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第五章 分式与分式方程
时间:90分钟 满分:100分
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选
项符合题意)
2 x 2
1.(2022·陕西渭南期末)对于① ,② ,③ =3,下列说法正确的是 ( )
x 2 x
A.①,②,③均是分式
B.①是分式,②不是分式,③是分式方程
C.①不是分式,②是分式,③是分式方程
D.①,②均不是分式
1 1
2.(2022·山东济南五十六中期中)计算 - 的结果是 ( )
x-3 x+3
6 6
A. B.-
x2-9 x2-9
1 1
C. D.-
x2-9 6
3.(2021·山东济南平阴期末)下列关于分式的判断,正确的是 ( )
x+1
A.当x=2时, 的值为零
x-2
4
B.无论x为何值, 的值总为正数
x2+3
3
C.当x=-1时, 有意义
x+1
x-3
D.当x=3时, 无意义
3
x+ y
4.(2022·河北邯郸期末)如果将分式 中的x和y都扩大为原来的3倍,那么分
6xy
式的值( )
1
A.缩小到原来的
3
B.扩大到原来的3倍
C.不变
D.扩大到原来的9倍x+2 2a+1
5.(2021·江苏南京玄武区期中)若x=1是分式方程 = 的解,则a的值是
2x-1 a-1
( )
A.-1 B.3 C.4 D.1
16a2-b2
6.化简 时,小明、小华两位同学的化简过程如下.
4a+b
16a2-b2 (4a+b)(4a-b)
小明: = =4a-b.
4a+b 4a+b
16a2-b2 (16a2-b2)(4a-b)
小华: = =4a-b.
4a+b (4a+b)(4a-b)
对于上述化简过程,你的看法是 ( )
A.都正确
B.都不正确
C.小华正确,小明不正确
D.小明正确,小华不正确
7.(2022·甘肃庆阳期末)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:“六贯
二百一十钱,倩人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”其大意为:现请人
代买一批椽,这批椽的价钱为6 210文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽
后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,问6 210文能买多少株椽.设这批椽的
数量为x株,则符合题意的方程为 ( )
6210 6210
A. =3 B. =3
x x-1
6210 6210
C.3(x-1)= D.3(x-1)=
x x-1
1 1 a-2ab+b
8.若 + =1,则 的值为 ( )
a b 3a+2ab+3b
1
A. B.-1
5
1
C.- D.-3
5
1 1
9.(2021·浙江湖州南浔区期末)已知a =x+1(x≠0且x≠1),a = ,a = ,…,a =
1 2 1-a 3 1-a n
1 2
1
,则a =( )
1-a 2 022
n-1
A.-x+1 B.x+1x 1
C. D.-
x+1 x
{ x-a≤2,
10.(2022·湖南长沙岳麓区段考)若整数a使得关于x的不等式组 有解,
x-3a≥-4
ax 3
且使得关于x的分式方程 - =-3有正整数解,则满足条件的所有整数a之
x-3 3-x
和为 ( )
A.-3 B.-2 C.0 D.1
二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
2ab
11.(2022·江苏宿迁宿豫区期中)约分: = .
6a2b
12.已知三张卡片上面分别写有6,x-1,x2-1,若从中任选两张卡片,并将上面的整式
分别作为分子、分母,则能组成的最简分式为 .(写出一个即可)
5x+1 a b
13.已知 = + ,则a+b= .
x(x+1) x x+1
14.(2021·江苏盐城期末)5G网络引领时代发展.5G网络峰值速率为4G网络峰值
速率的10倍,在峰值速率下传输100兆数据,5G网络比4G网络快9秒,则4G网络
的峰值速率为 .
2 x 5 2 2y
15.(2022·浙江温州期末)若方程 = -3的解为x= ,则方程 = -3
1-x x-1 2 1-2y 2y-1
的解为y= .
2x 3-m
16.(2022·湖北武汉武昌区期末改编)小明在解分式方程 + =1的过程中,去
x-2 2-x
分母时,方程右边的1没有乘以任何整式,若此时求得方程的根为x=3,则m的值为
.
三、解答题(共6小题,共52分)
17.(共2小题,每小题4分,共8分)解下列分式方程:
2 4
(1) = ;
x-1 x2-1x 2x+1
(2) = -1.
x+1 x
18.(8分)(2021·四川遂宁实验中学月考)已知P= m3-2m2 ÷( 9 +m+3).
m2-4m+4 m-3
(1)化简P;
(2)已知m是两边长分别为2和3的三角形的第三边长,且m是整数,求P的值.
19.(8分)老师在黑板上书写了一个式子的正确计算结果,随后用手遮住了原式的
一部分,如图.
( - x2-1 )÷ x =x+1.
x2-2x+1 x+1 x-1
(1)求被手遮住的部分,并将其化简.
(2)原式的值能等于-1吗?请说明理由.x x-12
20.(8分)(2022·山西吕梁期末)(1)下面是小颖解分式方程 + =1的过程.
x-3 x2-3x
解:方程两边同时乘以 ,
得x2+x-12=x(x-3), 第一步
去括号,得x2+x-12=x2-3x, 第二步
移项、合并同类项,得4x=12, 第三步
解得x=3. 第四步
请回答下列问题.
①第一步中“ ”处应填写为 ,这一步的目的是 ,其依据是
.
②小颖在反思上述解答过程时发现缺少了关键步骤.请你补全小颖的解答过程,并
说明补全部分不能缺少的理由.
|a b| |a b|
(2)新概念运用:“ ”称为“二阶行列式”,规定运算法则为 =ad-bc.请根
c d c d
| 2 1 |
据上述法则,求下列等式中x的值: =1.
1 1
1-x x-121.(9分)(2021·广东广州番禺区期末)在某遥控船模比赛中,赛道长100米,“番畅
号”和“挑战号”两赛船进行比赛.两赛船从起点同时出发,“番畅号”到达终点
时,“挑战号”离终点还有5米,已知“番畅号”的平均速度为5米/秒.
(1)求“挑战号”的平均速度.
(2)如果两赛船重新开始比赛,“番畅号”从起点后退5米,若两赛船同时出发,能否
同时到达终点?若能,请求出两赛船到达终点的时间;若不能,请说明理由,并重新调
整一艘赛船的平均速度使两赛船能够同时到达终点.
22.(11分)(2022·山西运城盐湖区期末)【阅读材料】若分式A与分式B的差等于
它们的积,即A-B=A·B,则称分式B是分式A的“关联分式”.
1 1
例如 与 .
x+1 x+2
1 1 1
解:∵ - = ,
x+1 x+2 (x+1)(x+2)
1 1 1
× = ,
x+1 x+2 (x+1)(x+2)
1 1
∴ 是 的“关联分式”.
x+2 x+1
【解决问题】
2 2 2
(1)已知分式 ,则 的“关联分式”(填“是”或“不是”).
a2-1 a2+1 a2-1
1
(2)小明在求分式 的“关联分式”时,用了以下方法.
x2+ y2
1
解:设分式 的“关联分式”为B,
x2+ y21 1
则 -B= ×B,
x2+ y2 x2+ y2
1 1
∴( +1)B= ,
x2+ y2 x2+ y2
1
∴B= .
x2+ y2+1
a-b
请你仿照小明的方法求分式 的“关联分式”.
2a+3b
【拓展延伸】
y
(3)观察(1)和(2)的结果,寻找规律,直接写出分式 的“关联分式”: .
x
第五章 分式与分式方程
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B A B A C D C C C D
1 6
11. 12. (答案不唯一) 13.5
3a x-1
14.10 15.x=5 16.-2或-42 x 2
1.B ① 是分式,② 是整式不是分式,③ =3是分式方程,故选B.
x 2 x
x+3 x-3 6 6
2.A 原式= - = = .故选A.
(x+3)(x-3) (x+3)(x-3) (x+3)(x-3) x2-9
x+1 4
3.B 当x=2时,分式 无意义;无论x为何值, 的值总为正数;当x=-1时,
x-2 x2+3
3 x-3
无意义;当x=3时, =0.故选B.
x+1 3
3x+3 y 3(x+ y) 1 x+ y 1
4.A 因为 = = × ,所以分式的值缩小到原来的 .
6×3x×3 y 9×6xy 3 6xy 3
x+2 2a+1 1+2 2a+1
5.C ∵x=1是分式方程 = 的解,∴ = ,解得a=4.经检验,a=4是
2x-1 a-1 2-1 a-1
1+2 2a+1
方程 = 的解.
2-1 a-1
6.D 小明的做法是先将分子分解因式,再将整体进行约分,是正确的;小华的做法
是先将分子、分母同时乘以(4a-b),再利用平方差公式约去(16a2-b2),但不能保证
4a-b≠0,所以此做法不正确.
7.C
1 1 a+b a+b-2ab ab-2ab 1
8.C ∵ + =1,即 =1,∴a+b=ab,∴原式= = =- .
a b ab 3(a+b)+2ab 3ab+2ab 5
1 1
-2+
a-2ab+b (a-2ab+b)÷ab b a 1-2 1
= = = =- .
3a+2ab+3b (3a+2ab+3b)÷ab 3 3 3+2 5
+2+
b a
1
1 1 1 1 x 1
9.C ∵a =x+1,∴a = = =- ,a = = 1 = ,a = =
1 2 1-a 1-(x+1) x 3 1-a 1-(- ) x+1 4 1-a
1 2 x 3
1 1
1 1
x = 1 =x+1,a = =- ,
1- 5 1-a x
x+1 x+1 4
x
a = ,….由此发现规律:每三个代数式为一个循环组,∵2 022÷3=674,∴a =
6 x+1 2 022
x
.
x+1
{ x-a≤2,
10.D ∵不等式组 有解,∴3a-4≤x≤2+a,∴3a-4≤2+a,解得a≤3.解分式方程
x-3a≥-4
ax 1 6 ax 1
- =-3得x= 且x≠3.∵a为整数,且分式方程 - =-3有正整数解,
x-3 3-x a+3 x-3 3-x
∴a的值为3,0,-2,3+0+(-2)=1,即满足条件的所有整数a之和为1,故选D.1 2ab 2ab 1
11. = = .
3a 6a2b 2ab·3a 3a
6 6
12. (答案不唯一,或 )
x-1 x2-1
5x+1 a b (a+b)x+a
13.5 = + = ,∴a+b=5.
x(x+1) x x+1 x(x+1)
100
14.10 设4G网络的峰值速率为x,则5G网络的峰值速率为10x,列方程为 -
x
100
=9,解得x=10.
10x
5 2 2y 2 t 2 x
15. 设t=2y,则方程 = -3可变形为 = -3.∵方程 = -3
4 1-2y 2y-1 1-t t-1 1-x x-1
5
的解为x= ,
2
2 t 5 5 5
∴可得方程 = -3的解为t= ,∴2y= ,解得y= .
1-t t-1 2 2 4
16.-2或-4 根据题意,小明去分母得到的整式方程是2x-(3-m)=1①或-2x+(3-m)=
1②.把x=3代入①,得6-(3-m)=1,解得m=-2;把x=3代入②,得-6+(3-m)=1,解得m=-4,
故m的值为-2或-4.
17.【参考答案】
(1)去分母,得2x+2=4, (2分)
移项、合并同类项,得2x=2,
解得x=1. (3分)
检验:当x=1时,x2-1=0,
因此x=1不是原分式方程的解,
∴原分式方程无解. (4分)
(2)方程两边同乘以x(x+1),得
x2=(x+1)(2x+1)-x(x+1),
去括号,得x2=2x2+3x+1-x2-x, (2分)
移项、合并同类项,得2x=-1,
1
解得x=- . (3分)
2
1
检验:当x=- 时,x(x+1)≠0,
2
1
∴原分式方程的解是x=- . (4分)
2
18.【参考答案】(1)P=m2(m-2)÷[ 9 +(m-3)(m+3)]
(m-2)2 m-3 m-3=m2(m-2)÷9+m2-9
(m-2)2 m-3
m2 m2
= ÷
m-2 m-3
m-3
= . (4分)
m-2
(2)∵m是两边长分别为2和3的三角形的第三边长,
∴3-2
