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专题 21.28 可化为一元二次方程的分式方程专题
（专项练习）
一、解答题
1．下列哪些是分式方程？哪些是可化为一元二次方程的分式方程？
（1） （2）
（3） （4）
2．解方程： ．
3．解方程：
（1） （2）
4．解方程：
(1) ； (2)4x2－8x+1＝0．5．解方程
（1） （2）
6．解方程：
(1) (2) ．
7．解方程：
(1)x2+6x＝﹣1（配方法） (2)
8．解方程：
（1） ； （2） ．
9．解方程：
(1)解方程：x2－6x＋9＝（2x－1）2 (2)化简： ．10．解方程（组）：
(1) (2)
11．解方程：
(1) ； (2) ．
12．
（1）计算： ；（2）解不等式组： ；
（3）解方程： ； （4）解方程：x2﹣4x+4＝3x﹣6．
13．解分式方程：
14．解方程： ．15．解分式方程： ＝3．
16．解方程 ．
17．解方程：
(1) －6x－4＝0 (2)x－ ＝ +1
18．解方程：
(1) (2)
19．解方程：
(1) (2)
(3) (4)20．解分式方程
21．解方程(组)：
(1) (2) ；
(3)x(x－7)＝8(7－x).
22．解方程：
(1) ； (2) ．
23．解方程： .
24．解方程：25．解方程： ．
26．解方程
(1) (2)x2＋4x－1＝0
27．解方程：
（1） ； （2） ．
28．解方程：
（1） （2）
（3）
29．解方程：
（1）（x﹣1）（x+3）＝2x+4； （2） ＝0．
30．解方程：（1） ； （2）x2﹣4x+2＝0；
（3）x（x﹣1）＝2（1﹣x）．
31．解方程：
（1） ； （2） ．
（3） ．
32．（1）化简： （2）解方程：
33．计算题
（1）分解因式：x3﹣2x2y+xy2； （2）解不等式组：
；
（3）解方程： 1； （4）解方程：x（2x+1）＝8x﹣3．参考答案
1．（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程．
【分析】
按照分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．逐一判断，去分母后
再来判断是否能化成一元二次方程．
解：（1） 是分式方程，去分母可转化为3x+3=2，不是一元二次方程，
（2） 是分式方程，去分母可转化为3x=x-1，不是一元二次方程，
（3） 是分式，不是分式方程，
（4） 是分式方程，去分母可转化为x2+x=2，是可化为一元二次方程
的分式方程，
∴（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程．
【点拨】本题考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程；熟练
掌握分式方程的定义是解题的关键．
2．x=- ，x=3．
1 2
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分
式方程的解．
解：去分母得：2x(x-1)=3(x+1)，
整理得：2x2-5x-3=0，即(2x+1)(x-3)=0，
解得：x=- ，x=3，
1 2
检验：把x=- ，x=3代入得：（x+1）（x-1）≠0，
1 2
∴x=- ，x=3都是方程的解．
1 2
【点拨】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，利用了转化的思想，解分式方程
注意要检验．
3．（1） ；（2）无解【分析】
先去分母，把分式方程转化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可．
解：（1）去分母，得 ，
整理，得 ，
解得 ， ，
经检验， 是原方程的根， 是增根，
故原方程的根为 ．
（2）去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，合并同类项，得 ，
检验：把 代入 ，
所以此方程无解．
【点拨】本题考查了解分式方程，解题关键是熟练运用分式方程的解法进行求解，注
意：分式方程要检验．
4．(1) (2)
【分析】
（1）去分母，合并同类项，即可解出；
（2）先配方，再求解
(1)解：去分母得，
去括号得，
(2)解：原方程变为，或
【点拨】本题考查分式方程和一元二次方程的解法，掌握去分母、配方是本题关键．
5．（1） ；（2）
【分析】
（1）把分式方程转化为整式方程，即可求解，再验根即可．
（2）两边同乘以最简公分母 ，即可把分式方程转化为整式方程，即可求
解，再验根即可．
解：（1） ，
，
，
两边同时乘以 得：
，
，
，
经检验 是原方程的根．
（2） ，
，
两边同乘以 得：，
，
，
，
，
或 ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
经检验 是原方程的根．
【点拨】本题考查求解分式方程，一元二次方程．把分式方程转化为整式方程是解题
关键，且需要注意验根．
6．(1) ， (2)x＝
【分析】
（1）首先把常数项夫－3移项后，在方程左右两边同时加上一次项系数－4的一半的
平方，配方完成后，开方求解即可求得答案；
（2）首先去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程，求得答案，再检验即可．
(1)解：
∴∴ ，
(2)解：
方程两边同乘以（x+1）（x﹣1）得：
（x+1）2﹣3＝（x+1）（x﹣1），
整理得：x2+2x+1﹣3＝x2﹣1，
解得：x＝ ，
检验，当x＝ 时，（x+1）（x﹣1）＝（ +1）（ ﹣1）≠0，
∴x＝ 是原方程的解．
【点拨】此题考查了配方法解一元二次方程与分式方程的求解方法．解题的关键是注
意配方法的步骤与分式方程需检验．
7．(1)x＝﹣3+2 ，x＝﹣3﹣2 (2)x＝﹣4
1 2
【分析】
（1）利用配方法求出解即可；
（2）按照解分式方程的步骤进行计算即可解答．
(1)解：配方得：x2+6x+9＝8，
即（x+3）2＝8，
开方得：x+3＝±2 ，
所以x＝﹣3+2 ，x＝﹣3﹣2 ；
1 2
(2)
解：方程两边都乘（x+1）（x-1），
得6-（x+1）（x-1）=3（x+1），
解得：x=-4或x=1，
检验：当x=1时，（x+1）（x-1）=0，所以x=1是原方程的增根，
当x=-4时，（x+1）（x-1）≠0，所以x=-4是原方程的解，
即原方程的解是x=-4．【点拨】此题考查了解一元二次方程-配方法，解分式方程，能把分式方程转化成整式
方程是解（2）的关键．
8．（1） ， ；（2）
【分析】
（1）按配方法解一元二次方程即可；
（2）按照去分母，去括号，移项、合并同类项并系数化为1的步骤解分式方程，并对
结果进行检验．
解：（1） ，
，
，
，
∴ ， ；
（2）解： ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项并系数化为1，得 ，
经检验， 是该方程的解．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程及分式方程的解法，熟练掌握一元二次方程与
分式方程的解题方法和步骤是解题关键．
9．(1) ， (2)
【分析】
（1）先对方程进行变形，用因式分解法解方程即可；
（2）先根据异分母分式相加减对括号中的分式进行运算，然后用分式除法法则进行运
算即可．
(1)x2－6x＋9＝（2x－1）2解：方程可变为： ，
移项得： ，
因式分解得： ，
∴ 或 ，
解得： ， ．
(2)
．
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程和分式混合运算，选择合适的方法解一元二
次方程是解题的关键．
10．(1) (2)
【分析】
（1）方程两边同时乘以 ，然后解整式方程即可，
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间
找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：(1)
解得
经检验， 是原方程的根， 是原方程的增根方程的解为
(2)
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式的解集为：
【点拨】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，解一元一次不等式组，正确的计
算是解题的关键．
11．(1) ， (2) ，
【分析】
（ 1）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（ 2）整理后求出 的值，再代入公式求出答案即可．
解：(1) ，
，
，
，
或 ，
解得： ， ；
(2) ，
，
，
这里 ， ， ，
，
，解得： ， ．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，能够选择适当的方法解方程是解此题的关键，
注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
12．（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【分析】
（1）先根据绝对值的性质，二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂化简，再合并，
即可求解；
（2）先分别求出两个不等式，即可求解；
（3）先去分母化为整式方程，解出整式方程，然后检验，即可求解；
（4）先将方程整理为一般式，再利用因式分解法解答，即可求解．
解：（1）
；
（2）
解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
所以不等式组的解集为 ；
（3）
两边同时乘以 ，得： ，
解得： ，
检验：当 时， ，
所以原方程的解为 ；（4）x2﹣4x+4＝3x﹣6
整理得： ，
所以 ，
解得： ．
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，分式方程，一元一次不等式组，二次根式
混合运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
13．x=4
【分析】
两边都乘以x2-4化为整式方程求解，然后验根即可．
解： ，
两边都乘以x2-4，得
2(x-2)-4x=-(x2-4)，
x2-2x-8=0，
(x+2)(x-4)=0，
x=-2，x=4，
1 2
检验：当x=-2时，x2-4=0，
当x=4时，x2-4≠0，
∴x=4是原分式方程的根．
【点拨】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最
简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．
14．x＝4或x＝1．
【分析】
设y＝ ，方程变形为：y﹣ ＝1，将分式方程转化为整式方程，再解方程，注意
结果要进行检验．
解： ，
整理，可得设y＝ ，
方程变形为：y﹣ ＝1，
去分母得：y2﹣y﹣2＝0，
即（y﹣2）（y+1）＝0，
解得：y＝2或y＝﹣1，
∴ ＝2或 =-1，
解得：x＝4或x＝1，
经检验x＝4或x＝1都为分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝4或x＝1．
【点拨】本题考查解分式方程，因式分解法解一元二次方程，应用换元法解方程，掌
握解分式方程的步骤是解题关键，特别注意：分式方程结果要进行检验．
15．x＝ ，x＝
1 2
【分析】
观察可得最简公分母是12x（2x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化
为整式方程求解．
解：方程的两边同乘12x（2x﹣1），得
24x2+5（2x﹣1）＝36x（2x﹣1），
整理，得48x2﹣46x+5＝0，
即
解得x＝ ，x＝ ，
1 2
检验：当x＝ 或 时，x（2x﹣1）≠0．
即原方程的解为：x＝ ，x＝ ．
1 2
【点拨】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．
16．
【分析】根据解分式方程的步骤，去分母，去括号，移项，合并同类项，因式分解法解一元二
次方程，再检验即可．
解： ，
去分母，得x-2+4=-x2+4，
移项，合并同类项，得x2+x-2=0，
即(x+2)(x-1)=0，
则x=-2，x=1．
1 2
经检验， 是原分式方程的增根， 是分式方程的解，
所以 ．
【点拨】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．注意：
解分式方程时要检验．
17．(1) ， (2)x=7
【分析】
（1）用一元二次方程的求根公式求解即可；
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、把系数化为1，即可求得方程的解．
解：(1)∵
∴
即 ，
解：(2)去分母得：
去括号得：
移项得：
合并同类项得：x=7
【点拨】本题考查了解一元一次方程及解二元一次方程，解二元一次方程时，要根据
方程的特点灵活选取解方程的方法．
18．(1) (2) ，
【分析】（1）将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意结果要进行检验；
（2）原方程化简后，使用配方法解一元二次方程．
解：(1)
方程两边都乘以 ，得
解得 ．
检验：当 时，
所以 是原分式方程的解
解：(2)
整理，可得：
x2+2x+1=2+1，
，
【点拨】本题考查解分式方程，解一元二次方程，掌握解分式方程的步骤，能选择适
当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方
法、公式法、配方法、因式分解法．
19．(1) (2) (3) (4)
【分析】
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）方程左边利用完全平方公式变形，再直接开平方即得出两个一元一次方程，求解
即可；
（3）方程整理，再利用因式分解法解方程即可；（4）将分式方程改为整式方程，再根据公式法求一元二次方程的解，最后检验即可．
(1)解：
∴ ；
(2)解：
整理，得：
∴ 或
∴ ；
(3)解：
整理，得：
∴ ；
(4)解：
方程两边同时乘 ，得： ，
整理，得：
∴ ，
经检验 是原分式方程的根，
∴原方程的解为 ．
【点拨】本题考查解一元二次方程和解分式方程，掌握解一元二次方程和解分式方程
的步骤和方法是解题关键．
20．x=3
【分析】将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程求出解并检验即可．
解：
化为整式方程得 ，
整理得 ，
解得 ，
检验：当x=3时，x+1 0；当x=-1时，x+1=0，
∴原分式方程的解是x=3．
【点拨】此题考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的法则及步骤是解题的关键．
21．(1) (2)x＝－ (3)x＝7，x＝－8
1 2
【分析】
（1）根据代入消元法，可得方程组的解；
（2）根据等式的性质，化为整式方程，根据解整式方程，可得答案；
（3）先移项，再提公因式，再求解即可．
(1)
解：由①，得y＝3x＋4③
将③代入②，得x－2(3x＋4)＝－3，
解得x＝－1，
将x＝－1代入③，
解得y＝1.
所以原方程组的解为 ；
(2) ；
解：方程两边都乘(x＋1)(x－1)，
得(x－1)2－3＝(x＋1)(x－1)，
解得x＝－ .经检验，x＝－ 是原方程的解．
(3)x(x－7)＝8(7－x).
解：原方程可变形为x(x－7)＋8(x－7)＝0，
(x－7)(x＋8)＝0.
x－7＝0，或x＋8＝0.
∴x＝7，x＝－8.
1 2
【点拨】本题考查了解二元一次方程组、分式方程及一元二次方程，利用等式的性质
得出整式方程是解题关键，要检验分时方程的根．
22．(1) ； (2)
【分析】
(1)利用因式分解法求方程的根．
(2)化成整式方程，计算，注意验根．
解：(1) ，
因式分解，得
，
解得 ； ，
故方程的两个根为 ； ．
解：(2) ，
去分母，得
，
解得 ，
经检验， 是原方程的根．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，分式方程的解法，熟练选择正确的解法是
解题的关键．23．x=
【分析】
观察可得最简公分母是（x+1）（x-1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转
化为整式方程求解．
解：因式分解得：
方程的两边同乘（x+1）（x-1），得：
整理得 ，
因式分解得：
解得 ．
检验：把x=1代入（x+1）（x-1）=0，x=1是增根，
把x= 代入（x+1）（x-1）≠0．
∴原方程的解为：x= ．
【点拨】本题考查了分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，
把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
24．y=2
【分析】
利用平方法整理方程，进而再根据因式分解法求一元二次方程的解．
解：
∴
两边进行平方，得
∴（y-2）（y+1）=0解得y=2，y=-1
1 2
又3-y≥0，y-1≥0
∴1≤y≤3
∴ y=2
综上可知∶ y=2
【点拨】本题考查了平方法解方程，利用因式分解法求一元二次方程的解，二次根式
有意义的条件．
25．
【分析】
由去分母、去括号、移项合并，求出分式方程的解，然后进行检验，即可得到答案．
解： ，
去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项合并，得： ，
整理得： ，
解得： ， ；
检验：当 时， ，则 是增根；当 时， ；
∴原分式方程的解为 ．
【点拨】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤，正确地进行
解题，注意解分式方程需要检验．
26．(1) (2) ，
【分析】
（1）确定方程最简公分母后，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方
程求解；
（2）利用配方法求解即可．
(1)解：（1）方程两边同乘 得： ，
整理得： ，经检验 是原方程的根；
(2)解： ，
，
，即 ，
，
， ．
【点拨】本题主要考查解分式方程、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方
程和分式方程的方法是解题的关键．
27．（1） ， ；（2）无解．
【分析】
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）去分母将分式方程化为整式方程，解方程，检验即可．
解：（1） ，
，
，
， ；
（2）去分母得， ，
解得 ，
检验：当 时， ，
∴ 是方程的增根，
所以，原分式方程无解．
【点拨】本题考查用配方法解一元二次方程，分式方程的解法，掌握用配方法解一元
二次方程，分式方程的解法与步骤是解题关键．
28．（1）原方程无解；（2） ， ；（3） ， ．【分析】
（1） 方程两边都乘以公分母得 ，解方程得 检验分母为零即
可；
（2）因式分解得 分别解每一个一元一次方程即可；
（3）先因式分解 在分别解每一个一元一次方程即可．
解：（1） ，
方程两边都乘以 得 ，
整理得 ，
解得 ，
当 时， ，
∴ 时原方程的增根，
∴原方程无解；
（2） ，
因式分解得 ，
当 ，解得 ，
当 ，解得 ；
∴方程的解为 ， ；
（3） ，
，
，
，当 ，解得 ，
当 ，解得 ．
∴方程的解为 ， ．
【点拨】本题考查可化为一元一次方程的分式方程与一元二次方程的解法，掌握可化
为一元一次方程的分式方程与一元二次方程的解法与步骤是解题关键．
29．（1）x＝ ，x＝﹣ ；（2）原分式方程无解
1 2
【分析】
（1）先将方程整理成一般式，再利用直接开平方法求解即可；
（2）两边都乘以x（x﹣1），将分式方程化为整式方程，再进一步求解即可．
解：（1）整理，得：x2﹣7＝0，
∴x2＝7，
则x＝± ，
即x＝ ，x＝﹣ ；
1 2
（2）两边都乘以x（x﹣1），得：2x2﹣4x+3＝0，
∵Δ＝（﹣4）2﹣4×2×3＝﹣8＜0，
∴方程无解，
故原分式方程无解．
【点拨】此题考查计算能力：解一元二次方程，解分式方程，正确掌握各自的特点及
解法是解题的关键．
30．（1） ；（2） ；（3）
【分析】
（1）根据解分式方程的步骤求解即可；
（2）根据配方法解一元二次方程；
（3）根据因式分解法解一元二次方程．
解：（1）
两边同乘以最简公分母 ，得：解得：
当 时，
所以 是原方程的解；
（2）x2﹣4x+2＝0
解得 ；
（3）x（x﹣1）＝2（1﹣x）
解得 ．
【点拨】本题考查了解分式方程，配方法和因式分解法解一元二次方程，正确的计算
是解题的关键．
31．（1） ;（2） ；（3）
【分析】
（1）根据直接开平方法解方程；
（2）利用配方法解方程；
（3）根据分式方程的步骤化简为整式方程，再解一元二次方程．
解：（1）
解得
（2）解得：
（3）
去分母得：
解得：
当 时，
当 时，
原方程的根为
【点拨】本题考查了解一元二次方程，解分式方程，掌握解方程的方法是解题的关键．
32．（1）1；（2）x=1
【分析】
（1）直接利用分式的性质化简即可得到答案；
（2）先利用平方差公式去分母，然后利用因式分解的方法解方程即可.
解：（1）
；（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，
经检验 是方程的增根，故 不符合题意；
经检验 是方程的根，
∴ .
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程和解分式方程，解题的关键在于能够熟练掌
握相关知识进行求解.
33．（1）x（x﹣y）2；（2）﹣1≤x＜2；（3）x＝3；（4）x ，x＝3．
1 2
【分析】
（1）先提公因式x，再利用完全平方公式分解即可；
（2）根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组
的解集即可．
（3）根据解分式方程的步骤依次计算可得．
（4）先将方程整理成一般形式，再运用因式分解法转化为两个一元一次方程求解．
解：（1）原式＝x（x2﹣2xy+y2）＝x（x﹣y）2；
（2）
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
（3）两边都乘以（x+1）（x﹣1），得：x（x+1）＝4+（x+1）（x﹣1），
解得：x＝3，经检验x＝3是分式方程的解．
（4）将方程整理，得2x2-7x+3＝0，
将方程左边因式分解，得（2x-1）（x﹣3）＝0，
所以2x-1＝0或x﹣3＝0，
所以x ，x＝3．
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【点拨】本题主要考查解分式方程、解不等式组、一元二次方程及因式分解，熟练掌
握解运算法则是解题的关键．
