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专题 22.11 二次函数 的图象与性质
（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．抛物线 的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．关关于二次函数y=-2（x-2）2+1的图像，下列叙述不正确的是（ ）
A．对称轴为直线x=2 B．顶点坐标为（-2，1）
C．开口向下 D．与x轴有两个交点
3．关于二次函数 的最值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值－1 B．有最小值－1
C．有最大值6 D．有最小值6
4．二次函数 的对称轴为（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
5．若二次函数 ，当 时， ，则a的值是
（ ）
A．1 B． C． D．﹣1
6．已知二次函数y=-2（x+b）2，当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随
x的增大而减小，则当 时，y的值为（ ）
A．-12 B．12 C．32 D．-32
7．设 ， ， 是抛物线 上的三点，则 的
大小关系为（ ）A． B． C． D．
8．如图，二次函数y＝a（x+2）2+k的图象与x轴交于A（﹣6，0），B两点，下列说
法错误的是（ ）
A．a＜0 B．图象的对称轴为直线x
＝﹣2
C．当x＜0时，y随x的增大而增大 D．点B的坐标为（2，
0）
9．把二次函数 的图象向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后
的图象对应的二次函数的关系式为（ ）
A． B． C．
D．
10．抛物线 向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的抛
物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．11．将抛物线y＝3（x﹣2）2+1，向上平移2个单位长度，再左平移3个单位长度，所
得新抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝3（x+1）2+3 B．y＝3（x﹣5）2+3
C．y＝3（x﹣5）2﹣1 D．y＝3（x+1）2﹣1
12．如果将抛物线向右平移2个单位后得到 ，那么原抛物线的表达式是（ ）
A． B． C． D．
13．若抛物线 的对称轴是直线x=-1，且它与函数 的形状相同，开口
方向相同，则a和h的值分别为（ ）
A．3和 -1 B．-3和1 C．3和1 D．-1和3
14．如果二次函数图象的形状与 的形状相同，且顶点坐标是 ，那么
这个函数的解析式为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
15．如图，在平面直角坐标系中，有一系列的抛物线 （ 为正整
数），若 和 的顶点的连线平行于直线 ，则该条抛物线对应的 的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
16．当两条曲线关于某直线l对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线l的对称曲线．
如果抛物线C ：y＝ax2﹣2x与抛物线C ：y＝（x+h）2+b是关于直线x＝﹣1的对称曲线，
1 2则h+b的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．﹣4
17．在某圆形喷水池的池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，以水
管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标
系，若喷出的抛物线形水柱解析式为 （0≤x≤3），则水管长为( )
A．1m B．2m C． m D．3m
18．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2m时，水面宽度为4m．那么水
位下降1m时，水面的宽度为（ ）
A． B． C． D．
19．将二次函数y＝（x﹣3）2+k的图象向上平移5个单位，若平移后的函数图象与直
线y＝2没有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣3 B．k≤﹣3 C．k＞﹣3 D．k≥﹣3
20．如图所示，在抛物线y =－x2上有A，B两点，其横坐标分别为 1 ，2；在y轴上
有一动点C，则AC + BC 最短距离为（ ）A．5 B． C． D．
二、填空题
21．二次函数 的图象顶点是______．
22．二次函数 的最大值是________．
23．若抛物线 的顶点在y轴上，则 _______．
24．当x≥m时，两个函数y＝﹣（x﹣4）2＋2和y＝﹣（x﹣3）2＋1的函数值都随着x
1 2
的增大而减小，则m的最小值为_____．
25．写出一个满足“当 时， 随 增大而减小”的二次函数解析式______．
26．请写出一个函数表达式，当自变量x＞1时使其图像的函数值y随自变量x的增大
而减小：_______．
27．当 时，函数 的函数值 随 的增大而减小， 的取值范围是
__________．
28．在平面直角坐标系内有线段PQ，已知P（3，1）、Q（9，1），若抛物线
与线段PQ有交点，则a 的取值范围是______．
29．将抛物线 先向左平移2个单位长度，再向上平移 个单位长度．若得到的抛物线经过点 ，则 的值是______．
30．若二次函数 （a，k为常数，且 ）的图象与x轴的一个交点为
，则关于x的不等式 的解集为______．
31．将抛物线 向左平移2个单位，向上平移1个单位后，所得抛物线为 ，
则抛物线 解析式为________．
32．将抛物线 向右平移1个单位，所得抛物线的顶点坐标是
_______________．
33．已知二次函数的图象开口向下，顶点坐标是（0，3），则这个二次函数的表达式
可以是_____．
34．抛物线 关于 轴对称的抛物线的解析式为____________．
35．把二次函数 的图象关于 轴对称后得到的图象的函数关系式为
_________．
36．写出一个二次函数，其图像满足：（1）开口向下；（2）顶点坐标是 ．这个
二次函数的解析式可以是_________________．
37．如图，抛物线 与直线 交与点A与点B，点P是线段AB上
的动点，过点P作PQ∥y轴，交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为_______．38．抛物线 与x轴的两个交点和顶点构成的三角形的面积为___________．
39．如图，抛物线 与过点 且平行于x轴的直线相交于点 、 ，与
轴交于点C，若 为直角，则 ___
40．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于A、B两
点，与y轴交于C点，其顶点为D，若△ABC与△ABD的面积相等，则m值为_____．
三、解答题
41．已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3．
（1）写出此函数图象的开口方向和顶点坐标；
（2）当y随x增大而减小时，写出x的取值范围；
（3）当1＜x＜4时，求出y的取值范围．
42．已知抛物线y=a（x-h） +k的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出抛物线的解析式；
（2）写出 随 的增大而增大的自变量 的取值范围；
（3）当自变量 取何值时，函数 有最大值？最大值为多少？
43．如图，已知经过原点的抛物线 与 轴交于另一点A(2，0)．
（1）求 的值和抛物线顶点 的坐标；
（2）求直线 的解析式．44．如图，抛物线y=2（x-2）2与平行于x轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，
△ABC为等边三角形，求S AB
C;
△
45．某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生利润与电价是一次函数
关系，经过测算，工厂每千度电产生利润y（元/千度））与电价x（元/千度）的函数图象
如图：
（1）请求出y与x之间的函数关系式；
（2）为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x（元/千度）与每天用电量m
（千度）的函数关系为x=20m+500，且该工厂每天用电量不超过50千度，为了获得最大利
润w，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元？参考答案
1．C
【分析】
已知抛物线顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k）．
解：∵抛物线y=−2(x−1)2+2是顶点式，
∴顶点坐标是（1，2）．
故选：C．
【点拨】本题考查由抛物线的顶点式与抛物线顶点的坐标的关系，熟练掌握顶点式是
解答此题的关键．
2．B
【分析】
根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：由二次函数y=-2（x-2）2+1可知：a=-2＜0，
所以开口向下，顶点坐标为（2，1），对称轴为x=2，二次函数的图像与x轴有两
个交点，故A、C、D正确，B错误，
故选：B．【点拨】本题考查了二次函数的图像及其性质，解题的关键是熟悉二次函数的图像.
3．C
【分析】
根据二次函数顶点式的图像与性质进行解答即可．
解：二次函数
顶点坐标为： ， ，开口向下，有最大值 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数顶点式的图像和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题
的关键．
4．D
【分析】
根据 ，即可求得．
解：
该二次函数的对称为直线 ，
故选：D.
【点拨】本题考查了求二次函数的对称轴问题，熟练掌握和运用求二次函数对称轴的
方法是解决本题的关键．
5．D
【分析】
由二次函数的顶点式可得函数的最大值，进而依题意可求得a的值．
解：∵
∴二次函数的顶点坐标为
∵
∴二次函数在 时取得最大值3-9a
∴依题意有 ，解得
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
6．D【分析】
根据当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小，即可得到
抛物线的对称轴为直线 ，由此求解即可．
解：∵当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
∴当 时， ，
故选D．
【点拨】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟知二次函数图象的性质是解题的关
键．
7．C
【分析】
根据二次函数的性质得到抛物线y=-（x+1）2+k的开口向下，对称轴为直线x=-1，然
后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．.
解：∵抛物线y=-（x+1）2+k的开口向下，对称轴为直线x=-1，
而C（2，y）离直线x=-1的距离最远，A（0，y）点离直线x=-1最近，
3 1
∴y＜y＜y．
3 2 1
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其
解析式．也考查了二次函数的性质．
8．C
【分析】
根据图象即可判断A、C；由解析式即可判断B；根据抛物线的对称性即可判断D．
解：∵二次函数y＝a（x+2）2+k的图象开口方向向下，
∴a＜0，故A正确，不合题意；
由图象可知，抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，故B正确，不合题意；
由图象知，当x＜0时，由图象可知y随x的增大先增大后减小，故C错误，符合
题意；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，且过A（﹣6，0），∴B点的坐标为（2，
0），故D正确，不合题意；
故选：C．【点拨】本题考查了二次函数的性质，熟练运用二次函数的图像和性质是解题关键
9．A
【分析】
根据二次函数图象的平移规律解答即可．
解：由题意知，平移后抛物线的解析式是 ，故A正确．
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数图象的平移，解题的关键在于掌握二次函数图象平移的
规律：左加右减，上加下减．
10．B
【分析】
根据二次函数平移规律“上加下减，左加右减”即可求解．
解：将抛物线 先向右平移1个单位，得到 ，
再向下平移3个单位，得到的抛物线是 ，即 ．
故选：B．
【点拨】本题考查二次函数的平移，掌握二次函数的平移规律“上加下减，左加右
减”是解题的关键．
11．A
【分析】
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，
将抛物线y＝3（x﹣2）2+1，向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，
所得新抛物线的函数表达式为y＝3（x﹣2+3）2+1+2，即y＝3（x+1）2+3．
故选：A．
【点拨】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象平移解析式变化原则
“上加下减，左加右减”是解题的关键．
12．C
【分析】
根据二次函数平移的性质进行解题即可；
解：∵将抛物线向右平移2个单位后得到 ，∴抛物线 向左移2个单位得原函数解析式 ，
故选：C．
【点拨】本题主要考查二次函数图象平移的性质，掌握二次函数图象平移的性质是解
题的关键．
13．A
【分析】
根据抛物线 的对称轴是直线x=-1，且它与函数 的形状相同，开口方
向相同，即可得到 ，从而得到答案．
解：∵抛物线 的对称轴是直线x=-1，且它与函数 的形状相同，开口
方向相同，
∴ ，
故选A．
【点拨】本题主要考查了二次函数图像的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知
识进行求解．
14．B
【分析】
根据二次函数图象的形状与 的形状相同，可得到所求函数解析式的二次
项系数为 ，再根据顶点坐标是 ，即可求解．
解：∵二次函数图象的形状与 的形状相同，即二次项系数 相同，
∴所求函数解析式的二次项系数为 ，
∵顶点坐标是 ，
∴这个函数的解析式为 或 ，故选：B．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，根据题意得到二次项系数 相同是解题
的关键．
15．B
【分析】
设C 和Cn的顶点的连线为y=10x+b，将n=1时顶点代入求出解析式，然后再将n=n时
1
顶点代入求n．
解：设C 和Cn的顶点所在直线解析式为y=kx+b，
1
∵C 和Cn的顶点的连线平行于直线y=10x，
1
∴k=10，y=10x+b，
抛物线y=（x-n）2+n2的顶点坐标为（n，n2），
当n=1时，顶点为（1，1），
将（1，1）代入y=10x+b，
解得b=-9，
∴y=10x-9，
将（n，n2）代入解析时可得：n2=10n-9，
解得n=1（不合题意舍去）或n=9，
∴n=9．
故选：B．
【点拨】本题考查二次函数的应用，解题关键是掌握一次函数k的几何意义．
16．A
【分析】
根据轴对称的性质可知，抛物线C 与C 关于直线x＝﹣1对称，则它们的形状与大小
1 2
均应该保持一致，从而综合两个解析式确定出a的值，再由抛物线C 的顶点坐标确定出对
1
称之后抛物线C 的顶点坐标，从而得到h和b 的值，即可得出结论．
2
解：∵抛物线C ：y＝ax2﹣2x与抛物线C ：y＝(x+h)2+b是关于直线x＝﹣1的对称曲
1 2
线，
∴ ，即：抛物线C ：y＝x2﹣2x，
1
∴抛物线C 的顶点坐标为： ，
1则关于直线x＝﹣1对称的抛物线C 的顶点坐标为： ，
2
∴抛物线C ：y＝(x+3)2-1，
2
即：h=3，b=-1，
∴h+b=2，
故选：A．
【点拨】本题考查抛物线的对称变换，理解轴对称的性质以及抛物线的基本性质是解
题关键．
17．C
【分析】
根据函数解析式 ，令 ，可求出对应的y值，即为水管的长度．
解： 函数解析式
令 ，则
则水管的长度为
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，利用数形结合的思想根据函数表达式求解
出对应的函数值是解决本题的关键．
18．B
【分析】
结合已知条件先建立适当的坐标系，然后设出解析式，利用点的坐标求得解析式，再
将 代入解析式求得相应的x的值，进而求得答案．
解：以拱顶为坐标原点建立坐标系，如图：∴设抛物线解析式为： ，
∵观察图形可知抛物线经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为： ，
∴当水位下降 米后，即当 时，有 ，
∴ ， ，
∴水面的宽度为： ．
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，根据已知条件建立坐标系从而求得二次函数解
析式是解决问题的关键．
19．C
【分析】
根据题意可得平移后的二次函数解析式为 ，进而由题意可得一元二
次方程 ，然后根据题意可进行求解．
解：平移后的二次函数解析式为 ，
∵平移后的函数图象与直线y＝2没有交点，∴一元二次方程 无解，即 无解，
∴ ，解得： ；
故选C．
【点拨】本题主要考查二次函数图象的平移及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次
函数图象的平移及与一元二次方程的关系是解题的关键．
20．B
解：因为在抛物线y =－x2上A，B两点，其横坐标分别为 1 ，2；所以纵坐标
是,-1，-4，所以A（1,-1）B（2,-4），取点A关于y轴的对称点为 ，则点 的坐标是
（-1，-1），则AC + BC 最短距离= B ,故选B.
【点拨】1.二次函数；2.轴对称；3.勾股定理.
21．
【分析】
直接利用二次函数顶点式的图象与性质求解即可．
解： 的顶点坐标为：
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数顶点式的图象与性质
是解题的关键．
22．-3
【分析】
二次函数的顶点式y=a(x−h)2+b在x=h时有最值，a>0时有最小值为b，a<0时有最大值
为b，即可得出答案．
解：∵a=−1<0，
∴y有最大值，
当 时，y有最大值为-3．
故答案为：-3．
【点拨】本题考查了二次函数顶点式求最值，熟练掌握二次函数的表达式及最值的确
定方法是解题的关键．23．2
【分析】
根据题意可知抛物线对称轴为 ，然后可求得 的值．
解：∵抛物线 的顶点在y轴上，
∴对称轴 ，
解得： ．
故答案为：2．
【点拨】本题考查二次函数的性质，判断对称轴为 是解题的关键．
24．4
【分析】
先确定两个函数的开口方向和对称轴，再得出符合条件的x的取值范围，从而得到m
的最小值．
解：函数y＝﹣（x﹣4）2＋2开口向下，对称轴为直线x=4，
1
函数y＝﹣（x﹣3）2＋1开口向下，对称轴为直线x=3，
2
当函数值都随着x的增大而减小，
则x≥4，即m的最小值为4，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的基本性质．
25． （答案不唯一）
【分析】
先根据二次函数的图象和性质取对称轴x=2，设抛物线的解析式为y=a(x-2)2，由于在
抛物线对称轴的右边， y 随 x 增大而减小，得出a<0，于是去a=-1，即可解答．
解：设抛物线的解析式为y=a(x-2)2，
∵在抛物线对称轴的右边， y 随 x 增大而减小，
∴a<0，
符合上述条件的二次函数均可，
可取a=-1，
则y=-(x-2)2 ．
故答案为：y=-(x-2)2．【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性
质．
26．y=-（x-1）2+1（答案不唯一）
【分析】
根据函数的性质得到二次函数开口向下，对称轴是直线x=1，即可得到函数解析式．
解：∵当自变量x＞1时使其图象的函数值y随自变量x的增大而减小，
∴函数解析式为y=-（x-1）2+1，
故答案为：y=-（x-1）2+1（答案不唯一）
【点拨】此题考查了求二次函数的解析式，正确掌握二次函数的增减性是解题的关键．
27．
【分析】
根据二次函数的解析式判定函数图象的开口方向，和顶点坐标，从而确定单调区间即
可．
解：∵函数 的二次项系数为2＞0，
∴该二次函数的开口方向向上，
又∵函数的顶点坐标为（-m，1），
∴该二次函数图象x＜-m时，函数值y随着x的增大而减小，
∵当x＜-1时，函数值y随着x的增大而减小，
∴-m≥-1，
∴m≤1，
故答案为：m≤1．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
28．
【分析】
由 可得抛物线随 值的变化左右移动，分别求出抛物线经过点P，Q所对应
的 的值即可．
解：由 可得抛物线的对称轴直线为 ，顶点坐标为( ，0)，
当对称轴在点P左侧时， ，
把P（3，1）代入 得 ，解得 或 (舍去)，
当对称轴在点P右侧时， ，
把Q（9，1），代入 得 ，
解得 或 (舍去)，
∴当 时，抛物线 与线段PQ有交点，
故答案为：
【点拨】本题考查了抛物线的图象与性质，掌握抛物线随 值的变化左右移动是解题
的关键．
29．4
【分析】
根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
解：∵抛物线 的顶点坐标为（1, -2），
先向左平移2个单位长度，再向上平移 个单位长度
则平移后抛物线的顶点坐标为
平移后的抛物线解析式为 ，
平移后的抛物线经过点 ，
解得 ．
故答案为：4．
【点拨】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻
找平移规律．
30．
【分析】
根据函数的对称轴可求出二次函数 与x轴的另一个交点，再根据二次
函数的平移特点求出y= 与x轴的交点，再根据二次函数的图象与性质即可求解．
解：∵二次函数 的对称轴为x=1，图象与x轴的一个交点为 ，
∴二次函数 与x轴的另一个交点为（3，0），
∵二次函数 向右平移1个单位得到y= ，
故二次函数y= 与x轴的交点为（0，0）和（4，0），
∵ ，
∴二次函数y= ＞0时，x的取值为 ，
∴关于x的不等式 的解集为 ，
故答案为： ．
【点拨】此题主要考查二次函数与不等式综合，解题的关键是熟知二次函数的图象与
性质、平移的特点．
31． ##
【分析】
设抛物线 为 ，根据平移的规律写出平移后的解析式，并与已知相等，
即可求解．
解：设抛物线 为
将抛物线 向左平移2个单位，向上平移1个单位后，可得
即 为
解得
抛物线 为
【点拨】本题考查了二次函数图象的平移，牢记“左加右减，上加下减”是解题的关
键．32．（2，-2）
【分析】
按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式，即可求出顶
点坐标．
解：抛物线 的顶点坐标为（1，-2）
向右平移1个单位后，顶点坐标为（2，-2）
故答案为：（2，-2）．
【点拨】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律，解决本题的关键是
熟记点的平移规律“左加右减，上加下减”．
33．y＝﹣x2＋3（答案不唯一）
【分析】
设二次函数的解析式为 ，由条件可以得出a＜0，再将顶点坐标代入解
析式就可以求出结论．
解：设二次函数的解析式为 ，
∵二次函数的图象开口线下，
∴a＜0，
∵顶点坐标为(0，3)，
∴h=0，k=3，
即二次函数解析式的形式为： ，a＜0，
即任写一个： （答案不唯一），
故答案为： （答案不唯一），
【点拨】本题考查了根据顶点式运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，注意本
题答案不唯一只要满足 ，a＜0即可．
34．
【分析】根据题意可知抛物线的顶点坐标为 ，进而可得该抛物线关于x轴对称的顶点坐
标为 ，然后问题可求解．
解：由抛物线 可知顶点坐标为 ，
∴该抛物线关于 轴对称的抛物线的顶点坐标为 ，
∴抛物线 关于 轴对称的抛物线的解析式为 ；
故答案为 ．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质及轴对称，熟练掌握二次函数的性质及轴对称
是解题的关键．
35．
【分析】
函数 的图象关于y轴对称后的顶点坐标为(-1，0)，然后根据顶点式写出
解析式．
解： 的顶点坐标是(1，2)，由于(1，2)关于y轴的对称点为(-1，2)，所以
得到的图象的函数解析式是 ；
故答案为 ．
【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a
不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点
平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解
析式．
36．
【分析】
根据题意写出一个 ，且顶点为 的二次函数即可，可根据顶点式写出函数解析式．
解：该函数的定点坐标为 ，且开口向下，这个二次函数的解析式可以是：
故答案为： （答案不唯一）
【点拨】本题考查了二次函数的性质，掌握顶点式是解题的关键．
37． ##0.25
【分析】
根据PQ∥y轴，可设点 ，则 ，从而得到
，再根据二次函数的性质，即可求解．
解：∵PQ∥y轴，
∴可设点 ，则 ，
∴ ，
∴当 时， 最大，最大值 ．
故答案为：
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是
解题的关键．
38．8
【分析】
由抛物线表达式求出与x轴交点坐标，由图可以看出此抛物线关于y轴对称，求出顶
点坐标，便可求出三角形的面积．
解：由抛物线y=x2-4=（x-2）×（x+2）
则抛物线与x轴地交点坐标为：（2，0），（-2，0），
∵抛物线关于y轴对称，
故顶点在y轴上，令x=0，得y=-4
∴三角形的面积为： ×[2-(-2)]×4=8．
故答案为：8
【点拨】此题考查二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键．
39． ##-0.25
【分析】
直线 与 轴交于点 ，如图，则 ，利用二次函数的性质得到 ，再证
明 为等腰直角三角形得到 ，所以 ，然后把 点坐标代入
即可得到 的值．
解：直线 与 轴交于点 ，如图，则 ，
，
，
过点 且平行于 轴，
为等腰三角形，
∵CD⊥y轴
∴AD=BD
，
为等腰直角三角形，
，
，
把 代入 ，
得 ，
解得 ．
故答案为 ．【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其
解析式．也考查了二次函数的性质和等腰直角三角形的性质．
40．2
【分析】
求出顶点D和C的坐标，由三角形的面积关系得出关于m的方程，解方程即可．
解：∵ ，
∴顶点D（2， ），C（0，m），
∴OC=m，
∵S ABC= AB•OC= AB×m= AB，S ABD= AB•(4-m)，△ABC与△ABD的面积
△ △
相等
∴ AB = AB•(4-m)，
解得：m=2．
故答案是：2．
【点拨】本题考查了抛物线与y轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系
得出方程是解决问题的关键．
41．（1）开口向下，顶点坐标是（2，3）；（2）x＞2；（3）﹣1＜y≤3
【分析】
（1）根据a的符号判断抛物线的开口方向；根据顶点式可求顶点坐标；
（2）根据二次函数的增减性，当a＞0时，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；
（3）因为顶点坐标（2，3）在1＜x＜4的范围内，开口向下，所以y最的大值为3；
当x＝1时，y＝2；当x＝4时，y＝﹣1，即可确定函数值y的范围．
解：（1）∵a＝﹣1＜0，
∴图象开口向向下；
∵y＝﹣（x﹣2）2+3，∴顶点坐标是（2，3）；
（2）∵对称轴x＝2，图象开口向选，y随x增大而减小
∴x的取值范围为x＞2；
（3）∵抛物线的对称轴x＝2，满足1＜x＜4，
∴此时y的最大值为3，
∵当x＝1时，y＝2；当x＝4时，y＝﹣1，
∴当1＜x＜4时，y的取值范围是﹣1＜y≤3．
【点拨】此题考查了二次函数的性质，顶点坐标，对称轴，开口方向；还考查了二次
函数的增减性．
42．（1） ；（2） ；（3）当 时， 有最大值，最大值为2
【分析】
（1）根据图象可知，抛物线的顶点坐标为 ，且过点 ，设顶点式
，将 代入解析式，即可求得 的值，进而求得抛物线的解析式；
（2）根据函数图象可知，在对称轴的左侧， 随 的增大而增大；
（3）根据图象可知，抛物线的顶点坐标为 ，且开口朝下，进而求得当 时，
最值为2．
解：（1）根据图象可知，抛物线的顶点坐标为 ，且过点 ，
设顶点式 ，将 代入得，
，
解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）根据函数图象可知，在对称轴的左侧， 随 的增大而增大，即 时， 随
的增大而增大，
（3）根据图象可知，抛物线的顶点坐标为 ，且开口朝下，
当 时， 有最大值，最大值为2．【点拨】本题考查了二次函数 的图象与性质，掌握 的
图象与性质是解题的关键．
43．（1） ，M (1，-2)；（2）
【分析】
（1）将A(2，0)代入抛物线的解析式，可求得m的值，再配成顶点式即可求解；
（2）利用待定系数法即可求得直线AM的解析式．
解：（1）∵抛物线 过点A(2，0)，
，解得 ，
，
,
∴顶点M的坐标是(1，-2)；
（2）设直线AM的解析式为 ，
∵图象过A(2，0)，M (1，-2)，
，解得 ，
∴直线AM的解析式为 ．
【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键
是灵活运用所学知识解决问题．
44．
【分析】
过B作BP⊥x轴交于点P，连接AC，BC，由抛物线y= 得C（2，0），
于是得到对称轴为直线x=2，设B（m，n），根据△ABC是等边三角形，得到
BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°，求出PB= PC= （m-2），由于PB=n=，于是得到
（m-2）= ，解方程得到m的值，然后根据三角形的面积公式即可得到结
果．
解：过B作BP⊥x轴交于点P，连接AC，BC，
由抛物线y= 得C（2，0），
∴对称轴为直线x=2，
设B（m，n），
∴CP=m-2，
∵AB∥x轴，
∴AB=2m-4，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°，
∴PB= PC= （m-2），
∵PB=n= ，
∴ （m-2）= ，
解得m= ，m=2（不合题意，舍去），
∴AB= ，BP= ，
∴S = ．
ABC
△【点拨】本题考查二次函数的性质.
45．（1）y=﹣0.2x+300（x≥0）；（2）当工厂每天消耗50千度电时，工厂每天消耗
电产生利润为最大，最大利润为1875元．
试题解析：（1）利用待定系数法可以求得工厂每千度电产生利润y与电价x的函数解
析式；
（2）设工厂每天消耗电产生利润为W元，根据关系式“每天消耗电产生利
润=每天用电量×每千度电产生的利润”便可得到W与m的函数关系式；
利用配方法对上述表达式进行配方，结合二次函数性质即可求得W的最大值.
解：（1）设工厂每千度电产生利润y（元/千度）与电价x（元/千度）的函数解析式为：
y=kx+b，
∵该函数图象过点（0，300），（500，200），
∴ ，
解得 ．
所以y=﹣0.2x+300（x≥0），
（2）设工厂每天消耗电产生利润为w元，由题意得：
w=my=m（﹣0.2x+300）
=m[﹣0.2（20m+500）+300]
=﹣4m2+200m
=﹣4（m﹣25）2+2500，
在m≤25时，w随m的增大而最大，
由题意，m≤50，
∴当m=50时，w =﹣（50﹣25）2+2500=1875，
最大
即当工厂每天消耗50千度电时，工厂每天消耗电产生利润为最大，最大利润为
1875元．
