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专题 21.2 一元二次方程（基础篇）（专项练习）
一、单选题
知识点一、一元二次方程的定义
1．下列是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程，是一元二次方程的是（ ）
A． ＝0 B． ＝1 C．x2＋y2＝1 D．x2＝1
3．关于 的方程 是一元二次方程，则 满足（ ）
A． B． C． D． 为任意实数
4．若方程（m﹣2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．±2 B．+2 C．﹣2 D．以上都不对
知识点二、一元二次方程的一般形式
5．一元二次方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，1，5 B．2，1，－5 C．2，0，－5 D．2，0，5
6．关于x的方程 中，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3，－2 B．3，4 C．3，－4 D．－4，－2
7．把一元二次方程 化为一般形式，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．把一元二次方程 化成一般形式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
知识点三、一元二次方程的解
9．若关于 的一元二次方程 的一个根是2，则 的值为（ ）
A．2 B．3 C．12 D．5
10．已知 是方程 的一个解，则 的值为（ ）A．10 B．－10 C．2 D．－40
11．若 是关于 的一元二次方程 的解，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
12．a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式﹣3a2﹣3a+2021的值是（ ）
A．2018 B．2019 C．2021 D．2022
二、填空题
知识点一、一元二次方程的定义
13．只含有__________个未知数，并且未知数的__________次数是2的方程，叫做一
元二次方程，它的一般形式为____________________．
14．下面三个方程：x²＋2x－4＝0，x²－75x＋350＝0，x²－x＝56，它们有什么共同点？
特点：
（1）都是_________方程；
（2）只含有______个未知数；
（3）未知数的最高次数是______．
15．若关于x的一元二次方程（a - 1）x2 - ax + a2 = 1的一个根为0．则a =
________．
16．若关于 的方程 是一元二次方程，则 ______．
知识点二、一元二次方程的一般形式
17．一元二次方程 化为一般形式为___________________________，
它的二次项系数是_______，一次项系数是_______，常数项是_______．
18．方程 的一次项系数是______．
19．一元二次方程5x2– 3x = 4＋2x化为一般形式是_______．
20．把一元二次方程 化为一般形式为______．
知识点三、一元二次方程的解
21．已知关于x的方程 有一个根是1，则代数式 的值是___．
22．若x＝－1是方程 的根，则a＋b＋c＋2022的值为______．23．若m是方程 的一个根，则 的值为_____．
24．方程 - x=1的根是_________．
三、解答题
25．已知关于x的方程(2k＋1)x2＋4kx＋k－1＝0，问：
（1）k为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、
一次项系数及常数项．
26．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数
和常数项：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
27．已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，代数式5m2﹣5m+2016的值．
28．（1）关于x的一元二次方程 的一个根为0，则求a的值；
（2）如果关于x的一元二次方程 中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证： 必是该方程的一个根．
29．阅读理解：
定义：如果关于x的方程 （a≠0，a、b、c 是常数）与
1 1 1 1
（a≠0，a、b、c 是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、
2 2 2 2
常数项分别满足a+a＝0，b＝b，c+c＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求
1 2 1 2 1 2
方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a＝2，b＝﹣
1 1
3，c＝1，根据a+a＝0，b＝b，c+c＝0，求出a，b，c 就能确定这个方程的“对称方
1 1 2 1 2 1 2 2 2 2
程”．
请用以上方法解决下面问题：
（1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是 ．
（2）关于x方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）
2的值．参考答案
1．B
【分析】
根据一元二次方程的概念判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2
的整式方程叫一元二次方程．
解：A．是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
B．是一元二次方程，符合题意；
C．当a=0时，不是一元二次方程，不符合题意；
D．是一元三次方程，不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的
最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
2．D
【分析】
根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的
整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．
解：A．不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B．是分式方程，故此选项不符合题意；
C．是二元二次方程，故此选项不符合题意；
D． 是一元二次方程，故此选项符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程包括三点：
①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；一元二次方程的一般形式是 ．
3．C
【分析】
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方
程叫一元二次方程可得m2 1≠0，再解即可．
解：由题意得：m2 1≠0，
解得：m≠±1，
故选：C．
【点拨】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满
足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果没有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2（二次项系数不为0）．
4．C
【分析】
根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足三个条件：未知数的最高次数是
2；二次项系数不为0；是整式方程．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
解：由题意，得
|m|＝2，且m﹣2≠0，解得m＝﹣2，
故选：C．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
5．B
【分析】
根据一元二次方程的基本概念，找出一元二次方程的二次项系数，一次项系数，以及
常数项即可．
解：∵一元二次方程2x2+x-5=0，
∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是2、1、-5，
故选：B．
【点拨】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为
ax2+bx+c=0（a≠0）．
6．C【分析】
根据一元二次方程的概念，方程的解的概念即可求求解．一元二次方程的一般形式是：
ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视
的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二
次项系数，一次项系数，常数项．
解： ，化为一般式为
则二次项系数和一次项系数分别是
故选C
【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的定义是解题的关
键．
7．C
【分析】
方程移项变形即可得到结果.
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点拨】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确变形是解题关键．
8．B
【分析】
直接利用完全平方公式以及平方差公式去括号，进而得出答案．
解： ，
去括号得：x2-5+4x2-4x+1=0，
整理得：5x2-4x-4=0．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确应用乘法公式是解题关键．
9．D
【分析】
由题意将 代入原方程求解即可．解： 关于 的一元二次方程 的一个根是2
解得
故选：D．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的
值是一元二次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键．
10．B
【分析】
将a代入方程得到 ，再将其整体代入所求代数式即可得解．
解：∵a是方程的一个解，
∴有 ，即， ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解的定义，此类题的特点是利用方程的解的定义
找到相等关系，再将其整体代入所求代数式，即可快速作答，盲目解一元二次方程求a值
再代入计算，此方法耗时费力不可取．
11．D
【分析】
根据一元二次方程的解的定义、一元二次方程的定义求解，把x＝0代入一元二次方程
即可得出m的值．
解：把x＝0代入方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0，
得m2﹣1＝0，
解得：m＝±1，
∵m﹣1≠0，
∴m≠1，m＝﹣1，
故选：D．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解的定义、一元二次方程的定义，解题的关键是
运用一元二次方程解的定义易得出m的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件m﹣
1≠0．12．A
【分析】
利用一元二次方程根的定义得到a2+a=1，再把﹣3a2﹣3a+2021变形为﹣3（a2+a）
+2021，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵a是方程x2+x 1=0的根，
∴a2+a 1=0，
∴a2+a=1；
∴ ；
故选：A．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解的问题，解题的关键是利用整体代换的思想求
解.
13． 一 最高
【分析】
根据一元二次方程的定义和标准形式进行填空即可．
解：根据一元二次方程的定义可知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的
方程，叫做一元一次方程．，它的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
故答案为：一；最高；ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义和它的标准形式，熟练一元一次方程的定义
是解题的关键．
14． 整式 一 2
略
15．-1
【分析】
根据一元二次方程的定义及根的意义，得到 ，求解即可．
解： 关于x的一元二次方程（a - 1）x2 - ax + a2 = 1的一个根为0
故答案为：-1．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义及一元二次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键．
16．﹣2
【分析】
本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高
次数是 ；二次项系数不为 由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
解：由题意，得 且 ，
解得 ，
故答案是： ．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为
的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是 特别要注意 的条
件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
17． 3 2
【分析】
首先利用完全平方公式进行计算，然后再把5移到等号左边，合并同类项即可得到
，然后再确定二次项、一次项系数和常数项．
解：方程 整理为一般形式为 ，
∴二次项系数是3，一次项系数是2，常数项是 ，
故答案为： ，3，2， ．
【点拨】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般
形式是： （a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中
ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，
常数项．
18．-8
【分析】
根据一元二次方程的一般形式解答．
解：方程 的一次项是 ，其系数是 ．故答案是： ．
【点拨】本题考查一元二次方程的一般式，解题的关键是掌握一次项系数的定义．
19．5x2– 5x -4=0
【分析】
根据一元二次方程一般式的形式化简即可．
解：5x2– 3x = 4＋2x化为一般式为5x2– 5x -4=0，
故答案为：5x2– 5x -4=0．
【点拨】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是
．
20．
【分析】
先展开完全平方式、再移项，变成一般形式即可．
解： ，
即
即
故答案为：
【点拨】考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0
（a≠0）
21．-1
【分析】
把 代入原方程，可得 从而可得答案．
解： 关于x的方程 有一个根是1，
故答案为：
【点拨】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“一元二次方程的根使方程的
左右两边相等”是解本题的关键．
22．2022
【分析】
根据x=-1是方程ax2-bx+c=0根，得到a+b+c=0，整体代入即可求得答案．解：∵x=-1是方程ax2-bx+c=0根，
∴a+b+c=0，
∴原式=0+2022=2022，
故答案为：2022．
【点拨】此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入
方程得到待定系数的方程即可求得代数式的值．
`
23．2023
【分析】
由题意知 ，即 ，再将 整理并将
整体代入计算求解即可．
解： ，即 ，
∴
=2023．
故答案为：2023．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解及代数式的求值的知识，解题的关键在于理解
一元二次方程的解的定义．
24．
【分析】
先对已知方程进行变形．然后结合二次方程即可求解．
解：方程整理得 ，
两边平方得 ，即 ，
解得 或 ，
根据二次根式的性质可得 ，
所以原方程的根是 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考察了二次根式的性质以及含有根式方程的一般解法．二次根式的性质： ，含有根式方程的一般解法：先移项，然后两边同时平方，再利用一
元二次方程的知识求解即可．
25．（1） ；（2） ，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为
【分析】
（1）根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为1的整式方
程进行求解即可；
（2）根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方
程进行求解即可；
解：（1）∵ 是关于x的一元一次方程，
∴ ，
解得
（2）∵ 是关于x的一元二次方程，
∴ 即 ，
∴这个一元二次方程的二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ．
【点拨】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的定义，一元二次方程的一般
形式，解题的关键在于能够熟练掌握一元一次方程和一元二次方程的定义．
26．见分析
【分析】
根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），ax2叫二次项，
bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
解：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数
和常数项．
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
3 11 1
7 0
【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：
ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视
的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二
次项系数，一次项系数，常数项．
27．
【分析】
根据一元二次方程解的定义，将 代入 中，可得 ,将
变形求解即可．
解：∵m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根
∴
∴
∴
=
【点拨】本题考查一元二次方程解的定义，以及代数式化简求值．根据定义解题关键．
28．（1） ；（2）证明见分析．
【分析】
（1）把x=0代入方程得到a2-1=0，解得a=±1，然后利用一元二次方程的定义确定满
足条件的a的值．
（2）由题意得到a+c=b，变形后得到a-b+c=0，可得出x=-1是方程的根．
解：（1）∵一元二次方程 的一个根为0，
∴a-1≠0且a2-1=0，
∴a=-1．
（2）证明：根据题意，得：a+c=b，即a-b+c=0；
当x=-1时，ax2+bx+c=a（-1）2+b（-1）+c=a-b+c=0，
∴-1必是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根．【点拨】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的
值是一元二次方程的解．
29．（1）﹣x2﹣4x﹣3＝0；（2）1
【分析】
（1）根据对称方程的定义可得答案；
（2）由题意得m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，再解即可．
解：（1）由题意得：方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是﹣x2﹣4x﹣3＝0，
故答案为：﹣x2﹣4x﹣3＝0；
（2）由﹣5x2﹣x＝1，
移项可得：﹣5x2﹣x﹣1＝0，
∵方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x﹣1＝0为对称方程，
∴m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，
解得：m＝0，n＝﹣1，
∴（m+n）2＝（0﹣1）2＝1，
答：（m+n）2的值是1．
【点拨】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是正确理解题意，理解对称
方程的定义．
