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专题 21.33 一元二次方程中考真题专练（巩固篇）
（专项练习）
一、单选题
1．（2022·内蒙古包头·中考真题）若 是方程 的两个实数根，则
的值为（ ）
A．3或 B． 或9 C．3或 D． 或6
2．（2021·四川宜宾·中考真题）若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的两个根，则
的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．12
3．（2021·内蒙古通辽·中考真题）关于x的一元二次方程 的根的
情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
4．（2021·山东泰安·中考真题）已知关于x的一元二次方程标
有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且 D．
5．（2021·四川南充·中考真题）已知方程 的两根分别为 ， ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·广西桂林·中考真题）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据
题意，下列方程正确的是（ ）
A．16（1﹣x）2＝9 B．9（1+x）2＝16
C．16（1﹣2x）＝9 D．9（1+2x）＝16
7．（2021·湖北荆州·中考真题）定义新运算“※”：对于实数 ， ， ， ，有
，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：
．若关于 的方程 有两个实数根，则
的取值范围是（ ）
A． 且 B． C． 且 D．
8．（2021·湖北武汉·中考真题）已知 ， 是方程 的两根，则代数式
的值是（ ）
A．-25 B．-24 C．35 D．36
9．（2022·湖北武汉·中考真题）若关于x的一元二次方程 有
两个实数根 ， ，且 ，则 （ ）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
10．（2021·河南·中考真题）如图1，矩形 中，点 为 的中点，点 沿
从点 运动到点 ，设 ， 两点间的距离为 ， ，图2是点 运动时 随 变
化的关系图象，则 的长为（ ）A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022·云南·中考真题）方程2x2+1=3x的解为________．
12．（2021·湖南娄底·中考真题）已知 ，则 ________．
13．（2021·江苏南京·中考真题）设 是关于x的方程 的两个根，且
，则 _______．
14．（2022·四川凉山·中考真题）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a
－14的最小值是________．
15．（2021·山东枣庄·中考真题）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于 的
方程 的两个根，则 的值为______．
16．（2021·湖北鄂州·中考真题）已知实数 、 满足 ，若关于 的一
元二次方程 的两个实数根分别为 、 ，则 _____________．
17．（2021·江苏盐城·中考真题）劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，
建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增
产的百分率为 ，则可列方程为________．
18．（2021·浙江丽水·中考真题）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一
道代数式求值问题：
已知实数 同时满足 ，求代数式 的值．
结合他们的对话，请解答下列问题：（1）当 时，a的值是__________．
（2）当 时，代数式 的值是__________．
三、解答题
19．（2022·湖北十堰·中考真题）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为 ， ，且 ，求 的值．
20．（2022·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程 有实数
根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为 ，若 ，求k的值．
21．（2022·江苏泰州·中考真题）如图，在长为50 m，宽为38 m的矩形地面内的四
周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260 m2，道路的宽应为多少？22．（2022·四川眉山·中考真题）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资
金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每
个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改
造多少个老旧小区？
23．（2022·贵州毕节·中考真题）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B
两款冰嫩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）
类别
A款钥匙扣 B款钥匙扣
价格
进货价（元/件） 30 25
销售价（元/件） 45 37
(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
(2)第一次购进的冰墩嫩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣
共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，
才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
(3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每
天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元
时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？24．（2022·四川凉山·中考真题）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x，x，则x＋x
1 2 1 2
＝ ，xx＝
1 2
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x，x，则x＋x＝ ；
1 2 1 2
xx＝ ．
1 2
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求 的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求 的值．参考答案
1．A
【分析】
结合根与系数的关系以及解出方程 进行分类讨论即可得出答案．
解：∵ ，
∴ ，
,则两根为：3或-1，
当 时， ，
当 时， ，
故选：A．
【点拨】此题考查了根与系数的关系以及解二元一次方程，正确解出方程进行分类讨
论是解题的关键．
2．C
【分析】
由于m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m＋
n=−3，mn=−9，而m是方程的一个根，可得m2＋3m−9=0，即m2＋3m=9，那么m2＋4m＋
n=m2＋3m＋m＋n，再把m2＋3m、m＋n的值整体代入计算即可．
解：∵m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根，∴m＋n＝−3，mn＝−9，
∵m是x2＋3x−9＝0的一个根，
∴m2＋3m−9＝0，
∴m2＋3m＝9，
∴m2＋4m＋n＝m2＋3m＋m＋n＝9＋（m＋n）＝9−3＝6．
故选：C．
【点拨】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2＋bx＋
c＝0（a≠0）两根x、x 之间的关系：x＋x=− ，x•x= ．
1 2 1 2 1 2
3．A
【分析】
先计算判别式，再根据一元二次方程根与判别式的关系即可得答案．
解：△=[-（k-3）]2-4（-k+1）
=k2-6k+9+4k-4
=（k-1）2+4，
∵（k-1）2≥0，
∴（k-1）2+4≥4，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点拨】本题考查的是根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），判别式
△=b2-4ac，当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数
根；当△＜0时，方程无实数根．
4．C
【分析】
由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出
“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围．
解：由题可得： ,
解得： 且 ；
故选：C．【点拨】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，
解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求
出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．
5．B
【分析】
根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系可得 ， ，再代入
通分计算即可求解．
解：∵方程 的两根分别为 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ = = = = =-1
．
故选B．
【点拨】本题考查了一元二次方程解的定义及根与系数的关系，熟练运用一元二次方
程解的定义及根与系数的关系是解决问题的关键．
6．A
【分析】
根据该药品得原售价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此
题得解．
解：依题意得：16（1-x）2=9．
故选：A．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元
二次方程是解题的关键．
7．C
【分析】
按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式
两个方面入手，即可解决．解：∵[x2+1，x]※[5−2k，k]=0，
∴ ．
整理得， ．
∵方程有两个实数根，
∴判别式 且 ．
由 得， ，
解得， ．
∴k的取值范围是 且 ．
故选：C
【点拨】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定
义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间
的对应关系是解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，
要引起高度重视．
8．D
【分析】
先根据已知可得 ， ，a+b=3，然后再对 变
形，最后代入求解即可．
解：∵已知 ， 是方程 的两根
∴ ， ，a+b=3
∴ =0+5+30+1=36．
故选D．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系以及整式的变形，根据
需要对整式灵活变形成为解答本题的关键．
9．A
【分析】
根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出 ，把 变形为
，再代入得方程 ，求出m的值即可．
解：∵关于x的一元二次方程 有两个实数根,
∴ ,
∴
∵ 是方程 的两个实数根,
∵ ，
又
∴
把 代入整理得,
解得,
故选A
【点拨】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键
是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合
，找出关于m的一元二次方程．
10．C
【分析】
先利用图2得出当P点位于B点时和当P点位于E点时的情况，得到AB和BE之间的
关系以及 ，再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中点定义得到BC的值．
解：由图2可知，当P点位于B点时， ，即 ，
当P点位于E点时， ，即 ，则 ，∵ ,
∴ ,
即 ,
∵
∴ ,
∵点 为 的中点，
∴ ,
故选：C．
【点拨】本题考查了学生对函数图象的理解与应用，涉及到了勾股定理、解一元二次
方程、中点的定义等内容，解决本题的关键是能正确理解题意，能从图象中提取相关信息，
能利用勾股定理建立方程等，本题蕴含了数形结合的思想方法．
11．
【分析】
先移项，再利用因式分解法解答，即可求解．
解：移项得： ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得： ，
故答案为： ．
【点拨】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活选
用合适的方法解答是解题的关键．
12．3．
【分析】
先将要求解的式子进行改写整理再利用已知方程进行求解即可．
解： ，
又∵ ，
∴ ，则 ，
故答案为：3．
【点拨】本题是一元二次方程求对应解的题目，解题的关键是将求解式子进行变形再
利用已知方程进行简便运算．
13．2
【分析】
先利用根与系数的关系中两根之和等于3，求出该方程的两个根，再利用两根之积得
到k的值即可．
解：由根与系数的关系可得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ;
故答案为：2．
【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解决本题的关键是牢记公式，
即对于一元二次方程 ，其两根之和为 ，两根之积为 ．
14．6
【分析】
根据a－b2＝4得出 ，代入代数式a2－3b2＋a－14中，通过计算即可得到答案．
解：∵a－b2＝4
∴
将 代入a2－3b2＋a－14中
得：∵
∴
当a=4时， 取得最小值为6
∴ 的最小值为6
∵
∴ 的最小值6
故答案为：6．
【点拨】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成
求解．
15．8或9
【分析】
分4为等腰三角形的腰长和4为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程
根的定义、根的判别式求解即可得．
解：由题意，分以下两种情况：
（1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于 的方程 的一个根，
因此有 ，
解得 ，
则方程为 ，解得另一个根为 ，
此时等腰三角形的三边长分别为 ，满足三角形的三边关系定理；
（2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于 的方程 有两个相等的实数
根，
因此，根的判别式 ，
解得 ，
则方程为 ，解得方程的根为 ，
此时等腰三角形的三边长分别为 ，满足三角形的三边关系定理；
综上， 的值为8或9，故答案为：8或9．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的定义、根的判别式、等腰三角形的定义等知识
点，正确分两种情况讨论是解题关键．需注意的是，要检验三边长是否满足三角形的三边
关系定理．
16．
【分析】
根据非负性求得a、b的值，再根据一元二次方程根与系数关系求得 + 、 ，代
入 求解即可．
解：∵实数 、 满足 ，
∴a﹣2=0，b+3=0，
解得：a=2，b=﹣3，
∴ ，
∵一元二次方程 的两个实数根分别为 、 ，
∴ + =2， =﹣3，
∴ = ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查代数式求值、二次根式被开方数的非负性、绝对值的非负性、一元
二次方程根与系数，熟练掌握非负性和一元二次方程根与系数关系是解答的关键．
17．
【分析】
此题是平均增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），结合本题，
如果设平均每年增产的百分率为x，根据“粮食产量在两年内从300千克增加到363千克”，
即可得出方程．解：设平均每年增产的百分率为x；
第一年粮食的产量为：300（1+x）；
第二年粮食的产量为：300（1+x）（1+x）＝300（1+x）2；
依题意，可列方程：300（1+x）2＝363；
故答案为：300（1+x）2＝363．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变
化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a
（1±x）2＝b．
18． 或1 7
【分析】
（1）将 代入 解方程求出 ， 的值，再代入 进行验
证即可；
（2）当 时，求出 ，再把 通分变形，最后进行整体代入求值即可．
解：已知 ，实数 ， 同时满足①，②，
①-②得，
∴
∴ 或
①+②得，
（1）当 时，将 代入 得，
解得， ，
∴ ，
把 代入 得，3=3，成立；
把 代入 得，0=0，成立；∴当 时，a的值是1或-2
故答案为：1或-2；
（2）当 时，则 ，即
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：7．
【点拨】此题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，完全平方公式以及求代数式
的值和分式的运算等知识，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答此题的关键．
19．(1)见解析(2)
【分析】
（1）根据根的判别式 ，即可判断；
（2）利用根与系数关系求出 ，由 即可解出 ， ，再根据
，即可得到 的值．
解：(1) ，
∵ ，
∴ ，
该方程总有两个不相等的实数根；
(2) 方程的两个实数根 ， ，
由根与系数关系可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ， ，∴ ，即 ．
【点拨】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式
以及根与系数的关系．
20．(1)k ；(2)k=3
【分析】
根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2） 0，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到 ，将等式左侧展开代入计算即可
得到k值．
(1)解：∵一元二次方程 有实数根．
∴ 0，即32-4（k-2） 0，
∆
解得k
(2)∵方程的两个实数根分别为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得k=3．
【点拨】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟
练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键．
21．4
【分析】
根据题意设道路的宽应为x米，则种草坪部分的长为(50−2x)m，宽为(38−2x)m，再根
据题目中的等量关系建立方程即可得解．
解：设道路的宽应为x米，由题意得
(50-2x)×(38-2x)=1260
解得：x=4，x=40(不符合题意，舍去)
1 2答：道路的宽应为4米．
【点拨】此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是能根据题目中的等量关
系建立方程．
22．(1)20%(2)18个
【分析】
（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 ，根据2019年投入资金
2021年投入的总资金，列出方程求解即可；
（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小
区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可．
(1)解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 ，
根据题意得： ，
解这个方程得， ， ，
经检验， 符合本题要求．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
(2)设该市在2022年可以改造 个老旧小区，
由题意得： ，
解得 ．
∵ 为正整数，∴最多可以改造18个小区．
答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．
【点拨】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相
应的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式．
23．(1)A、B两款钥匙扣分别购进20件和10件(2)购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进
B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元(3)销售价定为每件30元或34元时，
才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元
【分析】
(1)设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，根据“用850元购进A、B两款钥匙扣共30
件”列出二元一次方程组即可求解；
(2)设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，根据“进货总价不高于2200元”列出不等式 求出 ；设销售利润为 元，
得到 ， 随着m的增大而增大，结合m的范围由此即可求出最大利润；
(3)设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，
每件的利润为(12-a)元，由“平均每天销售利润为90元”得到(4+2a)(12-a)=90，求解即可．
(1)解：设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，
由题意可知： ，
解出： ，
故A、B两款钥匙扣分别购进20和10件．
(2)解：设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，
由题意可知： ，
解出： ，
设销售利润为 元，则 ，
∴ 是关于m的一次函数，且3＞0，
∴ 随着m的增大而增大，
当 时，销售利润最大，最大为 元，
故购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最
大为1080元．
(3)解：设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售
(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，
由题意可知：(4+2a)(12-a)=90，
解出：a=3，a=7，
1 2
故B款冰墩墩钥匙扣售价为34元或30元一件时，平均每天销售利润为90元．
【点拨】本题考察了二元一次方程组、一元一次不等式的应用、一次函数增减性求利
润最大问题及一元二次方程的应用，属于综合题，读懂题意是解决本题的关键．
24．(1) ； (2) (3) 或
【分析】
（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；（2）根据根与系数的关系先求出 ， ，然后将 进行变形求解即
可；
（3）根据根与系数的关系先求出 ， ，然后求出s-t的值，然后将
进行变形求解即可．
(1)解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x，x，
1 2
∴ ， ．
故答案为： ； ．
(2)∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，
∴ ， ，
∴
(3)∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，
∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，
∴ ， ，
∵∴ 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
综上分析可知， 的值为 或 ．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，
根据根与系数的关系求出 或 ，是解答本题的关键．
