第三章 图形的平移与旋转
时间:60分钟 满分:100分
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选
项符合题意)
1.(2022·湖北黄石中考)下面四幅图是我国一些博物馆的标志,其中既是轴对称图
形又是中心对称图形的是 ( )
A.温州博物馆 B.西藏博物馆
C.广东博物馆 D.湖北博物馆
2.(2022·河南洛阳期中改编)下列四个汽车标志图案中,能用平移变换来分析其形
成过程的图案是 ( )
A B C D
3.(2022·北京西城区期中)如图,将面积为5的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位
置,平移的距离是边BC长的两倍,则图中的四边形ACED的面积为 ( )
A.15 B.10 C.5 D.20
(第3题) (第4题)
4.(2022·山东枣庄期末)如图,将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE,若
∠E=65°,且AD⊥BC于点F,则∠BAC的度数为 ( )
A.65° B.70° C.75° D.80°5.(2021·浙江湖州吴兴区期末)如图,在正方形网格中,线段A'B'是线段AB绕某点
按顺时针方向旋转一定角度后得到的,点A'与点A是对应点,则这个旋转角可能
为 ( )
A.45° B.60° C.90° D.135°
6.(2021·江西模拟)如图,P(m,n)为△ABC内一点,△ABC经过平移得到△A'B'C',平移
后点P与其对应点P'关于x轴对称.若点B的坐标为(-2,1),则点B的对应点B'的坐
标为 ( )
A.(-2,1-2n) B.(-2,1-n)
C.(2,-1) D.(m,-1)
(第6题) (第7题)
7.(2022·海南中考二模)如图,在△ABC中,∠CAB=72°,在同一平面内,将△ABC绕点
A旋转到△AB'C'的位置,连接C'C,使C'C∥AB,则∠AB'B的度数为 ( )
A.34° B.36° C.72° D.46°
8.(2021·江西南昌期中)如图,将△ABC绕点C(0,-1)旋转180°得到△A'B'C,设点A的
坐标为(a,b),则点A'的坐标为( )
A.(-a,-b-2) B.(-a,-b-1)
C.(-a,-b+1) D.(-a,-b)
9.(2022·河北邯郸期末)如图,在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,AI平分∠BAC,CI平分
∠ACB,将∠BAC平移,使其顶点与点I重合,则图中阴影部分的周长为( )A.5 B.8 C.10 D.7
(第9题) (第10题)
10.(2022·江苏盐城盐都区段考)如图,在平面直角坐标系中,第一次:将点A绕原点
O逆时针旋转90°得到点A ;第二次:作点A 关于x轴的对称点A ;第三次:将点A
1 1 2 2
绕点O逆时针旋转90°得到点A ;第四次:作点A 关于x轴的对称点A ,…,按照这
3 3 4
样的规律,点A 的坐标是( )
2 022
A.(-3,2) B.(-2,3)
C.(-2,-3)D.(3,-2)
二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
11.如图,该图形绕点O旋转能与自身重合,则旋转角最小为 °.
(第11题) (第12题)图(1) 图(2)
12.(2021·河南洛阳汝阳期末)如图,图(1)和图(2)中所有的小正方形都全等,将图(1)
的小正方形放在图(2)中①②③④的某一位置,使它与原来7个小正方形组成的图
形是中心对称图形,这个位置是 .
13.(2022·辽宁沈阳期末)如图,在平面直角坐标系中,AC=BC=13,点A,B的坐标分
别为(2,0),(12,0),将△ABC沿x轴向左平移,当点C落在直线y=-x+8上时,△ABC平
移的距离为 .
(第13题) (第14题)14.如图,A,B的坐标分别为(1,0),(0,2),若将线段AB平移至A B ,则点A ,B 的坐标
1 1 1 1
分别为(2,a),(b,3),则a+b= .
15.(2022·广东清远期末)如图,边长为2的等边三角形ABC中,G是AC的中点,连
接BG,E是对称轴AD上的一个动点,连接CE,将线段CE绕点C顺时针旋转60°
得到CF,连接EF,DF,则在点E运动的过程中,DF的最小值是 .
(第15题) (第16题)
16.(2021·浙江宁波模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2√5,BC=4,现将
△ABC绕点B旋转,点A,C的对应点分别为A',C',当点C'落在直线AB上时,AA'的
长为 .
三、解答题(共6小题,共52分)
17.(7分)(2022·陕西汉中期末改编)如图,△ABC是边长为2的等边三角形,将
△ABC沿直线BC平移到△DCE的位置,连接BD交AC于点F,求BD的长.
18.(7分)如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长为1,△ABC的顶点均在
格点上,请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题:(1)作出△ABC关于原点O成中心对称的△A B C .
1 1 1
(2)若将△ABC绕某点顺时针旋转90°后,其对应点A (-2,0),B (-4,1),则点C 的坐标
2 2 2
为 .
(3)设P为x轴上的一个动点,当PA+PC取得最小值时,点P的坐标为 .
19.(8分)(2022·江西赣州期末)如图,将线段AB绕点A逆时针旋转α(0°<α<60°)得
到线段AC,继续旋转2α得到线段AD,连接CD,BD.
(1)若α=40°,则∠BDC的度数为 ;
(2)请用含α的代数式表示∠BDC,并说明理由.20.(9分)(2021·福建福州台江区期中)如图,将△ABC绕点A逆时针旋转60°,得到
△ADE,其中点D与点B对应,点E与点C对应.
(1)作出△ADE(要求尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)请你计算BC与DE所成的夹角.
21.(10分)请阅读下列材料,并完成相应的任务.
如图(1),点O是等边三角形ABC内一点,OA=3,OB=4,OC=5,求△AOB与△BOC的
面积和.下面是运用“旋转法”解决此题的部分过程.
图(1) 图(2)
解:如图(2),将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO',连接
OO',AO'.
∴BO=BO',且∠OBO'=60°,
∴△OBO'是等边三角形,
∴OO'=OB=4.由题易知,∠1+∠2=∠3+∠2=60°,
∴∠1=∠3.
又BO=BO',AB=CB,
∴△BO'A≌△BOC,
……
任务:
(1)请按照上面的解题思路,完成该题的剩余部分;
(2)在图(1)中,△AOB与△AOC的面积和是 .
22.(11分)(2022·广东深圳南山区期末)如图(1),△ABC是边长为4的等边三角形,边
AB在射线OM上,且OA=6.点D从点O出发,沿OM的方向以每秒1个单位长度
的速度运动,连接CD,将△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE,连接DE,设运动
时间为t s.
(1)求证:△CDE是等边三角形.
(2)如图(2),当6<t<10时,DE是否存在最小值?若存在,求出DE的最小值;若不存在,
请说明理由.
(3)当点D在射线OM上运动时,是否存在以D,E,B为顶点的三角形是直角三角形?
若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由.
图(1) 图(2)第三章 图形的平移与旋转
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A B A D C A C A D C
11.72 12.③ 13.11
1
14.2 15. 16.2√6或2√30
2
1.A A中图形既是中心对称图形,又是轴对称图形;B中图形是轴对称图形,但不
是中心对称图形;C中图形既不是轴对称图形,也不是中心对称图形;D中图形是轴
对称图形,但不是中心对称图形.
2.B
1
3.A 设点A到BC的距离为h,则S = BC×h=5.∵△ABC沿BC方向平移的距
△ABC
2
1
离是边BC长的两倍,∴AD=CF=2BC,AD∥BF,∴CE=BC,∴S = (CE+AD)·h=
四边形ACED
2
1
(BC+
2
1
2BC)h=3× BC×h=3×5=15.
2
4.D 由题意得∠CAE=55°,∠BAC=∠DAE,∠C=∠E.∵AD⊥BC,∠E=65°,∴∠FAC=
90°-∠C=90°-∠E=90°-65°=25°,∴∠BAC=∠DAE=∠FAC+∠CAE=25°+55°=80°.
由旋转可知,∠BAD=55°,∠C=∠E=65°.∵AD⊥BC,∴∠FAC=90°-∠C=90°-65°=25°,∴∠BAC=∠BAD+
∠FAC=55°+25°=80°.
5.C
如图,连接AA',BB',作线段AA',BB'的垂直平分线交于点O,点O即为旋转中心.连接OA',即∠AOA'为旋转角,
∴旋转角度可能为90°.6.A ∵P(m,n)为△ABC内一点,平移后点P与其对应点P'关于x轴对称,∴P'(m,-n),
∴△ABC向下平移2n个单位长度得到△A'B'C'.∵点B的坐标为(-2,1),∴点B的对
应点B'的坐标为(-2,1-2n).
7.C ∵C'C∥AB,∴∠C'CA=∠CAB=72°.由旋转可知AC=AC',AB=AB',∠CAC'=
∠BAB',∴∠AC'C=∠ACC'=72°,∴∠CAC'=36°,∴∠BAB'=36°.∵AB=AB',
1
∴∠AB'B= ×(180°-36°)=72°.
2
a+x b+ y
8.A 根据题意,点A,A'关于点C对称,设点A'的坐标是(x,y),则 =0 , =-1 ，
2 2
解得x=-a,y=-b-2,∴点A'的坐标是(-a,-b-2).
9.D 如图,连接BI.∵AI平分∠BAC,CI平分∠ACB,∴BI平分∠ABC,∴∠ABI=∠CBI.
由平移得AB∥DI,∴∠ABI=∠BID,∴∠CBI=∠BID,∴BD=DI,同理可得CE=EI,∴阴影
部长的周长=DE+DI+EI=DE+BD+CE=BC=7.
(第9题) (第10题)
10.C 如图,由题意,得A(3,2),A (-2,3),A (-2,-3),A (3,-2),A (3,2),4次为一个循环组.
1 2 3 4
∵2 022÷4=505……2,∴点A 的坐标与点A 的坐标相同,∴点A 的坐标为
2 022 2 2 022
(-2,3).
11.72 由题意得360°÷5=72°,∴旋转角最小为72°.
12.③
13.11
1 1
如图,过点C 作 CD ⊥ x 轴于点 D .∵点A,B的坐标分别为(2,0),(12,0), AC=BC=13 , ∴AD=BD= AB= × ( 12-
2 2
2 ) =5 ,
∴CD= =12,∴点C的坐标为(7,12).令y=12,即-x+8=12,解得x=-4,∴点C平移后的坐标为(-4,12),
√AC2-AD2∴△ABC平移的距离为7-(-4)=11.
14.2 ∵A(1,0)平移至A (2,a),横坐标增加了1,B(0,2)平移至B (b,3),纵坐标增加了
1 1
1,∴a=0+1=1,b=0+1=1,∴a+b=1+1=2.
1 1
15. 如图,连接FG,CG= ×2=1.∵直线AD是边长为2的等边三角形ABC的对
2 2
1
称轴,∴CD= ×2=1,∠ABC=∠ACB=60°,AD⊥BC,∴CG=CD,∠EDC=90°.由旋转可知
2
{
CD=CG,
CE=CF,∠ECF=60°,∠DCE=∠GCF.在△CDE和△CGF中, ∠DCE=∠GCF,
CE=CF,
∴△CDE≌
△CGF(SAS),∴∠FGC=∠EDC=90°,∴点F在直线BG上运动.过点D作DH⊥BG于
1 1
点H, 此时 DF 的最小值即为 DH 的长 .由题意得∠GBC=30°,BD= BC=
2 2
1
×2=1,∴DH= BD=
2
1 1
×1= .
2 2
16.2 或2 (分类讨论思想)∵∠ACB=90°,AC=2 ,BC=4,∴AB=
√6 √30 √5 √AC2+BC2
=6.分两种情况讨论: ① 当点 C ' 落在线段 AB 上时 ,如图(1),由旋转的性质得△ABC≌
△A'BC',∴BC'=BC=4,A'C'=AC=2√5,∠AC'A'=∠C=90°,∴AC'=AB-BC'=2,∴AA'=
= =2 ; ② 当点 C ' 落在线段 AB 的延长线上时 ,如图
√A'C'2+AC'2 √(2√5)2+22 √6
(2),由旋转的性质得△ABC≌△A'BC',∴BC'=BC=4,A'C'=AC=2√5
,∠AC'A'=∠C=90°,∴AC'=AB+BC'=10,∴AA'= = =2 .综上所述,AA'的长为2
√A'C'2+AC'2 √(2√5)2+102 √30
或2 .
√6 √30
17.【参考答案】∵△DCE由△ABC平移而成,且△ABC是等边三角形,
∴CD=CB=CE=2,∠DCE=∠CDE=60°,
∴∠BCD=120°,∴∠CDB=30°,∴∠BDE=90°,
∴△BED是直角三角形.
∵BE=4,DE=2,
∴BD= =2 . (7分)
√BE2-DE2 √3
18.【参考答案】(1)如图(1),△A B C 即为所求. (3分)
1 1 1
(2)(-3,-3) (5分)
解法提示:如图(2),连接AA ,BB ,分别作AA ,BB 的垂直平分线相交于点J,则点J
2 2 2 2
为旋转中心.根据旋转性质,即可画出△A B C ,则点C 的坐标为(-3,-3).
2 2 2 2
(3)(2,0) (7分)
解法提示:如图(2),作点C关于x轴的对称点E,连接AE,交x轴于点P,∴点P的坐
标为(2,0).19.
旋转
[∠CAD→∠BAD
∠ADB,∠ADC→∠BDC
AD=AB,AD=AC
【参考答案】(1)20° (3分)
解法提示:由题意得∠CAD=2α=80°,∴∠BAD=120°.由旋转可知AD=AB,AD=AC,
1 1
∴∠ADB= ×(180°-120°)=30°,∠ADC= ×(180°-80°)=50°,∴∠BDC=∠ADC-
2 2
∠ADB=50°-30°=20°.
1
(2)∠BDC= α. (4分)
2
理由:由旋转可知AD=AB,AD=AC,
∠BAC=α,∠BAD=α+2α=3α,
1 3
∴∠ADB= ×(180°-3α)=90°- α,
2 2
1
∴∠ADC= ×(180°-2α)=90°-α,
2
3 1
∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=90°-α-(90°- α)= α. (8分)
2 2
20.【参考答案】(1)如图,△ADE为所作.
(4分)
(2)延长DE交AB于点P,交BC于点M. (5分)
由旋转可得,∠B=∠D,∠BAD=60°. (7分)
∵∠D+∠DAB+∠APD=∠B+∠BMP+∠BPM,∠APD=∠BPM,
∴∠BMP=∠DAP=60°,
即BC与DE所成的夹角为60°. (9分)
21.【解题思路】(1)在题中求解过程的基础上,用勾股定理的逆定理证明
∠AOO'=90°,再求等边三角形OBO'和直角三角形AOO'的面积之和即可.(2)利用材
料及(1)中的方法进行求解.
【参考答案】(1)∴O'A=OC=5.
在△AOO'中,O'A2=25,OO'2+OA2=42+32=25,
∴ O'A 2 =OO ' 2 +OA 2 ,
∴ △ AOO ' 是直角三角形 ,且∠AOO'=90°, (4分)
1 1 √3
∴S +S = ×3×4+ × ×42=6+4√3,
△AOO' △OBO'
2 2 2
∴S +S =S +S =S +S =6+4 . (7分)
△AOB △BOC △AOB △AO'B △AOO' △OBO' √3
9√3
(2)6+ (10分)
4
解法提示:如图,将△AOB绕点A逆时针旋转60°,使得AB与AC重合,点O旋转至
点O″处,连接OO″.
易得△AOO″是边长为3的等边三角形,△COO″是边长为3,4,5的直角三角形,
1 1 √3 9√3
∴S +S =S =S +S = ×3×4+ × ×32=6+ .
△AOC △AOB 四边形AOCO″ △COO″ △AOO″ 2 2 2 4
22.【参考答案】(1)∵将△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE,
∴∠DCE=60°,DC=EC,
∴△CDE是等边三角形. (4分)
(2)存在.(5分)
由(1)知,△CDE是等边三角形,
∴DE=CD,
由垂线段最短可知,当CD⊥AB时,CD最小,
此时∠ADC=90°.
∵∠CAD=60°,
∴∠ACD=30°,1
∴AD= AC=2,
2
∴CD= = =2 ,
√AC2-AD2 √42-22 √3
∴DE=2 . (8分)
√3
(3)存在,理由如下: (9分)
①当0≤t<6时,结合题图(1),易得∠ABE=60°,∠BDE<60°,
∴此时若△DBE是直角三角形,则∠BED=90°.
由(1)知,△CDE是等边三角形,
∴∠DEC=60°,
∴∠CEB=∠BED-∠DEC=30°.
由旋转可知∠CDA=∠CEB=30°.
∵∠CAB=60°,
∴∠ACD=∠ADC=30°,
∴DA=CA=4,
∴OD=OA-DA=6-4=2,
∴t=2÷1=2.
②当6<t<10时,结合题图(2),易得∠DBE=120°>90°,
∴此时△DBE不可能是直角三角形.
③当t>10时,如图,易得∠DBE=60°,
又由(1)知∠CDE=60°,
∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC.
∵∠BDC>0°,
∴∠BDE>60°,
∴此时若△DBE是直角三角形,则∠BDE=90°,
∴∠BCD=30°,
∴BD=BC=4,
∴OD=14,
∴t=14÷1=14.
综上所述,当t=2或14时,以D,E,B为顶点的三角形是直角三角形. (11分)
