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武威市 2021 年初中毕业、高中招生考试
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C B A A D C A B
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.
9
11．2m(2-m) 12．x＞ 13．1 14．36.6
2
15．6 16．＜ 17．2 π 18．a n +(−1)n+1·2b2n−1或
【n为奇数时，a n +2b2n−1；n为偶数时，a n −2b2n−1．写对一个给2分】
三、解答题：本大题共5小题，共26分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤. (解法合理、答案正确均可得分)
19．(4分)
2
解：原式＝1＋2－2× ............................................................................................................... 3分
2
＝3－ 2． ...................................................................................................................... 4分
20．(4分)
2x−4 2x
(x−2)2
解：原式＝ − × ............................................................................... 2分
x−2 x−2 (x+2)(x−2)
−4 x−2
＝ ×
x−2 x+2
4
＝－ ......................................................................................................................... 3分
x+2
4 2
当x＝4时，原式＝－ ＝－ ． ............................................................................ 4分
4+2 3
（武威）数学答案 第1页（共7页）21．(6分)
F
解：(1)
D
A E C
B
作出线段AC的垂直平分线DE，连接AD，CD； ........................................ 2，3分
以D为圆心，DA长为半径作弧，交AB于点F, 连接DF，BD，BF．......... 4，5分
(2) BC＝BF． ................................................................................................................. 6分
22．(6分)
解：设CD＝x m， ................................................................................................................. 1分
CD x x
在Rt△ACD中，AD＝ ＝ ＝ ， .................................................. 2分
tan∠CAD tan42° 0.9
CD x x
在Rt△CBD中，BD＝ ＝ ＝ ， .................................................. 3分
tan∠CBD tan58° 1.6
x x
∵ AD+BD＝AB，∴ + ＝58．解得，x≈33.4． ............................................. 5分
0.9 1.6
答：宝塔的高度约为33.4 m． (注：CD≈33.5也得分) ............................................ 6分
23．(6分)
解：(1) ∵ 通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，
∴ 估计摸到红球的概率为0.75，
3
设白球有x个，依题意得 ＝0.75，............................................................. 1分
3+x
解得，x＝1. 即箱子里可能有1个白球； ........................................................... 2分
(2)列表如下：
红 红 红 白
1 2 3
红 (红 ，红 ) (红 ，红 ) (红 ，红 ) (红 ，白)
1 1 1 1 2 1 3 1
红 (红 ，红 ) (红 ，红 ) (红 ，红 ) (红 ，白)
2 2 1 2 2 2 3 2
红 (红 ，红 ) (红 ，红 ) (红 ，红 ) (红 ，白)
3 3 1 3 2 3 3 3
白 (白， 红 ) (白， 红 ) (白， 红 ) (白， 白)
1 2 3
（武威）数学答案 第2页（共7页）或画树状图如下：
开始
第一次 红
1
红
2
红
3
白
第 二次 红 红 红 白 红 红 红 白 红 红 红 白 红 红 红 白
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
.......................................................................... 4分
∵ 一共有16种等可能的结果，两次摸出的小球颜色恰好不同的有:
(红 ，白)、(红 ，白)、(红 ，白)、(白，红 )、(白，红 )、(白，红 )共6种．
1 2 3 1 2 3
...................................................... 5分
6 3
∴ 两次摸出的小球恰好颜色不同的概率 ＝ ． ................................................ 6分
16 8
四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤. (解法合理、答案正确均可得分)
24．(7分)
解：(1) 200，16； ······················································································· 2分
(2) 如图所示： ····················································································· 4分
(3) C； ································································································· 6分
70+24
(4) 根据题意得，2000× ＝940（人）.
200
答：全校2000名学生中，估计成绩优秀的学生有940人． ························ 7分
（武威）数学答案 第3页（共7页）25．(7分)
解：(1) 3000， 200； ......................................................................................................... 2分
(2) 小刚从图书馆返回家的时间：5000÷200＝25(min)．
总时间：25+20＝45(min)． ....................................................................................... 3分
设返回时y与x的函数表达式为y＝kx+b，
把(20，5000)，(45，0)代入得：
20k+b＝5000 k＝−200
， 解得， ． ................................................................. 4分
45k+b＝0 b＝9000
∴ y＝-200x+9000(20≤x≤45)． .............................. 5分（自变量范围不写不扣分）
(3)小刚出发35分钟，即当x＝35时，
y＝-200×35+9000＝2000． ................................................................................... 6分
答：此时他离家2000 m． ........................................................................................... 7分
26. (8分)
(1) 证明：如图，∵ OA＝OC， ∴ ∠OAC＝∠OCA．
∵ ∠DCB＝∠OAC，
A O B D
∴ ∠OCA＝∠DCB． .......... 1分
∵ AB是⊙O的直径，
C
∴ ∠ACB＝90°,
∴ ∠OCA＋∠OCB＝90°, E
∴ ∠DCB＋∠OCB＝90°， 即∠OCD=90°,
∴ OC⊥DC． ........................... 2分
又∵ OC是⊙O的半径，
∴ CD是⊙O的切线． ............................................................................. 3分
BD CD BD 4 2
(2) ∵ BC∥OE， ∴ ＝ , 即 ＝ ＝ ． ............................................. 4分
OB CE OB 6 3
∴ 设BD＝2x，则OB＝OC＝3x，OD＝OB＋BD＝5x．
∵ OC⊥DC， ∴ OC 2＋CD 2＝OD 2．.................................................................... 5分
∴ (3x)2＋4 2＝(5x)2 , 解得，x＝1．
∴ OC＝3x＝3．即⊙O的半径为3． ........................................................................ 6分
（武威）数学答案 第4页（共7页）∵ BC∥OE， ∴ ∠OCB＝∠EOC，
EC 6
在Rt△OCE中，tan∠EOC＝ ＝ ＝2.
OC 3
∴ tan∠OCB＝tan∠EOC＝2． .............................................................................. 8分
27．(8分)
解：问题解决：
(1) 证明：如图1，∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ABC＝∠DAB＝90°．
∴ ∠BAF＋∠GAD＝90°． 图1
∵ DE⊥AF， ∴ ∠ADG＋∠GAD＝90°．
∴ ∠BAF＝∠ADG． .................................................................................................... 1分
又 ∵ AF＝DE， ∴ △ABF≌△DAE, ∴ AB＝AD．
∴ 矩形ABCD是正方形．........................................................................................... 2分
(2)△AHF是等腰三角形．理由如下：
∵ AB＝AD，∠ABH＝∠DAE＝90°，BH＝AE， ...................................................... 3分
∴ △ABH≌△DAE，∴ AH＝DE． ............................................................................. 4分
又∵ DE＝AF， ∴ AH＝AF，即△AHF是等腰三角形． ........................................ 5分
类比迁移：
如图2，延长CB到点H，使得BH＝AE＝6，连接AH．
∵ 四边形ABCD是菱形，
A D
∴ AD∥BC，AB=AD，∴ ∠ABH＝∠BAD．
∵ BH＝AE， ∴ △ABH≌△DAE． ..................... 6分 G
E
∴ AH＝DE，∠AHB＝∠DEA＝60°． H B F C
又∵ DE＝AF， ∴ AH＝AF．
图2
∵ ∠AHB＝60°， ∴ △AHF是等边三角形， ......................................... 7分
∴ AH＝HF，
∴ DE＝AH＝HF＝HB＋BF＝6＋2＝8． ..................................................................... 8分
（武威）数学答案 第5页（共7页）28．(10分)
解：(1)∵ 抛物线y＝1 x 2 +bx+c过A(0,-2)，B(4，0)两点，
2
3
c＝−2 b＝−
∴ ． 解得， 2． ............................................................... 1分
8+4b+c＝0
c＝−2
1 3
∴ y = x2 − x−2 ． .............................................................................................. 2分
2 2
(2) ∵ B(4，0)， ∴ OB＝4． 同理，OA=2.
又 ∵ GF⊥x轴， OA⊥x轴，
1
∴ 在Rt△BOA和Rt△BGF中，tan∠ABO＝ OA = GF ，即 2 = 2 ， .................. 3分
OB GB 4 GB
∴ GB＝1， ∴ OG＝OB-GB＝4-1＝3． .................................................................... 4分
1 3
当x=3时，y = ×9− ×3−2＝-2，
D 2 2
∴ D（3，-2），即GD＝2． ......................................................................................... 5分
1 3
∴ FD＝GD-GF＝2− = ，
2 2
1 1 3 3
∴ S ＝ FD⋅BG＝ × ×1= ． ........................................................................... 6分
∆BDF
2 2 2 4
(3)① 【方法1】如图1，∵ 四边形BEHF是矩形,
∴ EH∥BF，EH＝BF, ∴ ∠HEF＝∠BFE，
过H作HM⊥EF于点M，∵ ∠EMH＝∠FGB＝90° ，
∴ △EMH≌△FGB, ∴ MH＝GB，EM＝FG．
1
∵ HM＝OG， ∴ OG＝GB＝ OB＝2． .......................................... 7分
2
1
由直线AB过点A(0，-2)和点B(4，0)，得直线AB：y＝ x-2．
2
1
设E(a，-2a＋8)，F(a， a-2)．
2
由MH＝BG 得a-0＝4-a，解得, a＝2．
∴ E(2，4)，F(2，-1), ∴ FG＝1．
由EM＝FG得4- y ＝1，解得， y ＝3, ∴ H(0，3)． ..................................... 8分
H H
（武威）数学答案 第6页（共7页）【方法2】如图2，连接BH，交EF于点N.
∵ 四边形BEHF是矩形，
1
∴ EF =BH, BN =NH = BH .
2
BN BF
又∵ EF∥AC， = =1,
NH AF
BG BE BF
∴ ＝ ＝ ＝1．
OG CE AF
CH BF
∵ 四边形BEHF是矩形，∴ HF∥BC, ∴ ＝ ＝1．
AH AF
∵ AC＝OC＋AO＝8＋2＝10， ∴ CH＝5,
∴ OH＝OC-CH＝8-5＝3． ∴ H(0，3)．
② 如图2，HB＝ OH2＋OB2 ＝ 32＋42 ＝5．
∵ PH＝PC＋2，∴ C ＝PH＋PB＋HB＝PC＋2＋PB＋5＝PC＋PB＋7．
△PHB
∴ 要使C 最小，就要PC＋PB最小． ................................................................. 9分
△PHB
∵ PC＋PB≥BC，
∴ 当点P在BC上时，PC＋PB=BC为最小．
∵ BC＝ OC2＋OB2 ＝ 82＋42 ＝4 5 ．
∴ △PHB周长的最小值是4 5 ＋7． ...................................................................... 10分
y y
C C
P
E E
H H
M
N
G G
O B x O B x
F F
A A
D D
图1 图2
（武威）数学答案 第7页（共7页）
