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专题 21.32 一元二次方程中考真题专练（基础篇）
（专项练习）
一、单选题
1．（2022·青海·中考真题）已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则m的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
2．（2022·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程 时，将它化为
的形式，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．
3．（2022·四川宜宾·中考真题）若关于x的一元二次方程 有两个不相等
的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． 且 D．
4．（2022·贵州黔东南·中考真题）已知关于 的一元二次方程 的两根分
别记为 ， ，若 ，则 的值为（ ）
A．7 B． C．6 D．
5．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知 ， 是方程 的两个实数
根，则代数式 的值是（ ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
6．（2021·贵州遵义·中考真题）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项
q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，
则原来的方程是（ ）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
7．（2022·重庆·中考真题）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件
242件，设该快递店揽件日平均增长率为 ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A． B．
C． D．
8．（2022·四川泸州·中考真题）已知关于 的方程 的两实数根为
， ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． 或3 D． 或3
9．（2021·山东潍坊·中考真题）若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，
则该菱形的边长为（ ）
A． B．4 C．25 D．5
10．（2022·山东泰安·中考真题）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：
“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：
现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株楼
后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量
为x株，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2022·广西梧州·中考真题）一元二次方程 的根是_________．
12．（2022·湖北荆州·中考真题）一元二次方程 配方为 ，则k
的值是______．
13．（2022·江苏扬州·中考真题）请填写一个常数，使得关于 的方程
____________ 有两个不相等的实数根．
14．（2021·贵州黔西·中考真题）三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为 _____.
15．（2021·湖北十堰·中考真题）对于任意实数a、b，定义一种运算：
，若 ，则x的值为________．
16．（2021·湖北湖北·中考真题）关于x的方程 有两个实数根
．且 ．则 _______．
17．（2022·青海·中考真题）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作
一个底面积为 的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，
将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程
为______．
18．（2022·湖南永州·中考真题）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极
富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形
与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，
则 ______．
三、解答题
19．（2021·浙江嘉兴·中考真题）小敏与小霞两位同学解方程 的过程
如下框：
小敏：两边同除以 ，得 小霞：移项，得 ，， 提取公因式，得 ．
则 ． 则 或 ，
解得 ， ．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并
写出你的解答过程．
20．（2020·四川南充·中考真题）已知 ， 是一元二次方程
的两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得等式 成立？如果存在，请求出k的值，如果
不存在，请说明理由．
21．（2013·湖北荆州·中考真题）已知：关于x的方程
（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；
（2）若此方程有两个实数根x，x，且|x﹣x|=2，求k的值．
1 2 1 2
22．（2022·贵州贵阳·中考真题）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0；
（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式
法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0．
23．（2021·山东菏泽·中考真题）列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的
销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能
让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
24．（2022·江苏常州·中考真题）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题
图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国
古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共
8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是 ，表示
ICME-14的举办年份．
(1) 八进制数3746换算成十进制数是_______；
(2) 小华设计了一个 进制数143，换算成十进制数是120，求 的值．、
参考答案
1．B
解：把x=1代入x2+mx+3=0得：1+m+3=0，
解得m=﹣4．
故选B．
2．B
【分析】
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继
而得出答案．
解：∵ ，
∴ ， ，
则 ，即 ，
∴ ， ，
∴ ．
故选：B．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
3．B
【分析】
根据一元二次方程的定义和根的判别式得出a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，再求出即可．
解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实数根，
∴a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，
解得：a＞-1且a≠0，
故选：B．
【点拨】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：
一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等
的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．
4．B
【分析】
根据根与系数关系求出 =3，a=3，再求代数式的值即．
解：∵一元二次方程 的两根分别记为 ， ，
∴ + =2，
∵ ，
∴ =3，
∴ · =-a=-3，
∴a=3，
∴ ．
故选B．
【点拨】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的
根与系数关系，代数式的值是解题关键．
5．A
【分析】
根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．
解：∵ ， 是方程 的两个实数根，∴ ， ，
故选A
【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一
元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
6．B
【分析】
分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案.
解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，
所以此时方程为： 即：
小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，
所以此时方程为： 即：
从而正确的方程是：
故选：
【点拨】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次
方程的根构建方程的方法是解题的关键.
7．A
【分析】
平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把
相关数值代入即可．
解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件，
∴可列方程为： ，
故选：A．
【点拨】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破
点，难度一般．
8．A【分析】
利用根与系数的关系以及 求解即可．
解：由题意可知： ，且
∵ ，
∴ ，解得： 或 ，
∵ ，即 ，
∴ ，
故选：A
【点拨】本题考查根与系数的关系以及根据方程根的情况确定参数范围，解题的关键
是求出 ，再利用根与系数的关系求出 或 （舍去）．
9．A
【分析】
先求出方程的解，即可得到 ，根据菱形的性质求出 和 ，根据
勾股定理求出 即可．
解：解方程 ，得 ，
即 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
由勾股定理得 ，
即菱形的边长为 ，故选： ．
【点拨】本题考查了解一元二次方程和菱形的性质，正确求出方程的根是解题的关键．
10．A
【分析】
设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x−1）文，利用总价＝单价×数量，即
可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费
恰好等于一株椽的价钱，
∴一株椽的价钱为3（x−1）文，依题意得：3（x−1）x＝6210，
故选：A．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元
二次方程是解题的关键．
11． 或
【分析】
由两式相乘等于0，则这两个式子均有可能为0即可求解．
解：由题意可知： 或 ，
∴ 或 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查一元二次方程的解法，属于基础题，计算细心即可．
12．１
【分析】
将原方程 变形成与 相同的形式，即可求解．
解：
∴
故答案为：1．【点拨】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题
的关键．
13．0（答案不唯一）
【分析】
设这个常数为a，利用一元二次方程根的判别式求出a的取值范围即可得到答案．
解：设这个常数为a，
∵要使原方程有两个不同的实数根，
∴ ，
∴ ，
∴满足题意的常数可以为0，
故答案为：0（答案不唯一）．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是
解题的关键．
14．12
【分析】
解方程得第三边边长可能的值，代入三角形三边关系验证，进而求出周长即可．
解：∵第三边的长是方程 的根，解得x=3或5
当x=3时，由于2＋3=5，不能构成三角形；
当x=5时，由于2＋5>5，能构成三角形；
故该三角形三边长分别为2,5,5，则周长为2＋5＋5=12．
故答案为12．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系，利用三角形三边关系验证三
边长是否能构成三角形是解决本题的关键．
15． 或2
【分析】
根据新定义的运算得到 ，整理并求解一元二次方
程即可．
解：根据新定义内容可得： ，
整理可得 ，解得 ， ，
故答案为： 或2．
【点拨】本题考查新定义运算、解一元二次方程，根据题意理解新定义运算是解题的
关键．
16．3
【分析】
先根据一元二次方程的根与系数的关系可得 ，再根据
可得一个关于 的方程，解方程即可得 的值．
解：由题意得： ，
，
，
化成整式方程为 ，
解得 或 ，
经检验， 是所列分式方程的增根， 是所列分式方程的根，
故答案为：3．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、解分式方程，熟练掌握一元二
次方程的根与系数的关系是解题关键．
17．
【分析】
设剪去的正方形边长为xcm，根据题意，列出方程，即可求解．
解：设剪去的正方形边长为xcm，根据题意得：
．
故答案为：
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题
的关键．
18．3【分析】
根据题意得出AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，设AF=DE=CH=BG=x，结合图
形得出AE=x-1，利用勾股定理求解即可得出结果．
解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，
∴AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，
根据题意，设AF=DE=CH=BG=x，
则AE=x-1，
在Rt∆AED中，
，
即 ，
解得：x=4（负值已经舍去），
∴x-1=3，
故答案为：3．
【点拨】题目主要考查正方形的性质，勾股定理解三角形，一元二次方程的应用等，
理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
19．两位同学的解法都错误，正确过程见分析
【分析】
根据因式分解法解一元二次方程
解：
小霞：移项，得 ，
小敏：两边同除以 ，
得
提取公因式，得 ．
，
则 或 ，
则 ．
解得 ， ．
（×）
（×）
正确解答：
移项，得 ，
提取公因式，得 ，
去括号，得 ，则 或 ，
解得 ， ．
【点拨】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题
关键．
20．（1） ；（2）
【分析】
（1）根据方程的系数结合 ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k
的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x＋x＝2，xx＝k＋2，结合 ，即可得
1 2 1 2
出关于k的方程，解之即可得出k值，再结合（1）即可得出结论．
解：（1）∵一元二次方程有两个实数根，
∴
解得 ；
（2）由一元二次方程根与系数关系，
∵ ，
∴
即 ，解得 ．
又由（1）知： ，
∴ ．
【点拨】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当
△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合 ，找出关于k的方程．
21．（1）证明见分析；（2）k=1或 ．
【分析】
（1）确定判别式的范围即可得出结论．
（2）根据根与系数的关系表示出x+x，xx，继而根据题意可得出方程，解出即可．
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（1）证明：①当k=0时，方程是一元一次方程 ，有实数根．
②当k≠0时，方程是一元二次方程，
∵ ，
∴一元二次方程有两实数根．
综上所述，无论k为何实数，方程总有实数根．
（2）∵此方程有两个实数根x，x，
1 2
∴ ．
∵|x﹣x|=2，∴（x﹣x）2=4，即（x+x）2﹣4xx=4．
1 2 1 2 1 2 1 2
∴ ，解得k=1或
22．（1）＜，＜；（2）①x=-1+ ，x=-1- ；②x=0，x=3；③x=2+ ，
1 2 1 2 1
x=2- ；④x=-2，x=2．
2 1 2
【分析】
（1）由题意可知：a＜0，b＞0，据此求解即可；
（2）找出适当的方法解一元二次方程即可．
解：（1）由题意可知：a＜0，b＞0，
∴a＜b，ab＜0；
故答案为：＜，＜；
（2）①x2+2x−1=0；
移项得x2+2x=1，
配方得x2+2x+1=1+1，即(x+1)2=2，
则x+1=± ，∴x=-1+ ，x=-1- ；
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②x2−3x=0；
因式分解得x(x-3)=0，
则x=0或x-3=0，
解得x=0，x=3；
1 2
③x2−4x=4；
配方得x2-4x+4=4+4，即(x-2)2=8，
则x-2=± ，
∴x=2+ ，x=2- ；
1 2
④x2−4=0．
因式分解得(x+2) (x-2)=0，
则x+2=0或x-2=0，
解得x=-2，x=2．
1 2
【点拨】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方
法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．还考
查了实数与数轴．
23．29元．
【分析】
设这种水果每千克降价 元，根据超市每天要获得销售利润3640元列一元二次
方程，解一元二次方程，再由题意要尽可能让顾客得到实惠，筛选符合条件的 的值，即
可解题售价．
解：设这种水果每千克降价 元，
则每千克的利润为： 元，销售量为： 千克，
整理得，
或 ，
要尽可能让顾客得到实惠，即售价为 （元）
答：这种水果的销售价为每千克29元．
【点拨】本题考查一元二次方程的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识
是解题关键．
24．(1)2022(2)9
【分析】
（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答；
（2）根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程，解方程即可求解．
解：(1) ，
故答案为：2022；
(2)根据题意有： ，
整理得： ，
解得n=9，（负值舍去），
故n的值为9．
【点拨】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关
于n的一元二次方程是解答本题的关键．
