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专题 21.29 《一元二次方程》全章复习与巩固（知识讲解）
【学习目标】
1.了解一元二次方程及有关概念；
2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；
3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．
【知识要点】
要点一、一元二次方程的有关概念
1. 一元二次方程的概念：
通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方
程，叫做一元二次方程．
2. 一元二次方程的一般式：
3.一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次
方程的根.
特别说明：
判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一
元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为 0，看是否具备另两个条件：①
一个未知数；②未知数的最高次数为2.
对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数
不为0．
要点二、一元二次方程的解法
1．基本思想
降次
一元二次方程 一元一次方程
2．基本解法
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
特别说明：
解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法
和因式分解法，再考虑用公式法．
要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1.一元二次方程根的判别式
ax2 bxc 0(a 0) b2 4ac
一 元 二 次 方 程 中 ， 叫 做 一 元 二 次 方 程
ax2 bxc 0(a 0) 的根的判别式，通常用“”来表示，即 b2 4ac
（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；
（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.
2.一元二次方程的根与系数的关系
ax2 bxc 0(a 0) x，x
如果一元二次方程 的两个实数根是 1 2，
b c
x x x x
那么 1 2 a ， 1 2 a .
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
特别说明：
1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决
以下问题：
(1)不解方程判定方程根的情况；
(2)根据参系数的性质确定根的范围；
(3)解与根有关的证明题．
2. 一元二次方程根与系数的应用很多：
(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；
(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；
(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．
要点四、列一元二次方程解应用题
1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；
二是把握问题中的等量关系；
三是正确求解方程并检验解的合理性.
2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
3.解决应用题的一般步骤：
审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；
解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；
答 (写出答案，切忌答非所问).
4.常见应用题型
数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.
特别说明：
列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解
决而获得对实际问题的解决.
【典型例题】
类型一、一元二次方程的有关概念
1、已知关于 的一元二次方程 ．若方程有一个根的平方
等于9，求 的值．
【答案】1或-5
【分析】根据题意，该方程的根可能是 或 ，分类讨论，把x的值代入原方程求出
m的值．
解：∵方程有一个根的平方等于9，
∴这个根可能是 或 ，
当 ，则 ，解得 ，
当 ，则 ，解得 ，
综上：m的值是1或-5．
【点拨】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是掌握一元二次方程的根的定义．举一反三：
【变式1】如果方程 与方程 有且只有一个公共根，求a的值．
【答案】-2
【分析】有且只有一个公共根，建立方程便可求解了．
解： 有且只有一个公共根
∵
∴
∴∵当a=-1时两个方程完全相同，故a≠-1，
∴
∴当 时，代入第一个方程可得
1-a+1=0
解得：
【点拨】本题考查根与系数的关系，关键在于有一个公共根的理解，从而建立方程，
求得根．
【变式2】 已知x＝1是一元二次方程ax2＋bx－40＝0的一个根，且a≠b，求
的值.
【答案】20
【分析】先根据一元二次方程的解得到a+b=40，然后把原式进行化简得到=
（a+b），再利用整体代入的方法计算；
解：把x=1代入方程得a+b-40=0，即a+b=40，
所以原式=
类型二、一元二次方程的解法
2、用适当的方法解下列方程：
(1)x2－x－1＝0； (2)3x(x－2)＝x－2；(3)x2－2 x＋1＝0； (4)(x＋8)(x＋1)＝－12．
【答案】(1) ， (2)x＝ ，x＝2
1 2
(3)x＝ ，x＝ (4)x＝－4，x＝－5
1 2 1 2
【分析】
（1）利用公式法解答，即可求解；
（2）利用因式分解法解答，即可求解；
（3）利用配方法解答，即可求解；
（4）利用因式分解法解答，即可求解．
(1)解： a＝1，b＝－1，c＝－1
∴b2－4ac＝（－1）2－4×1×（－1）＝5
∴x＝ ＝
即原方程的根为x＝ ，x＝
1 2
(2)解：移项，得3x（x－2）－（x－2）＝0，
即（3x－1）（x－2）＝0，
∴x＝ ，x＝2．
1 2
(3)解：配方，得（x－ ）2＝1，
∴x－ ＝±1．
∴x＝ ＋1，x＝ －1．
1 2
(4)解：原方程可化为x2＋9x＋20＝0，
即（x＋4）（x＋5）＝0，
∴x＝－4，x＝－5．
1 2
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关
键．举一反三：
【变式1】 用指定方法解下列方程：
(1)2x2-5x+1＝0(公式法)； (2)x2-8x+1＝0(配方法)．
【答案】(1)x＝ ，x＝ (2)x＝4+ ，x＝4-
1 2 1 2
【分析】
（1）根据公式法，可得方程的解；
（2）根据配方法，可得方程的解．
(1)解：∵a＝2，b＝-5，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝(-5)2-4×2×1＝17，
∴x＝ ，
∴x＝ ，x＝ ．
1 2
(2)解：移项得 ，
并配方，得 ，
即(x-4)2＝15，
两边开平方，得x＝4± ，
∴x＝4+ ，x＝4- ．
1 2
【点拨】本题考查了解一元二次方程，配方法解一元二次方程的关键是配方，利用公
式法解方程要利用根的判别式．
【变式2】用适当的方法解方程：
① ②
（用配方法解）
③ ．
④ ．【答案】① ， ； ② ， ；
③ ， ； ④ ， ．
【分析】
①利用因式分解法解方程；
②利用配方法得到 ，然后利用直接开平方法解方程；
③先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；
④先移项得到 ，然后利用因式分解法解方程．
解：① ，
或 ，
所以 ， ；
② ，
，
，
所以 ， ；
③ ，
，
或 ，
所以 ， ；
④ ，
，
或 ，
所以 ， ．【点拨】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把
左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，
这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转
化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．
类型三、一元二次方程根的判别式的应用
3、已知：关于x的方程x2﹣（k＋2）x＋2k＝0
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求
△ABC的周长．
【答案】（1）见分析；（2）5
【分析】
（1）把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出△≥0，可得方程总
有实数根；
（2）根据等腰三角形的性质分情况讨论求出b、c的长，并根据三角形三边关系检验，
综合后求出△ABC的周长．
（1）解：由题意知：Δ＝（k+2）2﹣4•2k＝（k﹣2）2，
∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，
∴无论取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：当b＝c时，Δ＝（k﹣2）2＝0，则k＝2，
方程化为x2﹣4x+4＝0，解得x＝x＝2，
1 2
∴△ABC的周长＝2+2+1＝5；
当b＝a＝1或c＝a＝1时，
把x＝1代入方程得1﹣（k+2）+2k＝0，解得k＝1，
方程化为x2﹣3x+2＝0，解得x＝1，x＝2，
1 2
不符合三角形三边的关系，此情况舍去，
∴△ABC的周长为5．
【点拨】本题考查了根的判别式△＝b2－4ac：①当△＞0时，方程有两个不相等的实
数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程没有实数根．也考查
了等腰三角形的性质以及三角形三边的关系．
举一反三：
【变式1】 已知关于x的一元二次方程x2+x＝k．（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围；
（2）当k＝6时，求方程的实数根．
【答案】（1）k＞﹣ ；（2）x＝﹣3，x＝2．
1 2
【分析】
（1）根据判别式的意义得 =12-4×1（-k）=1+4k＞0，然后解不等式即可；
（2）利用因式分解法解一△元二次方程即可．
解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＝12﹣4×1（﹣k）＝1+4k＞0，
解得：k＞﹣ ；
（2）把k＝6代入原方程得：x2+x＝6，
整理得：x2+x﹣6＝0，
分解因式得：（x+3）（x﹣2）＝0，
解得：x＝﹣3，x＝2．
1 2
【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac
有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实
数根；当Δ＜0时，方程无实数根；也考查了解一元二次方程．
【变式2】已知关于x的方程x2-（3k+1）x+2k2+2k=0，
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根．
（2）若等腰 ABC的一边长为a=6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此
三角形的周长． △
【答案】（1）见分析；（2）16或22
【分析】
（1）先计算判别式，将结果写成完全平方形式，再根据判别式的意义得出结论．
（2）运用求根公式得到方程的两个根，根据等腰三角形性质，将两个根代入计算，分
情况讨论求出等腰三角形的周长．
解：（1）证明：=[-(3k+1)]2-4×1×(2k2+2k)
=k2-2k+1
=( k-1)2，
∵无论k取什么实数值，(k-1)2≥0，
∴≥0，所以无论k取什么实数值，方程总有实数根；
（2）x2-(3k+1)x+2k2+2k=0，
因式分解得：(x-2k)( x-k-1)=0，
解得：x=2k，x=k+1，
1 2
b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b=2k，c=k+1，
分三种情况讨论：
第一种情况：
∵若c为等腰三角形的底边，a、b为腰，则a=b=2k=6，
∴k=3，c=k+1，
∴c=4，
检验：a+b＞c，，a+c＞b，b+c＞a，a-b＜c，a-c＜b，b-c＜a，
∴a=b=6，c=4，可以构成等腰三角形，
此时等腰三角形的周长为：6+6+4=16；
第二种情况：
∵若b为等腰三角形的底边，a、c为腰，则a=c=k+1=6，
∴k=5，b=2k，
∴b=10，
检验：a+b＞c，，a+c＞b，b+c＞a，b-a＜c，a-c＜b，b-c＜a，
∴a=c=6，b=10，可以构成等腰三角形，
此时等腰三角形的周长为：6+6+10=22；
第三种情况：
∵若a为等腰三角形的底边，b、c为腰，则b=c，
∴即：2k=k+1，解得k=1，
∴a=6，b=2，c=2，
检验：b+c＜a，
∴a=6，b=2，c=2，不能构成等腰三角形；
综上，等腰三角形的周长为16或22．
【点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别式，本题第二问，根据一元二次方程根
的情况求参数，分类讨论是解题关键．
类型四、一元二次方程的根与系数的关系
4、关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ，．
（1）求实数m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使得 成立？如果存在，求出m的值：如果不存
在，请说明理由．
【答案】（1）m＜1；（2）m=-1
【分析】
（1）由方程有两个不相等的实数根，那么△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，
解之即可得出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系即可得出x+x=-2（m-1），x•x=m2-1，由条件可得出关于
1 2 1 2
m的方程，解之即可得出m的值．
解：（1）∵方程x2+2（m-1）x+m2-1=0有两个不相等的实数根x，x．
1 2
∴△=4（m-1）2-4（m2-1）=-8m+8＞0，
∴m<1；
（2）∵原方程的两个实数根为x、x，
1 2
∴x+x=-2（m-1），x•x=m2-1．
1 2 1 2
∵x2+x2=16+xx
1 2 1 2
∴(x+x)2＝16+3xx，
1 2 1 2
∴4（m-1）2=16+3（m2-1），
解得：m=-1，m=9，
1 2
∵m＜1，
∴m=9舍去，
2
即m=-1．
【点拨】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程
有两个不相等的实数根找出根与系数的关系；（2）根据根与系数的关系得出m的值，注
意不能忽视判别式应满足的条件．
举一反三：
【变式1】 关于x的一元二次方程x2－（k－3）x－2k＋2＝0
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的两根分别为x，x，且x＋x＋xx＝2，求k的值．
1 2 1 2 1 2
【答案】(1)见分析(2)-3【分析】
（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出Δ=（k+1）2≥0，由此可证出方程总有两
个实数根；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x+x=k-3，xx=-2k+2，再将它们
1 2 1 2
代入x+x+xx=2，即可求出k的值．
1 2 1 2
(1)证明：∵Δ=b2-4ac
=[-（k-3）]2-4×1×（-2k+2）
=k2+2k+1
=（k+1）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
(2)解：由根与系数关系得x+x=k-3，xx=-2k+2，
1 2 1 2
∵x+x+xx=2，
1 2 1 2
∴k-3+（-2k+2）=2，
解得k=-3．
【点拨】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式和根与系数的关系的应用，
用到的知识点：（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0 方程有两个相等的
⇔ ⇔
实数根；（3）Δ＜0 方程没有实数根；（4）x+x=- ，x•x= ．
1 2 1 2
⇔
【变式2】已知x，x 是关于x的一元二次方程x2-4mx+4m2-9＝0的两实数根．
1 2
(1)若这个方程有一个根为-1，求m的值；
(2)若这个方程的一个根大于-1，另一个根小于-1，求m的取值范围；
(3)已知Rt△ABC的一边长为7，x，x 恰好是此三角形的另外两边的边长，求m的值．
1 2
【答案】(1)m的值为1或-2(2)-2＜m＜1(3)m＝ 或m＝
【分析】
（1）把x=-1代入方程，列出m的一元二次方程，求出m的值；
（2）首先用m表示出方程的两根，然后列出m的不等式组，求出m的取值范围；
（3）首先用m表示出方程的两根，分直角△ABC的斜边长为7或2m+3,根据勾股定理
求出m的值.
(1)解：∵x，x 是一元二次方程x2-4mx+4m2-9＝0的两实数根，这个方程有一个根
1 2
为-1，∴将x＝-1代入方程x2-4mx+4m2-9＝0，得1+4m+4m2-9＝0．
解得m＝1或m＝-2．
∴m的值为1或-2．
(2)解：∵x2-4mx+4m2＝9，
∴(x-2m)2＝9，即x-2m＝±3．
∴x＝2m+3，x＝2m-3．
1 2
∵2m+3＞2m-3，
∴
解得-2＜m＜1．
∴m的取值范围是-2＜m＜1．
(3)解：由(2)可知方程x2-4mx+4m2-9＝0的两根分别为2m+3，2m-3．
若Rt△ABC的斜边长为7，
则有49＝(2m+3)2+(2m-3)2．
解得m＝± ．
∵边长必须是正数，
∴m＝ ．
若斜边为2m+3，则(2m+3)2＝(2m-3)2+72．
解得m＝ ．
综上所述，m＝ 或m＝ ．
【点拨】本题主要考查了根的判别式与根与系数的关系的知识，解答本题的关键是熟
练掌握根与系数关系以及根的判别式的知识，此题难度一般.
类型五、一元二次方程的实际应用
5、水果批发市场有一种高档水果，如果每千克盈利(毛利)10元，每天可售出
600kg．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20kg．
(1)若以每千克能盈利17元的单价出售，求每天的总毛利润为多少元；
(2)现市场要保证每天总毛利润为7500元，同时又要使顾客得到实惠，求每千克应涨
价多少元；
(3)现需按毛利润的10%缴纳各种税费，人工费每日按销售量每千克支出1.5元，水电
房租费每日300元．若每天剩下的总纯利润要达到6000元，求每千克应涨价多少元．
【答案】(1)每天的总毛利润为7820元；(2)每千克应涨价5元；
(3)每千克应涨价15元或 元
【分析】
（1）设每千克盈利x元，可售y千克，由此求得关于y与x的函数解析式，进一步代
入求得答案即可；
（2）利用每千克的盈利×销售的千克数＝总利润，列出方程解答即可；
（3）利用每天总毛利润﹣税费﹣人工费﹣水电房租费＝每天总纯利润，列出方程解答
即可．
(1)解：设每千克盈利x元，可售y千克，
设y=kx+b，
则当x＝10时，y＝600，
当x＝11时，y＝600﹣20＝580，
由题意得， ，
解得 ．
所以销量y与盈利x元之间的关系为y＝﹣20x+800，
当x＝17时，y＝460，
则每天的毛利润为17×460＝7820元；
(2)解：设每千克盈利x元，由（1）可得销量为（﹣20x+800）千克，
由题意得x（﹣20x+800）＝7500，
解得：x＝25，x＝15，
1 2
∵要使得顾客得到实惠，应选x＝15，
∴每千克应涨价15﹣10＝5元；(3)解：设每千克盈利x元，
由题意得x（﹣20x+800）﹣10%x（﹣20x+800）﹣1.5（﹣20x+800）﹣300＝
6000，
解得：x＝25，x ，
1 2
则每千克应涨价25﹣10＝15元或 10 元．
【点拨】此题主要一元二次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系，理解销售问
题中的基本关系是解决问题的关键．
举一反三：
【变式1】 如图所示，有一面积为150m2的的长方形养鸡场，鸡场边靠墙(墙长18米)，
另三边用竹篱笆围成．如果竹篱笆的长为35m，求鸡场长和宽各是多少?
【答案】鸡场的长与宽各为15m，10m．
【分析】设养鸡场的宽为xm，则长为（35﹣2x）m，列出一元二次方程计算即可；
解：设养鸡场的宽为xm，则长为（35﹣2x）m，
由题意得，x（35﹣2x）＝150，
解这个方程：x＝7.5，x＝10，
1 2
当养鸡场的宽为 x＝7.5 时，养鸡场的长为20m不符合题意，应舍去，
1
当养鸡场的宽为x＝10m时，养鸡场的长为15m，
2
答：鸡场的长与宽各为15m，10m．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确计算是解题的关键．
【变式2】 年春节期间，新型冠状病毒肆虐，突如其来的疫情让大多数人不能外
出，网络销售成为这个时期最重要的一种销售方式．某乡镇贸易公司因此开设了一家网店，
销售当地某种农产品．已知该农产品成本为每千克 元．调查发现，每天销售量 与
销售单价 (元)满足如图所示的函数关系(其中 )．写出 与 之间的函数关系式．
当销售单价 为多少元时，每天的销售利润可达到 元？
【答案】（1） ；（2）当销售单价为 元时，每天的销售利润可达到
元．
【分析】
（1）设函数解析式为 ，根据题意：销售单价为10元时，销售量为600kg，销
售单价为40元时，销售量为150kg，代入熟知求得k、b的值即可求得解析式；
（2）每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以销售量列式求解．
解：（1）根据题意：
销售单价为10元时，销售量为600kg，
销售单价为40元时，销售量为150kg，
设 与 之间的函数关系式为： ，
则可得： ，
解得： ，
∴ 与 之间的函数关系式为： ；
（2）根据题意可知每天的销售利润为：
解得： ；
答：当销售单价为 元时，每天的销售利润可达到 元．【点拨】本题主要考查一次函数的实际应用，以及二次函数的实际应用，结合属性结
合的思想求出一次函数解析式，以及明确每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以销售
量是解题的关键．
类型六、一元二次方程的几何应用
6、已知：如图所示，在 中， ， ， ，点P从点
A开始沿AB边向点B以 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以 的速
度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后， 的面积等于 ？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于 ？
（3） 的面积能否等于 ？请说明理由．
【答案】（1）1秒；（2）3秒；（3）不能，理由见分析
【分析】
（1）设P、Q分别从A、B两点出发，x秒后，AP=xcm，PB=（5-x）cm，
BQ=2xcm，则△PBQ的面积等于 ×2x（5-x），令该式等于4，列出方程求出符合题意的
解；
（2）利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）看△PBQ的面积能否等于7cm2，只需令 ×2t（5-t）=7，化简该方程后，判断该
方程的 与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以．
解：（1）设经过x秒以后， 面积为 ，此时 ， ， ，
由 得 ，
整理得： ，
解得： 或 舍 ，
答：1秒后 的面积等于 ；
（2）设经过t秒后，PQ的长度等于
由 ，
即 ，
解得：t=3或-1(舍)，
∴3秒后，PQ的长度为 ；
（3）假设经过t秒后， 的面积等于 ，
即 ， ，
整理得： ，
由于 ，
则原方程没有实数根，
∴ 的面积不能等于 ．
【点拨】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系
列出方程求解，判断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该
方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．
举一反三：
【变式1】 已知：如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点
P，Q分别从A，C同时出发，点P以3cm/S的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q
以2cm/S的速度向点D移动
（1）P，Q两点从出发点出发几秒时，四边形PBCQ面积为33cm²
（2）P，Q两点从出发点出发几秒时，P，Q间的距离是为10cm．【答案】（1）5秒；（2）P，Q两点出发 秒或 秒时，点P和点Q的距离是
10cm．
【分析】
当运动时间为t秒时，PB=（16-3t）cm，CQ=2tcm．
（1）利用梯形的面积公式结合四边形PBCQ的面积为33cm2，即可得出关于t的一元
一次方程，解之即可得出结论；
（2）过点Q作QM⊥AB于点M，则PM=|16-5t|cm，QM=6cm，利用勾股定理结合
PQ=10cm，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
解：当运动时间为t秒时，PB=（16-3t）cm，CQ=2tcm．
（1）依题意，得： ×（16-3t+2t）×6=33，
解得：t=5．
答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
（2）过点Q作QM⊥AB于点M，如图所示．
∵PM=PB-CQ=|16-5t|cm，QM=6cm，
∴PQ2=PM2+QM2，即102=（16-5t）2+62，
解得：t= ，t= ．
1 2
答：P，Q两点出发 秒或 秒时，点P和点Q的距离是10cm．【点拨】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：
（1）根据梯形的面积公式，找出关于t的一元一次方程；（2）利用勾股定理，找出关于t
的一元二次方程．
【变式2】在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A沿边AB向点B以1
cm/s的速度移动；同时点Q从点B沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动，设运动时间为t
s．问：
(1)几秒后△PBQ的面积等于8 cm2?
(2)是否存在t，使△PDQ的面积等于26 cm2?
【答案】(1)2秒或4秒后 PBQ的面积等于8 cm2；(2)不存在t，使△PDQ的面积等于
26 cm2. △
【分析】
（1）设x秒后△PBQ的面积等于8cm 2，用含x的代数式分别表示出PB，QB的长，
再利用△PBQ的面积等于8列式求值即可；
（2）假设存在t使得△PDQ面积为26cm 2，根据△PDQ的面积等于26cm 2列式计算
即可．
解：(1)设x秒后△PBQ的面积等于8 cm2.
∵AP＝x，QB＝2x.∴PB＝6－x. ∴ (6－x)·2x＝8，
解得x＝2，x＝4，
1 2
故2秒或4秒后△PBQ的面积等于8 cm2.
(2)假设存在t使得△PDQ的面积为26 cm2，
则72－6t－t(6－t)－3(12－2t)＝26，
整理得，t2－6t＋10＝0，
∵Δ＝36－4×1×10＝－4＜0， ∴原方程无解，
∴不存在t，使△PDQ的面积等于26 cm2.
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，表示出 PBQ的的两条直角边长是解决本
题的突破点;用到的知识点为:直角三角形的面积=两直角△边积的一半.本题也考查了矩形的性质和割补法求图形的面积.
类型七、一元二次方程的拓展应用
6、关于 的一元二次方程 的一个根是2，另一个根 ．
（1）若直线 经过点 ， ，求直线 的解析式；
（2）在平面直角坐标系中画出直线 的图象， 是 轴上一动点，是否存在点 ，
使 是直角三角形，若存在，直接写出点 坐标，若不存在，说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在，点P的坐标为 或 ．
【分析】
（1）将x=2代入方程求出k=8，根据根与系数的关系求出 =4，设直线AB的解析式
为y=kx+b（ ），利用待定系数法求出解析式；
（2）分情况求解：第一种：AB是斜边，∠APB＝90°，得到点P与原点O重合；第二
种：设AB是直角边，点B为直角顶点，即∠ABP＝90°，设P的坐标为（x，0），根据
， ， 解得x=-8，求出点P的坐标；第三种：设
AB是直角边，点A为直角顶点，即∠BAP＝90°，由点P是x轴上的动点，得到∠BAP＞
90°，情况不存在.
解：（1）当x=2时，方程为 ，解得k=8，
∵2+ =6，
∴一元二次方程为 的另一个根 =4.
设直线AB的解析式为y=kx+b（ ），
∵直线AB经过点A（2，0），B（0，4），
∴ ，
解得k=-2，b=4，
直线AB的解析式：y=-2x+4；
（2）第一种：AB是斜边，∠APB＝90°，∵∠AOB＝90°，
∴当点P与原点O重合时，∠APB＝90°，
∴当点P的坐标为（0，0），△ABP是直角三角形.
第二种：设AB是直角边，点B为直角顶点，即∠ABP＝90°，
∵线段AB在第一象限，
∴这时点P在x轴负半轴.
设P的坐标为（x，0），
∵A（2，0）， B（0，4），
∴OA＝2，OB＝4，OP＝-x，
∴ ，
，
.
∵ ，
∴ ，
解得x=-8，
∴当点P的坐标为（―8，0），△ABP是直角三角形.
第三种：设AB是直角边，点A为直角顶点，即∠BAP＝90°.
∵点A在x轴上，点P是x轴上的动点，
∴∠BAP＞90°，
∴∠BAP＝90°的情况不存在．
∴当点P的坐标为（―8，0）或（0，0）时，△ABP是直角三角形.
【点拨】此题考查待定系数法求函数解析式，一元二次方程的解，一元二次方程根与
系数的关系式，直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论问题的解题方法是解题的关键.举一反三：
【变式1】 阅读下面材料：
一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么
这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母 表示，我们可以
用公式 来计算等差数列的和．（公式中的n表示数的个数，a表示第一
个数的值，）
例如：3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝10×3＋ ×2＝120．
用上面的知识解决下列问题．
（1）计算：2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116
（2）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从2009年起在坡荒地上植树造林，以后每年
植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，下表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地
面积的统计数据．问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木．
2009年 2010年 2011年 2012年
植树后坡荒地的实际面积（公顷） 25 200 24 000 22 400 20400
【答案】（1）1180；（2）到2017年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．
【分析】
（1）根据题意，由公式 来计算等差数列的和，即可得到答案；
（2）根据题意，设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．列出方程，解方
程即可得到答案．
解：（1）由题意，得
， ， ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．根据题意，得
1200x+ ×400＝25200，
整理得：（x﹣9）（x+14）＝0，∴x＝9或x＝﹣14（负值舍去）．
∴2009+9-1=2017；
答：到2017年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，以及计算等差数列的和
公式，解题的关键是熟练掌握题意，正确找出等量关系，列出方程进行解题．
【变式2】阅读下列材料，回答问题.
关于x的方程 的解是 ； 的解是 ； 的解是 ；
(即 )的解是 .
(1)请观察上述方程与其解的特征，x的方程 与上述方程有什么关系？
猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证.
(2)由上述的观察、比较、猜想、验证，可得到以下结论：如果方程的左边是一个未知
数倒数的a倍与这个未知数的 的和等于2，那么这个方程的解是x=a.请用这个结论解关于
x的方程： .
【答案】(1)普遍形式， ．(2) .
【分析】
①观察一系列方程的解得出一般性规律，即可得到所求方程的解；
②方程变形后，利用得出的规律即可求出解．
解：（1）由已知中，
的解是 ，
的解是 ，
的解是 ，
的解是 ．归纳可得方程 的解是 ，
将 代入得：
左边 ，
故 是方程 的解，
（2） 可化为： ，
由（1）中结论可得 ，
即 ，
【点拨】此题考查了分式方程的解，属于规律型试题，弄清题中的规律是解本题的关
键．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的
相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．
