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专题 21.27 解一元二次方程 39 题（拓展篇）（专项练习）
一、解答题
1．解方程：
2．解方程 ．
3．阅读下列材料：为解方程 可将方程变形为 然后设 ，
则 ，原方程化为 ①，解①得 ， ．当 时，
无意义，舍去；当 时， ，解得 ；∴原方程的解为 ， ；
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换
元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．
利用以上学习到的方法解下列方程：
（1） ； （2） ．
4．解方程 ．5．用适当方法解下列方程：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4）若 为整数， ；
6．解关于 的方程： ．
7．解方程：
(1) ； (2) ；
(3) ．
8．先阅读下面的内容，再解决问题
例题：若m +2mn+2n -6n+9=0，求m和n的值．
解：∵m +2mn+2n -6n+9=0∴m +2mn+n +n -6n+9=0
∴(m+n) +(n-3) =0
∴m+n=0，n-3=0
∴m=-3，n=3
问题（1）若x +2y -2xy-4y+4=0，求x 的值
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a +b =10a+8b-41，且c是△ABC中最长的边，
求c的取值范围．
9．阅读下列材料：
解方程：x4﹣6x2+5＝0．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣6y+5＝0…①，
解这个方程得：y＝1，y＝5．
1 2
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝5时，x2＝5，∴x＝±
所以原方程有四个根：x＝1，x＝﹣1，x＝ ，x＝﹣ ．
1 2 3 4
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
（1）解方程（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0时，若设y＝x2﹣x，则原方程可转化为
；求出x
（2）利用换元法解方程： ＝2．
10．解方程：11．解方程：
12．解方程： -2（x+1）=3
13．按要求解方程：
（1）直接开平方法： 4(t-3)2=9(2t-3)2 （2）配方法：2x2-7x-4=0
（3）公式法： 3x2+5(2x+1)=0 （4）因式分解法：3(x-5)2=2(5-x)
（5）abx2-(a2+b2)x+ab=0 (ab≠0) （6）用配方法求最值：6x2-x-12
14．（1）解方程组： （2）
15．已知 ，求 的值16．阅读理解：
解方程： ．
解：方程左边分解因式，得
，
解得 ， ， ．
问题解决：
（1）解方程： ．
（2）解方程： ．
（3）方程 的解为 ．
17．解方程
（1） （2）
（3） （4）
18．若实数a,b分别满足 和 ，求 的值19．用适当的方法解方程 ．
20．阅读材料：
在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转
化为一元二次方程来解．例如：
解方程：x2–3|x|+2=0．
解：设|x|=y，则原方程可化为：y2–3y+2=0．
解得：y=1，y=2．
1 2
当y=1时，|x|=1，∴x=±1；
当y=2时，|x|=2，∴x=±2．
∴原方程的解是：x=1，x=–1，x=2，x=–2．
1 2 3 4
上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：
(1)解方程：x4–10x2+9=0．
(2)解方程： – =1．
(3)若实数x满足x2+ –3x– =2，求x+ 的值．
21．解方程： .22．解方程： .
23．解方程：
24．已知最简二次根式 与 是同类二次根式，求关于 的一元二次方程
的解．
25．解方程 时，有一位同学解答如下：
这里 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
请你分析以上解答有无错误，如有错误，指出错误的地方，并写出正确的结果．
26．观察下列方程：① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ；…
上面每一个方程的二次项系数都是2，各个方程的解都不同，但每个方程 的值均为
1．
（1）请你写出两个方程，使每个方程的二次项系数都是2，且每个方程的 的值也
都是1，但每个方程的解与已知的5个方程的解都不相同．
（2）对于一般形式的一元二次方程 （a≠0， ≥0），能否作出一个新
方程 ，使 与 相等？若能，请写出所作的新的方程（ ，
需用a，b，c表示），并说明理由；若不能，也请说明理由．
27．解方程：
（ ） ． （ ） ．
28．解关于x的一元二次方程： ．
29．解方程：
(1)x(x＋8)＝16; (2)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.
30．已知最简二次根式 与 是同类二次根式，求关于x的方程（a﹣2）x2+2x﹣3=0的解．
31．解方程
（1）x2+4x﹣5＝0 （2）（x﹣3）（x+3）＝2x+6．
32．解方程：(x＋1)(x－1)＝2 x.
33．解方程：（3x+1）2=9x+3．
34．如果x2－4x+y2+6y+ +13=0，求（xy）z的值．
35．解方程：(x－2 013)(x－2 014)＝2 015×2 016．
36．解方程：6x4－35x3＋62x2－35x＋6＝0.
37．用适当的方法解方程(1) (2)
(3) (4)
38．解方程：
（1） （2）
39．解方程： ．
参考答案1．
【分析】
将原方程整理，移项，令 ，然后解关于t的一元二次方程，获得t的
值，代回原方程即可求解．
解：
移项，整理得：
令 ，原式变为
解得 ， （舍去）
∴ ，即
解得 ，
故答案为 ， ．
【点拨】本题考查了换元法解一元二次方程，问题的关键是令 ，然后
解关于t的一元二次方程，一定要注意舍去不合理的根．
2． ， ， ， ．
【分析】
将 化为 ，设 ，则原方程可化
为 ，解得 ， ，即： 或 ，分别求解即可
得到结果．
解：∵ ，
∴∴
设 ，则原方程可化为 ，
化简得：
∴
∴ ， ，
即： 或
解之得： ， ，或 ， ，
经检验， ， ， ， 都是原方程得解，
则原方程得解为： ， ， ， ．
【点拨】本题考查了换元法解分式方程和解一元二次方程，熟悉相关解法是解题的关键．
3．（1） ， ， ， ；（2） ， ．
【分析】
（1）根据阅读材料利用换元法降次，令 ，即原方程= ，求解即可．
（2）同理，令 ，即原方程= ，求解即可．
解：（1）设 ，
得： ，
解得： ， ．
当 时， ，解得： ，
当 时， ，解得： ， ．
∴原方程的解为 ， ， ， ．（2）设 ，则方程可变成 ，
∴ ，
， ．
当 时， ，所以无解．
当 时， ，
∴ ，
∴ ， ．
经检验 ， 是原方程的解．
【点拨】本题考查利用换元法解一元二次方程．利用整体换元把一些形式复杂的方程变成
一元二次方程，从而达到降次的目的是解答本题的关键．
4．
【分析】
把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得
，然后设 ，解得y
的值，最后解得x的值．
解：把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得
（x2+5x-14）（x2+5x+4）=19．
设 ，①
则（y-9）（y+9）=19，
即y2-81=19．
解得 ，将y、y 的值代入①式得，
1 2
或 ，解得 ．
【点拨】本题主要考查高次方程求解的问题，解决此类问题的关键是仔细观察方程中系数
之间的特殊关系，则可用换元法降次解之，此类题具有一定的难度，同学们解决时需要细
心．
5．（1） ， ；（2） ， ；（3） ；（4） ，
【分析】
（1）先把方程化为系数为整数的一元二次方程的一般形式，再用因式分解法解即可；
（2）根据两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，转化为两个一元一次方程，
解这两个一元一次方程即可；
（3）采用从外往里逐步去分母的方法，同时把其中系数为小数的数化为分数，最后变为系
数为整数的一元一次方程，解方程即可；
（4）逆用同底数幂的乘法及幂的乘方，转化为关于 的一元二次方程，用换元法解即可．
解：（1）原方程化简得：
分解因式得：
即2x－5=0或x－12=0
∴ ，
（2）由题意得：x－5=±(2x－7)
即x－5=2x－7或x－5=－（2x－7）
∴ ，
（3）方程两边同乘3，得：
即
方程两边同乘12，得：即
即
方程两边同乘4，得：
即114x=－149
即：
（4）原方程可化为：
设 ，则方程可化为：
即(X－16)(X－4)=0
∴ ，
当 时， ，
当 时， ，
即原方程的解为 ，
【点拨】本题是解一元二次方程、含绝对值的方程、一元一次方程及含指数的方程，题目
有一定的难度，重要的是转化思想及换元思想的应用．
6．当 时，方程的解为： 当
时，方程的解为： 当 时，方程无解.
【分析】
先把方程变形为 再分解因式可得
再分两种情况解一元二次方程即可.
解：把原方程变形为：解得： 或
当 时，则
当 时，即
方程的解为：
当 时，则
当 时，即
方程的解为：
综上：当 时，方程的解为：
当 时，方程的解为： 当 时，方程无解.
【点拨】本题考查的是利用因式分解法解高次方程，一元二次方程根的判别式的应用，熟
练的进行因式分解是解本题的关键.
7．(1) (2) 或 (3)
【分析】
（1）利用拆项分组的方法把左边分解因式，再化为一次方程即可；
（2）分四种情况去绝对值，化为一元一次方程，再解一元一次方程即可；
（3）先整理为关于 的一元二次方程，根据根的判别式求解 再代入原方程求解
即可.
(1)解：解得：
(2)解：
当 时，原方程为： 即
解得： 经检验符合题意；
当 时，原方程为： 即
解得： ，经检验不符合题意舍去，
当 时，原方程为： 即
解得： 经检验不符合题意，舍去，
当 时，原方程为： 即
解得： ，经检验符合题意；
综上：方程的解为 或
(3)解：
整理为：
则
所以原方程化为：
解得：所以方程的解为：
【点拨】本题考查的是利用因式分解解高次方程，分段去绝对值符号解绝对值方程，利用
一元二次方程根的判别式解二元二次方程，熟练的掌握解方程的合适的方法是解本题的关
键.
8．（1）4；（2）5≤c＜9．
【分析】
（1）将原式变形为x2-2xy+y2+y2-4y+4=0，得到：（x-y）2+（y-2）2=0，利用非负数的性质
求得x、y，从而确定代数式的值；
（2）根据a2+b2=10a+8b-41，可以求得a、b的值，由a，b，c为正整数且是 ABC的三边
长，c是 ABC的最长边，可以求得c的值，本题得以解决． △
解：（1）△∵x2+2y2-2xy-4y+4=0，
∴x2-2xy+y2+y2-4y+4=0
∴（x-y）2+（y-2）2=0
∴x-y=0，y-2=0
∴x=2，y=2
∴xy=22=4
（2）∵a2+b2=10a+8b-41，
∴a2-10a+25+b2-8b+16=0
∴（a-5）2+（b-4）2=0
∴a-5=0，b-4=0
∴a=5，b=4 ，
∵a，b，c是 ABC的三边，
∴c的取值为△：1＜c＜9
又∵c是 ABC中最长的边，且a=5
∴c的取△值为：5≤c＜9．
【点拨】本题考查配方法的应用、非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确
配方法和三角形三边的关系．
9．（1）y2﹣4y﹣12＝0，x＝-2，x＝3；（2）x＝1+ ，x＝1﹣
1 2 1 2
【分析】（1）直接代入得关于y的方程，然后进行计算，即可得到结果；
（2）设y= 把分式方程变形后求解，把解代入设中求出x的值．
解：（1）设y＝x2﹣x，原方程可变形为：y2﹣4y﹣12＝0
故答案为：y2﹣4y﹣12＝0 ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或
解得：x＝-2，x＝3．
1 2
（2）设y＝ ，则 ，
原方程变形为： ，
去分母，得y2﹣2y+1＝0，
即（y﹣1）2＝0
解得，y＝y＝1
1 2
经检验，y＝1是分式方程的根．
∴ ＝1，
即x2﹣2x﹣4＝0
解得：x＝1+ ，x＝1﹣ ．
1 2
经检验，1± 是分式方程的根．
∴原分式方程的解为：x＝1+ ，x＝1﹣ ．
1 2
【点拨】本题考查了一元二次方程、分式方程的解法．看懂题例理解换元法是关键．换元
法的一般步骤有：设元、换元、解元、还原几步．注意应用换元法解分式方程，注意验根．
10．当 时，原方程的解是 ，当 时，原方程无实数解
【分析】
先移项，再合并同类项可得 ，根据 求出 ，再讨论 时，，分别计算出方程的解.
解：移项得： ，
化简得： ，
，
，
当 时， ，
原方程无实数解，
当 时， ，
，
当 时，原方程的解是
当 时，原方程无实数解．
【点拨】此题考查解一元二次方程，根据每个方程的特点选择适合的解法是解题的关键.
11．原方程的解为 或
【分析】
令 ，将方程转化为 ，解出 或 ，再代回 中，即可
解答．
解：令 ，则原方程转化为： ，
整理得： ，
解得： 或 ，
经检验： 或 都是方程的根，
当 时，即 ，
去分母得： ，解得： 或经检验， 或 是方程 的根，
当 时， ，
去分母得： ，
整理得：
∵ ，
∴方程无解，
综上，原方程的解为 或 ．
【点拨】本题考查了利用换元法解分式方程，解题的关键是通过换元将方程转化为
．
12．
【分析】
先将 -2（x+1）=3化成 -2（x+1）-3=0,再将x+1当作一个整体运用因式分解
法求出x+1,最后求出x．
解：∵ -2（x+1）=3化成 -2（x+1）-3=0
∴（x+1-3）(x+1+1)=0
∴x+1-3=0或x+1+1=0
∴
【点拨】本题考查了一元二次方程的解法,掌握整体换元法是解答本题的关键．
13．（1） ；（2） ；（3） ；（4）
；（5） ；（6） 时，有最小值
【分析】
（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）等式两边同时除以2，然后移项，将常数项移到等式右边，左右两边同时加上一次项系数一半的平方，再开方求解即可；
（3）整理为一般式后，代入求根公式求解即可；
（4）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（5）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（6）将原式进行配方变形即可得出答案．
解：（1）4(t-3)2=9(2t-3)2
开方得： ，
∴ 或 ，
∴ ；
（2）2x2-7x-4=0
方程两边同时除以2得：
，
，
，
，
，
∴ ；
（3）3x2+5(2x+1)=0
方程整理为一般式为： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
（4）3(x-5)2=2(5-x)方程变形为： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（5）abx2-(a2+b2)x+ab=0
，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（6）6x2-x-12 ，
∴当 时，原式有最小值 ．
【点拨】本题考查的知识点是解一元二次方程，掌握解一元二次方程的多种方法是解此题
的关键．
14．（1） 或 ；（2） .
【分析】
（1）将方程组的第二个方程移项、两边平方求出 ，再代入第一个方程可求出y的值，
然后将y的最代入第二个方程可求出x的值，从而可得方程组的解；
（2）将原方程组的两个方程通过去括号、合并同类项变形可得一个二元一次方程组，再利
用加减消元法求解即可.
解：（1）
由②可得：两边平方化简得： ，即
代入①得： ，即
解得： 或
将 代入②得： ，解得：
将 代入②得： ，解得：
故原方程组的解为： 或 ；
（2）
去括号化简得： ，即
得： ，解得：
将 代入①得： ，解得：
故原方程组的解为 .
【点拨】本题考查了利用消元法解方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键.
15．
【分析】
根据一元二次方程跟与系数的关系可得：x+y=1，xy=-2，对代数式进行因式分解变形整体
代入即可.
解：根据题意得：
x+y=1，xy=-2
∴
∴【点拨】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及代数式的求值，能根据根与系数的
关系求出x与y的和与积，并能根据公式对算式进行分解变形是关键.
16．（1） ， ， ；（2） ， ， ，
；（3） ， ．
【分析】
（1）先分解因式，即可得出一元一次方程和一元二次方程，求出方程的解即可；
（2）先分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可；
（3）整理后分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可．
解：（1） ，
∴ ，
∴ ， ，
解得： ， ， ；
（2） ，
∴ ，
∴ ， ，
解得： ， ， ， ；（3） ，
整理得： ，
开方得： ，
∴ ， ，
解方程 得： ， ；
方程 中 ，此方程无解，
所以原方程的解为： ， ，
故答案为 ， ．
【点拨】本题考查了解高次方程，解一元二次方程，根的判别式等知识点，能把高次方向
转化成低次方程是解此题的关键．
17．
【分析】
(1) 方程变形后，利用平方根的定义开立方即可求出解;
(2) 把x-1看作一个整体，再把方程变形后，利用立方根的定义开立方即可求出解;
(3) 把x-2看作一个整体，在利用平方根的定义开方即可求出解;
(4) 根据立方根的定义解答即可;
解：（1）∵36x2-16=0，
∴36x2=16，
∴ ;
（2）∵ ,∴ ,
∴ ,
∴ .
（3）∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ .
（4）∵ ;
∴ ;
∴ .
【点拨】本题考查了平方根、立方根的定义．
18．
【分析】
把a、b看作方程 的两个根，根据根与系数的关系得到 ，得出
，利用二次根式的性质化简，然后利用整体代入的方法进行计算即可.
解：∵实数a,b分别满足 和
∴a、b看作方程 的两个根，
∴
∴∴
【点拨】本题主要考查根与系数的关系以及二次根式的化简求值，难度较大，熟练掌握相
关知识点是解题关键.
19． ．
试题分析：先移项，再因式分解后，变为ab=0，解方程即可.
解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
20．(1)x=±1或x=±3；(2)x=1或x=– ；(3)x+ =4．
【分析】
（1）设x2=a，则原方程可化为a2–10a+9=0，解方程求得a的值，再求x的值即可；（2）
设 =m，则原方程可化为m– =1，即m2–m–2=0，解方程求得m的值，再求x的值，
检验后即可求得分式方程的解；（3）设x+ =y，则原方程可化为y2–3y–4=0，解方程求得
y的值，即可求得x+ 的值．
解：（1）设x2=a，则原方程可化为a2–10a+9=0，
即（a–1）（a–9）=0，
解得：a=1或a=9，
当a=1时，x2=1，∴x=±1；当a=9时，x2=9，∴x=±3；
（2）设 =m，则原方程可化为m– =1，即m2–m–2=0，
∴（m+1）（m–2）=0，
解得：m=–1或m=2，
当m=–1时， =–1，即x2+x+1=0，由Δ=1–4×1×1=–3＜0知此时方程无解；
当m=2时， =2，即2x2–x–1=0，解得：x=1或x=– ，
经检验x=1和x=– 都是原分式方程的解；
（3）设x+ =y，则原方程可化为：y2–2–3y=2，即y2–3y–4=0，
∴（y+1）（y–4）=0，
解得：y=–1或y=4，
即x+ =–1（方程无解，舍去）或x+ =4，
故x+ =4．
【点拨】本题考查了整体换元法，整体换元法是我们常用的一种解题方法，在已知或者未
知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变
形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的
目的．
21． 或 ．
【分析】
利用换元法，根据方程的特点设 ，则原方程可化为 ，解方程求y，
再求x即可.
解：设 ，则原方程可化为
解得 ，或 ．
当 时， ，解得 , .当 时， ，方程无解．
经检验 , 都是原方程的根，
∴原方程的根是 , .
【点拨】本题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一
种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要
验根
22． 或 ．
【分析】
根据方程的特点用完全平方公式将分式化为 ，设 ，原方程化
为 解一元二次方程求y，再求x即可.
解： .
，
，
设 ，原方程化为
解得 ， .
当 时， ，方程无解，后者解得 或 ．
当 时， ，解得 或 ．
经检验： 或 都是原方程的根，
∴原方程的根是 , .
【点拨】本题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要
验根．
23．x＝－1.
【分析】
设 ，用完全平方公式将方程化为关于y的一元二次方程，求出方程的解得到y的
值，即为 的值，进而求出x的值，将x的值代入原方程进行检验，即可得到原分式方
程的解．
解：设 ，则 ，
原方程化成 ，
解这个方程，得 ， ，
当y＝1时， =1，即 ．由 知，此方程无实根，
当y＝－2时， ，即 ，
解得
经检验，x＝－1是原分式方程的解.
原方程的解为x＝－1.
【点拨】此题考查了换元法方程，关键是利用 进行转化，进而设
，将原方程转化为一元二次方程．
24． 或
【分析】
先求出a的值，再代入求出方程的解即可.
解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴ ，解得 或 ，当 时， ，化简得 ，解得 或 ，
当 时，两个二次根式不是最简二次根式故舍弃.
故答案为： 或 .
【点拨】本题主要考查了同类二次根式及因式分解法，解题的关键是正确的求出a的值.
25．见解析.
【分析】
这位同学没有把方程化为一般式就使用了求根公式，导致c的值错误，整个解题错误.
解：有错误，错误的原因是没有将方程化为一般形式，c应为 ，结果是 ．
【点拨】本题考查了公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程公式法应用的前提是解决
此题的关键.
26．（1）答案不唯一，如 ；（2）能，见解析.
【分析】
（1）先根据已知条件每个方程的二次项系数都是2，且每个方程的 的值也都是1，
但每个方程的解与已知的5个方程的解都不相同这个条件，再根据根的判别式即可求出答
案.
（2）根据（1）可得出一个新方程 ，使 与 相等.
解：（1）答案不唯一，如
；
（2）能，所作的新方程为
．
通过观察可以发现 ．
【点拨】本题主要考查了根的判别式，解题时要找出规律，得出新的方程是此题的关键.
27．(1) ， ．(2) ， ．
解：分析：（1）先移项，化为一元二次方程的一般式，然后根据公式法求解即可；
（2）根据因式分解法把方程化为ab=0的形式进行解答即可.（ ） ．
解：原式可化为 ，
，
∴ ，
∴ ， ．
（ ） ．
解： ，
，
∴ ， ．
【点拨】此题主要考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点合理选择：直接开平方法，
配方法，公式法，因式分解法解方程是解题关键.
28． ，
解：由 得， ，
因式分解，得 ，即 ，
于是得 或 ，解得 ， ．
29．(1)x＝－4＋4 ，x＝－4－4 ；(2)x＝2，x＝4.
1 2 1 2
分析：（1）先把方程化为一般式，然后确定a、b、c，然后利用公式法求解；
（2）先把方程化为一般式，然后根据因式分解法解方程即可.
解：(1)x(x＋8)＝16;
x2+8x-16=0
∵a=1，b=8，c=-16
∴△=b2-4ac=128＞0∴x=
=
=-4±2
即x＝－4＋4 ，x＝－4－4
1 2
(2)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7
4x2-4x+1=3x2+2x-7
x2-6x+8=0
（x-2）（x-4）=0
x-2=0或x-4=0
∴x＝2，x＝4.
1 2
【点拨】此题主要考查了一元二次方程的解法，关键是先化简方程为一般式，然后选择公
式法、配方法、因式分解法、直接开平方法求解即可.
30．x=1、x=﹣3或x= ．
整体分析：
由同类二次根式的定义求出a的值，再把a的值代入到方程(a﹣2)x2+2x﹣3=0中求解.
解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴a2﹣a=4a﹣6，
解得：a=2或a=3，
当a=2时，关于x的方程为2x﹣3=0，
解得：x= ，
当a=3时，关于x的方程为x2+2x﹣3=0，
解得；x=1，x=﹣3，
∴关于x的方程(a﹣2)x2+2x﹣3=0的解是x=1、x=﹣3或x= ．
31．（1）x=1或x=﹣5；（2）x=﹣3或x=5．试题分析：（1）根据因式分解—十字相乘法，分解因式后，由ab=0的性质求解即可；
（2）通过移项，添括号，构成能因式分解的一元二次方程，因式分解后由ab=0的性质求
解即可.
解：（1）∵x2+4x﹣5=0，
∴（x﹣1）（x+5）=0，
则x﹣1=0或x+5=0，
解得：x=1或x=﹣5；
（2）∵（x﹣3）（x+3）﹣2（x+3）=0，
∴（x+3）（x﹣5）=0，
则x+3=0或x﹣5=0，
解得：x=﹣3或x=5．
32．x＝ ＋ ，x＝ － .
1 2
试题解析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.
解：(x＋1)(x－1)＝2 x
x2-2 x-1=0
∵a=1，b=- ，c=-1
∴△=b2-4ac=8+4=12＞0
∴x= = ±
∴x＝ ＋ ，x＝ － .
1 2
33．x1=﹣ ，x2= ．
试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.
解：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，
分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，
可得3x+1=0或3x﹣2=0，
解得：x1=﹣ ，x2= ．【点拨】此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，
然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择
即可.
34．（xy）z= .
试题分析：
观察分析可知，原式可化为： ，即：
，由此可求得“三个未知数”的值，再代入式子： 中计算
即可.
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴ .
【点拨】象本题这种一个方程中含有多个“未知数”的情形，通常需先把原方程转化为：
几个非负数的和等于0的形式；然后根据“几个非负数的和为0，则这几个数都为0”列出
方程组就可求出未知数的值.
35．原方程的解为x＝4 029，x＝－2．
1 2
【分析】
根据题意结合等式的性质可分情况讨论，将方程转化为两个方程组，方程组
或 ，然后分别解方程组即可求解．
解：由题意得：方程组 的解一定是原方程的解，解得x＝4 029，
方程组 的解也一定是原方程的解，解得x＝－2，
∵原方程最多有两个实数解，
∴原方程的解为x＝4 029，x＝－2．
1 2
36．原方程的解为x＝2，x＝ ，x＝3，x＝ .
1 2 3 4
解：本题主要考查利用整体换元法解高次方程,先将方程两边同时除以x2，得6x2－35x＋62
－ ＋ ＝0,然后分组提公因式可得: 6 －35 ＋62＝0,此时设
y＝ , 则 ＝y2－2,原方程可化为: 6(y2－2)－35y＋62＝0,解方程求出y,然后把求出
的y值代入y＝ ,得到关于x的方程,然后解方程即可求解.
经验证x＝0不是方程的根，原方程两边同除以x2，得6x2－35x＋62－ ＋ ＝0，
即6 －35 ＋62＝0.
设y＝ ，则 ＝y2－2，
原方程可变为6(y2－2)－35y＋62＝0.
解得y1＝ ，y2＝ .
当 ＝ 时，解得x1＝2，x2＝ ；
当 ＝ 时，解得x3＝3，x4＝ .
经检验，均符合题意．
原方程的解为x＝2，x＝ ，x＝3，x＝ .
1 2 3 437．（1） ；（2） ；（3） ；（4）
=试题分析：根据一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，因式分解法，公式法直
接求解即可.
解：（1）
x-1=±6
；
（2）
（x+7）（x+1）=0
；
（3）
移项得
；
（4）
移项得
（x-4+5-2x）（x-4-5+2x）=0
解得
38．(1) (2) ；
解：（1）利用一般式求出a、b、c的值，代入根的判别式判断方程的解的情况，然后用公
式法其解即可；
（2）根据完全平方公式因式分解，然后可求解.
试题解析：(1)解：a=3
∴
即
（2）
解：
∴ ；
39．x= 或x=1
【分析】
设 ，则原方程变形为y2-2y-3=0, 解这个一元二次方程求y，再求x．
解：设 ，则原方程变形为y2-2y-3=0．
解这个方程，得y=-1,y=3,
1 2
∴ 或 ．
解得x= 或x=1．
经检验：x= 或x=1都是原方程的解．
∴原方程的解是x= 或x=1．
【点拨】考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方
法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．
