第二十九章 投影与视图
时间 80分钟 满分 100分
题号 一 二 三 总分
分数
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选
项符合题意)
1.(2023·福建宁德期末)下列现象属于中心投影的是 ( )
A.上午人走在路上的影子
B.晚上人走在路灯下的影子
C.中午用来乘凉的树影
D.早上升旗时地面上旗杆的影子
2.(2023·北京昌平区二模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体是 ( )
A.圆锥 B.三棱锥 C.四棱柱 D.三棱柱
(第2题) (第3题)
3.[课标理念|弘扬传统文化](2023·广东深圳南山区期末)作为中国汉族特有的手工
制造陶土工艺品的紫砂壶,成型工艺特别,造型式样丰富,陶器色泽古朴典雅.如图
是一个做工精湛的石瓢壶,则从上面看该物体得到的形状图可能是 ( )
A B C D
4.如图,晚上小明在路灯下从A处径直走到B处,这一过程中他在地上的影子 (
)
A.一直都在变短 B.先变短后变长
C.一直都在变长 D.先变长后变短
(第4题) (第5题)
5.(2023·山东青岛期中)如图,A B 是线段AB在投影面P上的正投影,若
1 1
AB=20,∠ABB =70°,则投影A B 的长为 ( )
1 1 1
20
A.20sin 70° B.20cos 70° C.20tan 70° D.
sin70°6.(2023·山东青岛段考)在太阳光的照射下,一个矩形框在水平地面上形成的投影
不可能是 ( )
A B C D
7.[课标理念|真实情境](2023·广东深圳期中)如图是某公园中的两个物体一天中四
个不同时刻在太阳光的照射下落在地面上的影子,按照时间的先后顺序排列正确
的是 ( )
(1) (2) (3) (4)
A.(3)(4)(1)(2) B.(4)(3)(1)(2)
C.(4)(3)(2)(1) D.(2)(4)(3)(1)
8.(2023·河北邢台二模)如图(1)是由五个相同的小正方体粘在一起的几何体,图(2)
是佳佳、音音分别对几何体设计的不同的操作方案,其中能使几何体的左视图保
持不变的是( )
A.佳佳的方案 B.音音的方案
C.两个方案均可 D.两个方案均不可以
9.(2023·四川成都外国语学校期末)如图是由若干个完全相同的小立方体组成的一
个几何体的主视图和俯视图.若这个几何体最多由m个小立方体组成,最少由n个
小立方体组成,则2m-n= ( )
A.10 B.11 C.12 D.1310.(2022·四川德阳旌阳区一模)如图是一个几何体的三视图,根据图中提供的数据,
可知这个几何体的侧面积是( )
A.48+36π B.24+36π C.48+48π D.24+38π
二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)
11.[课标理念|跨语文学科]宋代诗人欧阳修在《送裴如晦之吴江》中写道“鸡鸣
车马驰,夜半声未已.皇皇走声利,与日争寸晷”.如图,日晷是我国古代利用日影测
定时刻的仪器,则晷针在晷面上所形成的投影属于 投影.(填“平行”或
“中心”)
(第11题) (第13题)
12.[中考创新题型|开放性试题](2023·浙江金华期末)请写出一个三视图都相同的
几何体: .
13.(2023·江苏高邮期末)如图,用三个大小不同的正方体拼成了一个几何体,若该几
何体的主视图、左视图和俯视图的面积分别表示为S ,S ,S ,则S ,S ,S 的大小关系
1 2 3 1 2 3
是 (用“<”连接).
14.[教材变式|P110第7题改变设问方式]已知某几何体的三视图如图所示,根据图
中数据求得该几何体的体积为 .(结果保留π)15.(2022·山东枣庄峄城区期末)如图,已知图(2)是图(1)中长方体的三视图,若用S
表示面积,S =x2+2x,S =x2+x,则S = .
主视图 左视图 俯视图
图(1) 图(2)
三、解答题(共5小题,共55分)
16.(8分)添线补全下列三视图.
(1)
(2)
17.(8分)(2023·辽宁沈阳皇姑区期末)一个几何体由大小相同的小立方块搭成,俯
视图如图所示,其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块个数.
(1)在所给的正方形网格中分别画出该几何体的主视图、左视图;
(2)若从该几何体中取走部分小立方块,使剩下的几何体的主视图与原几何体的主
视图相同,则最多可以取走 个小立方块.18.(12分)(2023·山东烟台期中)如图,在路灯下,小明的身高如图中线段AB所示,他
在地面上的影子如图中线段AC所示,小亮的身高如图中线段FG所示,路灯灯泡
在线段DE上.
(1)请你确定灯泡所在的位置,并画出小亮在灯光下形成的影子;
(2)如果小明的身高AB=1.6 m,他的影子长AC=1.4 m,且他到路灯的距离AD=2.1
m,求灯泡的高.19.(12分)[中考创新题型|综合与实践题]在“测量物体的高度” 活动中,某数学
兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的3棵树的高度.在同一时刻的阳光下,他
们分别做了以下工作:
小芳:测得一根长为1 m的竹竿的影长为0.8 m,甲树的影长为4 m[如图(1)].
小华:发现乙树的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教学楼的墙壁上[如图
(2)],墙壁上的影长为1.2 m,落在地面上的影长为2.4 m.
小丽:丙树的影子除落在地面上外,还有一部分落在教学楼的第一级台阶上[如图
(3)],测得第一级台阶上影子长为0.2 m,一级台阶高为0.3 m,落在地面上的影长为
4.4 m.
图(1) 图(2) 图(3)
(1)甲树的高度为 m;
(2)求乙树的高度;
(3)丙树的高度为 ( )
A.5.5 m B.5.95 m C.6.05 m D.6.5 m20.(15分)“双十一”期间,某店铺对某品牌玩具推出买一送一活动.已知单个玩具
的包装盒为双层上盖的长方体纸箱[上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍,如图
(1),纸板厚度都忽略不计].长方体纸箱的长为a cm,宽为b cm,高为c cm.
图(1) 图(2) 图(3)
(1)制作长方体纸箱需要 cm2纸板(请用含有a,b,c的代数式表示).
(2)图(2)为若干玩具包装盒堆成的几何体的三视图,则组成这个几何体的玩具包装
盒的个数最少为 个.
(3)由于该店铺在“双十一”期间推出买一送一活动,现要将两个包装好的玩具放
在同一个大长方体快递箱内(双层上盖,且上盖朝上,箱内无多余空隙).现有甲、乙
两种摆放方式[如图(3)],请分别计算甲、乙两种摆放方式所需快递箱的纸板面积,
并比较当b<a时,哪一种摆放方式所需快递箱的纸板面积更小.说明理由.第二十九章 投影与视图
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B D C B A C C C B A
13.S <S <S
11.平行 12.球(答案不唯一) 3 2
1
13
14. π 15.x2+3x+2
3
1.B 【点拨】中心投影的光源为灯光,平行投影的光源为阳光或月光.
2.D
3.C
4.B 小明由A处径直走到路灯下方时,他在地上的影子逐渐变短;当他从路灯下
方走到B处时,他在地上的影子逐渐变长.故选B.
5.A 如图,过点A作AH⊥BB 于点H,则四边形AHB A 是矩形,∴A B =AH.在
1 1 1 1 1
Rt△ABH中,AH=AB·sin 70°=20·sin 70°,∴A B =20sin 70°.
1 1
6.C 【点拨】平行投影特点:在同一时刻,平行四边形相对的边的影长成比例
7.C 太阳从东边升起,然后向东北方向运动,最后从西边落下,按照时间的先后顺
序排列正确的是(4)(3)(2)(1).故选C.
8.C 【点拨】两个方案中几何体的左视图都与原来的左视图相同
9.B 分析主视图和俯视图,易得从下往上第一层有4个小立方体,第二层最多有3
个小立方体,最少有2个小立方体,第三层最多有2个小立方体,最少有1个小立方
体,故m=4+3+2=9,n=4+2+1=7,所以2m-n=2×9-7=11.
10.A 由题图中的三视图知,该几何体是底面半径为4、高为6的圆柱被沿高的
1 3
方向切掉一个 圆柱的几何体,所以其侧面积为 ×2π×4×6+2×4×6=36π+48.
4 4
11.平行 因为太阳光属于平行光线,而日晷利用日影测定时刻,所以晷针在晷面
上所形成的投影属于平行投影.
12.球(答案不唯一)
13.S <S <S 主视图的面积是三个正方形的面积,左视图是两个正方形的面积,俯
3 2 1
视图是一个正方形的面积,故S <S <S .
3 2 113
14. π 由三视图可知,该几何体是由圆柱和圆锥构成的,圆柱和圆锥的底面直径
3
1
均为2,高分别为4和1,∴圆锥和圆柱的底面积为π,该几何体的体积为4π+ π×1=
3
13
π.
3
15.x2+3x+2 ∵S =x2+2x=x(x+2),S =x2+x=x(x+1),∴俯视图的长为x+2,宽
主视图 左视图
为x+1,则S =(x+2)(x+1)=x2+3x+2.
俯视图
16.【参考答案】(1)补全三视图如图所示. (4分)
(2)补全三视图如图所示.(8分)
【高分锦囊】
本题的易错之处是忽视实线与虚线的区别,认为轮廓线都应画实线.实际上,看得
见的轮廓线要画成实线,而看不见的轮廓线要画成虚线.
17.【参考答案】(1)该几何体的主视图、左视图如图所示. (6分)
主视图 左视图
(2)6(8分)
【图示速解】
(2)解法提示:如图,阴影部分对应的小立方块可以取走,最多可以取走
2+1+2+1=6(个).俯视图
18.【参考答案】(1)如图,点O为灯泡所在的位置,(2分)
线段FH为小亮在灯光下形成的影子. (5分)
AB CA
(2)由题意可得, = ,
OD CD
1.6 1.4
即 = ,
OD 1.4+2.1
解得OD=4.
答:灯泡的高为4 m. (12分)
19.【解题思路】(1)根据测得一根长为1 m的竹竿的影长为0.8 m,利用比例式直
接得出树高;(2)画出几何图形,把树高分成两个部分,其中一部分等于墙壁上的影
长,另一部分利用比例式求出;(3)先求出第一级台阶上影子所对应的树的高度,再
求出落在地面上的影子所对应的树的高度,即可得出答案.
【参考答案】(1)5 (3分)
解法提示:设甲树的高度为x m.
1 x
根据题意,可得 = ,
0.8 4
解得x=5.
(2)如图(1),设乙树的高度为AB,则其落在地面上的影长BC=2.4 m,乙树的AE部分
的影子落在墙上的DC处,
易知四边形AECD是平行四边形,
∴AE=CD=1.2 m.
BE BE 1
由题意,得 = = ,
BC 2.4 0.8
解得BE=3 m,
故乙树的高度AB=AE+BE=1.2+3=4.2(m). (8分)
图(1)
(3)C(12分)
解法提示:如图(2),设丙树的高度为AB,则丙树上的AG部分落在第一级台阶上的
影长EF=0.2 m,DE 1
由题意,得 = ,
0.2 0.8
解得DE=0.25 m,
则CD=0.25+0.3=0.55(m).
易知四边形AGCD是平行四边形,
∴AG=CD=0.55 m,
BG BG 1
又由题意,得 = = ,
BC 4.4 0.8
∴BG=5.5 m,
∴AB=AG+BG=0.55+5.5=6.05(m).
图(2)
20.【参考答案】(1)(2ac+2bc+3ab) (3分)
(2)9(7分)
(3)甲:2(ac+2bc+2ab)+2ab=(2ac+4bc+6ab)(cm2),
乙:2(2ab+2ac+bc)+2ab=(4ac+2bc+6ab)(cm2).(9分)
甲种摆放方式所需纸板面积-乙种摆放方式所需纸板面积
=2ac+4bc+6ab-4ac-2bc-6ab=2c(b-a).(12分)
∵b<a,∴b-a<0,∴2c(b-a)<0,
∴当b<a时,甲种摆放方式所需快递箱的纸板面积更小. (15分)
