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专题 21.13 一元二次方程解法-因式分解法（巩固篇）
（专项练习）
一、单选题
1．方程 的根是（ ）
A． B． ，
C． ， D．
2．在数轴上原点两侧两点A、B，其中点A表示的数是a，点B表示的数是 ，如
果A，B两数的绝对值相等，那么a的值是（ ）
A．0或2 B．0 C．2 D．-2
3．在平面直角坐标系中，点 与点 关于 对称，则 的值为
（ ）
A．1 B．3或1 C． 或1 D．3或
4．已知关于 的方程 的两个根为 ， ，则二次三项式
可分解为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+4（x2﹣2x+1）﹣5＝0，那么x2﹣2x+1的值为（
）
A．﹣5或1 B．﹣1或5 C．1 D．5
6．若实数 、 满足 ，则a2+b2的值为（ ）
A．-5 B．-2或5 C．2 D．-5或-2
7．用换元法解分式方程 时，如果设 ，则原方程可化为关于的整式方程是（ ）．
A． B．
C． D．
8．解方程 时．如果设 ，那么原方程可化为（ ）
A． B． C． D．
9．已知矩形的长和宽是方程 的两个实数根，则矩形的对角线的长为
（ ）
A．6 B．7 C．20 D．
10．已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程x2﹣14x＋48＝0的两根，则此三
角形的斜边长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
11．若三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 的根，则此三
角形的周长为（ ）
A．12 B．14 C．12或14 D．13或15
12．如图，一次函数y=-3x+4的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上
（不与点A，B重合），过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，D．若矩形OCPD的
面积为1时，则点P的坐标为（ ）
A．（ ，3） B．（ ，2） C．（ ，2）和（1，1） D．（ ，3）和（1，
1）
二、填空题13．方程 的解是______．
14．已知关于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0，若m＞0，且该方程较大的实数根为
1，则m的值为_________．
15．方程 的解是_____．
16．若 ， ， ，则 __________．
17．方程x2 3x﹣4中，如果设y＝x2﹣3x，那么原方程可化为关于y的整式方
程是________．
18．已知实数a、b满足 ，则 的值为___________．
19．在实数范围内，已知 ，则 的值是______．
20．阅读下面的材料，回答问题：
解方程 ，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设 ，那么 ，于是原方程可变为 ①，解得 ， ．
当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴ ；
∴原方程有四个根： ， ， ， ．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用__法达到__的目的，体现了数学的转化思
想．
（2）方程 的解为________________．
21．如果m是方程x2＋2x－3＝0的实根，那么代数式m3－7m的值是 _____．
22．“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程x3－x＝0，它的
解是_____________．
23．已知正比例函数 图像上有一个点 ，点 的横坐标是方程x2+6x﹣91＝0
的根，则点 的纵坐标为 ___．
24．如图，点 在数轴的负半轴，点 在数轴的正半轴，且点 对应的数是 ，点对应的数是 ，已知 ，则 的值为______．
三、解答题
25．解方程：
(1)x2－2x－3＝0 (2)（x﹣3）2＝2x﹣6
26．用适当的方法解下列方程：
(1) (2)
27．阅读下列例题的解答过程：
解方程：3（x－2）2＋7（x－2）＋4＝0
解：设x－2＝y，则原方程化为：3y2＋7y＋4＝0
∵a＝3，b＝7，c＝4，∴b2－4ac＝72－4×3×4＝1
∴y＝ ．
∴y＝－1，y＝－ ．
1 2
当y＝－1时，x－2＝－1，∴x＝1；
②当y＝－ 时，x－2＝－ ，∴x＝ ．
∴原方程的解为：x＝1，x＝ ．
1 2
(1)请仿照上面的例题解一元二次方程：（x－3）2－5（x－3）－6＝0；(2)若 ，求代数式 的值．
28．例：解方程
解：设 ，则
解得 或
当 时有 ，解得
当 时有 ，解得
∴原方程的解为 或
认真阅读例题的解法，体会解法中蕴含的数学思想，并使用例题的解法及相关知识解
方程
29．阅读例题，解答问题：
例：解方程 ．
解：原方程化为 ．
令 ，原方程化成解得 ， （不合题意，舍去）．
． ．
∴原方程的解是 ，
请模仿上面的方法解方程： ．
30．以下是婷婷解方程 x（x－3）＝2（x－3）的解答过程：
解：方程两边同除以（x－3），得：x＝2
∴原方程的解为x＝2
试问婷婷的解答过程是否有错误？ 如果有错误，请写出正确的解答过程．
31．对于实数a、b，定义一种新运算“a☆b”，规定如下： ，例如
．
(1)若 ，则满足条件的x值为______；
(2)对于 ，存在两个不同的数值x，求a的取值范围；
(3)若 时，求x的取值范围．32．阅读例题，解答问题：
例：解方程x2﹣|x|﹣2＝0，
解：原方程化为|x|2﹣|x|﹣2＝0．
令y＝|x|，
∴y2﹣y﹣2＝0
解得：y＝2，y＝-1
1 2
当|x|＝2，x＝±2；
当|x|＝-1时（不合题意，舍去）
∴原方程的解是x＝2，x＝-2，
1 1
仿照上例解方程（x+1）2﹣5|x+1|﹣6＝0．
参考答案
1．C
【分析】
移项后用因式分解法求解即可．
解：∵x(x−2)=x−2，
∴x(x−2)−(x−2)=0，
∴(x−2)(x−1)=0，
∴x-2=0，或x-1=0，
∴x=2，x=1．
1 2
故选：C．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因
式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
2．D
【分析】
根据A，B两数的绝对值相等，且在数轴上原点两侧，可得关于a的一元二次方程，解
方程并检验即可得到答案．
解：∵点A、B在数轴上原点两侧，且表示的两数的绝对值相等，
∴ ，
解得： ，当 时，点A、B表示的两数都是0，是在数轴上的同一个点，
∴不符合题意，应舍去，
∴ ．
故选：D．
【点拨】本题考查了数轴上绝对值相等的两点对应的数之间的关系，涉及到了绝对值
的意义，相反数的概念和解一元二次方程等知识点，解决本题的关键是能正确列出方程并
且正确求解，最后要检验结果是否符合题意．
3．C
【分析】
先根据关于 轴对称点的坐标特点建立方程，然后解一元二次方程，即可得出结果．
解：∵ 、 两点关于 轴对称，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了关于 轴对称点的坐标特点和解一元二次方程，根据关于 轴对
称点的坐标特点建立方程是解题的关键．
4．C
【分析】
根据方程的两根，将其配成两个相乘的式子，即是原方程的分解式，即可得出答案．
解：∵关于 的方程 的两个根为 ， ，
∴原方程为：（x－1）（x＋2）＝0，
∴二次三项式 可分解为 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了一元二次方程解的定义，运用因式分解法反向求方程的分解式．
5．C
【分析】
设y＝x2﹣2x+1，将已知方程转化为关于y的一元二次方程，然后利用因式分解法解方
程即可．解：设y＝x2﹣2x+1，则y2+4y﹣5＝0，
整理，得（y+5）（y﹣1）＝0，
解得y＝﹣5（舍去）或y＝1，
即x2﹣2x+1的值为1，
故选C．
【点拨】本题考查了用换元法解和因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌
握换元法解和因式分解法．
6．C
【分析】
根据换元法，令a2+b2=m，将原式整理成含有m的一元二次方程，解出m的值，根据
题意对m的值进行取舍即可.
解：令a2+b2=m，
原式可化为： ，
即 ，
解得：m=-5或m=2，
因为a2+b2≥0
所以m=2
a²+b²=2
故答案为C.
【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，利用换元法求一元二次方程根，进而求出
相应代数式的值，解决本题的关键是正确理解题意，能够用m将所求式子替换下来.
7．C
【分析】
根据换元法，可得答案．
解：设x2﹣x＝y，原方程等价于y﹣1＋ ＝0，
两边都乘以y，得
y2﹣y＋2＝0，
故选：C．
【点拨】本题考查了解分式方程，解题的关键是利用换元法．
8．A【分析】
根据方程的特点，设 ，可将方程中的 全部换成 ，转化为关于 的分式方
程，去分母转化为一元二次方程．
解：把 代入原方程得： ，方程两边同乘以 整理得： .
故选A.
【点拨】此题考查换元法解分式方程，解题关键在于掌握运算法则.
9．D
【分析】
设矩形的长和宽分别为a、b，解出a、b，利用勾股定理得到矩形的对角线长
，代入计算出矩形的对角线长即可．
解：设矩形的长和宽分别为a、b，
∵x2﹣6x+8＝0
∴(x﹣4)(x﹣2)=0
∴x=4或x=2，
∵长和宽是方程的两个实数根
∴a＝4，b＝2，
所以矩形的对角线长 2 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，也考查了矩形的性质及勾股定理，熟练掌
握一元二次方程的解法及勾股定理是解题的关键．
10．C
【分析】
先解方程x2-14x+48=0，得出两根，再利用勾股定理来求解即可．
解：∵x2﹣14x+48＝0，
∴（x﹣6）（x﹣8）＝0，
∴x＝6或8；
∴两直角边为6和8，∴此三角形的斜边长＝ ＝10，
故选：C．
【点拨】本题考查一元二次方程的解法，用到的知识点是因式分解法和勾股定理，关
键是根据方程的特点选择合适的解法．
11．A
【分析】
首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．
解：解方程 得： ，
∵1＜第三边的边长＜7，
∴第三边的边长为5．
∴这个三角形的周长是3+4+5=12．
故选：A．
【点拨】此题考查因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系，解题关键在于要
注意已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
12．D
【分析】
由点P在线段AB上可设点P的坐标为（m，-3m+4）（0＜m＜ ），进而可得出
OC=m，OD=-3m+4，结合矩形OCPD的面积为1，即可得出关于m的一元二次方程，解之
即可得出m的值，再将其代入点P的坐标中即可求出结论．
解：∵点P在线段AB上（不与点A，B重合），且直线AB的解析式为y=-3x+4，
∴设点P的坐标为（m，-3m+4）（0＜m＜ ），
∴OC=m，OD=-3m+4．
∵矩形OCPD的面积为1，
∴m（-3m+4）=1，
∴m= ，m=1，
1 2
∴点P的坐标为（ ，3）或（1，1）．
故选：D．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及解一元二次方程，利用一次函
数图象上点的坐标特征及，找出关于m的一元二次方程是解题的关键．
13．0或2022
【分析】
先将x提取出来，可得等式 ，则x=0或x-2022=0，由此可解出x的值．
解： ，
，
则x=0或x-2022=0，
解得： ， ，
故答案为：0或2022．
【点拨】本题考查利用提取公因式解一元二次方程，能够掌握提取公因式是解决本题
的关键．
14．
【分析】
直接由因式分解法解出一元二次方程的两根，然后根据 比较大小代入即可得出答
案．
解： ，
，
即方程的两根为 ， ，
，
，即 ，得 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元
二次方程．
15．x＝﹣1
【分析】
将方程两边同时平方，再解一元二次方程，根据二次根式有意义的条件取舍解．解：∵ ，
∴5x+6＝x2，
∴x2﹣5x﹣6＝0，
（x﹣6）（x+1）＝0
∴x＝6，x＝﹣1，
1 2
当x＝6时原方程没有意义，
∴x＝﹣1．
答案：x＝﹣1．
【点拨】本题考查了解无理方程，解一元二次方程，二次根式有意义的条件，正确的
计算是解题的关键．
16．25
【分析】
根据题意原方程可变形为 ，再利用因式分解法解答，即可求
解．
解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
故答案为：25
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，二次根式的性质，熟练掌握一元二次方程
的解法是解题的关键．17．y2+4y﹣1＝0
【分析】
先将原方程移项，把y＝x2﹣3x代入整理即可得到答案．
解：原方程移项得：x2﹣3x 4＝0中，
把y＝x2﹣3x代入原方程得：y 4＝0，
方程两边同乘以y整理得：y2+4y﹣1＝0．
故答案为：y2+4y﹣1＝0．
【点拨】此题考查了用换元法解一元二次方程，正确掌握方程换元的方法是解题的关
键．
18．4
【分析】
设y=a2+b2，原式化为关于y的一元二次方程，求出方程的解得到y的值，即为a2-b2的
值．
解：设y=a2+b2，原式化为y2-2y-8=0，即（y-4）（y+2）=0，
可得y-4=0或y+2=0，
解得：y=4，y=-2，
1 2
∵y=a2+b2>0
∴a2+b2=4．
故答案为：4．
【点拨】本题考查了换元法解一元二次方程，学生做题时注意a2+b2的值为正数．
19．-3
【分析】
直接利用换元法解方程，再利用一元二次方程的解法分析得出答案．
解：设 ，
则 ，
，
故 ，解得： ， ，
当 时，
则 ，
此时 ，
此方△程无解，
故 ，
故 的值是 ．
故答案为： ．
【点拨】此题主要考查了换元法解方程，正确解一元二次方程是解题关键．
20． 换元 降次 ，
【分析】
（1）本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，
然后再解这个一元二次方程．
（2）利用题中给出的方法先把x2＋x当成一个整体y来计算，求出y的值，再解一元
二次方程．
解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学
的转化思想．
（2）设x2＋x＝y，原方程可化为y2−4y−12＝0，
解得y
1
＝6，y
2
＝−2．
由x2＋x＝6，得x
1
＝−3，x
2
＝2．
由x2＋x＝−2，得方程x2＋x＋2＝0，
△ b2−4ac＝1−4×2＝−7＜0，此时方程无实根．
所=以原方程的解为x
1
＝−3，x
2
＝2．
故答案为：① 换元；②降次；③x
1
＝−3，x
2
＝2．
【点拨】本题应用了换元法，把关于x的方程转化为关于y的方程，这样书写简便且
形象直观，并且把方程化繁为简化难为易，解起来更方便．
21．
【分析】先求出m的值，再代入代数式求解即可．
解： x2＋2x－3＝0
m是方程x2＋2x－3＝0的实根
或
故答案为： ．
【点拨】本题考查了代数式的计算问题，掌握解一元二次方程的方法、代入法是解题
的关键．
22．
【分析】
先把方程的左边分解因式，再化为三个一次方程进行降次，再解一次方程即可.
解：
则 或 或
解得：
故答案为：
【点拨】本题考查的是利用因式分解的方法把高次方程转化为一次方程，掌握“因式
分解的方法与应用”是解本题的关键.
23． 或 ## 或
【分析】
根据因式分解法解一元二次方程，进而将两根分别代入正比例函数解析式即可求得点
的纵坐标解：x2+6x﹣91＝0
即
解得
点 的横坐标是方程x2+6x﹣91＝0的根，
当 ，解得 ，当 时，解得
点 的纵坐标为 或
故答案为： 或
【点拨】本题考查了解一元二次方程，正比例函数上点的特征，正确的解一元二次方
程是解题的关键．
24．-2
【分析】
根据数轴上点的位置可得 ，即可得到 ，由此
解方程，再根据 即 进行求解即可．
解：由数轴上点的位置可得 ，
∴ 即 ，
∴ ，
解得 或 ，
∵ 即 ，
∴ ，
故答案为：-2．
【点拨】本题主要考查了数轴上两点的距离，解一元二次方程，解题的关键在于能够
熟练掌握数轴上两点的距离以及解一元二次方程的方法．
25．(1)x＝3，x＝－1
1 2
(2)x＝3，x＝5
1 2【分析】
（1）把常数项移到右边后，用配方法解一元二次方程即可；
（2）把右边部分移项后，用因式分解法解一元二次方程即可．
(1)
解：x2－2x－3＝0
移项，得：x2－2x＝3，
配方，得：x2－2x＋1＝3＋1，
即（x－1）2＝4．
两边同时开方，得：x－1＝±2，
∴x＝3，x＝－1．
1 2
(2)
解：（x﹣3）2＝2x﹣6
∵（x﹣3）2＝2（x﹣3），
∴（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，
则（x﹣3）（x﹣5）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣5＝0，
解得：x＝3，x＝5．
1 2
【点拨】此题考查了用配方法和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方
程的方法和步骤是解题的关键．
26．(1) (2)
【分析】
根据因式分解法解一元二次方程即可
解：(1)
解得
(2)解得
【点拨】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
27．(1) (2)
【分析】
（1）令 ，则原方程为 ，然后根据因式分解法进行求解方程即可；
（2）令 ，则原方程可化简为 ，然后根据因式分解法进行求解
方程即可．
(1)
解：令 ，则原方程为 ，
∴ 或 ，
∴ ，
当 时，则 ，解得： ；
当 时，则 ，解得： ；
∴原方程的解为 ；
(2)
解：令 ，则原方程可化简为 ，
∴ 或 ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时不符合题意，
∴ ，即 ；∴原方程的解为 ．
【点拨】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用换元法求解一元二次方程
是解题的关键．
28． ，
【分析】
利用题中给出的方法先把(2x+1)3当成一个整体t来计算，求出t的值，再解一元二次方
程．
解：设 ，则 ，
解得 或 ，
当 时有 ，解得 ，
当 时有 ，解得 ，
∴原方程的解为 ， ．
【点拨】本题考查了一元二次方程-换元法，看懂题例理解换元法是关键．换元法的一
般步骤有：设元、换元、解元、还原几步．
29． ，
【分析】
根据题意利用换元法解一元二次方程，然后解绝对值方程即可．
解：原方程化为 ．
令 ，原方程化成 ．
解得 ， （不合题意，舍去）．
，
．
∴原方程的解是 ， ．
【点拨】本题主要考查了用换元法和因式分解法解一元二次方程，解绝对值方程，解题的关键在于能够准确根据题意使用换元法解方程．
30．有错误，见分析
【分析】
首先判断出婷婷解方程的过程是错误的，再移项后分解因式，即可得出两个一元一次
方程，求出方程的解即可．
解：婷婷的解答过程有错误．
移项，得：
x－3＝0或x－2＝0
，
【点拨】本题考查了解一元二次方程，能够选择适当的方法解一元二次方程是解此题
的关键．
31．(1)2或 (2) 且a≠1 (3) 或
【分析】
（1）根据定义列出一元二次方程，解方程求解即可；
（2）根据定理列出一元二次方程，根据一元二次方程有2个不同实根，令 ，求
得 的范围即可；
（3）根据题意列出不等式，进而因式分解，根据同号为正列出一元一次不等式组求解
即可
(1)
解：
即
解得故答案为： 或
(2)
即
∵存在两个不同的数值x，
，且a≠1，
解得 且a≠1
(3)
即
则 或
解得 或
【点拨】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解一
元一次不等式组，理解新定义是解题的关键．
32． ，
【分析】
原方程化为 ，令 ，得 ，再利用因式分解法
解一元二次方程即可．
解：原方程化为 ，
令 ，∴ ，
解得 ，
当 ， ，即x＝5或x＝-7，
当 时（不合题意，舍去），
∴原方程的解是 ， ．
【点拨】本题主要考查解一元二次方程和换元法，解一元二次方程常用的方法有：直
接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方
法．
