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专题21.24 实际问题与一元二次方程专题——几何动态问题
（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，
B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，
点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A．2秒钟 B．3秒钟 C．3秒钟或5秒钟 D．5秒钟
2．如图，在 中， ， cm， cm，动点 ， 分别从点 ，
同时开始移动（移动方向如图所示），点 的速度为1cm/s，点 的速度为2cm/s，点
移动到点 后停止，点 也随之停止运动，若使 的面积为15cm2，则点 运动的时间
是（ ）
A． s B．5s C．4s D．3s
3．如图，在 中， ，动点P，Q分别从点A，B
同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为 ，点Q的速度为 ，点Q移
动到C点后停止，点P也随之停止运动，当 的面积为 时，则点P运动的时间
是（ ）A． B． 或 C． D．
4．如图，在 ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点
A，B同时开始移△动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，
点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使 PBQ的面积为15cm2，则点P运动
的时间是（ ） △
A．2s B．3s C．4s D．5s
5．如图Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发沿AB边
以1cm/秒的速度向点B匀速移动，同时，点Q从点B出发沿BC边以2cm/秒的速度向点C
匀速移动，当P、Q两点中有一个点到达终点时另一个点也停止运动．运动（ ）秒后，
△PBQ面积为5cm2．
A．0.5 B．1 C．5 D．1或5
6．如图所示，在Rt ABC中，∠C=90°，AC=11cm，点P从点A出发沿AC以1cm/s
的速度移动，点Q从点C△出发沿CB以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，C两点同
时出发，当它们相距10cm时所需的时间为（ ）A．3s B．4s C．5s D．3s或1.4s
7．如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时
出发，点P以3cm/s的速度沿AB，BC向点C运动，点Q以1cm/s的速度沿BC向点C运动．
设P，Q运动的时间是t秒，当点P与点Q重合时t的值是( )
A． B．4 C．5 D．6
8．如图，在 中， ， ， ，点 从点 开始沿 边
向点 以 的速度移动，同时另一个点 从点 开始沿 以 的速度移动，当
的面积等于 时，经过的时间是（ ）
A． 或 B． C． D．
9．如图，△ABC中， AB =AC=24 cm， BC=16cm，AD= BD．如果点P在线段BC
上以 2 cm/s 的速度由B点向C点运动，同时，点 Q在线段CA上以v cm/s 的速度由C
点向A点运动，那么当△BPD 与△CQP全等时，v =（ ）A．3 B．4 C．2或 4 D．2或3
10．如图，将边长为12 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把ABC沿着AD
方向平移，得到 A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为32 cm2，则它移动的距离AA′等
于( ) △
A．4 cm B．8 cm C．6 cm D．4 cm或8 cm
二、填空题
11．如图①，在矩形 中， ，对角线 ， 相交于点 ，动点 由点
出发，沿 向点 运动设点 的运动路程为 ， 的面积为 ， 与
的函数关系图象如图②所示，则 的长为______．
12．如图，在矩形 中， ，点 从点 出发沿 以
的速度向点 运动，同时点 从点 出发沿 以 的速度向点 运动，点 到达终点
后， 、 两点同时停止运动，则__秒时， 的面积是 ．13．如图，将边长为4的正方形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平
移得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为3，则它移动的距离AA′等于 ___；移动
的距离AA′等于 ___时，两个三角形重叠部分面积最大．
14．如图，在正方形 中， ，以B为圆心， 长为半径画弧，点E为弧
上一点， 于F，连接 ，若 ，则 的值为________．
15．如图，在矩形ABCD中， ， ，点P从点A出发沿AB以
的速度向点B移动，若出发t秒后， ，则 _________秒．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s
的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动
到点B时，点Q也停止运动；当 PQC的面积等于16cm2时，运动时间为__s．
△
17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝12 cm，点D从点A开始沿边AB以2 cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持四边形DFCE(点E，F分别在AC，BC上)
为平行四边形，则出发________s时，四边形DFCE的面积为20 cm2.
18．如图,将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向
平移,得到△A′B′C′,当两个三角形重叠部分的面积为32时,它移动的距离AA′等于________.
19．ABCD为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，AD＝6 cm，动点P、Q分别从点A、C
同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D
移动，P、Q两点从出发开始到__________秒时，点P和点Q的距离是10 cm.
20．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=10 cm，点P从A出发沿射线AB以
1cm/s的速度作 直线运动，点Q从C出发沿边BC的延长线以2cm/s的速度作直线运动，
如果P，Q分别从A，B同时出发，经过_____秒，△PCQ的面积为24 cm2？
21．如图，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点B运动，直到点B为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速
度向点D运动，当时间为_______时，点P和点Q之间的距离是10cm
22．如图，在 中， ， ， ，现有动点 从点 出发，
沿射线 方向运动，动点 从点 出发，沿射线 方向运动，已知点 的速度是 ，
点 的速度是 ，它们同时出发，经过________秒， 的面积是 面积的一
半？
23．在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=3cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向终
点B移动，同时，点Q从点C出发沿CD以3cm/s的速度向终点D移动，其中一个点到达
终点，另一个点也停止运动． 经过_________秒P、Q两点之间的距离是5cm．
24．如图，长方形 中， ， ，动点 、 分别从点 、 同
时出发，点 以2厘米/秒的速度向终点 移动，点 以1厘米/秒的速度向 移动，当有一
点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为 秒，当 ________时，以点 、 、为顶点的三角形是等腰三角形．
25．如图，在△ABC中，AC＝50 cm，BC＝40 cm，∠C＝90°，点P从点A开始沿
AC边向点C以2 cm/s的速度匀速移动，同时另一点Q从点C开始以3 cm/s的速度沿着射
线CB匀速移动，当△PCQ的面积等于300 cm2时，运动时间为__________.
三、解答题
26．如图，矩形ABCD中，AB＝2 cm，BC＝3 cm，点E从点B沿BC以2 cm/s的速度
向点C移动，同时点F从点C沿CD以1 cm/s的速度向点D移动，当E，F两点中有一点
到达终点时，另一点也停止运动．当△AEF是以AF为底边的等腰三角形时，求点E运动
的时间．
27．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出
发沿折线A→B→C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发沿边CD向点D运
动．当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．（1）两动点运动几秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的 ？
（2）是否存在某一时刻，点P与点Q之间的距离为 cm？若存在，直接写出运动所
需的时间为 ；若不存在，请说明理由．
（3）直接写出PQ长度的最小值 ．
28． 中， ， ， ，点P从点A开始沿边 向终点B
以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边 向终点C以2cm/s的速度移动．
如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间
为t秒．
(1)填空： ________， ________（用含t的代数式表示）；
(2)是否存在t的值，使得 的面积等于 ？若存在，请求出此时t的值；若不
存在，请说明理由．参考答案
1．B
【分析】
设运动时间为t秒，则PB=（8-t）cm，BQ=2tcm，由三角形的面积公式结合 PBQ的
面积为15cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．△
解：设运动时间为t秒，则PB=（8-t）cm，BQ=2tcm，
依题意，得： ×2t•（8-t）=15，
解得：t=3，t=5，
1 2
∵2t≤6，
∴t≤3，
∴t=3．
故选：B．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是
解题的关键．
2．D
【分析】
设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为15cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，
利用三角形的面积计算公式即可解答．
解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，
则BP为(8−t)cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
×(8−t)×2t＝15，
解得t＝3，t＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．
1 2
∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．
故答案为:D【点拨】此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的
动点问题．
3．A
【分析】
设出动点P，Q运动t秒，能使 的面积为 ，用t分别表示出BP和BQ的
长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
解：设动点P，Q运动t秒，能使 的面积为 ，
则BP为(8-t)cm，BQ为2tcm，由三角形的面积公式列方程得
(8-t)×2t=15，
解得t1=3，t2=5（当t2=5，BQ=10，不合题意，舍去）
∴动点P，Q运动3秒，能使 的面积为 ．
故选A．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用．借助三角形的面积计算公式来研究图形中
的动点问题．
4．B
【分析】
设出动点P，Q运动ts，能使 PBQ的面积为15cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，
利用三角形的面积计算公式即可解△答．
解：设动点P，Q运动ts后，能使 PBQ的面积为15cm2，
则BP为（8﹣t）cm，BQ为2△tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
×（8﹣t）×2t＝15，
解得t＝3，t＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．
1 2
∴动点P，Q运动3s时，能使 PBQ的面积为15cm2．
故选：B． △
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中
的动点问题．
5．B
【分析】设经过x秒钟，使△PBQ的面积为8cm2，得到BP＝6﹣x，BQ＝2x，根据三角形的面
积公式得出方程 ×（6﹣x）×2x＝5，求出即可．
解：设经过x秒钟，使△PBQ的面积为5cm2，
BP＝6﹣x，BQ＝2x，
∵∠B＝90°，
∴ BP×BQ＝5，
∴ ×（6﹣x）×2x＝5，
∴x＝1，x＝5（舍去），
1 2
答：如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过1秒钟，使△PBQ的面积为5cm2．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，用未知数表示出 PBQ的面积是解此
题的关键． △
6．D
【分析】
设运动时间为ts时PQ=10cm，则CP=（11﹣x）cm，CQ=2xcm，利用勾股定理即可得
出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
解：设运动时间为ts时PQ=10cm，则CP=（11﹣x）cm，CQ=2xcm，
根据题意得：4x2+（11﹣x）2=100，
解得：x=1.4，x=3．
1 2
故选D．
【点拨】考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二
次方程是解题的关键．
7．C
解：设当点P与点Q重合时t的值是x秒，由题意得：3x﹣x=10，解得：x=5，故选
C．
点睛：此题主要考查了一元一次方程的应用．解答本题的关键是，找出等量关系： 点
P与点Q重合时，P、Q的路程之差等于AB．
8．B
【分析】本题已知了 、 的速度，设 秒后， 的面积等于 ，根据路程 =速度
时间，可用时间 表示出 和 的长，然后根据直角三角形的面积公式，得出方程，
求出未知数，然后看看解是否符合题意，将不合题意的舍去即可得出时间的值．
解：设 秒后， 的面积等于 ，
依题意得： ，
∴ ，
∴ ， ，
当 时， ，即 不合题意，舍去．
所以10秒后， 的面积等于 ．
故选B．
【点拨】本题主要考查了列一元二次方程来解决现实生活中的动点运动问题；解题的
关键是准确表示出AP、PC、BQ、CQ关于时间x的代数式，再根据等量关系列出方程来
求解．
9．D
【分析】
分两种情况讨论：
①若 BPD≌△CPQ，根据全等三角形的性质，则BD=CQ=12厘米，BP=CP= BC=
△
×16=8（厘米），根据速度、路程、时间的关系即可求得；
②若 BPD≌△CQP，则CP=BD=12厘米，BP=CQ，得出 ，解出即可．
△
情况一：
解：∵△ABC中，AB=AC=24厘米，点D为AB的中点，
∴BD=12厘米，
情况一：
若 BPD≌△CPQ，则需BD=CQ=12厘米，BP=CP= BC= ×16=8（厘米）
△∵点Q的运动速度为2厘米/秒，
∴点Q的运动时间为：8÷2=4（s），
∴v=CQ÷4= 12÷4=3（厘米/秒）；
情况二：
②若 BPD≌△CQP，则CP=BD=12厘米，BP=CQ，
△
得出 ，
解得： 解出即可．
因此v的值为：2厘米/秒或3厘米/秒，
故选：D．
【点拨】此题考查了全等的性质．但要注意，要分类讨论．
10．D
解：
设AA′=xcm，则A′D=（12－x）cm，∵正方形ABCD，∴∠D=90°，
AD=CD,∴∠DAC=45°，同理可证∠B′A′C′=45°，∵ A′B′C′由 ABC沿着AD方向平移得到，
∴A′B′⊥AD，∴∠A′EA=45°，∴∠B′A′C′=∠A′EA，△∴A′F∥EC△，∵A′E∥CF，∴四边形A′ECF
为平行四边形，所以SA′ECF= A′E×A′D=x（12－x）=32，解得x=4或8.
故选D.
点睛：遇到此类应用题一般要求什么我们就设什么，此题首先分析重叠部分图形是何
图形，若是规则图形，则根据公式法用所设未知数表示出重叠部分面积，若为不规则图形，
则可根据割补法用所设未知数表示出图形面积，从而列方程求解.11．4
【分析】
当 点在 上运动时， 面积逐渐增大，当 点到达 点时，结合图象可得
面积最大为3，得到 与 的积为12；当 点在 上运动时， 面积逐渐
减小，当 点到达 点时， 面积为0，此时结合图象可知 点运动路径长为7，得到
与 的和为7，构造关于 的一元二方程可求解．
解：由图象与题意知可知，当 点在 上运动时， 面积逐渐增大，当 点到达
点时， 面积最大为3，
∴ ，即 ．
当 点在 上运动时， 面积逐渐减小，当 点到达 点时， 面积为
0，此时结合图象可知 点运动路径长为7，
∴ ．
则 ，代入 ，得 ，
解得 或 ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运
动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．
12．2或3##3或2
【分析】
设t秒后 的面积是 ，则 ， ，列方程即可求解．
解：设运动时间为 秒，则 ， ，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ．或3秒时， 的面积是 ．
故答案为：2或3．
【点拨】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的
等量关系，列出方程．
13． 1cm或3cm##3cm或1cm 2cm
【分析】
如图，设 交 于 交 于 证明四边形 是平行四边形，证明
是等腰直角三角形， 也是等腰直角三角形，设 cm，则
再利用面积公式建立方程，解方程即可，同时利用配方法求解面积最
大值时的平移距离.
解：如图，设 交 于 交 于
由平移的性质可得：
四边形 是平行四边形，
由正方形 可得：
是等腰直角三角形，
同理： 也是等腰直角三角形，
设 cm，则
解得：
cm或 cm
重叠部分的面积为：
当 时，重叠部分的面积最大，最大面积为4cm2所以当 cm时，重叠部分的面积最大.
故答案为：1cm或3cm；2cm
【点拨】本题考查的是正方形的性质，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定与
性质，一元二次方程的解法，配方法的应用，平移的性质，熟悉以上基础知识是解题的关
键.
14．2
【分析】
过E作EG⊥BC于G，连结BE，设EF=x，由EF⊥CD，四边形ABCD为正方形，可证
四边形EGCF为矩形，可求BG=4-x，在Rt△EBG中， EG= ，在Rt△EGC中，
CE= ，由EC-EF=2，可得 -x=2，移项两边平方得 ,解得 ,可求CE=
,从而求得CF=2 ．
解：过E作EG⊥BC于G，连结BE，
设EF=x，
∵EF⊥CD，四边形ABCD为正方形，
∴∠EFC=∠FCG=∠EGC=90°，AB=BC=BE=4，
∴四边形EGCF为矩形，
∴EF=GC=x，EG=FC，
∴BG=4-x，
在Rt EBG中， EG=
△
在Rt EGC中，CE=
△
∵EC-EF=2，
∴ -x=2，
∴ =2+x，两边平方得 ，
整理得 ，
解得 ，
∴CE= ，
∴CF=
故答案为：2 ．
【点拨】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，，掌握正方形的性
质。矩形的判定与性质，勾股定理，利用 构造方程是解题关键．
15．4-
【分析】
根据矩形的性质和勾股定理，用含t的代数式表示出PA，PC，再列出方程，即可求解．
解：∵在矩形ABCD中， ， ，点P从点A出发沿AB以 的
速度向点B移动，
∴PA=2t，PC= ，
∵ ，
∴2t= ，解得：t=4- ，t=4+ （舍去），
1 2
故答案是：4- ．
【点拨】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，二次根式，一元二次方程，用用含t的代数式表示出PA，PC，是解题的关键．
16．2．
【分析】
设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB=（12-2x）cm，CQ=（6-x）cm，利用三角形面积
的计算公式结合△PQC的面积等于16cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较
小值即可得出结论．
解：设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm，
依题意，得： （12﹣2x）（6﹣x）＝16，
整理，得：x2﹣12x+20＝0，
解得：x＝2，x＝10（不合题意，舍去）．
1 2
故答案为：2．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是
解题的关键．
17．1或5
【分析】
设点D从点A出发x秒时，四边形DFCE的面积为20cm2．根据S ＝
四边形DECF
S −S −S ，列出方程求解即可．
ABC ADE BDF
△ 解：△设点D△从点A出发x s时，四边形DFCE的面积为20 cm2.
由题意，得 － － ＝20，
解得x＝1，x＝5，
1 2
故答案为1或5.
【点拨】本题考查了一元二次方程的运用及等腰直角三角形的性质的运用，三角形的
面积公式的运用，解答时运用面积之间的关系建立方程是关键．
18．4或8
【分析】
由平移的性质可知阴影部分为平行四边形，设A′D=x，根据题意阴影部分的面积为
(12−x)×x，即x(12−x)，当x(12−x)=32时，解得：x=4或x=8，所以AA′=8或AA′=4．
解：设AA′=x,AC与A′B′相交于点E，
∵△ACD是正方形ABCD剪开得到的，∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠A=45∘，
∴△AA′E是等腰直角三角形，
∴A′E=AA′=x，
A′D=AD−AA′=12−x，
∵两个三角形重叠部分的面积为32，
∴x(12−x)=32，
整理得,x −12x+32=0，
解得x =4,x =8，
即移动的距离AA′等4或8.
【点拨】本题考查正方形和图形的平移，熟练掌握计算法则是解题关键·.
19． 或
【分析】
作PH⊥CD，垂足为H，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解．
解：
设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，
作PH⊥CD，垂足为H，
则PH=AD=6，PQ=10，
∵DH=PA=3t，CQ=2t，
∴HQ=CD−DH−CQ=|16−5t|，
由勾股定理,得
解得
即P，Q两点从出发经过1.6或4.8秒时，点P，Q间的距离是10cm.
故答案为 或 .【点拨】考查矩形的性质，勾股定理，解一元二次方程等，表示出HQ=CD−DH−CQ=|
16−5t|是解题的关键.
20．4或6或12．
【分析】
分两种情况：P在线段AB上；P在线段AB的延长线上；进行讨论即可求得P运动的
时间．
解：设当点P运动x秒时,△PCQ的面积为24cm2，
①当P在线段AB上，此时CQ=2x，PB=10−x，
S = 2x(10−x)=24，
PCQ
△
化简得 x2−10x+24=0，
解得x=6或4；
②P在线段AB的延长线上，此时CQ=2x，PB=x−10，
S = 2x(x−10)=24，
PCQ
△
化简得 x2−10x−24=0，
解得x=12或−2，负根不符合题意，舍去.
所以当点P运动4秒、6秒或12秒时△PCQ的面积为24cm2.
故答案为4或6或12.
【点拨】本题考查了等腰直角三角形与一元二次方程的应用，解题的关键是熟练的掌
握等腰直角三角形与一元二次方程的应用.
21． 或
【分析】
求出当PQ∥BC即BP=CQ时的时间，从而确定t的范围并进行分类讨论，分两类：①
当0≤t≤3.2；②当3.2＜t≤8，表示出对应线段的长度，结合勾股定理分别列出方程，解方程
并对t进行取舍即可.
解：设时间为t，
当PQ∥BC时，BP=CQ，
16﹣3t=2t，解得t=3.2s，
点P从A点运动至B点的时间为：16÷3= s，点Q从C点运动至D点的时间为：16÷2=8s，
①当0≤t≤3.2时，如图，作PE⊥CD交CD于点E，
由题意得AP=DE=3t，CQ=2t，PE=6，
∴EQ=16﹣5t，
∵PE2+EQ2=PQ2，
∴62+（16﹣5t）2=102，
解得t= ，t= （舍去）；
1 2
②当3.2＜t≤8时，如图作QH⊥AB交AB于点H，
由题意得AP=3t，CQ=2t， DH=6，
∴AH=DQ=16﹣2t，
∴PH=5t﹣16，
∵PH2+HQ2=PQ2，
∴(5t﹣16)2+62=102，
解得t= （舍去），t= ；
1 2
∴t= 或 .
故答案为 或 .【点拨】本题主要考查一元二次方程的应用以及分类讨论的思想，其中根据勾股定理
列方程求解是解题的关键.
22． 或
【分析】
设经过x秒△APQ的面积是△ABC面积的一半，由点P的速度是4cm/s，点Q的速度
是2cm/s表示出BP=4xcm，CQ=2xcm，进而表示出AP=（24-4x）cm，AQ=（16-2x）cm，
利用面积列出方程求解即可．
解：设经过x秒△APQ的面积是△ABC面积的一半，
∵点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，
∴BP=4xcm，CQ=2xcm，
（1）当AP=（24-4x）cm，AQ=（16-2x）cm，
根据题意得： （24-4x）（16-2x）= × ×24×16，
整理得x2-14x+24=0，
解得：x=2或x=12（舍去）．
（2）当AP=（4x-24）cm，AQ=（2x-16）cm，
根据题意得： （4x-24）（2x-16）= × ×24×16，
整理得x2-14x+24=0，
解得：x=2（舍去）或x=12．
故答案是：2或12．
【点拨】考查了一元二次方程的应用，解题关键是用x的式子表示出AP=（24-4x）
cm，AQ=（16-2x）cm，利用面积列出方程.
23． 或
【分析】
设经过x秒P、Q两点之间的距离是5cm，如图，过P点作 ，垂足为M点，
得到DQ的长，并根据四边形ABCD为矩形推出PM和QM的长，利用勾股定理列式解答
即可．
解：设经过x秒P、Q两点之间的距离是5cm，
如图，过P点作 ，垂足为M点，
，，
四边形ABCD为矩形，
在直角三角形PQM中，
经过 或 秒P、Q两点之间的距离是5cm．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题主要考查矩形的动点问题，涉及勾股定理和解一元二次方程，有一定难
度，根据题意做出合适的辅助线，利用勾股定理解答是关键．
24． 或 或 或
【分析】
分情况讨论，如图1，当PQ＝DQ时，如图2，当PD＝PQ时，如图3，当PD＝QD时，
由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．
解：如图1，当PQ＝DQ时，作QE⊥AB于E，
∴∠PEQ＝90°，
∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCQE是矩形，
∴QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t．
∵AP＝2t，
∴PE＝6﹣2t﹣t＝6﹣3t．DQ＝6﹣t．
∵PQ＝DQ，
∴PQ＝6﹣t．
在Rt PQE中，由勾股定理，得
（6﹣3t）2+4＝（6﹣t）2，
解得：t＝ ．
如图2，当PD＝PQ时，
作PE⊥DQ于E，
∴DE＝QE＝ DQ，∠PED＝90°．
∵∠B＝∠C＝90°，
∴四边形BCQE是矩形，
∴PE＝BC＝2cm．
∵DQ＝6﹣t，
∴DE＝ ．
∴2t＝ ，
解得：t＝ ；
如图5，当PD＝QD时，
∵AP＝2t，CQ＝t，
∴DQ＝6﹣t，
∴PD＝6﹣t．
在Rt APD中，由勾股定理，得
4+4t2＝（6﹣t）2，
解得t＝ ，t＝ （舍去）．
1 2综上所述：t＝ ， ， ， ．
故答案为： ， ， ， ．
【点拨】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，
一元二次方程的解法的运用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键．
25．5s
【分析】
设x秒后，△PCQ的面积等于300cm2，根据路程=速度×时间，可用时间x表示出CP
和CQ的长，然后根据直角三角形的面积公式，得出方程，求出未知数，然后看看解是否
符合题意，将不合题意的舍去，即可得出时间的值．
解：设x秒后，△PCQ的面积等于300cm2，有：
（50-2x）×3x=300，
∴x2-25x+50=0，
∴x=5，x=20．
1 2
当x=20s时，CQ=3x=3×20=60＞BC=40，即x=20s不合题意，舍去．
答：5秒后，△PCQ的面积等于300cm2．
【点拨】此题主要考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积
公式，然后根据题意列出方程求出是解题关键．
26．（6－ ）s
【分析】
设点E运动的时间是x秒．根据题意可得方程，解方程即可得到结论．解：设点E运动的时间是x s．
根据题意可得22＋（2x）2＝（3－2x）2＋x2，解这个方程得
x＝6－ ，x＝6＋ ，
1 2
∵3÷2＝1.5（s），2÷1＝2（s），
∴两点运动了1.5s后停止运动．
∴x＝6－ ．
答：当△AEF是以AF为底边的等腰三角形时，点E运动的时间是（6－ ）s．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，考查了矩形的性质，等腰三角形的判定及
性质，勾股定理的运用．
27．（1） ；（2） 或 ；（3）2．
【分析】
（1）要使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的 ，此时点P应在AB上，才能构
成四边形．根据路程=速度×时间，分别用t的代数式表示BP、CQ的长，再根据梯形的面
积公式列方程求解；
（2）根据勾股定理列方程即可，注意分情况考虑；
（3）由（2）得到线段PQ2的关系式，然后利用二次根式的性质，即可得到答案．
解：（1）设两动点运动t秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的 ．
根据题意，得BP=6-2t，CQ=t，矩形的面积是12．
则有 （t+6 2t）×2=2×6× ，
解得t= ；
（2）设两动点经过t秒使得点P与点Q之间的距离为 ．
①当0＜t≤3时，如图1，则有（6-2t-t）2+4=5，
解得t= 或 ；
②当3＜t≤4时，如图2，则有（8-2t）2+t2=5，得方程5t2 32t+59=0，
此时Δ＜0，此方程无解．
综上所述，当t= 或 时，点P与点Q之间的距离 ．
故答案为： 或 ；
（3）由（2）可知，
①当0＜t≤3时， ；
则 时，PQ有最小值2；
②当3＜t≤4时，
则 时，PQ有最小值 ；
∵ ；
∴PQ长度的最小值为2．
故答案为：2．
【点拨】此题是一道动态题，有一定的难度，涉及到一元二次方程和勾股定理有关知
识，注意分类讨论思想的运用．
28．(1) ， (2)存在，当 时， 的面积等于
【分析】
（1）根据“路程=速度×时间”可表示出BQ、AP．再用AB-AP就可以求出PB即可；
（2）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程求出t的值即可．解：(1)
（1）由题意得：BQ=2t，AP=t，则BP=5-AP=5-t．
故答案为：2t，5-t．
(2)（3）存在．
由题意可得： 的面积为 ，
∵ 的面积等于 ，
∴ =4，解得：t=1，t=4（不符合题意，舍去），
1 2
∴当t=1时，△PBQ的面积等于4cm2．
【点拨】本题考查了行程问题的运用、一元二次方程的解法、三角形面积公式的运用
等知识点．在解答时要注意所求的解的实际问题有意义成为解答本题的关键．
