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专题 21.30 《一元二次方程》全章复习与巩固（基础篇）
（专项练习）
一、单选题
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．3x﹣2＝y B． x C． x+1 D．x2+2x＝3
2．若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1=0的一个根，则2021﹣6a2＋2a的值是（ ）
A．2023 B．2022 C．2020 D．2019
3．用配方法解方程 ，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．方程y2＝-a有实数根的条件是（ ）
A．a≤0 B．a≥0 C．a>0 D．a为任何实数
5．如果关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么k的
取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D． 且
6．已知分式 的值为 ，那么 的值是（ ）
A． B． C． D． 或
7．一元二次方程 根的情况是（ ）
A．只有一个实根为 B．有两个实根，一正一负
C．两个正根 D．无实数根
8．如果关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根分别为x＝2，x＝1，那么p，q的
1 2
值分别是（ ）
A．﹣3，2 B．3，﹣2 C．2，﹣3 D．2，3
9．定义运算：a★b=a(1-b)．若a，b是方程 的两根，则b★b-a★a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
10．某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的
总产值为175亿元，若设平均每月的增长率为 ，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．已知（m－1） ＋3x－5＝0是一元二次方程，则m＝________．
12．已知关于 的方程 的一个根是1，则 ______．
13．多项式 的最小值为________．
14．若一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是m+1与2m－4，则 =__________.
15．已知a，b，c是△ABC的三边长，若方程 有两个相等的实
数根，则△ABC是 _______ 三角形．
16．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程
（x+2）*5＝0的解为_____．
17．已知，m，n是一元二次方程 的两个实数根，则代数式
的值等于___．
18．等腰三角形ABC中， ，AB、AC的长是关于x的方程 的两根，
则m的值是___．
19．如果关于 的一元二次方程 的一个解是 ，那么代数式
的值是___________．
20．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知
矩形门的高比宽多 尺，门的对角线长 尺，那么门的高和宽各是多少?如果设门的宽为
尺，根据题意，那么可列方程___________．三、解答题
21．解方程：
（1） ； （2） ． （3） ．
22．按要求解方程．
（1） （直接开方法） （2） （公式法）
（3） （因式分解） （4） （配方法）
23．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个不相等实数根是a，b，求 的值．
24．已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得等式 成立？如果存在，请求出k的值，如果
不存在，请说明理由．25．某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装
平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市
场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
(1)求销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈
利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠？
(2)要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．
26．我们知道：
；
，
这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题：
（1）探究：当 取不同的实数时，求代数式 的最小值．
（2）应用：如图．已知线段 ， 是 上的一个动点，设 ，以 为
一边作正方形 ，再以 、 为一组邻边作长方形 ．问：当点 在 上
运动时，长方形 的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明
理由．参考答案
1．D
【分析】
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程是一元二次方程，利用一元
二次方程的定义对各选项进行判断．
解：A、方程3x﹣2＝y含有2个未知数，所以A选项不符合题意；
B、方程 x，不是整式方程，所以B选项不符合题意；
C、方程 x+1是分式方程，所以C选项不符合题意；
D、方程x2+2x＝3是一元二次方程，所以D选项符合题意．
故选D．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的定义，解决本题的关键是要熟练掌握一元二
次方程的定义.
2．D
【分析】
先把a代入方程得到3a2-a=1，然后方程两边都乘以-2得-6a2+2a=-2，从而求出答案．
解：由题意得：3a2-a-1=0，
∴3a2-a=1，
∴-6a2+2a=-2，
∴2021﹣6a2＋2a =2021-2=2019．
故选：D．
【点拨】本题考查的是逆用一元二次方程解的定义得出-6a2+2a的值，因此在解题时要
重视解题思路的逆向分析．
3．D
【分析】
先移项，再利用完全平方公式进行配方即可得．
解： ，，
，
，
故选：D．
【点拨】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟记完全平方公式是解题关键．
4．A
【分析】
根据平方的非负性可以得出﹣a≥0，再进行整理即可．
解：∵方程y2＝﹣a有实数根，
∴﹣a≥0（平方具有非负性），
∴a≤0；
故选：A．
【点拨】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是根据已知条件得出﹣a≥0．
5．B
【分析】
若一元二次方程有两不等根，则根的判别式Δ=b2-4ac＞0，建立关于k的不等式，求出
k的取值范围．
解：由题意知，方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即Δ=b2-4ac=（2k+1）2-4k2=4k+1＞0．
又∵方程是一元二次方程，∴k≠0，
∴k＞− 且k≠0．
故选：B．
【点拨】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞
0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有
实数根．也考查了一元二次方程的定义．
6．B
【分析】
直接利用分式的值为零，则分子为零，且分母不为零，进而解特殊一元二次方程得出
答案．解： 分式 的值为 ，
且 ，
∴ ，
解得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 舍去，
∴ ．
故选： ．
【点拨】本题考查分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件，一元二次方程的
解法是解题关键．
7．C
【分析】
根据一元二次方程的解法即可求出答案．
解：由题意可知： ，
∴ ，
∴ 或 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次
方程的解法，本题属于基础题型．
8．A
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系可知：x+x＝﹣p，xx＝q，把 x＝2，x＝1 代入，
1 2 1 2 1 2
即可求出p=-3，q=2.
解：由题意，得：x+x＝﹣p，xx＝q；
1 2 1 2
∴p＝﹣（x+x）＝﹣3，q＝xx＝2；
1 2 1 2
故选A．【点拨】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌
握一元二次方程根与系数的关系.
9．A
【分析】
由根与系数的关系可找出a＋b＝1，根据新运算找出b⋆b−a⋆a＝b（1−b）−a（1−a），
将其中的1替换成a＋b，即可得出结论．
解：∵a，b是方程x2−x＋ m＝0（m＜0）的两根，
∴a＋b＝1，
∴b⋆b−a⋆a＝b（1−b）−a（1−a）＝b（a＋b−b）−a（a＋b−a）＝ab−ab＝0，
故选：A．
【点拨】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出a＋b＝1．本题属于基础题，
难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键．
10．D
【分析】
设平均每月的增长率为x，则二月份工业产值为50（1+x）亿元，三月份工业产值为50
（1+x）2亿元，根据第一季度的产值为175亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题
得解．
解：设平均每月的增长率为x，则二月份工业产值为50（1+x）亿元，三月份工业产值
为50（1+x）2亿元，
依题意，得：50+50（1+x）+50（1+x）2=175．
故选：D．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元
二次方程是解题的关键．
11．－1
【分析】
根据一元二次方程的定义m-1≠0，且 ，解答即可．
解：∵（m－1） ＋3x－5＝0是一元二次方程，
∴m-1≠0，且 ，∴m-1≠0，且 ，
∴ ，
故答案为：-1．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义即含有一个未知数且含未知数项的次数最高
是2的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．
12．
【分析】
根据题意可得出1+6+m2-2m+5=0，然后解出该方程的解即可．
解：∵方程 的一个根是1，
∴1+6+m2-2m+5=0，
∴m2-2m=-12，
∴2（m2-2m）=-24．
∴
故答案为：-24
【点拨】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的
条件．
13．
【分析】
根据完全平方公式把多项式进行变形，根据非负数的性质解答即可.
解：
， ，
，
多项式 的最小值为 .
故答案为： .【点拨】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负数是解题的
关键.
14．4
【分析】
利用直接开平方法得到 ，得到方程的两个根互为相反数，所以
m+1+2m-4=0，解得m=1，则方程的两个根分别是2与-2，则有 ，然后两边平方得
到 =4．
解：由 得 ，解得 ，可知两根互为相反数.
∵一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是m+1与2m－4，
∴m+1+2m－4=0，解得m=1，
∴一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是2和-2，
∴ ，
∴ =4.
15．直角
【分析】
根据方程有两个相等实数根，即可得到Δ=b2－4ac=0即（2b）2－4（a－c）（a+c）
=0，然后利用勾股定理的逆定理判定即可.
解：∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ=b2－4ac=0，
∴（2b）2－4（a－c）（a+c）=0，整理可得a2=b2+c2，
所以 ABC是直角三角形.
故答案为△：直角
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
16．x＝3或x＝﹣7
【分析】
由题意可得x+2=a，5=b，代入所给公式得：（x+2）*5=（x+2）2-52，则可得一元二次
方程，解方程即可求得．
解：据题意得，
∵（x+2）*5＝（x+2）2﹣52
∴x2+4x﹣21＝0，
∴（x﹣3）（x+7）＝0，
∴x＝3或x＝﹣7．
故答案为：x＝3或x＝﹣7
【点拨】本题主要考查解一元二次方程，属于新定义题型，将所求方程转化为一元二
次方程是解题的关键．
17．2020
【分析】
根据一元二次方程根的定义得到m2+m=2021，则m2+2m+n=2021+m+n，再利用根与系
数的关系得到m+n=-1，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵m是一元二次方程x2+x-2021=0的实数根，
∴m2+m-2021=0，
∴m2+m=2021，
∴m2+2m+n=m2+m+m+n=2021+m+n，
∵m，n是一元二次方程x2+x-2021=0的两个实数根，
∴m+n=-1，
∴m2+2m+n=2021-1=2020．
故答案为：2020．
【点拨】本题考查了根与系数的关系：若x，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的
1 2
两根时，x+x=- ，xx= ．也考查了一元二次方程的解．
1 2 1 2
18． 或
【分析】
等腰三角形ABC中，边 可能是腰也可能是底，应分两种情况进行讨论，分别利用根与系数的关系、三角形三边关系定理求得方程的两个根，进而求得答案．
解：∵关于x的方程
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是等腰三角形， 、 的长是关于x的方程 的两根
∴①当 为底、两根 、 均为等腰三角形的腰时，有
且
即 ，此时等腰三角形的三边分别为 、 、 ，根据三角形三边关系
定理可知可以构成三角形，则 ；
②当 为腰、两根 、 中一个为腰一个为底时，有 ，
即 ，此时此时等腰三角形的三边分别为 、 、 ，根据三角形三边关系定理可知可
以构成三角形，则 ．
∴综上所述， 的值为 或 ．
故答案是： 或
【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、等腰三角形的性质、三角形三边
关系定理等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
19．
【分析】
根据关于 的一元二次方程 的一个解是 ，可以得到 的
值，然后将所求式子变形，再将 的值代入，即可解答本题．
解： 关于 的一元二次方程 的一个解是 ，
，
，．
故答案为：2020．
【点拨】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程的解的含
义．
20． 或
【分析】
设门的宽为x尺，则门的高为（x+6）尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次
方程，此题得解．
解：设门的宽为x尺，则门的高为（x+6）尺，
依题意得：
即 或 ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，找准等量
关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．（1） ;（2） ；（3）
【分析】
（1）根据直接开平方法解方程；
（2）利用配方法解方程；
（3）根据分式方程的步骤化简为整式方程，再解一元二次方程．
解：（1）
解得
（2）解得：
（3）
去分母得：
解得：
当 时，
当 时，
原方程的根为
【点拨】本题考查了解一元二次方程，解分式方程，掌握解方程的方法是解题的关键．
22．（1）x= ，x= ；（2）x= ，x= ；（3）x=﹣
1 2 1 2 1
，x=1；（4）x=21，x=﹣19
2 1 2
解：（1）（2）
（3）
或
（4）
23．（1）k>-1；（2）1
【分析】
（1）根据∆>0列不等式求解即可；（2）根据根与系数的关系求出a+b、ab的值，然后代入所给代数式计算即可.
解：（1）由题意得
∆=4+4k>0，
∴k>-1；
（2）∵a+b=-2，ab=-k，
∴
=
=
=
=1.
【点拨】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式与根的关系，以及根
与系数的关系，若x，x 为方程的两个根，则x，x 与系数的关系式： ，
1 2 1 2
．
24．（1） ；（2）
【分析】
（1）根据方程的系数结合 ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k
的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x＋x＝2，xx＝k＋2，结合 ，即可得
1 2 1 2
出关于k的方程，解之即可得出k值，再结合（1）即可得出结论．
解：（1）∵一元二次方程有两个实数根，
∴
解得 ；（2）由一元二次方程根与系数关系，
∵ ，
∴
即 ，解得 ．
又由（1）知： ，
∴ ．
【点拨】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当
△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合 ，找出关于
k的方程．
25．(1)每件降价20元(2)不可能，理由见分析
【分析】
（1）根据题意列出方程，即每件服装的利润×销售量=总盈利，再求解，把不符合题
意的舍去；
（2）根据题意列出方程进行求解即可．
(1)解：设每件服装降价x元．
由题意得：
（90-x-50）（20+2x）=1200，
解得：x=20，x=10，
1 2
为使顾客得到较多的实惠，应取x=20；
答：每件降价20元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到
较多的实惠；
(2)解：不可能，理由如下：
依题意得：
（90-x-50）（20+2x）=2000，整理得：x2-30x+600=0，
Δ=（-30）2-4×600=900-2400=-1500＜0，
则原方程无实数解．
则不可能每天盈利2000元．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一
元二次方程．
26．（1）当 时，代数式 存在最小值为-4；（2） 时，长方形
的面积存在最大值，最大值为9
【分析】
（1）仿照题干，配方后利用非负数的性质确定出结果即可；
（2）设长方形 的面积为 ，根据题意列出S与x的关系式，配方后利用非负数
的性质即可得到结果．
解：（1）∵ ，
∴当 时，代数式 存在最小值为-4；
（2）设长方形 的面积为 ，
根据题意得： ，
则 时， 存在最大值，最大值为9．
【点拨】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
