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二次函数
[时间：90分钟 分值：120分]
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列函数中，当x＜0时，y随x的增大而减小的函数是( A )
A．y＝－3x B．y＝4x
C．y＝－ D．y＝－x2
【解析】 B，C，D中当x＜0时，y随x的增大而增大．
2．抛物线y＝3(x－1)2＋1的顶点坐标是( A )
A．(1，1) B．(－1，1)
C．(－1，－1) D．(1，－1)
【解析】 抛物线y＝a(x－h)2＋k的顶点坐标为(h，k)．
3．把二次函数y＝－3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的图象对应
的二次函数解析式是( C )
A．y＝－3(x－2)2＋1
B．y＝－3(x＋2)2－1
C．y＝－3(x－2)2－1
D．y＝－3(x＋2)2＋1
【解析】 移动规律是：左加右减，上加下减．
4．对于二次函数y＝2(x＋1)(x－3)，下列说法正确的是( C )
A．图象的开口向下
B．当x>1时，y随x的增大而减小
C．当x<1时，y随x的增大而减小
D．图象的对称轴是直线x＝－1
5．图1是反映铅球运动员掷铅球的高度y m与水平距离x m之间的函数关系的图象，其函数
解析式为y＝－x2＋x＋，则该运动员此次掷铅球的成绩是( D )
图1
A．6 m B．12 m C．8 m D．10 m
【解析】 令y＝0得－x2＋x＋＝0，解得x＝10，x＝－2(舍去)．
1 2
图2
6．二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图2所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝
0的一个解x＝3，另一个解x＝( B )
1 2
A．1 B．－1C．－2 D．0
7．已知函数y＝－x2＋x＋2，则当y＜0时，自变量x的取值范围是( A )
A．x＜－1或x＞2
B．－1＜x＜2
C．x＜－2或x＞1
D．－2＜x＜1
【解析】 当y＝0时，－x2＋x＋2＝0，
(x＋1)(－x＋2)＝0，
x＝－1，x＝2，
1 2
由于函数图象开口向下，
可知当y＜0时，自变量x的取值范围是x＜－1或x＞2.
8．抛物线图象如图3所示，根据图象，抛物线的解析式可能是( C )
图3
A．y＝x2－2x＋3
B．y＝－x2－2x＋3
C．y＝－x2＋2x＋3
D．y＝－x2＋2x－3
【解析】 抛物线图象开口向下，∴a＜0；抛物线图象对称轴在y轴的右侧，∴a，b异号，∴b＞
0；抛物线图象交y轴于正半轴，∴c＞0，故选C.
9．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的大致图象为( B )
10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图4所示，它与x轴的两个交点分别为(－1，0)，
(3，0)．对于下列命题：①b－2a＝0；②abc＜0；③a－2b＋4c＜0；④8a＋c＞0.其中正确的有(
B )图4
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
二、填空题(每小题4分，共24分)
11．将二次函数y＝x2－4x＋5化为y＝(x－h)2＋k的形式，则__ y ＝ ( x － 2) 2 ＋ 1 __．
12．抛物线y＝2(x＋1)2是由抛物线y＝2x2向__左__平移__1__个单位得到的．
13．若二次函数y＝(m＋1)x2＋m2－9的图象经过原点且有最大值，则m＝__－3__．
【解析】 ∵二次函数的图象过原点，∴m2－9＝0，解得m＝3或m＝－3，又∵m＋1＜0，∴m＝
－3.`
14．顶点为(－2，－5)且过点(1，－14)的抛物线的解析式为__ y ＝－ x 2 － 4 x － 9 __．
【解析】 设y＝a(x＋2)2－5，则a(1＋2)2－5＝－14，解得a＝－1，所以y＝－(x＋2)2－5，即y＝
－x2－4x－9.
15．有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16 m，跨度为40 m，现把它的示意图放在平面直角
坐标系中如图5所示，则抛物线的解析式是__ y ＝－ x 2 ＋ x __.
图5
【解析】 抛物线的顶点为(20，16)，且过点(0，0)，
设抛物线的解析式为y＝a(x－20)2＋16，
把(0，0)代入得a×400＋16＝0，a＝－.
∴y＝－(x－20)2＋16，即y＝－x2＋x.
16．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C点，且△ABC是直角
三角形，请写出符合要求的一个二次函数的解析式：__ y ＝－ x 2 ＋ 1 __．
三、解答题(共66分)
17．(10分)通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)y＝x2－3x－4；(2)y＝－4x2＋3x.
解：(1)y＝x2－3x－4＝(x－)2－，开口向上，对称轴x＝，顶点坐标为(，－)；
(2)y＝－4x2＋3x＝－4(x－)2＋，开口向下，对称轴x＝，顶点坐标为(，)．
18．(8分)已知二次函数的图象经过点A(0，－3)，且顶点P的坐标为(1，－4)．
(1)求这个函数的解析式；
(2)在平面直角坐标系中，画出它的图象．
解：(1)设二次函数的解析式为y＝a(x－1)2－4，将点A(0，－3)代入，得－3＝a(0－1)2－4，解得
a＝1，
∴y＝(x－1)2－4，即y＝x2－2x－3.
(2)如图所示：19．(8分)如图6，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过A(－1，0)和B(3，0)两点，且交y轴于点
C.
(1)试确定b，c的值；
(2)过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点M为此抛物线的顶点，试确定△MCD的形状．
图6
解：(1)将A，B两点坐标代入二次函数的解析式，得
解得b＝－2，c＝－3.
(2)由(1)得二次函数的解析式为y＝x2－2x－3，
配方得y＝x2－2x＋1－4
＝(x－1)2－4，
抛物线的顶点M的坐标为(1，－4)．
令x＝0，得y＝－3，所以C(0，－3)．
由抛物线的对称性可得D(2，－3)，CD＝2，CM＝DM＝，因为CM2＋DM2＝CD2，
所以△MCD是等腰直角三角形．
20．(10分)某商人如果将进价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提
高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问
他将售价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大，并求出最大利润．
解：设将售价定为x元时，所赚利润为y元，
则y＝[100－10(x－10)](x－8)
＝(100－10x＋100)(x－8)
＝(200－10x)(x－8)
＝－10x2＋280x－1 600
＝－10(x－14)2＋360，
当x＝14时，y取得最大值360，
故将售价定为14元时，才能使每天所赚的利润最大，最大利润为360元．
21．(10分)如图7，直线l经过A(3，0)，B(0，3)两点，且与二次函数y＝x2＋1的图象在第一象限
内相交于点C.求：
(1)△AOC的面积；
(2)二次函数图象的顶点D与点A，B组成的三角形的面积．图7
解：(1)设过A，B两点的一次函数解析式为y＝kx＋b，
则解得
∴y＝－x＋3.
由
得或
又点C在第一象限内，∴C(1，2)，
∴S ＝×OA×2＝×3×2＝3.
△AOC
(2)∵D(0，1)，
∴S ＝BD·OA＝×(3－1)×3＝3.
△ABD
22．(10分)某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房，如图8(1)，板房一面的形状是由矩
形和抛物线的一部分组成，矩形长为12 m，抛物线拱高为5.6 m.
(1)在如图8(2)所示的平面直角坐标系中，求抛物线的解析式．
(2)现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇窗户宽1.5 m，高
1.6 m，相邻窗户之间的间距均为0.8 m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离
至少为0.8 m．请计算最多可安装几扇这样的窗户．
(1) (2)
图8
解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2，
∵点B(6，－5.6)在抛物线上，
∴－5.6＝36a，a＝－，
∴抛物线的解析式为y＝－x2.
(2)设窗户上边所在直线交抛物线于C，D两点，D点坐标为(k，t)．
已知窗户高1.6 m，∴t＝－5.6＋1.6＝－4，
∴－4＝－k2，
解得k≈5.07，k≈－5.07，
1 2
∴CD＝|k|×2＝10.14(m)．
又设最多可安装n扇窗户，则1.5n＋0.8(n＋1)≤10.14，
解得n≤4.06.
即最多可安装4扇窗户．
23．(10分)[2013·安顺]如图9，已知抛物线与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于
C(0，3)．
(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三
角形，若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
图9
解：(1)∵抛物线与y轴交于点(0，3)
∴设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋3(a≠0)
根据题意，得，解得.
所以抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.
(2)存在．
由y＝－x2＋2x＋3，得D点的坐标为(1，4)，对称轴为x＝1.
① 若以CD为底边，则PD＝PC，
设P点的坐标为(x，y)，根据勾股定理，得x2＋(3－y)2＝(x－1)2＋(4－y)2，
即y＝4－x.
又点P(x，y)在抛物线上，
∴4－x＝－x2＋2x＋3，即x2－3x＋1＝0.解得x＝，
∵<1，应舍去，
∴x＝.
y＝4－x＝.即点P的坐标为(，)．
② 若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线的对称性知，点P与点C
关于直线x＝1对称，此时点P的坐标为(2，3)．
∴符合条件的点P的坐标为(，)或(2，3)．
