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专题 21.20 实际问题与一元二次方程（巩固篇）
（专项练习）
一、单选题
类型一、传播问题
1．毕业前夕，九年级（11）班的同学每人将一份礼物与其他每一位同学互赠，作为珍
贵的纪念，全班共增出1980件礼物，那么这个班级共有学生（ ）
A．40人 B．42人 C．44人 D．45人
2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、
支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则下列方程正确的是（ ）
A．1+x2＝91 B．（1+x）2＝91
C．1+x+x2＝91 D．1+（1+x）+（1+x）2＝91
类型二、增长率问题
3．某市近两年环保工作卓有成效，全年空气质量重度污染天数从2019年的36天降到
2021年的25天．按照这样的降低率，该市全年空气质量重度污染天数首次不超过18天的
年份是（ ）
A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年
4．电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约
4亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达36亿元，将增长率记
作x，则方程可以列为（ ）
A．4+4x+4x2＝36 B．4 （1+x）2＝36
C．（1+x）2＝36 D．4+4（1+x）+4（1+x）2＝36
类型三、与图形有关的问题
5．如图是某公园在一长35m，宽23m的矩形湖面上修建的等宽的人行观景曲桥，它
的面积恰好为原矩形湖面面积的 ，求人行观景曲桥的宽．若设人行观景曲桥的宽为xm，
则x满足的方程为（ ）A． B．
C． D．
6．将一个容积为 的长方体包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，根据题意，列
出关于x的方程为（ ）
A． B．
C． D．
类型四、数字问题
7．某数的一半比这个数的平方的3倍少 ，设某数为x，某数的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知 是完全平方式，则常数 的值为（ ）
A．1或2 B． 或 C． 或 D．不存在
类型五、营销问题
9．某网店销售运动鞋，若每双盈利40元，每天可以销售20双，该网店决定适当降价促销，经调查得知，每双运动鞋每降价1元，每天可多销售2双，若想每天盈利1200元，
并尽可能让利于顾客，赢得市场，则每双运动鞋应降价（ ）
A．10元或20元 B．20元 C．5元 D．5元或10元
10．某渔具店销售一种鱼饵，每包成本价为10元，经市场调研发现：售价为20元时，
每天可销售40包，售价每上涨1元，销量将减少3包．如果想获利480元，设这种鱼饵的
售价上涨x元，根据题意可列方程为（ ）．
A． B．
C． D．
类型六、动态几何问题
11．如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分
别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的
速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm．(若一点到
达终点，另一点也随之停止运动)（ ）
A．2s或 s B．1s或 s C． s D．2s或 s
12．如图，将边长为12 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把ABC沿着AD
方向平移，得到 A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为32 cm2，则它移动的距离AA′等
于( ) △
A．4 cm B．8 cm C．6 cm D．4 cm或8 cm
类型七、其他问题
13．距考试还有20天的时间，为鼓舞干劲，老师要求班上每一名同学要给同组的其他同学写一份拼搏进取的留言，小明所在的小组共写了30份留言，该小组共有（ ）
A．7人 B．6人 C．5人 D．4人
14．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田
积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方
步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多x步，则下列符合题意的方
程是（ ）
A．(60 - x)x = 864 B． = 864
C．(60 + x)x = 864 D．(30 + x)(30 - x)= 864
二、填空题
类型一、传播问题
15．“泱泱华夏，浩浩千秋．于以求之？旸谷之东．山其何辉，韫卞和之美玉 ”这
是武汉女孩陈天羽用文言文写70周年阅兵式的观后感．小汀州同学把这篇气势磅礴、文采
飞扬的文章放到自己的微博上，并决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：
将文章发表在自己的微博上，再邀请 个好友转发，每个好友转发之后，又邀请 个互不
相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则
的值为________．
16．一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主
干、支干和小分支的总数是31，每个支干长出___个小分支．
类型二、增长率问题
17．某地区加大教育投入，2021年投入教育经费2000万元，以后每年逐步增长，预
计2023年，教育经费投入为2420万元，则该地区教育经费投入年平均增长率为______．
18．电影《长津湖之水门桥》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的
追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累
计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为___________．
类型三、与图形有关的问题
19．如图，若将图1正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则 与 数量关系是
______．20．如图，在矩形ABCD中， ，点E是AB上一点，且 ，连接
CE，点F是线段DC上一点，将 沿AF折叠，使得点D的对应点 落在线段CE上，
则DF的长度为___________．
类型四、数字问题
21．《念奴娇•赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑
间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，
千古风流数人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿
符．”若设这位风流人物去世的年龄十位数字为x，则可列方程为____．
22．已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上
的数字的平方和比这个两位数小4，设个位上的数字为 ，列出关于 的方程：______.
类型五、营销问题
23．商场某种商品进价为120元/件，售价130元/件时，每天可销售70件；售价单价
高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此，若销售单价为 __________元
时，商场每天盈利达1500元．
24．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利
4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多
植多少株？设每盆多植x株，则一株的盈利为 ________元，可列出的方程是
______________________．
类型六、动态几何问题
25．如图，将边长为4的正方形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平
移得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为3，则它移动的距离AA′等于 ___；移动的距离AA′等于 ___时，两个三角形重叠部分面积最大．
26．如图，在正方形 中， ，以B为圆心， 长为半径画弧，点E为弧
上一点， 于F，连接 ，若 ，则 的值为________．
类型七、其他问题
27．一个长方体包装盒的表面展开图如图所示，若此包装盒的容积为1500cm3，则该
长方体最短的棱的长为_________________cm．
28．从前有一人拿着竹竿进城，横拿竖拿都进不去，横着比城门宽 ，竖着比城门
高 ，一个聪明人告诉他沿着城门的两对角斜着拿杆，这个人试了试，不多不少刚好进
去了．你知道竹竿有多长吗？设竹竿的长为xm，请列出符合条件的方程______（要求化为
一般式）．
三、解答题
类型一、传播问题
29．R0，也叫基本传染数，或者基本再生数，英文为Basic reproduction number．更
确切的定义是：在没有外力介入，所有人都没有免疫力的情况下，一个感染某种传染病的
人，总共会传染给其他多少个人的平均数．最近，新型冠状病毒变异出德尔塔＋毒株，德
尔塔＋变异病毒的R0值极高．若1人患病，在无任何外力影响下经历两轮传染后共有73人感染．
(1)求德尔塔＋变异病毒的R0值；
(2)国家研制出新冠疫苗后发现，通过接种疫苗可以使得R0值随接种人数比例的增高
同步降低．例如，当疫苗全民接种率达到40%时，此时的R0值也下降40%．若有1人感染
德尔塔＋变异病毒，要在两轮内将总感染人数控制在7人以内，再加以隔离等措施的干涉，
就可控制住疫情，则全民接种率至少应该达到多少？
类型二、增长率问题
30．为进一步提高某届学生的阅读量，学校积极开展课外阅读活动，目标将该届学生
人均阅读量从刚上七年级的80万字增加到八年级结束时的115.2万字．
(1)求该届学生人均阅读量这两年中每年的平均增长率；
(2)若按这两年中每年的平均增长率增长，学校能否实现九年级结束时该届学生人均阅
读量达到140万字的目标，请计算说明．
类型三、与图形有关的问题
31．用适当的方法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
(3)如图，在一块长13m，宽7m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路
（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，若栽种花草的面积是 ，
则道路的宽应设计为多少m？
类型四、数字问题
32．根据题意，列出方程：（1）有一面积为 的长方形，将它的一边剪短 ，另一边剪短 ，恰好变成一
个正方形，这个正方形的边长是多少？
（2）三个连续数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？
类型五、营销问题
33．“农村特色产业规模化”是我市重点扶持的脱贫攻坚项目，我市某镇特色产业园
生产的“雪梨”以原价每千克10元对外销售，为了减少库存，同时回馈广大市民厚爱，决
定降价销售，经过两次降价后，售价为每千克8.1元．
(1)求平均每次降价的百分率；
(2)某超市计划从该特色产业园购进一批雪梨，由于购买量较大，特色产业园在每千克
8.1元的基础上决定再给予两种优惠方案．
方案一：不超过300千克的部分不打折，超过300千克的部分打九折；
方案二：每千克优惠0.51元
设该超市购进雪梨重量为x（千克）（ 千克），方案一费用为 （元），方案
二费用为 （元），
①直接写出 ， 与x的函数关系式；
②若超市选择方案一合算，试求超市购进雪梨重量情况．
类型六、动态几何问题
34．如图，矩形ABCD中，AB＝2 cm，BC＝3 cm，点E从点B沿BC以2 cm/s的速度
向点C移动，同时点F从点C沿CD以1 cm/s的速度向点D移动，当E，F两点中有一点
到达终点时，另一点也停止运动．当△AEF是以AF为底边的等腰三角形时，求点E运动
的时间．类型七、其他问题
35．如图，点P(a，a+2)是直角坐标系xOy中的一个动点，直线l：y＝2x+5与x轴，y
1
轴分别交于点A，B，直线l 经过点B和点(6，2)并与x轴交于点C．
2
(1)求直线l 的表达式及点C的坐标；
2
(2)点P会落在直线l：y＝2x+5上吗？说明原因；
1
(3)当点P在△ABC的内部时．
①求a的范围；
②是否存在点P，使得∠OPA＝90°？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说
明理由．参考答案
1．D
【分析】
设九年级（11）班有x人，根据每个同学都向其他同学赠送纪念品一件，全班共送出
纪念品1980件，可列方程求解．
解：设有x人，则
x（x-1）=1980
x=45或x=-44（舍去）．
即全班共有45人．
故选：D．
【点拨】本题考查理解题意的能力，关键是知道每人送出（x-1）件礼物，从而可得解．
2．C
【分析】
如果设每个支干分出x个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：
支干的数量为x个，小分支的数量为x⋅x=x2个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91
就可以列出方程．
解：依题意得支干的数量为x个，
小分支的数量为x⋅x=x2个，
根据题意可列出方程为：1+x+x2=91，
故选：C．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出的一元二次方程的知识，找到关键描述语，找
到等量关系是解决问题的关键．
3．B
【分析】设每年降低率为x，根据重度污染天数从2019年的36天降到2021年的25天建立方程
求解，再设需要n年重度污染天数首次不超过18天，根据题意列不等式，整理得出
，然后试值，即可解答．
解：设每年降低率为x，
则 ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去） ，
设再需要n年重度污染天数首次不超过18天，
∵ ，
∴ ，
当n=1时， ，
当n=2时， ，符合题意，
∴再经过两年重度污染天数首次不超过18天，该年份是2023年．
故选：B．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用-百分率问题，解题的关键根据题意建立方程
求出降低率．
4．D
【分析】
根据第一天的票房及增长率，即可得出第二天票房约4（1+x）亿元、第三天票房约4
（1+x）2亿元，根据三天后累计票房收入达36亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此
题得解．解：∵第一天票房约4亿元，且以后每天票房的增长率为x，
∴第二天票房约4（1+x）亿元，第三天票房约4（1+x）2亿元．
依题意得：4+4（1+x）+4（1+x）2=36．
故选：D．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元
二次方程是解题的关键．
5．C
【分析】
根据图中曲桥分布，列出方程即可；
解：如图，
将曲桥移至同一水平上可得，
故选：C
【点拨】本题主要考查一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键．
6．C
【分析】
根据题意表示出长方体的长与宽，进而表示出长方体的体积即可．
解：由题意可得：长方体的长为：15，宽为：(30-2x)÷2=15-x，
则根据题意，列出关于x的方程为：15(15-x)x=600
故选：C．
【点拨】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出长方体的棱长
是解题关键．
7．D
【分析】
本题首先用含 的式子表示某数的一半，继而表示某数的平方的 倍，最后按数量关系
列方程即可．
解：由已知得： 的一半为 ， 的平方的 倍为 ，则有： ．
故选：D．
【点拨】本题考查一元二次方程的实际应用，理清题意，按数量关系列式即可．
8．B
【分析】
本题通过完全平方公式将展开式进行还原，求解中间项当中尾项部分，继而平方与
32n建立等式方程求解本题．
解： = ，
根据完全平方公式的构成可得： ，
两边平方并求解该方程得： ．
故本题答案为B选项．
【点拨】本题考查完全平方公式的逆用，解题关键在于清楚完全平方展开式的每一项
构成，利用一一对应相等的原则即可解答本题．
9．B
【分析】
先设每双鞋应降价x元，根据平均每天售出的双数×每件盈利=每天销售利润，再列出
方程，求出x的值，再根据尽可能让利顾客，把不合题意的根舍去即可求出答案；
解：设每双鞋应降价x元，根据题意得：
（40-x）（20+2x）=1200，
解得x=20，x=10，
1 2
∵尽可能让利顾客， ∴x=20．
答：每双鞋应降价20元；
故选B
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，掌握“平均每天售出的件数×每件盈利=每
天销售的利润”是解题的关键．
10．C
【分析】
设这种鱼饵的售价上涨x元，则每包的销售利润为（20+x﹣10）元，每天可销售（40
﹣3x）包，利用每天的销售利润＝每包的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程即可．
解：设这种鱼饵的售价上涨x元，则每包的销售利润为（20+x﹣10）元，每天可销售
（40﹣3x）包，
依题意得：（20+x﹣10）（40﹣3x）＝480．
故选：C．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，列代数式，找准等量关系每天
的销售利润＝每包的销售利润×每天的销售量，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．D
【分析】
设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP=3xcm，
DQ=（16-2x）cm，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
解：设当P、Q两点从出发开始到xs时，点P和点Q的距离是10cm，此时
AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm，
根据题意得：（16-2x-3x）2+82=102，
解得：x=2，x= ，
1 2
答：当P、Q两点从出发开始到2s或 s时，点P和点Q的距离是10cm．
故选：D．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理找出关于x的
一元二次方程是解题的关键．
12．D
解：
设AA′=xcm，则A′D=（12－x）cm，∵正方形ABCD，∴∠D=90°，
AD=CD,∴∠DAC=45°，同理可证∠B′A′C′=45°，∵ A′B′C′由 ABC沿着AD方向平移得到，
∴A′B′⊥AD，∴∠A′EA=45°，∴∠B′A′C′=∠A′EA，△∴A′F∥EC△，∵A′E∥CF，∴四边形A′ECF
为平行四边形，所以SA′ECF= A′E×A′D=x（12－x）=32，解得x=4或8.
故选D.【点拨】遇到此类应用题一般要求什么我们就设什么，此题首先分析重叠部分图形是
何图形，若是规则图形，则根据公式法用所设未知数表示出重叠部分面积，若为不规则图
形，则可根据割补法用所设未知数表示出图形面积，从而列方程求解.
13．B
【分析】
设小组有x人，根据题意，得x(x-1)=30，解方程即可．
解：设小组有x人，根据题意，得
x(x-1)=30，
整理，得
，
解方程，得
(舍去)，
故选B．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程的应用是解题的关键．
14．B
【分析】
画图分析即可得，宽为 步，长为 步，根据面积关系即可得方程．
解：画图如下：
由图知：宽为 步，长为 步
则可得方程为： = 864
故选：B
【点拨】本题考查了一元二次方程的实际应用，弄懂题意并画图分析得到宽与长是关
键．15．10
【分析】
根据经过两轮转发有111个人参加了宣传活动，即可得出关于n的一元二次方程，解
之取其正值即可得出结论．
解：根据题意得：1+n+n2＝111，
整理得：n 2+n－110＝0，
解得：n＝10，n＝﹣11（不符合题意，舍去）
1 2
故答案为：10．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是
解题的关键．
16．5
【分析】
设每个支干长出x根小分支，则可表示出主干、支干和小分支的总数，由条件可列出
方程，可求得答案．
解：设每个支干长出x根小分支，
根据题意可得：1+x+x2＝31，
解得x＝5或x＝﹣6（不符合题意，舍去），
∴每个支干长出5根小分支，
故答案是：5．
【点拨】本题主要考查一元二次方程的应用，找出题目中的等量关系，列出方程是解
题的关键．
17．10%
【分析】
设年平均增长率为x，则经过两次变化后2023年的经费为2000(1+x)2，2023年投入教
育经费2420万元，建立方程2000(1+x)2=2420，求解即可．
解：设年平均增长率为x，由题意可得：2000(1+x)2=2420，
解得x=0.1=10%，或x=-2.1（不合题意舍去）．
所以2021年到2023年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%．
【点拨】本题考查一元二次方程的应用−−求平均变化率的方法，能够列出式子是解答
本题的关键．
18．【分析】
若把增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元，
根据三天后票房收入累计达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：若把增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2
亿元，
依题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2=10．
故答案为：：3+3（1+x）+3（1+x）2=10．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元
二次方程是解题的关键．
19．
【分析】
根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为(a+b)，右图是一个长方形，长、宽分别
为(b+a+b)、b，并且它们的面积相等，由此即可列出等式(a+b)2=b(b+a+b)，解方程即可求
出答案．
解：依题意得(a+b)2=b(b+a+b)，
整理得：a2+b2+2ab=2b2+ab，
则a2-b2+ab=0，
方程两边同时除以b2，
则 ，
解得： ，
∵ 不能为负，
∴ ，
∴ ，故答案为： ．
【点拨】此题主要考查了图形的剪拼，是一个信息题目．解题的关键是要正确理解题
目的意思，会根据题目隐含条件找到数量关系，最后利用数量关系列出方程解决问题
20．
【分析】
过D'作D'G⊥AB于G，D'H⊥AD于H，连结DD'，则由题意和勾股定理可以得到
HD'=AG=4，AH=3，DH=2，设DF=y，则由 可得关于y的方程，
解方程即可得到DF的值．
解：如图，过D'作D'G⊥AB于G，D'H⊥AD于H，连结DD'，
由题意可得EB=BC=5，
∴∠CEG=45°，
∴EG=GD'，设EG=GD'=x，
又由题意可得AD'=AD=5，AG=AE+EG=AB-BE+EG=1+x
∴在RT△AGD'中， ，
解之可得GD'=x=3，
∴HD'=AG=4，AH=3，DH=2，
设DF=y，
则由 可得：
，
解之可得y= ，即DF= ，故答案为： ．
【点拨】本题考查矩形的折叠问题，熟练掌握勾股定理的应用、矩形与轴对称的性质
及方程思想方法的运用是解题关键．
21．
【分析】
根据“十位恰小个位三，个位平方与寿符”以及 十位数字+各位数字=个位数字的
平方，据此列方程可得答案．
解：设这位风流人物去世的年龄十位数字为x，
则根据题意： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元
二次方程是解题的关键．
22．
【分析】
用x表示出十位上数，即可表示出这个两位数，再根据题目条件列出方程化简即可.
解：∵个位上的数字为 ，个位上的数字比十位上的数字小4
∴十位上的数字为
所以这个两位数为
∵个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4
∴
化简得
故答案为 .
【点拨】本题考查一元二次方程的应用——数字问题，解题的关键是正确的表示出这
个两位数，从而建立方程.
23．150或170##170或150
【分析】设涨价x元，根据单件利润=售价－进价、利润=单件利润×销售量列出一元二次方程，
然后解方程即可解答．
解：设涨价x元，根据题意得：（130+x－120）（70－x）=1500，
整理得：x2－60x+800=0，
解得：x=20，x=40，
1 2
所以销售单价为130+20=150元或130+40=170元，
故答案为：150或170．
【点拨】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出一元二次方程是解答的
关键．
24．
【分析】
根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x＋3）株，得出平均单株盈利为
（4−0.5x）元，由题意得（x＋3）（4−0.5x）＝15即可．
解：设每盆应该多植x株，则一株的盈利为（4−0.5x），由题意得
（3＋x）（4−0.5x）＝15，
故答案为：（4−0.5x），（3＋x）（4−0.5x）＝15．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利＝总盈
利得出方程是解题关键．
25． 1cm或3cm##3cm或1cm 2cm
【分析】
如图，设 交 于 交 于 证明四边形 是平行四边形，证明
是等腰直角三角形， 也是等腰直角三角形，设 cm，则
再利用面积公式建立方程，解方程即可，同时利用配方法求解面积最
大值时的平移距离.
解：如图，设 交 于 交 于
由平移的性质可得：四边形 是平行四边形，
由正方形 可得：
是等腰直角三角形，
同理： 也是等腰直角三角形，
设 cm，则
解得：
cm或 cm
重叠部分的面积为：
当 时，重叠部分的面积最大，最大面积为4cm2
所以当 cm时，重叠部分的面积最大.
故答案为：1cm或3cm；2cm
【点拨】本题考查的是正方形的性质，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定与
性质，一元二次方程的解法，配方法的应用，平移的性质，熟悉以上基础知识是解题的关
键.
26．2
【分析】
过E作EG⊥BC于G，连结BE，设EF=x，由EF⊥CD，四边形ABCD为正方形，可证
四边形EGCF为矩形，可求BG=4-x，在Rt△EBG中， EG= ，在Rt△EGC中，
CE= ，由EC-EF=2，可得 -x=2，移项两边平方得 ,解得 ,可求CE=
,从而求得CF=2 ．
解：过E作EG⊥BC于G，连结BE，
设EF=x，∵EF⊥CD，四边形ABCD为正方形，
∴∠EFC=∠FCG=∠EGC=90°，AB=BC=BE=4，
∴四边形EGCF为矩形，
∴EF=GC=x，EG=FC，
∴BG=4-x，
在Rt EBG中， EG=
△
在Rt EGC中，CE=
△
∵EC-EF=2，
∴ -x=2，
∴ =2+x，
两边平方得 ，
整理得 ，
解得 ，
∴CE= ，
∴CF=
故答案为：2 ．
【点拨】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，，掌握正方形的性
质。矩形的判定与性质，勾股定理，利用 构造方程是解题关键．
27．5
【分析】设地面长方体的长为x，长方体的高为y，根据体积公式可列方程，进而可解出x，y
的值，根据情况舍去即可．
解：设地面长方体的长为x，长方体的高为y，
由图可知： ，
则由②得： ，
将其代入②得： ，
则 ，
则 ，
解得： （舍去）或 ，
故答案为：5．
【点拨】本题考查长方体的体积公式，应用一元二次方程解决实际问题，能够根据题
意列出方程是解决本题的关键．
28．
【分析】
用竹竿表示出门框的边长，根据门框的边长的平方和等于竹竿的长的平方列方程即可．
解：设竹竿的长为x米．由题意得：
，
化简得：
故答案为：
【点拨】本题考查一元二次方程的应用，得到门框的边长和竹竿长的等量关系是解决
本题的关键．
29．(1)德尔塔＋变异病毒的R0值为8 (2)全民接种率至少应该达到75%
【分析】
（1）由已知列出方程，即可解得德尔塔变异病毒的 值；（2）根据已知列出不等式，即可解得答案．
(1)解：设R0值为x，根据题意得：
，解，得： （舍去）， ，
答：德尔塔＋变异病毒的R0值为8；
(2)解：设全民接种率至少应该达到 ，根据题意得：
，
令 ，则 ，
，解得 ，
即 ，
，
答：全民接种率至少应该达到 ．
【点拨】本题考查一元二次方程及不等式的应用，解题的关键是读懂题意，理解 的
意义，根据已知列方程（不等式）解决问题．
30．(1)20% (2)学校的目标不能实现，说明见分析
【分析】
（1）设每学期学生人均阅读量的平均增长率增长率为 ，根据题意可列出一元二次方
程求解得出答案；
（2）用 增长率），计算即可求解．
(1)解：设该届学生每学年学生人均阅读量的平均增长率为 ，根据题意得，
，
解得 （舍去）， ．
答：增长率为20%．
(2)按照（1）中的阅读量增长率，九年级的人均阅读量为 （万
字），
∵ ，∴学校的目标不能实现．
【点拨】本题考查了平均增长率和一元二次方程的应用，关键是掌握平均增长率的意
义．31．(1) (2) (3)道路的宽应设计为1米．
【分析】
（1）先把方程化为 ，再利用直接开平方的方法解方程即可；
（2）先求解根的判别式的值，再利用公式法解方程即可；
（3）把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的部分是一个长方
形，根据长方形的面积公式列方程即可．
(1)解：
或
解得：
(2)解：
则
所以
(3)解：设道路的宽应为x米，
由题意得， ．
整理得：
解得x=1或x=19．
经检验： 不符合题意，舍去，取
答：道路的宽应设计为1米．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的应用，矩形的定义，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是解本题的关键．
32．（1） ；（2）
【分析】
（1）设这个正方形的边长是 ，根据题意，得 ，化为一般
式即可；
（2）设三个连续整数依次为 ，根据题意，得
，化为一般式即可．
解：（1）设这个正方形的边长是 ，
根据题意，得
，
即 ；
（2）设三个连续整数依次为 ，
根据题意，得
，
即 ．
【点拨】本题主要考查一元二次方程的实际应用，属于基础题，根据题意准确列出等
式是解题关键．
33．(1)平均每次降价10%
(2)① ； ；②当所购雪梨重量超过810千克时，超市选择
方案一合算．
【分析】
（1）设平均每次降价的百分率为 ，利用经过两次降价后的价格＝原价× ，即
可得出关于 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出平均每次降价的百分率为
10%；（2）①设该超市购进雪梨重量为x（千克）（ 千克），根据题意即可解得答案；
②由题意若超市选择方案一合算可知，方案一的费用小于方案二费用，据此列不等式，
即可求解．
(1)解：设平均每次降价百分率为a．由题意，得：
．
解得 ， ．（舍去）
答：平均每次降价10%．
(2)解：①设该超市购进雪梨重量为x（千克）（ 千克），
方案一的费用为： （元），
方案二的费用为： （元）．
②由题意，得 ，
解得 ．
即当所购雪梨重量超过810千克时，超市选择方案一合算．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据题意，正确列出一元一次不等式．
34．（6－ ）s
【分析】
设点E运动的时间是x秒．根据题意可得方程，解方程即可得到结论．
解：设点E运动的时间是x s．
根据题意可得22＋（2x）2＝（3－2x）2＋x2，解这个方程得
x＝6－ ，x＝6＋ ，
1 2
∵3÷2＝1.5（s），2÷1＝2（s），
∴两点运动了1.5s后停止运动．
∴x＝6－ ．
答：当△AEF是以AF为底边的等腰三角形时，点E运动的时间是（6－ ）s．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，考查了矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理的运用．
35．(1)直线l 的表达式为y＝ x+5，点C的坐标为（10，0）
2
(2)点P会落在直线l：y＝2x+5上，理由见分析
1
(3)①a的取值范围为－2＜a＜2；②存在点P，使得∠OPA＝90°，此时点P的坐标
为（ ， ）
【分析】
（1）先求出点B得到坐标，再利用待定系数法求得直线l 的表达式，进而可求得点C
2
的坐标；
（2）将x＝a，y＝a+2代入y＝2x+5上，求得a＝－3，由此可得点P会落在直线l：y
1
＝2x+5上；
（3）①分别求得点P落在直线l 上以及点P在x轴上的a的值，由此可得a的取值范
2
围；
②假设存在，先利用两点间的距离公式分别表示出OP2＝a2+ (a+2)2，AP2＝(a+2.5)2+
(a+2)2，OA2＝2.52，再利用勾股定理列出方程求解即可．
(1)解：将x＝0代入y＝2x+5得：y＝5，
∴点B（0，5），
将y＝0代入y＝2x+5得：x＝－2.5，
∴点A（－2.5，0），
设直线l 的表达式为y＝kx+b，
2
将点B（0，5），点(6，2)代入y＝kx+b，
得： ，
解得： ，
∴直线l 的表达式为y＝ x+5，
2
将y＝0代入y＝ x+5得：x＝10，
∴点C的坐标为（10，0）；(2)解：点P会落在直线l：y＝2x+5上，
1
将x＝a，y＝a+2代入y＝2x+5上，
得：a+2＝2a+5，
解得：a＝－3，
∴当a＝－3时，点P(－3，－1)落在直线l：y＝2x+5上，
1
∴点P会落在直线l：y＝2x+5上；
1
(3)解：①若点P落在直线l 上，
2
将x＝a，y＝a+2代入y＝ x+5上，
得：a+2＝ a+5，
解得：a＝2，
∵点P坐标为(a，a+2)，
∴点P在直线y＝x+2上，
当y＝0时，x+2＝0，
解得：x＝－2，
∴直线y＝x+2与x轴的交点坐标为（－2，0），
∵－2＞－2.5符合题意，
∴当点P在△ABC的内部时，a的取值范围为－2＜a＜2；
②假设存在点P，使得∠OPA＝90°，
∵P(a，a+2)，A(－2.5，0)，O(0，0)，
∴OP2＝a2+ (a+2)2，AP2＝(a+2.5)2+ (a+2)2，OA2＝2.52，
∵∠OPA＝90°，
∴OP2＋AP2＝OA2，
∴a2+ (a+2)2＋(a+2.5)2+ (a+2)2＝2.52，
整理，得：4a2+ 13a+8＝0，
解得：a＝ ，a＝ ＜－2（不符合题意，舍去），
1 2
当a＝ 时，a+2＝ ，
∴存在点P，使得∠OPA＝90°，此时点P的坐标为（ ， ）．
【点拨】本题考查了待定系数法求函数关系式，勾股定理的应用以及一元二次方程的解法，熟练掌握勾股定理的应用以及一元二次方程的解法是解决本题的关键．
