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第四章 因式分解
时间:60分钟 满分:100分
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选
项符合题意)
1.(2022·广西贺州八步区期末)把多项式m(a-2)+(a-2)分解因式等于( )
A.m(a-2) B.(a-2)(m+1)
C.m(a+2) D.(m-1)(a-2)
2.(2022·山东济南期末)下列各式中,能用公式法因式分解的是 ( )
A.x2-x B.4x2+4x-1
C.x2+y2 D.4x2-1
3.(2022·浙江杭州上城区期中)将下列多项式因式分解,结果中不含因式(x+2)的是
( )
A.x2-4 B.x2+4x+4
C.x2-4x+4 D.x2+2x
4.(2022·河北张家口期末)下列因式分解正确的是 ( )
A.x2y2-z2=x2(y+z)(y-z)
B.-x2y-4xy+5y=-y(x2-4x-5)
C.(x+2)2-9=(x+5)(x-1)
D.9-12a+4a2=-(3-2a)2
5.(2022·陕西西安期末)计算:101×1022-101×982= ( )
A.404 B.808
C.40 400 D.80 800
6.(2022·河北唐山期末)两邻边长分别为a,b的长方形的周长为10,面积为6,则
a2b+ab2的值为( )
A.15 B.30 C.60 D.120
7.小强是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息:a-b,x-y,x+y,
a+b,x2-y2,a2-b2分别对应华、爱、我、中、游、美六字.现将(x2-y2)a2-(x2-y2)b2因式
分解,结果呈现的密码信息可能是 ( )
A.我爱美 B.中华美
C.爱我中华 D.美我中华
1 1
8.(2022·浙江宁波镇海区模拟)已知xy=-1,x+y=2,则 x3y+x2y2+ xy3= ( )
2 2A.-2 B.2 C.-4 D.4
9.(2021·江苏南京月考)已知68-1能被30~40之间的两个整数整除,则这两个整数
是( )
A.31,33 B.33,35 C.35,37 D.37,39
10.(2022·广东清远期中)已知a,b,c分别是△ABC的三边长,若a2+2ab+b2=c2+24,
a+b-c=4,则△ABC的周长是 ( )
A.3 B.6 C.8 D.12
二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
11.(2021·四川成都武侯区期末)把多项式a3b4-abnc因式分解时,提取的公因式是
ab4,则n的值可能为 .(写出一个即可)
12.下面是莉莉对多项式3(x-2)2-(2-x)3进行因式分解的过程.
解:原式=3(x-2)2-(x-2)3…①
=(x-2)2 [3-(x-2)]…②
=(x-2)2(5-x).…③
最先出现错误的一步是 (填序号).
13.某校举行献爱心自愿捐款活动.据调查,三个年级献爱心自愿捐款的金额分别
为24ab(a+b)元、9b2(a+b)元、16a2(a+b)元,用因式分解的结果表示这三个年级共
捐款 元.
14.(2021·山东滨州月考)对于非零的两个实数a,b,如果规定a⊗b=a3-ab,那么将
a⊗16进行因式分解的结果为 .
15.(2022·河北保定师范附属学校期中)若实数x满足x2-2x-1=0,则4x3-8x2-4x+
2 023= .
16.(2022·江苏连云港海州区期末)若m2=n+2 023,n2=m+2 023(m≠n),则代数式m3-
2mn+n3的值为 .
三、解答题(共6小题,共52分)
17.(共3小题,每小题3分,共9分)因式分解:
(1)m4-2m2n2+n4;(2)x2(3y-6)+x(6-3y);
(3)-4(x-2y)2+9(x+y)2.
18.(6分)(2022·湖南常德期末)已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是x+3,求另一
个因式及m的值.19.(8分)(2021·江苏东台月考)从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形
[如图(1)],然后将剩余部分拼成一个长方形[如图(2)].
(1)上述操作能验证的等式是 .(请选择正确的选项)
A.a2-b2=(a+b)(a-b)
B.a2-2ab+b2=(a-b)2
C.a2+ab=a(a+b)
(2)已知a2-b2=16,a+b=8,求a-b的值.
(3)运用你从(1)中选择的等式进行简便计算:1 9992-1 9982.
20.(8分)(2022·山东枣庄市中区期末)观察下式,再回答所提出的问题:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2
=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3.
(1)上述分解因式的方法是 ,共用了 次.
(2)若分解因式1+x+x(x+1)+x(x+1)2+x(x+1)3,则需应用上述方法 次,结果是
.
(3)分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n为正整数).21.(10分)(2022·广东揭阳期末)阅读与思考:分组分解法是指用分组分解的方式,来
分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式.比如:四项的多项式一般按照
“两两”分组或“三一”分组,进行分组分解.
“两两”分组:ax+ay+bx+by
=(ax+ay)+(bx+by)
=a(x+y)+b(x+y)
=(a+b)(x+y).
“三一”分组:2xy+x2-1+y2
=x2+2xy+y2-1
=(x+y)2-1
=(x+y+1)(x+y-1).
解答下列问题:
(1)分解因式:①x2-xy+5x-5y;
②m2-n2-4m+4;
(2)已知a,b,c为△ABC的三边,且满足c2a2-c2b2=a4-b4,试判断△ABC的形状.
解:∵c2a2-c2b2=a4-b4,
∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2), (A)
∴c2=a2+b2, (B)
∴△ABC是直角三角形. (C)
上述解题过程,从哪一步开始出现错误?从错误的那一步起写出正确的完整过程.22.(11分)在“因式分解”一章的学习中,我们采用了构造几何图形的方法研究问
题,借助直观、形象的几何模型,加深对公式的认识和理解,从中感悟数形结合的
思想方法,感悟几何与代数内在的统一性,根据课堂学习的经验,解决下列问题:
图(1) 图(2)
图(3) 图(4)
b
(1)如图(1),有若干张A类、C类正方形卡片和B类长方形卡片(a< ),若取2张A
2
类卡片、3张B类卡片、1张C类卡片拼成如图(2)所示的长方形,借助图形,将多
项式2a2+3ab+b2分解因式为 .
(2)现有3张A类卡片、6张B类卡片、10张C类卡片,从中取出若干张,每种卡片
至少取1张,把取出的这些卡片拼成一个正方形(所拼的正方形中既不能有缝隙,
也不能重合),则拼成的正方形的边长最大是 .
A.a+b B.a+2b
C.a+3b D.2a+b
(3)若取1张C类卡片和4张A类卡片分别按图(3)、图(4)两种方式摆放,求图(4)中
大正方形未被4个小正方形覆盖部分(阴影部分)的面积(用含m,n的代数式表示).第四章 因式分解
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B D C C D B C A C B
11.5(答案不
12.① 13.(a+b)(4a+3b)2
唯一)
14.a(a+4) 15.2
16.-2 023
(a-4) 023
1.B 原式=(a-2)(m+1).故选B.
2.D x2-x=x(x-1),提公因式法分解因式;4x2+4x-1,x2+y2不能分解因式;4x2-1=(2x+
1)(2x-1),能用平方差公式进行因式分解,故选D.
3.C x2-4=(x+2)(x-2);x2+4x+4=(x+2)2;x2-4x+4=(x-2)2;x2+2x=x(x+2).故选C.
4.C x2y2-z2=(xy+z)(xy-z);-x2y-4xy+5y=-y(x2+4x-5)=-y(x+5)(x-1);(x+2)2-9=(x+5)
(x-1);9-12a+4a2=(3-2a)2.故选C.
5.D 101×1022-101×982=101×(1022-982 ) =101×(102+98)×(102-98) =101×
200×4=80 800.
6.B ∵两邻边长分别为a,b的长方形的周长为10,面积为6,∴a+b=5,ab=6,则
a2b+ab2=ab(a+b)=6×5=30.故选B.
7.C 原式=(x2-y2)(a2-b2)=(x-y)(x+y)(a-b)(a+b),结合已知条件可知,结果呈现的密码
信息可能是爱我中华.
1 1 1 1 1
8.A ∵xy=-1,x+y=2,∴ x3y+x2y2+ xy3= xy(x2+2xy+y2)= xy(x+y)2= ×(-1)×22=-2.
2 2 2 2 2
故选A.
9.C ∵68-1=(64+1)(64-1)=(64+1)(62+1)(62-1)=(64+1)×37×35,∴68-1能被35和37这两
个整数整除.
10.B ∵a2+2ab+b2=c2+24,∴(a+b)2-c2=24,∴(a+b+c)(a+b-c)=24.∵a+b-c=4,∴4(a+
b+c)=24,∴a+b+c=6,∴△ABC的周长是6.故选B.
∵a2+2ab+b2=c2+24,a+b-c=4,∴(a+b)2=c2+24,a+b=c+4,整体代入得(c+4)2=c2+24,化简,得c=1,∴a+b=5,∴△ABC的
周长=a+b+c=6.
11.5(答案不唯一,n≥4即可)
12.① 步骤①应当是:原式=3(x-2)2+(x-2)3.
13.(a+b)(4a+3b)2 24ab(a+b)+9b2(a+b)+16a2(a+b)=(a+b)(24ab+9b2+16a2)=(a+b)(4a+
3b)2.14.a(a+4)(a-4) a16=a3-16a=a(a2-16)=a(a+4)(a-4).
15.2 023 ∵x2-2x-1=0,∴x3-2x2-x=0,∴4x3-8x2-4x+2 023=4(x3-2x2-x)+2 023=
4×0+2 023=2 023.
16.-2 023 ∵m2-n2=n-m,∴(m+n)(m-n)=n-m.∵m≠n,∴m-n≠0,∴m+n=-1.将m2=n+
2 023两边同时乘以m,得m3=mn+2 023m.将n2=m+2 023两边同时乘以n,得
n3=mn+
2 023n,∴m3+n3=2mn+2 023(m+n),∴m3+n3-2mn=2 023(m+n)=2 023×(-1)=-2 023.
∵m2-n2=n-m,∴(m+n)(m-n)=n-m.∵m≠n,∴m-n≠0,∴m+n=-1.∵m2=n+2 023,n2=m+2 023,∴m2-n=2 023,n2-m=2
023,∴m3-2mn+n3=m3-mn-mn+n3=m(m2-n)+n(n2-m)=2 023m+2 023n=2 023(m+n)=-2 023.
17.【参考答案】(1)原式=(m2-n2)2
=[(m+n)(m-n)]2
=(m+n)2(m-n)2. (3分)
(2)原式=x2(3y-6)-x(3y-6)
=(3y-6)(x2-x)
=(3y-6)(x-1)x
=3x(y-2)(x-1). (3分)
(3)原式=9(x+y)2-4(x-2y)2
=(3x+3y)2-(2x-4y)2
=(3x+3y+2x-4y)(3x+3y-2x+4y)
=(5x-y)(x+7y). (3分)
18.【参考答案】设另一个因式为x+a,
则x2-4x+m=(x+3)(x+a)
=x2+ax+3x+3a
= x 2 + ( a+3 ) x+3a ,
{a+3=-4, { a=-7,
∴ ∴
3a=m, m=-21,
∴另一个因式为x-7,m的值为-21. (6分)
19.【参考答案】(1)A (2
分)
(2)∵a+b=8,a2-b2=16,
∴(a+b)(a-b)=8(a-b)=16,
∴a-b=2.(5分)
(3)原式=(1 999+1 998)×(1 999-1 998)
=3 997×1
=3 997.(8分)20.【参考答案】(1)提公因式法 2 (2分)
(2)3 (1+x)4(5分)
解法提示:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+x(x+1)3
=(1+x)[1+x+x(x+1)+x(x+1)2]
=(1+x)2[1+x+x(x+1)]
=(1+x)3(1+x)
=(1+x)4.
(3) 1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n
=(1+x)[1+x+x(1+x)+…+x(x+1)n-1]
=(1+x)2[1+x+x(1+x) +…+x(x+1)n-2]
…
=(1+x)n+1. (8分)
(3)1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n
=(1+x)+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n
=(1+x)(1+x)+x(x+1)2+…+x(x+1)n
=(1+x)2(1+x) +…+x(x+1)n
…
=(1+x)n+1. (8分)
21.【参考答案】(1)①x2-xy+5x-5y
=(x2-xy)+(5x-5y)
=x(x-y)+5(x-y)
=(x-y)(x+5).
②m2-n2-4m+4
=(m2-4m+4)-n2
=(m-2)2-n2
=(m-2+n)(m-2-n). (6分)
(2)上述解题过程,从B开始出现错误.(7分)
∴ ( a 2 -b 2 )[ c 2 - ( a 2 +b 2 )] =0 ,
∴a2-b2=0或c2-(a2+b2)=0,
∴a=b或c2=a2+b2,
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形. (10分)
22.【解题思路】(1)用两种方法表示正方形的面积,即可得到答案;(2)先算出纸片
的总面积,然后凑出完全平方公式,进而即可求解;(3)根据题图即可求解.
【参考答案】(1)(2a+b)(a+b) (3分)
(2)C(7分)解法提示:由题意知,这19张卡片的总面积=3a2+6ab+10b2,
最大的正方形面积为a2+6ab+9b2=(a+3b)2,
此时正方形的边长为a+3b.
(3)由题图(3)知2a+b=m,由题图(4)知b-2a=n,
∴大正方形中未被4个小正方形覆盖部分(阴影部分)的面积=b2-4a2=(b+2a)
(b-2a)=mn. (11分)
