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第十八章 平行四边形
时间 60分钟 满分 100分
题号 一 二 三 总分
分数
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选
项符合题意)
1.(2022·湖南邵阳期末)正方形具有,而菱形不具有的性质是 ( )
A.四条边都相等B.对角线互相垂直
C.四个角都相等D.对角线互相平分
2.(2022·贵州六盘水期中)如图,四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形,且点G在
CD上.若∠BAG=20°,则∠DGF= ( )
A.70° B.60° C.80° D.45°
(第2题) (第3题)
3.(2023·安徽芜湖期中)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,若
AC=4,BD=6,则AB的长可能是 ( )
A.5 B.4 C.6 D.7
4.(2022·安徽合肥包河区二模)如图,一块三角板放在一张菱形纸片上,其斜边与菱
形的一边平行,则∠1的度数是 ( )
A.45° B.50° C.60° D.75°
(第4题) (第5题)
5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别是边AB,AC的中点,延长BC至点F,使
1
CF= BC,连接DE,DC,EF,若EF=5,则AB的长是 ( )
2
A.10 B.12 C.15 D.18
6.(2023·江苏南通期中)如图,在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形.甲、乙
两人的作法如下:甲:连接AC,作AC的垂直平分线MN,分别交AD,AC,BC于点M,O,N,连接AN,CM,
则四边形ANCM是菱形.
乙:作∠BAD,∠ABC的平分线AE,BF,分别交BC,AD于点E,F,连接EF,则四边形
ABEF是菱形.
甲 乙
根据两人的作法可判断 ( )
A.甲正确、乙错误 B.乙正确、甲错误
C.甲、乙均正确D.甲、乙均错误
7.(2023·河南南阳三模)如图,点E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA
的中点,则下列说法正确的是( )
A.若AC=BD,则四边形EFGH为矩形
B.若AC⊥BD,则四边形EFGH为菱形
C.若四边形EFGH是平行四边形,则AC与BD互相平分
D.若四边形EFGH是正方形,则AC与BD互相垂直且相等
(第7题) (第8题)
8.(2023·安徽合肥庐阳区一模)四边形不具有稳定性.四条边长都确定的四边形,当
内角的大小发生变化时,其形状也随之改变.如图,改变正方形ABCD的内角,使正
方形ABCD变为菱形ABC'D',如果∠DAD'=30°,那么菱形ABC'D'与正方形ABCD
的面积之比是 ( )
√3 √3 √2
A. B. C. D.1
2 4 2
9.如图,点E和点F分别在正方形纸片ABCD的边CD和AD上,连接AE,BF,沿BF
所在直线折叠该纸片,使点A恰好落在线段AE上的点G处.若该正方形纸片的边
长为12,DE=5,则GE的长为 ( )
49 50
A.4 B.3C. D.
13 13(第9题) (第10题)
10.(2022·江苏连云港期末)如图,矩形ABCD中,AB=9,BC=12,点F在CD上,且
DF=5,E是BC边上的一动点,M,N分别是AE,EF的中点,则在点E从B向C运动
的过程中,线段MN所扫过的图形面积是 ( )
A.13 B.14 C.15 D.16
二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)
11.(2023·安徽合肥庐江期中)在▱ABCD中,已知∠A+∠C=160°,则∠A= °
.
12.(2023·湖南湘潭中考改编)如图,菱形ABCD中,连接AC,BD,若∠1=20°,则∠2=
°.
(第12题) (第13题)
13.(2023·安徽池州贵池区二模)如图,在▱ABCD中,AB=3,BC=5,∠ABC的平分线交
AF
CD的延长线于点E,交AD于点F,则 = .
FD
14.(2023·山东聊城期中)以正方形ABCD的边CD为边作等边三角形CDE,则
∠AEB= .
15.(2022·安徽滁州南谯区期末)如图,∠MEN=90°,矩形ABCD的顶点B,C分别是
∠MEN两边上的动点,已知BC=6,CD=3,请完成下列探究:
(1)若F是BC的中点,那么EF= ;
(2)D,E两点之间距离的最大值是 .
三、解答题(共6小题,共55分)
16.(6分)(2023·湖南岳阳中考)如图,点M在▱ABCD的边AD上,BM=CM,请从以下
三个选项中①∠1=∠2;②AM=DM;③∠3=∠4,选择一个合适的选项作为已知条件,
使▱ABCD为矩形.(1)你添加的条件是 (填序号);
(2)添加条件后,请证明▱ABCD为矩形.
17.(8分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD的垂直平分线与边AD,BC分
别相交于点M,N.
(1)求证:四边形BNDM是菱形;
(2)若菱形BNDM的周长为52,MN=10,求菱形BNDM的面积.18.(8分)(2023·江西南昌期中)仅用无刻度直尺在给定网格中完成下列作图(保留
作图痕迹,不写作法).
(1)如图(1) ,在菱形ABCD中,E,F分别是AB,AD上的点,且AE=AF,以EF为边作一
个矩形;
(2)图(2)是由小正方形组成的9×6的网格,点P为△ABC内一点,画格点D,连接
AD,CD,使得四边形ABCD为平行四边形,并在边CD上画点Q,使直线PQ平分四
边形ABCD的面积.
图(1) 图(2)
19.(9分)如图,P是正方形ABCD对角线BD上的一点,PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点
F.
(1)求证:PA=EF;
(2)若正方形ABCD的边长为12,求四边形PFCE的周长.20.(11分)(2023·安徽黄山期中)如图,在平行四边形ABCD中,AB=3 cm,BC=5
cm,∠B=60°.G是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交
于点F,连接CE,DF.
(1)求证:四边形CEDF是平行四边形.
(2)①当四边形CEDF是矩形时,求AE的长;
②当四边形CEDF是菱形时,求AE的长.21.(13分)(2023·河南新乡红旗区期中)[经典再现]
如图(1),四边形ABCD是正方形,E是BC边的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外
角的平分线CF于点F.求证:AE=EF.(提示:取AB的中点G,连接EG)
(1)请你思考题中的“提示”,这样添加辅助线的意图是得到条件: ;
[类比探究]
(2)如图(2),若E是BC边上任意一点(不与点B,C重合),其他条件不变.求证:AE=EF;
[迁移应用]
BE
(3)在(2)的条件下,连接AC,过点E作EP⊥AC,垂足为P,连接PF.设 =k,当k为何
BC
值时,四边形ECFP是平行四边形?
图(1) 图(2)第十八章 平行四边形·B卷
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C A B C A C D A C C
3
11.80 12.70 13.
2
14.30°或150° 15.(1)3 (2)3+3√2
16.【参考答案】(1)① (2分)
(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD.
{AB=DC,
在△ABM和△DCM中, ∠1=∠2,
BM=CM,
∴△ABM≌△DCM(SAS),∴∠A=∠D. (5分)
∵AB∥CD,∴∠A+∠D=180°,
∴∠A=∠D=90°,∴▱ABCD是矩形. (6分)
(1)② (2分)
(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD.
{
AB=DC,
在△ABM和△DCM中, AM=DM,
BM=CM,
∴△ABM≌△DCM(SSS),∴∠A=∠D. (5分)
∵AB∥CD,∴∠A+∠D=180°,
∴∠A=∠D=90°,∴▱ABCD是矩形. (6分)
17.【参考答案】(1)证明:∵AD∥BC,
∴∠DMO=∠BNO.
∵MN是对角线BD的垂直平分线,
∴OB=OD,MN⊥BD.
在△MOD和△NOB中,
{∠DMO=∠BNO,
∠MOD=∠NOB ,
OD=OB,
∴△MOD≌△NOB,
∴OM=ON.
∵OB=OD,
∴四边形BNDM是平行四边形.
又MN⊥BD,
∴平行四边形BNDM是菱形. (4分)1
(2)由(1)可知,OB=OD,OM=ON= MN=5,
2
∵四边形BNDM是菱形,周长为52,
1
∴BN=DN=DM=BM= ×52=13.
4
∵MN⊥BD,
∴在Rt△BON中,OB= = =12,
√BN2-ON2 √132-52
∴BD=2OB=24,
1 1
∴S = BD·MN= ×24×10=120. (8分)
菱形BNDM
2 2
18.【参考答案】(1)矩形EFGH如图(1)所示. (4分)
图(1) 图(2)
(2)如图(2),点D和点Q即为所求.(8分)
19.【参考答案】(1)证明:如图,连接PC.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=CB,∠ABD=∠CBD=45°,∠BCD=90°.
在△ABP与△CBP中,
{
AB=CB,
∠ABP=∠CBP,
BP=BP,
∴△ABP≌△CBP(SAS),∴PA=PC.
∵PE⊥BC,PF⊥CD,∠BCD=90°, (4分)
∴四边形PFCE是矩形,
∴EF=PC,∴PA=EF. (5
分)
(2)由(1)知四边形PFCE是矩形,
∴PE=CF,PF=CE.
∵∠CBD=45°,∠PEB=90°,
∴∠BPE=45°,
∴BE=PE. (7分)
由题意可知BC=12,
∴矩形PFCE的周长=2(PE+EC)=2(BE+EC)=2BC=24. (9分)
20.【参考答案】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC∥AD,即CF∥ED,∴∠FCG=∠EDG.
∵G是CD的中点,∴CG=DG.在△FCG和△EDG中,
{∠FCG=∠EDG,
CG=DG,
∠CGF=∠DGE,
∴△FCG≌△EDG,∴FG=EG.
∴四边形CEDF是平行四边形. (4分)
(2)①∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠CDA=∠B=60°,DC=AB=3 cm,AD=BC=5 cm.
∵四边形CEDF是矩形,
∴∠CED=90°,∴∠ECD=30°.
1
在Rt△CED中,易得ED= CD=1.5 cm,
2
∴AE=AD-ED=5-1.5=3.5(cm).
故当四边形CEDF是矩形时,AE=3.5 cm.(8分)
②∵四边形CEDF是菱形,∴CE=ED.
由①可知,∠CDA=60°,AD=5 cm,
∴△CED是等边三角形,∴DE=CD=AB=3 cm,
∴AE=AD-DE=5-3=2(cm).
故当四边形CEDF是菱形时,AE=2 cm. (11分)
21.【参考答案】(1)AG=CE (2分)
1 1
解法提示:∵E为BC的中点,∴BE=CE= BC.∵G为AB的中点,∴BG=AG= AB.又
2 2
AB=BC,∴AG=CE.
(2)证明:如图(1),在AB边上取AG=EC,连接EG,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠B=90°.
∵AG=CE,∴BG=BE,
∴△BGE是等腰直角三角形,
∴∠BGE=∠BEG=45°,
∴∠AGE=∠ECF=135°.
∵AE⊥EF,
∴∠AEB+∠FEC=90°.
∵∠BAE+∠AEB=90°,
∴∠FEC=∠BAE,
∴易得△GAE≌△CEF,
∴AE=EF. (7分)
图(1) 图(2)
1
(3)当k= 时,四边形ECFP是平行四边形. (8分)
3
如图(2),由(2)知△GAE≌△CEF,∴CF=EG.
设BC=x,则BE=kx,∴GE=√2kx,EC=(1-k)x.
∵EP⊥AC,∴△PEC是等腰直角三角形,
∴∠PEC=45°,∴∠PEC+∠ECF=180°,√2
∴PE∥CF,∴PE= (1-k)x.
2
当PE=CF时,四边形PECF是平行四边形,
√2
∴ (1-k)x=√2kx,
2
1 1
解得k= ,∴当k= 时,四边形ECFP是平行四边形. (13分)
3 3
