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专题 21.8 一元二次方程解法-公式法（知识讲解）
【学习目标】
1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解
一元二次方程；
2. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．
【要点梳理】
知识点一 公式法解一元二次方程
（1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方
−b±√b2 −4ac
程的两个根为x= 2a ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根
公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的
方法叫做公式法。
（2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二
次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。
（3）公式法解一元二次方程的具体步骤：
① 方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值
② 确定公式中a,b,c的值，注意符号；
③ 求出b2-4ac的值；
④ 若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，
则方程无实数根。
知识点二 一元二次方程根的判别式
式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即
△=b2-4ac.
△＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根
一元二次方程 △=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根
根的判别式
△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根
【典型例题】
类型一、解一元二次方程--公式法
1．用公式法解下列方程：
（1） ； （2） ．
【答案】（1） ；（2）【分析】
按照公式法的一般步骤：先把式子化为一般式，找到a，b，c，先算 ，再带入求根公
式求解即可．
解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
（2）方程化为一般形式，得 ，这里 ，
∴ ，
，
∴原方程的解为 ．
【点拨】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记一元二次方程的求根公式
，是解决本题的关键．
举一反三：
【变式1】用公式法解下列方程：
（1） ； （2） ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）利用求根公式解一元二次方程即可；
（2）先将方程整理为一般式，再根据求根公式解一元二次方程.解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴原方程的根为： ；
（2）原方程化为一般形式为： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴原方程的根为： ．
【点拨】本题主要考查公式法解一元二次方程，解决本题的关键是要熟练掌握公式法
解一元二次方程的步骤.
【变式2】用公式法解下列方程：
（1） ． （2） ．
【答案】（1） ， ．（2） ， ．
【分析】
（1）先把方程化为一般式，再利用公式法进行求解；
（2）根据公式法即可求解.
解：（1）将方程化为一般形式，得 ．
这里 ， ， ．
∵ ，∴ ，
即 ， ．
（2）这里 ， ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ， ．
【点拨】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知公式法解方程.
类型二、根的判别式
2．已知关于x的方程
（1）求证：方程总有两个实数根
（2）若方程有一个小于1的正根，求实数k的取值范围
【答案】（1）证明见分析；（2）
【分析】
（1）证出根的判别式 即可完成；
（2）将k视为数，求出方程的两个根，即可求出k的取值范围.
解：（1）证明：
∴方程总有两个实数根
（2）
∴
∴
∵方程有一个小于1的正根∴
∴
【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式与方程的根之间的关系，熟练掌握相关知
识点是解题关键.
举一反三：
【变式1】已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
【答案】（1）证明见分析；（2）m=1．
【分析】
解：（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；
（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值．
方法1 （1）利用判别式
（1）证明： ．
∵不论m为何值， ，即 ．
∴不论m为何值，方程总有实数根．
（2）解关于x的一元二次方程 ，得
，∴ ， ．
∵方程的两个根都是正整数，∴ 是正整数，∴ 或 ．
又∵方程的两个根不相等，∴ ，∴ ．
方法2（1）直接解一元二次方程求出根
（1）证明：解关于x的一元二次方程 ，
得 ， ，
∴不论m为何值，方程总有实数根．
（2）解关于x的一元二次方程 ，得，∴ ， ．
∵方程的两个根都是正整数，∴ 是正整数，∴ 或 ．
又∵方程的两个根不相等，∴ ，∴ ．
【变式2】 已知关于x的一元二次方程
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当
△ABC是等腰三角形时，求k的值
【答案】（1）详见分析 （2） 或
【分析】
（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）先利用公式法求出方程的解为x=k，x=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，
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当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．
解：（1）∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x= ，
即x=k，x=k+1，
1 2
∵k＜k+1，
∴AB≠AC．
当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；
当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得
k=4，
所以k的值为5或4．
【点拨】本题考查了：1．根的判别式；2．解一元二次方程；3．三角形三边关系；
4．等腰三角形的性质．
类型三、根据一元二次方程求参数
3、关于 的一元二次方程 有实数根．（1）求 的取值范围；
（2）如果 是符合条件的最大整数，且一元二次方程 与方程
有一个相同的根，求此时 的值．
【答案】（1） ；（2） 的值为 ．
【分析】
（1）利用判别式的意义得到 ，然后解不等式即可；
（2）利用（1）中的结论得到 的最大整数为2，解方程 解得
，把 和 分别代入一元二次方程 求出对应的 ，
同时满足 ．
解：（1）根据题意得 ，
解得 ；
（2） 的最大整数为2，
方程 变形为 ，解得 ，
∵一元二次方程 与方程 有一个相同的根，
∴当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ，
而 ，
∴ 的值为 ．
【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与
有如下关系：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两
个相等的实数根；当 时，方程无实数根．
举一反三：【变式1】关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ，
．
（1）求实数m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使得 成立？如果存在，求出m的值：如果不存
在，请说明理由．
【答案】（1）m＜1；（2）m=-1
【分析】
（1）由方程有两个不相等的实数根，那么△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，
解之即可得出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系即可得出x+x=-2（m-1），x•x=m2-1，由条件可得出关于
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m的方程，解之即可得出m的值．
解：（1）∵方程x2+2（m-1）x+m2-1=0有两个不相等的实数根x，x．
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∴△=4（m-1）2-4（m2-1）=-8m+8＞0，
∴m<1；
（2）∵原方程的两个实数根为x、x，
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∴x+x=-2（m-1），x•x=m2-1．
1 2 1 2
∵x2+x2=16+xx
1 2 1 2
∴(x+x)2＝16+3xx，
1 2 1 2
∴4（m-1）2=16+3（m2-1），
解得：m=-1，m=9，
1 2
∵m＜1，
∴m=9舍去，
2
即m=-1．
【点拨】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程
有两个不相等的实数根找出根与系数的关系；（2）根据根与系数的关系得出m的值，注
意不能忽视判别式应满足的条件．
【变式2】已知关于 的方程 有两个不相等的实数根．
求 的取值范围；若 ，且方程的两个实数根都是整数，求 的值．
【答案】 ； ， 或 ．
【分析】
(1)关于x的方程x2-2x-2n=0有两个不相等的实数根，即判别式 =b2-4ac>0，即可得到
关于n的不等式，从而求得n的范围； △
(2)利用配方法解方程，然后根据n的取值范围和限制条件“方程的两个实数根都是整
数”来求n的值即可．
解： ∵关于 的方程 的二次项系数 、一次项系数 、常数
项 ，
∴ ，
解得 ；
由原方程，得
，
解得 ，
∵方程的两个实数根都是整数，且 ， 不是负数，
∴ ，且 是完全平方形式，
∴ ， 或 ，
解得 ， 或 ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式
的关系：（1） ＞0 方程有两个不相等的实数根；（2） =0 方程有两个相等的实数根；
△
（3） ＜0 方程没有实数根．
△ ⇔ △ ⇔
△ ⇔
