y＝x2－5x＋4.
∵y＝x2－5x＋4＝－，
∴抛物线顶点坐标为P.
(2)(答案不唯一，合理即正确)如先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线的解
析式为y＝－＋4＝＋，
即y＝x2＋x＋2.类型之五 二次函数与一元二次方程
10．抛物线y＝x2－x＋a与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其顶点在直线y＝－2x上．
(1)求a的值；
(2)求A，B两点的坐标．
解：(1)抛物线y＝x2－x＋a的顶点横坐标为x＝1，
∵顶点在直线y＝－2x上，
∴顶点的纵坐标为y＝－2，即顶点坐标为(1，－2)，
代入抛物线解析式得－2＝－1＋a，
∴a＝－；
(2)抛物线的解析式为y＝x2－x－，
当y＝0时，x2－x－＝0，
解得x＝－1，x＝3，
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即A(－1，0)，B(3，0)．
11．(1)已知一元二次方程x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0)的两根为x，x，求证：x＋x＝－p，x·x＝q.
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(2)已知抛物线y＝x2＋px＋q与x轴交于A，B两点，且过点(－1，－1)，设线段AB的长为d，当
p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值．
解：(1)证明：∵a＝1，b＝p，c＝q，
∴b2－4ac＝＝p2－4q，∴x＝，
即x＝，x＝，
1 2
∴x＋x＝＋＝－p，
1 2
x·x＝·＝q.
1 2
(2)把(－1，－1)代入抛物线的解析式得p－q＝2，q＝p－2.
设抛物线y＝x2＋px＋q与x轴交于A，B两点的坐标分别为(x，0)，(x，0)．
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∵d＝|x－x|，
1 2
∴d2＝(x－x)2＝(x＋x)2－4x·x＝p2－4q＝p2－4p＋8＝(p－2)2＋4，
1 2 1 2 1 2
∴当p＝2时，d2取得最小值是4.
类型之六 二次函数的实际应用
12．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥面离水面的距离为5.6 m，桥洞离水面的最大高度为4 m，
跨度为10 m，如图22－8所示，把它的图形放在直角坐标系中．
(1)求这条抛物线所对应的函数解析式．
(2)如图22－8，在对称轴右边1 m处，桥洞离桥面的距离是多少？
图22－8
解：(1)由题意可知，抛物线的顶点坐标为(5，4)，
所以设此桥洞所对应的二次函数关系式为y＝a(x－5)2＋4，
由图象知该函数过原点，将O(0，0)代入上式，得：0＝a(0－5)2＋4，
解得a＝－，故该二次函数解析式为y＝－(x－5)2＋4，
(2)对称轴右边1 m处即x＝6，此时y＝－(6－5)2＋4＝3.84，
因此桥洞离桥面的距离是5.6－3.84＝1.76 m.
13．[2012·毕节]某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件．如果每
件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商
品的售价上涨x元(x为整数)，每个月的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？
(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1 920元？
解：(1)y＝－10x2＋80x＋1 800(0≤x≤5，且x为整数)．
(2)∵y＝－10x2＋80x＋1 800＝－10(x－4)2＋1 960，
∴当x＝4时，y取得最大值为1 960.
答：每件商品的售价定为34元时，每个月可获得最大利润，最大利润是1 960元．
(3)根据题意可令y＝1 920，即－10x2＋80x＋1 800＝1 920，
解得x＝2，x＝6(舍去)，所以售价应定为32元．
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