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八年级下学期期中综合测评卷
时间:100分钟 满分:120分
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选
项符合题意)
1.杭州2022年第19届亚运会的吉祥物为智能小伙伴“江南忆”组合,其中吉祥
物“宸宸”深受网民喜爱,下列四个选项中,能够和“宸宸”(如图)的图片成中心
对称的是 ( )
A B C D
2.用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时,第一步应假设这
个三角形中( )
A.有一个内角小于45°
B.每一个内角都小于45°
C.有一个内角大于或等于45°
D.每一个内角都大于或等于45°
3.如图,已知等边三角形ABC和等边三角形BDE,其中A,B,D三点在同一条直线
上,且AB10时,乙气球位置高;
③当0≤x<10时,甲气球位置高.
其中正确的结论有 ( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
6.已知a,b为非零有理数,下列不等式组的解集有可能为-11, {ax<1,
A. B.
bx>1 bx<1
{ax<1, {ax>1,
C. D.
bx>1 bx<1
7.如图,BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,BD与CE相交于点O,且OD=OE,下列结
论错误的是( )
A.∠OAB=∠OAC B.AE=AD
C.∠B=∠C D.OE垂直平分AB
(第7题) (第8题)
8.如图,已知等边三角形ABC的边长为4,点P是边BC上的动点,将△ABP绕点A
逆时针旋转60°得到△ACQ,D是边AC的中点,连接DQ,则DQ的最小值是 ( )
A. B. C.2 D.
√2 √5 √3
9.把一副直角三角尺如图摆放,∠C=∠DFE=90°,∠CAB=60°,∠FDE=45°,斜边
AB,DE在直线l上,△ABC保持不动,△DEF在直线l上平移,连接AF,当以点A,E,F
为顶点的三角形是直角三角形时,∠CAF的度数是 ( )A.15° B.25°
C.15°或30° D.25°或30°
{x>2,
10.某班数学兴趣小组对不等式组 进行讨论,得到以下结论:
x≤a
①若a=5,则该不等式组的解集为2 . ②
5 2
17.(7分)如图,已知△ABC,∠C=90°,AC0).
(1)若点P恰好在∠BAC的平分线上,求t的值;
(2)若点P在AB边上运动,则当t为何值时,△BCP为等腰三角形?
23.(13分)已知,△ABC是等边三角形,AB=6,将一块含有30°角的直角三角板DEF
如图放置,让等边三角形ABC向右平移(BC只能在EF上移动),如图(1),当点E与
点B重合时,点A恰好落在直角三角板的斜边DF上.
(1)若点C平移到与点F重合,求等边三角形ABC平移的距离.(2)等边三角形ABC在向右平移过程中,AB,AC与三角板斜边的交点分别为G,H,
连接EH交AB于点P,如图(2).
①求证:EB=AH.
②若∠HEF=30°,则EH= .
③判断PG的长是否会发生变化.如果不会变化,请求出PG的长;如果会变化,请说
明理由.
图(1) 图(2)
八年级下学期期中综合测评卷(B)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D D C B A B D D C A
11.1 12.(1,√3)
13.8.8 14.40° 15.3
1.D
2.D 用反证法证明“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时,第一步应假设这
个三角形中每一个内角都不小于45°,即每一个内角都大于或等于45°.故选D.
3.C ∵ AB
6,∴符合题意,此时三角形的周长为3+6+6=15.故选B.
5.A 由题图可得,当x=10时,两个探测气球位于同一高度,故①中的结论正确;当
x>10时,乙气球位置高,故②中的结论正确;当0≤x<10时,甲气球位置高,故③中的
结论正确.故选A.
{-x<1, {-x<1,
6.B ∵-1-1且x<1,∴ 只有B的形式和 的形式一样.故选
x<1, x<1
B.
7.D ∵BD⊥AC,CE⊥AB,OD=OE,∴OA平分∠BAC,∴∠OAB=∠OAC,故A正确;在
{AO=AO,
Rt△AEO和Rt△ADO中, ∴Rt△AEO≌Rt△ADO(HL),∴AE=AD,故B正
OE=OD,
{
∠CAE=∠BAD,
确;在△AEC和△ADB中, AE=AD, ∴△AEC≌△ADB,∴∠B=∠C,故C
∠AEC=∠ADB=90°,
正确;∵AE不一定等于BE,∴OE不一定垂直平分AB,故D错误.故选D.
8.D 由旋转可得∠ACQ=∠B=60°,∵D是边AC的中点,∴CD=2.当DQ⊥CQ时,DQ
1
的长最小,此时,∠CDQ=30°,∴CQ= CD=1,∴DQ=√22-12=√3,∴DQ的最小值是√3.
2
9.C 当点D与点A重合时,△AEF是直角三角形,此时∠CAF=60°-45°=15°;当点D
运动到A是DE的中点时,△AEF是直角三角形,此时∠CAF=90°-60°=30°.综上,
∠CAF的度数为15°或30°.
10.A
{x>2,
①若a=5,则不等式组为 ∴此不等式组的解集为22,
②若a=1,如图(1)所示,则不等式组为 ∴此不等式组无解,此结论正确;
x≤1,
图(1)
③若不等式组无解,则表示实数a的点不在表示2的点的右边,∴a的取值范围为a≤2,此结论正确;
④若不等式组有且只有两个整数解,则整数解为3,4,如图(2)所示,∴4≤a<5,此结论正确.图(2)
综上所述,结论正确的是①②③④.
11.1 ∵x-m≥2,∴x≥2+m.∵不等式的解集是x≥3,∴2+m=3,解得m=1.
12.(1, ) 由题意可得,在Rt△AOB中,OA=1,∠ABO=30°,∴AB=2AO=2,∴BO=
√3
= .由平移的性质知OC=AO=1,B'C=BO= ,∴点B'的坐标为(1, ).
√AB2-AO2 √3 √3 √3
x
13.8.8 设可以打x折,500× -400≥ 400 × 10% ,解得x≥8.8,即最多可打8.8折.
10
14.40° 由题意知,DB=DA,EC=EA.∴∠DAB=∠B,∠EAC=∠C.∵∠BAC=110°,
∴∠B+∠C=70°,即∠DAB+∠EAC=70°,∴∠DAE=110°-70°=40°.
15.3 如图,过点E作EH⊥CD于点H,过点F作FG⊥AE于点G,∵△ABC是等边
1 1
三角形,∴∠C=60°,CA=CB,∴∠CEH=30°.在Rt△CEH中,CH= CE= ×2=1,∴EH=
2 2
= .∵△DEF是等边三角形,
√CE2-CH2 √3
∴EF=ED,∠DEF=60°.∵∠DEG=∠EDH+∠C,即
∠GEF+∠DEF=∠EDH+∠C,∴∠GEF=∠EDH,∴易证得△EFG≌△DEH(AAS),∴FG=
EH= ,GE=DH.在Rt△AFG中,AG=
√3 √AF2-FG2
=2.∵CB=CA,∴BD+DH+CH=CE+GE+AG,
∴BD+1=2+2,∴BD=3.
16.【参考答案】(1)去分母,得3(x-3)≥2(2x-5).
去括号,得3x-9≥4x-10. (2分)
移项、合并同类项,得-x≥-1.
两边都除以-1,得x≤1,
所以原不等式的正整数解为1. (4分)
(2)解不等式①,得x≥1. (1分)
解不等式②,得x<-7,(3分)
所以原不等式组无解. (4分)
17.【参考答案】(1) 点 D 的位置如图所示 . (3分)(2)如图,在Rt△ABC中,∠B=37°,
∴∠CAB=90°-37°=53°.
∵AD=BD,∴∠BAD=∠B=37°,
∴∠CAD=∠CAB-∠BAD=53°-37°=16°. (7分)
18.【参考答案】(1)△A B C如图所示. (3分)
1 1
(2)△A B C 如图所示. (6分)
2 2 2
(3)旋转中心的坐标为(-1,0). (8分)
19.【参考答案】(1)如图,△AP B即为所求. (2分)
1
等边三角形(3分)
(2)△BP P为直角三角形. (4分)
1
理由:∵△AP P为等边三角形,
1
∴PP =AP=3.
1
根据旋转可知 BP =PC=5.
1
∵P + PB2=32+42=25,B =52=25,
P2 P2
1 1
∴P +PB2=B ,
P2 P2
1 1
∴△BP P为直角三角形. (7分)
1
(3)150 (9分)
解法提示:∵△APP 为等边三角形,
1
∴∠APP = 60°.
1
∵∠BPP = 90°,
1
∴∠APB=90°+60°=150°.
20.【参考答案】证明:(1)∵D是边BC的中点,
∴BD=CD.
∵CE∥AB,∴∠BAD=∠F.
{
∠BAD=∠F,
在△ABD和△FCD中, ∠ADB=∠FDC,
BD=CD,
∴△ABD≌△FCD(AAS),
∴AB=CF.
∵AD平分∠EAB,
∴∠BAD=∠DAE,
∴∠F=∠DAE,
∴AE=EF.
∵CF=CE+EF,
∴AB=CE+AE. (5分)
(2)∵AD平分∠EAB,DM⊥AB,DN⊥AC,
∴DM=DN,∠DMB=∠DNC=90°.
∵D是边BC的中点,
∴BD=CD.
在Rt△BDM和Rt△CDN中,
{DM=DN,
BD=CD,
∴Rt△BDM≌Rt△CDN(HL),
∴MB=NC. (9分)
(1)如图,连接ED并延长交AB于点H,
∵D是边BC的中点,
∴BD=CD.
∵CE∥AB,
∴∠BCE=∠B.
{
∠B=∠BCF,
在△HBD和△ECD中, ∠HDB=∠EDC,
BD=CD,
∴△HBD≌△ECD,
∴HB=EC,DH=DE.
同理可得△HAD≌△EFD,
∴AH=EF.
∵AD平分∠EAB,
∴∠BAD=∠DAE,
∴∠F=∠DAE,
∴AE=EF,∴AH=AE,
∴AB=BH+AH=CE+AE. (5分)
21.【参考答案】(1)设每台A型空调x元,每台B型空调y元,依题意得
{ x+2y=8000,
2x+3 y=13000,
{x=2000,
解得
y=3000.
答:每台A型空调2 000元,每台B型空调3 000元. (3分)
(2)设购进A型空调m台,则购进B型空调(30-m)台,
依题意得2 000m+3 000(30-m)≤77 000,
解得m≥13.
∵m为整数,
∴m的最小值为13.
答:至少需购进A型空调13台. (7分)
(3)在甲商店购买空调所需费用为2 000×90%m+3 000(30-m)=(-1 200m+90 000)
(元),
在乙商店购买空调所需费用为2 000m+3 000×90%(30-m)=(-700m+81 000)(元).
令-1 200m+90 000>-700m+81 000,解得m<18,∴当购进A型空调大于等于13台
且小于18台时,到乙商店购买空调花费少.
令-1 200m+90 000=-700m+81 000,解得m=18,
∴当购进A型空调18台时,到两家商店购买空调所需费用相同.
令-1 200m+90 000<-700m+81 000,解得m>18,
∴当购进A型空调超过18台时,到甲商店购买空调花费少.
答:当购进A型空调大于等于13台且小于18台时,到乙商店购买空调花费少;当购
进A型空调18台时,选择两家商店购买空调所需费用相同;当购进A型空调超过
18台时,到甲商店购买空调花费少. (10分)
22.(1)作PD⊥AB PD=PC=2t-4→BD,PB t
[①PC=PB→PA=PC→BP→t
(2)分三种情况— -②BC=BP→BP→t
③CB=CP→作CF⊥AB→CF→BF→BP→t
【参考答案】(1)如图(1),当P点在∠BAC的平分线上时,连接AP,作PD⊥AB于点
D,
由题意得AC= =4,
√52-32
则PD=PC=2t-4,
易得AD=AC=4,
∴BD=5-4=1,PB=3-(2t-4)=7-2t.
图(1)
在Rt△PBD中,PB2=PD2+BD2,
即(7-2t)2=(2t-4)2+12,
8
解得t= . (4分)
3
(2)分三种情况:
①当PC=PB时,如图(2),
∵PC=PB,∴∠PCB=∠B.
∵∠ACB=90°,
∴∠ACP+∠PCB=90°,∠A+∠B=90°,
∴∠ACP=∠A,
∴PA=PC,
1 5
∴BP=AP= AB= ,
2 2
5
∴2t-(4+3)= ,
2
19
解得t= . (6分)
4
②当BC=BP时,如图(3),
∵BC=3,
∴BP=3,
∴2t-(4+3)=3,解得t=5. (8分)
③当CB=CP时,如图(4),作CF⊥AB于点F,1 1
∵S = BC·AC= AB·CF,
△ABC
2 2
1 1 12
∴ ×3×4= ×5×CF,解得CF= .
2 2 5
√ 12 9
根据勾股定理得 BF= 32-( )2= ,
5 5
18 18 53
∴BP=2BF= ,即2t-(4+3)= ,解得t= . (10分)
5 5 10
19 53
综上,当t= ,5或 时,△BCP为等腰三角形.(11分)
4 10
图(2) 图(3) 图(4)
23.【参考答案】(1)∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=∠ACB=60°.
∵∠F=30°,
∴∠FAC=30°,
∴∠BAF=90°,
∴EF=2AB=12,
∴CF=EF-BC=12-6=6,
∴等边三角形ABC平移的距离为6. (3分)
(2)①证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,AC=BC.
∵∠F=30°,
∴∠CHF=60°-30°=30°,
∴∠CHF=∠F,
∴CH=CF.
∵EF=2BC,
∴BE+CF=BC.
∵AH+CH=AC,AC=BC,
∴AH=EB. (6分)
②4 (8分)
√3
③不会发生变化, (9分)
如图,过点H作HM∥EF,交AB于点M,
(10分)∴∠AHM=∠ACB=60°,∠AMH=∠ABC=60°,
∴△AMH是等边三角形,
∴MH=AH.
∵AH=BE,
∴MH=BE,
∵HM∥EF,
∴∠ABE=∠BMH,∠BEH=∠MHP,
∴△EBP≌△HMP(ASA),
∴PM=PB. (11分)
∵△AMH是等边三角形,HG⊥AB,
∴AG=GM,
1
∴PG= AB=3. (13分)
2
