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第一章 直角三角形的边角关系
时间 90分钟 满分 100分 答案 D03
题号 一 二 三 总分
分数
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选
项符合题意)
1
1.(2023·山东烟台蓬莱区期中)把△ABC三边的长度都缩小为原来的 ,则锐角A的
3
正弦值 ( )
1
A.不变 B.缩小为原来的
3
C.扩大为原来的3倍 D.不能确定
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC∶BC=1∶2,则cos A的值为 ( )
2√5 √5 √5
A. B.2 C. D.
5 5 2
1
3.按如图所示的运算程序,能使输出的y值为 的是 ( )
2
A.α=60°,β=45° B.α=30°,β=45°
C.α=45°,β=30° D.α=30°,β=30°
4.[课标理念|跨语文学科](2023·云南昆明官渡区一模)“儿童散学归来早,忙趁东风
放纸鸢”描绘出一幅充满生机的春天景象.小明周末制作了一只风筝在公园里放
飞,如图所示,风筝拉线长100米,且拉线与地面的夹角为65°,假设拉线是直的,小明
身高忽略不计,则风筝离地面的高度可以表示为 ( )
A.100sin 65° 米B.100cos 65° 米
100
C.100tan 65° 米D. 米
sin65°(第4题) (第5题)
5.(2023·江苏南京江宁区联考)如图,以点O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OA
交于点B,再以点B为圆心,BO长为半径画弧,两弧交于点C,画射线OC,则
sin∠AOC的值为 ( )
1 √3 √2 √3
A. B. C. D.
2 3 2 2
6.(2023·江苏苏州高新区一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴负半轴
上,点P(a,a)(a>0),连接AP交y轴于点B.若AB∶BP=3∶2,则tan∠PAO的值是 (
)
2 3 2 5
A. B. C. D.
3 2 5 2
(第6题) (第7题)
7.(2023·陕西渭南二模)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=16 cm,AB的垂直平分线MN
3
交AC于点D,连接BD.若cos∠BDC= ,则BD的长是 ( )
5
A.10 cmB.6 cm C.8 cm D.4 cm
3
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5 cm,tan B= ,点D从点A出发沿AC方向以
4
1 cm/s的速度向点C运动.过点D作DE∥AB交BC边于点E,过点E作EF⊥BC交
AB边于点F,当四边形ADEF为菱形时,点D运动的时间为 ( )
3 5 12 15
A. s B. s C. s D. s
2 2 7 8
(第8题) (第10题)
9.某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”,如图(1)所示,点A是栏杆转动的支点,
点E是两段栏杆的连接点.当车辆经过时,栏杆AEF最多只能升起到如图(2)所示
的位置,其示意图如图(3)所示(栏杆宽度忽略不计),其中AB⊥BC,EF∥BC,∠AEF=143°,AB=AE=1.2 m,那么适合该地下车库的车辆限高标志
牌为(参考数据: sin 37°≈0.60, cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75) ( )
图(1) 图(2) 图(3)
A B C D
10.[中考创新题型|阅读理解题](2023·河南洛阳一模)阅读理解:为计算tan 15°的值,
我们可以构造Rt△ACB(如图),使∠C=90°,∠ABC=30°,延长CB使BD=AB,连接AD,
AC 1 2-√3
可得到∠D=15°,故tan 15°= = = =2-√3.类比这种方法,可
CD 2+√3 (2+√3)(2-√3)
得tan 22.5°的值为 ( )
1
A.√2+1B.√2-1 C.√2 D.
2
二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)
5
11.(2022·江苏连云港模拟)已知sin α= ,则tan α= .
13
12.如图,已知△ABC的三个顶点都在方格图的格点上,则cos C的值为 .
(第12题) (第13题)
(第14题)
13.(2023·重庆江津区期中)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=5,BC=3,将△BCD沿BD
折叠到△BED的位置,DE交AB于点F,则cos∠ADF的值为 .
14.定义:在等腰三角形中,底边与腰的比值叫做顶角的正对,顶角A的正对记作sad
底边
A,即sad A= .如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=4∠B,则cos B·sad A= .
腰
15.[课标理念|跨物理学科](2023·吉林白城期末)小明利用折射定律n ·sin
1
α=n ·sin β(n ,n 为折射率,∠α为入射角,∠β为折射角)制作了一个测算液体折射率
2 1 2的装置.光线从点A按固定角度从空气射入液面,通过调节液面高度,使光线折射
4
后恰好落到点C.已知sin∠1= ,空气折射率n 为1,正方形ABCD的边长为36 cm.
1
5
图(1) 图(2)
(1)如图(1),装入某款家用食用油时,CF=15 cm,该食用油的折射率为 ;
4
(2)如图(2),装入纯净水时,水的折射率为 ,通过测量得到CF=20 cm(存在误差),则
3
此次测量的误差为 cm.
三、解答题(共6小题,共55分)
16.(共2小题,每小题4分,共8分)计算:
cos60°
(1)sin 60°·tan 30°+ ;
tan45°
(2) +|1-cos 30°|-2tan 45°·sin 30°.
√(tan60°-1)2
17.(8分)[中考创新题型|创新作图题]如图,射线OA放置在由小正方形组成的3×5
的网格中,现请你在图中找出格点(即每个小正方形的顶点)B,并连接OB,AB,使
△AOB为直角三角形,且
(1)使tan∠AOB的值为1;
1
(2)使tan∠AOB的值为 .
2图(1) 图(2)
18.(10分)[中考创新题型|开放性试题]已知△ABC为钝角三角形,其中∠A>90°,有下
列条件:
①AB=10;②AC=6√5;
3
③tan B= ;
4
1
④tan C= .
2
(1)你认为从中至少选择 个条件,可以求出BC边的长.
(2)你选择的条件是 (直接填写序号),并写出求BC边长的解答过程.
19.(9分)(2023·安徽合肥一模)桔槔俗称“吊杆”“称杆”,如图(1),是我国古代农
用工具,桔槔始见于《墨子·备城门》,是一种利用杠杆原理的取水机械.如图(2)所
示的是桔槔示意图,OM是垂直于水平地面的支撑杆,AB是杠杆,且AB=5.4米,
OA∶OB=2∶1.当点A位于最高点时,∠AOM=127°;当点A从最高点逆时针旋转
54.5°到达最低点A ,求此时水桶B上升的高度.
1
(参考数据:sin 37°≈0.6,sin 17.5°≈0.3,tan 37°≈0.8)
图(1) 图(2)20.(10分)(2023·山东威海一模)图(1)是某浴室花洒实景图,图(2)是该花洒的侧面示
意图.已知活动调节点B可以上下调整高度,离地面CD的距离BC=160 cm.设花
洒臂与墙面的夹角为α,可以扭动花洒臂调整角度,且花洒臂长AB=30 cm.假设水
柱AE垂直AB直线喷射,小华在离墙面距离CD=120 cm处淋浴.
图(1) 图(2) 图(3)
(1)当α=30°时,水柱正好落在小华的头顶上,求小华的身高DE;
(2)如果小华要洗脚,需要调整水柱AE,使点E与点D重合,若活动调节点B不动,调
整α的大小,求图(3)中α的度数.
(参考数据:√3≈1.73,sin 8.6°≈0.15,sin 36.9°≈0.60,tan 36.9°≈0.75)
21.(10分)[中考创新题型|探究性试题](2023·山东济宁期末)知识再现
如图(1),在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.
a b
∵sin A= ,sin B= ,
c c
a b
∴c= ,c= ,
sinA sinB
a b
∴ = .
sinA sinB
拓展探究
如图(2),在锐角三角形ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.
a b c
请探究 , , 之间的关系,并写出探究过程.
sinA sinB sinC
解决问题如图(3),为测量点A到河对岸点B的距离,选取与点A在河岸同一侧的点C,测得
AC=60 m,∠A=75°,∠C=60°.请用“拓展探究”中的结论,求点A到点B的距离.
图(1) 图(2) 图(3)
第一章 直角三角形的边角关系
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A C D A D C A D A B
5 3√10 15
11. 12. 13.
12 10 17
3 4
14. 15.(1)1.7 (2)
2 7
1.A
AC
2.C 设AC为x,则BC=2x,由勾股定理得AB=√AC2+BC2=√5x,∴cos A= =
AB
x √5
= .故选C.
√5x 5
√3
3.D (直接代入法)A选项中,α=60°,β=45°,α>β,则y=sin α= ;B选项中,
2
√2 √2
α=30°,β=45°,α<β,则y=cos β= ;C选项中,α=45°,β=30°,α>β,则y=sin α= ;D选
2 2
1
项中,α=30°,β=30°,α=β,则y=sin α= .
2
1 1 1
要使输出的y值等于 ,则sin α= ,α=30°,或cos β= ,β=60°.当α=30°时,α≥β,D选
2 2 2
项符合题意;当β=60°时,α<β,无选项符合题意.AC
4.A 如图,过点A作AC⊥BC于点C,在Rt△ABC中,sin B= ,即AC=AB·sin
AB
B=100sin 65°(米).
(第4题) (第5题)
5.D 如图,连接BC, 由题意可得 OB=OC=BC , 则 △ OBC 是等边三角形
√3
¿【题眼】结合作图痕迹可得△OBC是等边三角形,故sin∠AOC=sin 60°= .故
2
选D.
AB
6.C 如图,过点P作PC⊥x轴于点C,∵BO⊥x轴,∴BO∥PC,AB=BP=3∶2,∴ =
BP
3a
AO 3 OB AB 3 3a 3a BO 5 2
= , = = ,∵OC=a,PC=a,∴AO= ,BO= ,∴tan∠PAO= = = .
OC 2 PC AP 5 2 5 AO 3a 5
2
CD 3
7.A ∵cos∠BDC= = ,∴设DC=3x cm,BD=5x cm.∵MN是线段AB的垂直平
BD 5
分线,∴AD=BD=5x cm.∵AC=16 cm,∴3x+5x=16,解得x=2,∴BD=10 cm.故选A.
3
8.D ∵在Rt△ABC中,AB=5 cm,tan B= ,∴AC=3 cm,BC=4 cm.设点D运动t s后,
4
四边形ADEF是菱形,∴DE=AD=t cm,CD=(3-
DC AC 3-t 3
t)cm.∵DE∥AB,∴∠ABC=∠DEC,∴sin∠DEC=sin∠ABC= = ,即 = ,解得
DE AB t 5
15
t= .
8
9.A 如图,过点A作BC的平行线AG,过点E作EH⊥AG于点H,则
∠AHE=∠EHG=∠HEF=90°.∵∠AEF=143°,∴∠AEH=∠AEF-
∠HEF=53°,∴∠EAH=37°.在Rt△EAH中,
EH=AE·sin∠EAH≈1.2×0.60=0.72(m),∴AB+EH=1.2+0.72=1.92(m).故选A.10.B
如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,∠ABC=45°,延长CB使BD=AB,连接
AD,∴∠BAD=∠D=22.5°,设AC=BC=k
,则AB=BD= AC=
¿【另解】用特殊值法设AC=BC=1,进而求解 √2 √2
AC k
k,∴CD=BC+BD=(1+√2)k,在Rt△ADC中,tan 22.5°= = =√2-1.
CD (1+√2)k
5 5
11. 如图,由于sin α= ,所以可设BC=5k,则AB=13k.由勾股定理得AC=
12 13
BC 5k 5
√AB2-BC2=12k,∴tan α= = = .
AC 12k 12
5 12 sinα 5
∵sin α= ,∴cos α=√1-sin2α = ,∴tan α= = .
13 13 cosα 12
sinα
已知α为锐角,则(1)sin2α+cos2α=1;(2)tan α= .
cosα
3√10
12. 在CB的延长线上取格点D,令∠ADC=90°,如图,在Rt△ADC 中,AC=
10
CD 6 3√10
√AD2+CD2=√22+62=2√10,∴cos C= = = .
AC 2√10 10
15
13. ∵四边形ABCD是矩形,
17
∴∠A=90°,AB∥CD,AD=BC=3,CD=AB=5,∴∠BDC=∠DBF.由折叠的性质可得
∠BDC=∠BDF,∴∠BDF=∠DBF,∴BF=DF.设BF=x,则DF=x,AF=5-x,在Rt△ADF3
17 AD
中,由勾股定理可得AD2+AF2=DF2,即32+(5-x)2=x2,∴x= ,∴cos∠ADF= =17=
5 DF
5
15
.
17
3
14.
2
∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=4∠B,∴∠B=∠C.∵∠A+∠B+∠C=180°,∴6∠B=180°,解
√3
得∠B=30°,∴cos B= .如图,过点A作AD⊥BC于点D,设AD=a,则AB=2a,BD=√3
2
BC 2√3a √3
a.∵BC=2BD,∴BC=2√3a,∴sad∠BAC= = =√3,∴cos B·sad∠BAC= ×√3
AB 2a 2
3
= .
2
4 4 EP 4
15.(1)1.7 (2) ∵∠1=∠EAP,sin∠1= ,∴sin∠EAP= = .设EP=4x cm,则
7 5 AP 5
AP=5x cm,AE=3x cm,∴PF=(36-4x)cm,CF=(36-3x)cm.(1)在题图(1)中,CF=15
PF
cm,∴36-3x=15,解得x=7,∴PF=36-4x=8(cm),∴CP=17 cm,∴sin∠2=sin∠PCF= =
CP
8 4 8 4
.∵n ·sin∠1=n ·sin∠2,∴1× = n ,∴n =1.7.(2)在题图(2)中,∵水的折射率为 ,即
1 2 2 2
17 5 17 3
4 4 4 PF 3 PF 3 36-4x 3
n = ,∴ ×1= ·sin∠3,∴sin∠PCF=sin∠3= = ,∴ = ,∴ = ,解得 x=
2
3 5 3 CP 5 CF 4 36-3x 4
36 144 144 4
,∴CF=36-3x= ,∴误差为 -20= (cm).
7 7 7 7
1
√3 √3
16.【参考答案】(1)原式= × +2 (2分)
2 3
1
1 1
= + (3分)
2 2
=1. (4分)
√3 1
(2)原式=√3-1+1- -2×1× (7分)
2 2
√3
= -1. (8分)
2
1
17.【解题思路】根据tan∠AOB的值分别为1, ,构造直角三角形,进而画出△AOB.
2
【参考答案】(1)如图(1)所示. (4分)
(2)如图(2)所示. (8分)图(1) 图(2)
18.【参考答案】 (1)3
【提示】根据解直角三角形的条件可知,至少选择3个条件,可以
¿ (2分)
求出BC边的长
(2)①②④ (4分)
如图,过点A作AD⊥BC于点D,
设AD=x,
1
∵tan C= ,
2
∴CD=2x. (6分)
∵AC=6√5,
根据勾股定理,得x2+(2x)2=(6√5)2,
解得x=6或x=-6(不合题意,舍去),
∴AD=6,CD=2x=12.
∵AB=10,
根据勾股定理,得BD= =8,
√102-62
∴BC=CD+BD=12+8=20. (10分)
(本题答案不唯一,也可选择①②③)
(2)①②④ (4分)
解答过程如下.
如图,过点B作BE⊥CA,交CA的延长线于点E.
BE 1
在Rt△BCE中,tan C= = ,
CE 2
∴设BE=x,则CE=2x,
∴AE=2x-6√5.
在Rt△BAE中,由勾股定理得,AE2+BE2=AB2,
即(2x-6√5)2+x2=102,
4√5
解得x=4√5或x= ( 不合题意 , 舍去 ) ,
5
¿ 【点拨】AE=2x-6√5>0
∴BE=4√5,CE=8√5,∴在Rt△BCE中,BC= = =20.(10分)
√BE2+CE2 √(4√5)2+(8√5)2
(本题答案不唯一,也可选择①②③)
19.【参考答案】如图,过点O作EF⊥OM,过点B作BC⊥EF于点C,过点B 作
1
B D⊥EF于点D,则∠EOM=90°.
1
∵∠AOM=127°,∠AOA =54.5°,
1
∴∠BOC=∠AOE=127°-90°=37°,∠B OD=∠A OE=54.5°-37°=17.5°.
1 1
∵AB=5.4米,OA∶OB=2∶1,
∴OA =OA=3.6米,OB =OB=1.8米. (4分)
1 1
∵sin∠B OD=B D,sin∠BOC=BC,
1 1
OB OB
1
∴B D=OB ·sin 17.5°≈1.8×0.3=0.54(米),BC=OB·sin 37°≈1.8×0.6=1.08(米),
1 1
∴B D+BC≈0.54+1.08=1.62(米),
1
即此时水桶B上升的高度约为1.62米. (9分)
20.【参考答案】(1)如图(1),过点A作CD的平行线,交CB的延长线于点G,交DE
的延长线于点H,
∵∠C=∠D=90°,∴四边形GCDH为矩形,
∴GH=CD=120 cm,DH=CG,∠H=90°,
在Rt△ABG中,∠ABG=α=30°,AB=30 cm,
AG 15
∴AG=15 cm,∴BG= = =15√3(cm),AH=120-15=105(cm).
tan30° tan30°
∵AE⊥AB,∴∠EAH=30°.
又∠H=90°,∴EH=AH·tan 30°=35√3(cm),
∴ED=HD-HE=160+15 -35 ≈125.4(cm). (5分)
√3 √3
(2)如图(2),连接BD,
在Rt△BCD中,BD= =200(cm),
√BC2+CD2
120
∴sin∠1= =0.6,∴∠1≈36.9°.
200
在Rt△BAD中,AB=30 cm,
AB 30
∴sin∠2= = =0.15,∴∠2≈8.6°,
BD 200
∴∠3≈90°-8.6°=81.4°,∴α=180°-∠1-∠3≈180°-36.9°-81.4°=61.7°.(10分)
图(1) 图(2)
21.【参考答案】拓展探究
如图,作CD⊥AB于点D,AE⊥BC于点E,
AE AE
在Rt△ABE中,sin B= = ,
AB c
CD CD
同理得,sin B= = ,
BC a
CD CD
sin∠BAC= = ,
AC b
AE AE
sin∠BCA= = ,
AC b
∴AE=c·sin B,AE=b·sin∠BCA,CD=a·sin B,CD=b·sin∠BAC,
b c a b
∴ = , = ,
sinB sin∠BCA sin∠BAC sinB
a b c
∴ = = .(6分)
sin∠BAC sinB sin∠BCA
解决问题 在△ABC中,∠B=180°-∠A-∠C=45°.
AB AC AB 60
由“拓展探究”中的结论,得 = ,即 = ,
sinC sinB sin60° sin45°
√3
60×
60×sin60° 2
∴AB= = =30√6(m).
sin45° √2
2
答:点A到点B的距离为30√6 m.(10分)
拓展探究 如图,作△ABC的外接圆☉O,连接BO并延长,交☉O于点D,连接CD,则
∠A=∠D.
设☉O的直径为2r.∵BD是☉O的直径,∴∠BCD=90°.
BC
在Rt△BCD中,sin D= ,
BD
BC a
∴BD= ,即2r= .
sinD sin A
b c
同理可得, =2r, =2r,
sin∠ABC sin∠ACB
a b c
故 = = . (6分)
sin A sin∠ABC sin∠ACB
类比探究型问题的解题通法
类比探究型问题是共性条件与特殊条件相结合、由特殊情形到一般情形(或由简
单情形到复杂情形)逐步深入、解题思路一脉相承的综合性题目.解决类比探究型
问题的一般方法:
(1)根据题干,结合分支条件解决第一问;
(2)用解决上一问的方法类比解决下一问,如果不能,两问结合起来分析,找出不能
类比的原因和不变特征,依据不变特征,探索新的解题方法(照搬字母,照搬辅助线,
照搬全等或相似,也就是知识的迁移).
