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专题 21.9 一元二次方程解法-公式法（基础篇）
（专项练习）
一、单选题
类型一、解一元二次方程--公式法
1．用公式法解方程 时，求根公式中a，b，c的值分别是（ ）．
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
2．已知某一元二次方程的两根为 ，则此方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．小明在解方程x2﹣4x＝2时出现了错误，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24（第二步）
∴ （第三步）
∴ （第四步）
小明解答过程开始出错的步骤是（ ）
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
4．用公式法解方程4y2﹣12y﹣3＝0，得到（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
类型二、根的判别式
5．不解方程，判别方程2x2﹣3 x＝3的根的情况（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．无实数根
6．下列一元二次方程中没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如果关于x的方程 只有一个实数根，那么方程
的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
8．关于x的方程a2x2+（2a﹣1）x+1＝0，下列说法中正确的是（ ）
A．当a＝ 时，方程的两根互为相反数
B．当a＝0时，方程的根是x＝﹣1
C．若方程有实数根，则a≠0且a≤
D．若方程有实数根，则a≤
类型三、根据一元二次方程求参数
9．已知关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是
（ ）
A． B． 且 C． D． 且
10．若一元二次方程 无实数根，则一次函数 的图像经
过第（ ）
A．二、三、四象限 B．一、三、四象限
C．一、二、四象限 D．一、二、三象限
11．亮亮在解一元二次方程： □ 时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一
元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是（ ）A．1 B．0 C．7 D．9
12．若关于x的方程 的一个根是2，则a的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
二、填空题
类型一、解一元二次方程--公式法
13．已知代数式x2-3与代数式 的值互为相反数，那么x的值为______．
14．已知2，3，a分别是等腰三角形三边的长，且a是关于x的一元二次方程（k﹣
1）x2﹣x+k2+1＝0的根，则k的值为___________．
15．已知 ，当x取__________时 ．
16．等腰三角形的一边长为4，另两边的长是关于 的方程 的两个实数
根，则该等腰三角形的周长是______．
类型二、根的判别式
17．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值
范围是__________．
18．方程 的根的判别式 ______.
19．若 ，且一元二次方程 有实数根，则 的取值范围
是____.
20．若ac＜0，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是__________．
类型三、根据一元二次方程求参数
21．若 为 的三边，且关于x的一元二次方程
有两个相等的实数根，则这个三角形是_________三角
形．
22．关于x的方程 有实数根，则a的取值范围是_______．
23．已知 为 的三边长，且方程 有两个相等的实数根，则三角形 的形状为______
24．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值
范围是_________．
三、解答题
25．用公式法解下列方程：
（1） ； （2） ；
（3） ． （4） ．
26．不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1） ； （2） ； （3） ．
27．已知关于 的方程 ．
(1)试判断方程根的情况；
(2)若 =2是方程 的一个根，求 的值；
(3)是否存在实数 ，使方程 与方程 有一个相同的根？若
存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．28．已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为非负整数，且该方程的根都是无理数，求m的值．
参考答案
1．C
【分析】
将一元二次方程化为一般形式，即可求得 的值
解： 化为一般形式为：
， ，
故选C
【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题
的关键．
2．D
【分析】
直接根据一元二次方程的求根公式进行判断即可．
解：A. 的两根为 ，故选项A不符合题意；
B. 的两根为 ，故选项B不符合题意；
C. 的两根为 ，故选项C不符合题意；D. 的两根为 ，故选项D符合题意；
故选：D．
【点拨】本题主要考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根
公式是解答本题的关键．
3．C
【分析】
根据公式法解一元二次方程的步骤求解判断即可．
解：∵x2﹣4x＝2，即x2﹣4x-2=0，
∴a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2（第一步）
∴ ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24＞0（第二步），
∴ （第三步），
∴ （第四步）
∴小明解答过程开始出错的步骤是第三步，
故选C．
【点拨】本题主要考查了公式法解一元二次方程，熟知公式法解一元二次方程是解题
的关键．
4．C
【分析】
按照公式法求解一元二次方程的步骤，求解即可．
解：
判别式
故选：C
【点拨】此题考查了公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法求解一元二次方程的步骤．
5．C
【分析】
根据一元二次方程根的判别式Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，Δ=0时，方程有
两个相等的实数根，Δ＜0时，方程没有实数根，进而确定根的情况即可.
解：∵2x2﹣3 x＝3，
∴2x2﹣3 x﹣3＝0，
∵Δ＝（﹣3 ）2﹣4×2×（﹣3）＝18+24＝42＞0，
∴有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式判断根的情况，熟练地掌握该知识
是解决问题的关键.
6．D
【分析】
通过计算方程根的判别式，满足 即可得到结论．
解：A、 ，方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合
题意；
B、 ，方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
C、 ，方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
D、 ，方程无实数根，故本选项符合题意；
故选D．
【点拨】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题
的关键．
（1）当 ，方程有两个不相等的两个实数根；（2）当 ，方程有两个相等的两
个实数根；（3）当 时，方程无实数根．
7．C【分析】
根据方程只有一个实数根，可得： ，或 且判别式 ，从而
得到 ，得到方程 ，再利用根的判别式解答，即可求解．
解：∵关于x的方程 只有一个实数根，
，即 ，或 且判别式 ，
∵判别式 ，不符合题意舍去，
∴方程 可变形为 ，
∵判别式 ，
∴一元二次方程有两个相等实数根．
故选：C
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据题意，得到 ，或
且判别式 是解题的关键．
8．D
【分析】
先讨论原方程是一元一次方程，还是一元二次方程，然后再根据a的取值范围解答即
可．
解：若a≠0，则此方程是一元二次方程，由于方程有实数根，
∴△=（2a-1）2-4a2=-4a+1≥0，
∴a≠0且a≤ ，即A错误；
若a=0，则原方程为-x+1=0，所以方程有实数根为x=1，则B错误，C错误．
综上所述，当a≤ 时方程有实数根.
故选D．
【点拨】本题考查了一元一次方程和一元二次方程，掌握分类讨论思想是解答本题的
关键．
9．D
【分析】
根据根的判别式和一元二次方程的定义得出不等式组，求出不等式组的解集即可．解： 关于 的一元二次方程 有实数根，
△ 且 ，
解得： 且 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，解题的关键是能根据题意得
出不等式组的解．
10．A
【分析】
先根据一元二次方程无实数根，利用判别式求出m的取值范围，然后判断一次函数经
过的象限即可．
解：由已知得： ，
解得 ，
∵一次函数 中， ，
∴该一次函数图像在第二、三、四象限，
故选A．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据函数解析式判断函数经过的
象限，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根的判别式．
11．D
【分析】
设常数项为c，利用判别式的意义得到△＝（﹣6）2﹣4c≥0，再解不等式得到c的范围，
然后在此范围内确定最大值即可．
解：设常数项为c，
根据题意得△＝（﹣6）2﹣4c≥0，
解得c≤9，
所以c的最大值为9．
故选：D．
【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣
4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等
的实数根；当△＜0时，方程无实数根．12．D
【分析】
将2代入方程，得到关于a的方程，求解方程即可；
解：把 代入方程 ，
得 ，
即 ，
所以 ，
解得 或 ，
故选D．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的根的知识点，准确理解是解题的关键．
13．
【分析】
根据相反数的性质列出关于x的方程，再利用公式法求解可得．
解：根据题意知x2-3+(-x)=0，
整理，得：x2-x-3=0，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴x= ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程的能力和相反数的性质，熟练掌握解一元二
次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点
选择合适、简便的方法是解题的关键．14．-5或 或
【分析】
根据等腰三角形的定义，分a=2和a=3，分别代入方程，解之可得k值．
解：∵2，3，a分别是等腰三角形三边的长，
当a=2时，即x=2，代入 ，
得： ，
解得：k=-5，或k=1（舍），
当a=3时，即x=3，代入 ，
得： ，
解得：k= ，或k= ，
故答案为：-5或 或 ．
【点拨】本题考查了等腰三角形的定义，解一元二次方程，解题的关键是要注意根据
等腰三角形的定义进行分类讨论．
15．1或
【分析】
根据一元二次方程的解法即可求出答案．
解：当 时，即
，
解得 或 ．
故答案为：1或
【点拨】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本
题属于基础题型．16．16
【分析】
分为两种情况：①腰长为4，②底边为4，分别求出即可．
解：分为两种情况：
情况一：当腰为4时，则另一腰4是方程 的一个解，
代入4到方程中，求得 ，
此时方程的两个解为4和8，
对应的三边长为4、4、8，不能构成三角形，故舍去；
情况二：当底边为4时，此时方程 有两个相等的实数根，
∴△=12²-4k=0，解得k=36，
此时方程的两个解为6和6，
对应的三边长为6、6、4，能构成三角形，此时三角形周长为16，
故答案为：16．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解及解法，等腰三角形的性质等知识点，注意要
分类讨论，不要漏解．
17． 且
【分析】
根据一元二次方程的定义可知， ，再根据一元二次方程的根的判别式大于0，解
不等式即可求得实数k的取值范围．
解： 关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
，
，且
解得 且
故答案为： 且
【点拨】此题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系: 当Δ>0时,方程有两个不相
等的实数根; 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根;当Δ<0时，方程没有实数根．
18．156
【分析】
先把原方程化为一元二次方程的一般形式，再求出根的判别式即可．解：方程 化为一元二次方程的一般形式为：2x2﹣6x﹣15=0，故
△=b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×2×（﹣15）=156．
故答案为156．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解答此类题目时要先把方程化为一
元二次方程的一般形式，再进行解答．
19． 且 ．
解：∵ ， .
∴一元二次方程为 .
∵一元二次方程 有实数根，
∴ 且 .
【点拨】（1）非负数的性质；（2）一元二次方程根的判别式.
20．有两个不相等的实数根
【分析】
先判断出 的符号，再根据一元二次方程的根与 的关系即可得出结论．
解：∵△△＝b2−4ac，ac＜0， △
∴−4ac＞0，
∴△＝b2−4ac＞0，
∴关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．
故答案为有两个不相等的实数根．
【点拨】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）中，当
＞0时，方程有两个不相等的实数根是解答此题的关键．
△ 21．等腰
【分析】
根据关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，
利用一元二次方程根的判别式进行求解可以得到 或 ，由此判定即可．解：∵关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
∴ 即
解得 或 ，
∴这个三角形为等腰三角形．
故答案为：等腰．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和等腰三角形的判定，解题的关键
在于能够熟练掌握一元二次方程根的判别式．
22．
【分析】
分情况讨论当二次项系数为零时：原式为一元一次方程有实数根；当二次项系数不为
零时：根据一元二次方程根的情况结合根的判别式列出不等式，求解即可．
解：∵关于x的方程 有实数根，
当 时，即 时，原方程为 有实数根；
当 时，即 时，
则 ，即 ，
解得： ，
综上，a的取值范围是 ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根与根的判别式
的关系是解题的关键．
23．直三角形
【分析】
根据一元二次方程根的判别式可得△=0，即(-2c)2-4(a+b)(a-b)=0，整理可得到
c2+b2=a2，根据勾股定理逆定理可判断出△ABC是直角三角形．
解：∵方程(a+b)x2-2cx+a=b有两个相等的实数根，∴△=0，
∴(-2c)2-4(a+b)(a-b)=0，
∴c2-(a2-b2)=0，
∴c2-a2+b2=0，
∴c2+b2=a2，
∴△ABC的形状为直角三角形，
故答案为：直角三角形．
【点拨】此题主要考查了根的判别式，以及勾股定理逆定理，关键是掌握一元二次方
程根的情况与判别式△的关系：①△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；②△=0⇔方程有两
个相等的实数根；③△＜0⇔方程没有实数根．
24．k≥1．
解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，∴
，解得k≥1，∴k的取值范围是k≥1．故答案为k≥1．
【点拨】根的判别式．
25．（1） ， ；（2） ；（3） ；
（4）没有实数根．
【分析】
求出判别式判断有无实数根，再根据公式法逐一代入求解即可．
解：（1） 故原方程有两个不同实数根；
或
（2） 故原方程有两个相等的实根；（3） 故原方程有两个不同的实数根；
（4） 故原方程无实数根．
【点拨】本题考查一元二次方程解法的公式法，掌握判别式的使用和公式是本题关键．
26．（1）有两个不相等的实数根；（2）没有实数根；（3）有两个相等的实数根．
【分析】
（1）将原方程变形为 ，根据根的判别公式进行解答即可得；
（2）将原方程变形为 ，根据根的判别公式进行解答即可得；
（3）将原方程变形为： ，根据根的判别公式进行解答即可得．
解：（1） ，
，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴原方程有两个不相等的实数根；
（2） ，
，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴原方程没有实数根；（3） ，
，
，
∵ ， ， ，
∴
∴原方程有两个相等的实数根．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根
的个数与根的判别式的关系：一般地，式子 叫做一元二次方程
的根的判别式，通常用希腊字母 表示，即 ，①当
时一元二次方程 有两个不相等的实数根；②当
时一元二次方程 有两个相等的实数根；③当
时一元二次方程 无实数根．
27．（1）方程有两个不相等的实数根；（2） ；（3）存在，
【分析】
(1)计算 的值，若 ，则方程有两个不相等的实数根，若
，则方程有两个相等的实数根，若 则方程无解；
(2)根据题意，将 =2代入方程 中，解出 的值即可；
(3) 先解一元二次方程 的根，再将其代入方程 ，即可解出
的值．
解：(1)
方程有两个不相等的实数根；(2)将 =2代入 得，
(3)解 得，
当 时，
当 时， 此时方程无解，
综上所述，存在 使得使方程 与方程 有一个相同的根．
【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、方程有相同解等知识，
是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
28．（1）m＜2；（2）m=1．
【分析】
（1）利用方程有两个不相等的实数根，得△=[2（m-1）]2-4（m2-3）=-8m+16＞0，然
后解不等式即可；
（2）先利用m的范围得到m=0或m=1，再分别求出m=0和m=1时方程的根，然后根
据根的情况确定满足条件的m的值．
解：（1）△=[2（m﹣1）]2﹣4（m2﹣3）=﹣8m+16．
∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0．
即﹣8m+16>0．
解得 m＜2；
（2）∵m＜2，且 m 为非负整数，
∴m=0 或 m=1，
当 m=0 时，原方程为 x2-2x-3=0，
解得 x=3，x=﹣1(不符合题意舍去)， 当 m=1 时，原方程为 x2﹣2=0，
1 2
解得 x= ，x=﹣ ，
1 2
综上所述，m=1．
【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实
数根；当△＜0时，方程无实数根．
