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第二十七章 相似
时间 90分钟 满分 100分
题号 一 二 三 总分
分数
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选
项符合题意)
1.(2023·河南南阳卧龙区期末)用放大镜观察一个五边形时,不变的量是 ( )
A.各边的长度 B.各内角的度数
C.五边形的周长 D.五边形的面积
2.(2023·上海浦东新区期末)下列图形中,一定是相似图形的是 ( )
A.两个直角三角形 B.两个顶角相等的等腰三角形
C.两个菱形 D.两个等腰梯形
3.[课标理念|真实情境](2023·山西忻州一模)如图,五线谱是由等距离、等长度的
五条平行横线组成的,同一条直线上的三个点A,B,C都在横线上.若线段AB=3,则
线段BC的长是 ( )
2 3
A. B.1 C. D.2
3 2
4.(2023·河北石家庄模拟)如图,在边长都为1的正方形网格中,△ABC和△EDF的
顶点都在正方形网格的格点上,则∠ABC+∠ACB的度数为( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
5.(2023·陕西西安灞桥区四模)一张矩形的纸片对折后与原矩形相似,那么原矩形
与对折后矩形的相似比是 ( )
A. ∶1 B.4∶1 C.3∶1 D.2∶1
√26.(2023·河北石家庄裕华区模拟)张老师在编写下面这个题目的答案时,不小心打
乱了解答过程的顺序,你能帮他调整过来吗?证明步骤正确的顺序是 ( )
如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,且DE∥BC,DF∥AC.求证:
△ADE∽△DBF.
证明:①又∵DF∥AC,②∵DE∥BC,③∴∠A=∠BDF,④∴∠ADE=∠B,
⑤∴△ADE∽△DBF.
A.③②④①⑤ B.②④①③⑤
C.③①④②⑤ D.②③④①⑤
(第6题) (第7题)
7.[课标理念|跨物理学科](2023·河南郑州二模)凸透镜成像的原理如图所示,
2
AG∥l∥HC.若缩小的实像是物体的 ,则物体到焦点F 的距离与焦点F 到凸透镜
1 2
3
的中心线GH的距离之比为(焦点F 和F 关于O点对称) ( )
1 2
3 2 1
A. B. C.2 D.
2 3 2
8.[中考创新题型|剪拼操作题](2023·河北廊坊段考)如图,在三角形纸板ABC中,
AC=4,BC=8,AB=11,P是BC上一点,沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小
三角形纸板.针对CP的不同取值,甲、乙两人的说法如下.下列判断正确的是(
)
甲:若CP=4,则有3种不同的剪法;
乙:若CP=2,则有4种不同的剪法.
A.甲错,乙对 B.甲对,乙错
C.甲和乙都错 D.甲和乙都对
(第8题) (第9题)
9.(2023·山西运城二模)如图(1),在△ABC中,∠B=36°,动点P从点A出发,沿折线段A
—B—C匀速运动至点C停止.点P的运动速度为1 cm/s,设点P的运动时间为t
s,AP的长度为y cm,y与t的函数图象如图(2)所示.当AP恰好平分∠BAC时,BP的
长为 ( )A.(2 +2)cm B.(4-2 )cm C.(4+2 )cm D.(2 -2)cm
√5 √5 √5 √5
10.(2022·四川成都青羊区期中改编)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,P
为BC上任意一点,连接PA,以PA,PC为邻边作平行四边形APCQ,连接PQ,则PQ
的最小值为( )
12 6 5
A. B. C. D.2
5 5 3
二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
11.(2023·广东佛山段考)如图,在△ABC与△ADE中,点E在边AB上,
DE⊥AB,AC⊥CB,添加一个条件,能判定△ABC与△DAE相似,这个条件可以是
.(写出一个即可)
(第11题) (第12题)
12.如图,点C,D在线段AB上,△PCD是等边三角形.当△ACP∽△PDB时,
∠APB= °.
13.(2023·河北邯郸丛台区期末)如图,已知△ABC和△A'B'C是以点C为位似中心的
位似图形,且△ABC和△A'B'C的周长之比为1∶2,点C的坐标为(-1,0).若点B的对
应点B'的横坐标为5,则点B的横坐标为 .
(第13题) (第14题)
14.在每个小正方形的边长为1的网格图形中,每个小正方形的顶点称为格点,顶点
都是格点的三角形称为格点三角形.如图,已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格
点三角形,则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中,面积最大的三角形的斜
边长是 .15.(2023·湖南株洲天元区模拟)在南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》第二章
“天时类”中,收录了四个有关测量降水量的例子,分别是“天池测雨”“圆罂测
雨”“峻积验雪”和“竹器验雪”.其中“峻积验雪”就是根据一定尺寸的斜面
上积雪的厚度,推算平地上积雪的厚度,其原理为:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
AC=12,BC=5,AD⊥AB,AD=0.4,过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E,过点B作
BF⊥CE交DE于点F,那么BF= .
(第15题) (第16题)
16.(2023·湖北随州模拟)如图,点E是矩形ABCD的边BC上一点,沿AE折叠,点B
BE
恰好落在CD边上的点F处.设 =x(x>1),
EC
(1)若点F恰为CD边的中点,则x= ;
DF
(2)设 =y,则y关于x的函数表达式是 .
FC
三、解答题(共6小题,共52分)
17.(8分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,2),B(-6,4),
C(-4,8).
1
(1)以原点O为位似中心,相似比为 ,将△ABC缩小得到△A'B'C',请在平面直角坐标
2
系中画出△A'B'C';
(2)已知△ABC的周长为4√5+2√10,则△A'B'C'的周长= .18.(8分)(2022·浙江杭州钱塘区一模)如图,在平行四边形ABCD中,点E为BC边上
的点(不与点B,C重合),连接DE并延长,交AB的延长线于点F.
(1)求证:△CDE∽△AFD;
(2)若BE∶CE=1∶2,且△BEF的面积为1,求四边形ABED的面积.
19.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在BC,AB,AC上,∠EDF=∠B.
(1)如图(1),求证:DE·CD=DF·BE.
(2)若D为BC边的中点,如图(2),连接EF.求证:ED平分∠BEF.
图(1) 图(2)
20.(9分)[中考创新题型|综合与实践题](2022·河南平顶山期末)某数学兴趣小组为
了测量校内路灯的灯柱AB的高度,设计了以下三个方案.方案一:如图(1),在操场上点C处放一面平面镜,从点C处后退1 m到点D处,恰好
在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像.再将平面镜向后移动4 m(即FC=4 m)放
在F处,从点F处向后退1.5 m到点H处,恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A
点的像,其中眼睛距地面的高度ED,GH均为1.5 m,已知点B,C,D,F,H在同一水平
线上,且GH⊥FH,ED⊥CD,AB⊥BH;(平面镜的大小忽略不计)
方案二:如图(2),利用标杆CD测量灯柱的高度.已知标杆CD高1.5 m,测得DE=2
m,
CE=2.5 m;
方案三:如图(3),将直角三角形支架的直角边CE保持水平,并且边CE与点M在同
一直线上.已知两条边CE=0.4 m,EF=0.2 m,测得边CE离地面距离DC=1.5 m.
以上三种方案中,方案 不可行,请选择可行的方案,并求出灯柱的高度.
21.(9分)如图,四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形,C,F,G三点在同一直线上,
连接BE,AC,AF,并延长AF交CD于点M.(1)求证:△MFC∽△MCA;
(2)求证:△ACF∽△ABE;
(3)若DM=1,CM=2,求正方形AEFG的边长.
22.(10分)(2022·山东济南长清区二模)
(1)问题发现如图(1),在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交
于点M.填空:
AC
① 的值为 ;
BD
②∠AMB的度数为 .
(2)类比探究
如图(2),在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC,交
AC
BD的延长线于点M.请判断 的值及∠AMB的度数,并说明理由.
BD
(3)拓展延伸
在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M.若
OD=1,OB= ,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.
√7
图(1) 图(2) 备用图
第二十七章 相似1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B B C B A B A D D A
AC BC
11.∠BAC=∠D(答案不唯一,或 =
DE AE 12.120 13.-4
等)
26 1
14.5√2 15. 16.(1)2 (2)y= (x>1)
25 x-1
1.B
2.B
3.C 如图,过点A作平行横线的垂线,交点B所在的横线于点D,交点C所在的横
AB AD 3 3
线于点E,由题意可得, = ,即 =2,解得BC= .
BC DE BC 2
4.B 由题易得△ABC∽△EDF,∴∠BAC=∠DEF=135°,∴∠ABC+∠ACB=
180°-135°=45°.
5.A
【图示速解】
如图,设原矩形的长为2a,宽为b,则对折后的矩形的长为b,宽为a.∵对折后所得的
2a b b
矩形与原矩形相似,∴ = ,∴2a2=b2,∴ =√2(负值已舍去),∴原矩形与对折后矩形
b a a
的相似比是√2∶1.
【一题多解】
因为矩形纸片对折后和原矩形相似,原矩形面积是对折后矩形面积的2倍,所以原
矩形与对折后矩形的相似比是√2∶1.
6.B7.A ∵l∥HC,CD⊥l,OH⊥l,∴四边形OHCD是矩形,∴OH=CD.∵AB∥OH,
∴△ABF ∽△HOF ,∴BF = AB=3,∴BF =3
1 1 1 1 .
OF OH 2 OF 2
1 2
8.D 如图(1),过点P作PD∥AB交AC于点D,则△PCD∽△BCA,过点P作PE∥AC
交AB于点E,则△PEB∽△CAB,此时01) (1)∵点F为CD边的中点,∴DC=2DF.∵四边形ABCD是
x-1
矩形,∴AB=DC,∠B=∠C=∠D=90°,∴∠FEC+∠EFC=90°.由折叠得BE=EF,AB=AF,
∠B=∠AFE=90°,∴AB=AF=DC=2DF.∵∠EFC+∠AFD=90°,∴∠AFD=∠FEC,∴△AF
EF AF BE
D∽△FEC,∴ = =2,∴ =2,∴x=2.(2)由(1)可得
EC FD EC
AB=AF=DC=DF+CF,∵△AFD∽△FEC,
EF AF BE DC DF+FC FC 1 1
∴ = ,∴ = ,∴x= ,∴x=1+ ,∴x=1+ ,∴y= (x>1).
EC FD EC DF DF DF y x-1
17.【解题思路】(1)直接利用相似比得出对应点的坐标,进而画出△A'B'C';(2)利用
位似图形的性质得出周长比即可.
【参考答案】 (1)如图所示,第二象限内的△A'B'C'和第四象限内的△A' B' C' 即为
1 1 1
所求. (6分)
(2)2 + (8分)
√5 √10
18.【参考答案】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD∥BF,∠A=∠C,∴∠CDF=∠F,
∴△CDE∽△AFD. (3分)
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD∥BF,CD=AB,AD∥BC,
∴△BEF∽△CED,△BEF∽△ADF,
BF BE 1 BF 1
∴ = = ,∴ = ,
CD CE 2 AB 2
BF 1
∴ = ,∴S =9S =9,
△ADF △BEF
AF 3
∴S =S -S =8. (8分)
四边形ABED △ADF △BEF
19.【思路导图】
(1)三角形内角和定理,
平角的定义 ∠FDC=∠DEB
AB=AC ∠B=∠C △BDE∽△CFD DE·CD=DF·BE
BE BD
(2)BD=CD = △BDE∽△DFE
DE DF
ED平分∠BEF ∠BED=∠DEF
【参考答案】(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵∠B+∠BDE+∠DEB=180°,∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°,∠EDF=∠B,
∴∠FDC=∠DEB,∴△BDE∽△CFD,
DE BE
∴ = ,即DE·CD=DF·BE. (4分)
DF CD
BE DE
(2)证明:由(1)可知, = .
CD DF
∵D为BC边的中点,∴BD=CD,
BE DE BE BD
∴ = ,∴ = . (6分)
BD DF DE DF
又∠B=∠EDF,∴△BDE∽△DFE,∴∠BED=∠DEF,
即ED平分∠BEF. (8分)
【高分锦囊】
解答此题的关键是能看出此题涉及的图形为相似模型中的“一线三等角”模型,
该模型在考试中经常出现,其基本图形如图(1)所示,当∠B=∠APM=∠C时,显然有
△ABP∽△PCM.这一基本图形往往存在于一些特殊图形中,其常见形式有如下三种:
①如图(2),在等边三角形ABC中,∠DEF=60°,显然有△BED∽△CFE;②如图(3),在矩形ABCD中,若∠CEF=90°,显然有△AEF∽△DCE;
③如图(4),在梯形ABCD中,若∠A=∠D=∠BPC,显然有△ABP∽△DPC.
图(1) 图(2) 图(3) 图(4)
20.【参考答案】二、三(2分)
解法提示:根据相似三角形的知识可知,
方案二中△ABE缺少边长的条件,
故方案二不可行.
方案三中△AMC缺少边长的条件,
故方案三不可行.
选择方案一. (3分)
∵∠ECD=∠ACB,∠EDC=∠ABC,∴△ABC∽△EDC,
AB BC BC·ED
∴ = ,∴AB= =1.5BC. (5分)
ED CD CD
设BC=x m,则AB=1.5x m,
同理可得△ABF∽△GHF,
AB BF
∴ = .
GH FH
∵AB=1.5x m,BF=BC+CF=(x+4)m,GH=1.5 m,FH=1.5 m,
1.5x 4+x
∴ = ,解得x=8,
1.5 1.5
∴AB=1.5×8=12(m),
即灯柱的高度为12 m. (9分)
21.【思路导图】
【参考答案】(1)证明:∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形,
∴∠ACD=∠AFG=45°.
∵∠CFM=∠AFG,∴∠CFM=∠ACM=45°.
∵∠CMF=∠AMC,∴△MFC∽△MCA. (3分)
(2)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°,∠BAC=45°,∴AC=√2AB.
同理可得AF=√2AE,
AF AC
∴ = =√2.
AE AB
∵∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE=45°,∴∠CAF=∠BAE,
∴△ACF∽△ABE.(5分)
(3)∵DM=1,CM=2,∴AD=CD=1+2=3,
∴AM= = = .
√AD2+DM2 √32+12 √10
由(1)知△MFC∽△MCA,
CM FM 2 FM 2√10
∴ = ,即 = ,∴FM= ,
AM CM √10 2 5
3√10 √2 3√5
∴AF=AM-FM= ,∴AG= AF= ,
5 2 5
3√5
即正方形AEFG的边长为 . (9分)
5
22.【参考答案】(1)①1 (1分)
②40° (2分)
解法提示:①∵∠AOB=∠COD,∴∠BOD=∠AOC,
又∵OC=OD,OA=OB,∴△AOC≌△BOD,
∴AC=BD,∠OBD=∠OAC,
AC
∴ =1.
BD
②设BD,OA交于点N.
∵∠MNA=∠ONB,∠OBD=∠OAC,
∴∠AMB=∠AOB=40°.
AC
(2) =√3,∠AMB=90°. (4分)
BD
理由如下:
∵∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,
CO AO
∴ = =√3,∠COD+∠AOD=∠AOB+∠AOD,
DO BO
即∠AOC=∠BOD,
∴△AOC∽△BOD,
AC CO
∴ = =√3,∠CAO=∠DBO. (6分)
BD DO
设AO,BM交于点N.
∵∠ANM=∠BNO,∴∠AMB=∠AOB=90°. (8分)
(3)AC的长为2√3或3√3. (10分)AC
解法提示:由(2)可知,∠AMB=90°, =√3,
BD
设BD=x,则AC=√3x.
分两种情况讨论.
如图(1),当点M,C在OA上侧重合时,
在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,
∴(2 )2=( x)2+(x+2)2,解得x =2,x =-3(不合题意,舍去),
√7 √3 1 2
∴AC=√3x=2√3.
图(1) 图(2)
如图(2),当点M,C在OA下侧重合时,
在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,
∴(2 )2=( x)2+(x-2)2,解得x =-2(不合题意,舍去),x =3,
√7 √3 1 2
∴AC=√3x=3√3.
综上所述,AC的长为2√3或3√3.
