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专题 21.12 一元二次方程解法-因式分解法（基础篇）
（专项练习）
一、单选题
1．方程 的根是（ ）
A． B． C． ， D． ，
2．方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
3．关于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正确的是（ ）
A B C D
整理得，x2﹣4x＝
整理得，x2﹣4x＝﹣3∵a＝
﹣3配方得，x2﹣4x+2
1，b＝﹣4，c＝﹣3， 移项得，（x﹣
两边同时除
＝﹣1
3）（x﹣1）＝0∴x
以（x﹣1） b2﹣4ac＝28
∴（x﹣2）2＝﹣1 ﹣3＝0或x﹣1＝0
得，x＝3
∴x﹣2＝±1 ∴x＝1，x＝3
1 2
∴x＝ ＝2±
∴x＝1，x＝3
1 2
A．A B．B C．C D．D
4．如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损
术”，执行该程序框图，如果输出 的值为5，那么输入x的值为（ ）A．－8 B．－2 C．1 D．8
5．若实数x，y满足 ，则 的值为（ ）
A．－1 B．2 C．－1或2 D．－2或1
6．已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，则x2+y2的值为（ ）
A．0 B．4 C．4或﹣2 D．﹣2
7．方程 的解是 ，现给出另一个方程
，它的解是（ ）
A． B． C． D．
8．当使用换元法解方程 时，若设 ，则原方程可变形为
（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知平面直角坐标系中的 ，点 ， ，坐标系内存在直线
： 将 分成面积相等的两部分，且这条直线与两坐标轴围成的三角形的面
积为 ，则 的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
10．如图，四边形 ABCD 是正方形，G 是 BC 上的任意一点，DE⊥AG 于点 E，
BF//DE 且交 AG 于点 F，若 3AB=5EF，则 的值为（ ）A．5:9 B．3:5 C．17:25 D．16:25
11．如图，在边长为4的正方形 中，点 、点 分别是 、 上的点，连接
、 、 ，满足 ．若 ，则 的长为（ ）．
A．2.4 B．3.4 C． D．
12．如图，“杨辉三角”是我国古代奉献给人类伟大的数学遗产之一，从图中取一列
数1，3，6，10，…，记 ， ， ，…，那么 ，
则 的值是（ ）
A．13 B．10 C．8 D．7
二、填空题
13．若 ，则 ________．
14．已知x＝﹣2时，二次三项式x2﹣2mx+4的值等于﹣4，当x＝_____时，这个二次
三项式的值等于﹣1．
15．已知 是一元二次方程 的一个根，则此方程的另一个根为______．
16．若直角三角形两边长x，y满足 ，则其第三条边长为______．17．若（x2+y2﹣1）2＝9，则x2+y2的值为___．
18．已知实数 满足方程 ，则 ____________．
19．已知关于 的方程 （a，b，m均为常数，且 ， ）的两个
解是 和 ，则方程 的解是_________．
20．已知实数 ，则 的值为__________．
21．菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2－8x＋15＝0的一个根，则该菱形的面
积为________．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，BD＝AC，CD＝2，连接AD，若
，则AC的长为___．
23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC>AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB
上一点，且∠DCE=45°，DE=10，则AD的长为______________．
24．已知 中， ， ， ，则 的面积是________．
三、解答题
25．解方程：
(1) ； (2) ．26．解方程：
(1)x2–4x + 3＝0； (2)x（x – 1）＝2（x – 1）
27．解关于x、y的方程组时，小明发现方程组 的解和方程组
的解相同．
(1)求方程组的解；
(2)求关于t的方程（at﹣b）2+2（at﹣b）﹣3＝0的解．
28．阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
解方程：
提示：可以用“换元法”解方程．
解；设 ，则有 ．
原方程可化为：
续解：29．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的BC边与x轴重合，顶点A在y轴的正半轴
上，线段OB，OC（ ）的长是关于x的方程 的两个根，且满足CO＝
2AO．
(1)求直线AC的解析式；
(2)若P为直线AC上一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD与直线AB交于点
Q，设△CPQ的面积为S（ ），点P的横坐标为a，求S与a的函数关系式；
(3)点M的坐标为 ，当△MAB为直角三角形时，直接写出m的值．参考答案
1．C
【分析】
利用因式分解法求解即可．
解：∵ ，
移项，得
，
因式分解，得
，
解方程，得
， ，
故选C．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，正确选择适当的方法是解题的关键．
2．B
【分析】
将方程移项后，再运用因式分解法求解即可．
解：∴
故选：B
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用一元二次方程的解法是解答本题
的关键．
3．D
【分析】
A.不能两边同时除以（x﹣1），会漏根；
B.化为一般式，利用公式法解答；
C.利用配方法解答；
D.利用因式分解法解答
解：A.不能两边同时除以（x﹣1），会漏根，故A错误；
B.化为一般式，a＝l，b＝﹣4，c＝3，故B错误；
C.利用配方法解答，整理得，x2﹣4x＝﹣3，配方得，x2﹣4x+22＝1，故C错误；
D.利用因式分解法解答，完全正确，
故选：D
【点拨】本题考查解一元二次方程，涉及公式法、配方法、因式分解法等知识，是重
要考点，掌握相关知识是解题关键．
4．A
【分析】
利用程序框图的算法列方程，求出x，然后比较大小即可得出答案．
解：如图所示：设 ；输出 的值为5，
∴ ，
解得 ，
解得 ，
∵ 不合题舍去，
设 ；输出 的值为5，
∴ ，∴ ，
∴解得 ，
∵ 舍去 ，
∴当输入x=-8时，输出 的值为5．
故选择A．
【点拨】本题主要考查了程序框图，一元一次特征方程，一元二次方程，比较大小，
正确理解计算程序是解题关键．
5．C
【分析】
设： ，则 变为 ，进而解含a的一元二次方程，
即可求出x+y的值．
解：设： ，则 变为 ，
变形可得： ，则 ，则 ，
解得： ，即 的值为2或﹣1，
故选：C．
【点拨】本题考查解一元二次方程，整体思想，能够将等式转化为一元二次方程是解
决本题的关键．
6．B
【分析】
设x2+y2＝z，则原方程换元为z2﹣2z﹣8＝0，可得z＝4，z＝﹣2，由此即可求解．
1 2
解：设 x2+y2＝z，则原方程换元为（z+1）（z﹣3）＝5，
整理得：z2﹣2z﹣8＝0，
∴（z﹣4）（z+2）＝0，
解得：z＝4，z＝﹣2，
1 2
即x2+y2＝4或x2+y2＝﹣2，
∵x2+y2≥0，∴x2+y2＝﹣2不合题意，舍去，
∴x2+y2＝4．
故选：B．
【点拨】本题考查了换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键，注
意代数式x2+y2本身的取值范围不能忘．
7．B
【分析】
结合已知方程的解，利用换元法解一元二次方程即可得．
解： ，
令 ，则方程可转化为 ，
由题意得： ，
即 ，
解得 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．
8．D
【分析】
方程的两个分式具备平方关系，若设 ，则原方程化为y2-2y-3=0．用换元法转
化为关于y的一元二次方程．
解：把 代入原方程得： ．
故选： ．
【点拨】用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化
难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
9．C
【分析】
连接AC、BD，交于点E，然后由题意易得点E为AC的中点，然后根据中点坐标公式可得 ，进而可得直线 必过点E，则有 ，然后求出直线与x、y轴的交
点坐标，最后根据三角形面积公式可求解．
解：连接AC、BD，交于点E，如图所示：
∵四边形 是平行四边形，
∴点E为AC的中点，
∵点 ， ，
∴由中点坐标公式可得 ，即 ，
∵直线 ： 将 分成面积相等的两部分，
∴直线 必过点E，
把点 代入直线解析式 得：2k+b=2，
解得：b=2-2k，
∴ ，
∴当x=0时，则y=2k-2，当y=0时，则有 ，
∴直线 与x、y轴的交点坐标分别为 ，
∵直线 与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，
∴ ，
解得： ，
故选C．【点拨】本题主要考查平行四边形的性质、一次函数与几何的综合及一元二次方程的
解法，熟练掌握平行四边形的性质、一次函数与几何的综合及一元二次方程的解法是解题
的关键．
10．C
【分析】
根据四边形 为正方形，利用 易证 ，可得 ，
，设 ， ，则 ， ， ，根据勾股定理可得
，整理得， ，根据 ，
，可得 ．
解： 四边形 为正方形，
， ，
， ，
，
， ，
，
在 和 中
，
，
，
设 ， ，则 ， ， ，
在 中，
∴
整理得， ，
，
∴ ，∴ ，
故选：C．
【点拨】本题考查三角形全等的判定和性质和正方形的性质，三角形的面积公式，熟
悉相关性质是解题的关键．
11．B
【分析】
过点 作 的垂线交于 ，设 ，则 ，根据勾股定理得 ，
由角平分线的性质得： ， 建立等式求解即可．
解：过点 作 的垂线交于 ，如下图：
设 ，则 ，
，则 ，
，
，
为 的角平分线，
根据角平分线的性质得： ，
，
，
，
，，
解得： （舍去），
，
故选：B．
【点拨】本题考查了正方形的性质、角平分线、勾股定理，解题的关键是利用面积之
间的关系建立等式．
12．D
【分析】
由已知数列得出an＝1+2+3+…+n ，再求出a、ai、a 的值，代入计算可得．
9 11
解：由a＝1，a＝3，a＝6，a＝10，…，知an＝1+2+3+…+n ，
1 2 3 4
∴a9 45、ai 、a 66，
11
则a+a ﹣ai＝83，
9 11
可得：45+66 83，
解得：i＝7，（负根舍去）
故选：D．
【点拨】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知数列得出an＝
1+2+3+…+n ，
13．0，±1
【分析】
先移项，再提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可求解．
解：x3=x，x3-x=0，
x（x2-1）=0，
x（x-1）（x+1）=0，
解得x=0，±1．
故答案为：0，±1．
【点拨】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，解题的关键是得到x（x2-1）
=0．
14．﹣1或﹣5
解：由 时，代数式的值等于 ，可得 ，求解m的值，
可得二次三项式，然后令二次三项式的值等于 ，得到关于x的一元二次方程，解一元二
次方程即可．
【解答】
解：由 时，代数式的值等于 ，可得 ，
解得：
∴二次三项式为
令二次三项式的值为 得：
移项得：
∴
解得 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了解一元一次方程，解一元二次方程．解题的关键在于求出 的值，
熟练运用因式分解解一元二次方程．
15．
【分析】
把x=1代入 ，得到关于a的一元一次方程，解出a的值，然后将a代入
原方程中，求解后即可得出结果．
解：把x=1代入 得，，
解得，a=1，
即原方程为： ，
即 ，
解得，x=1，x=-2，
1 2
即方程的另一个根为：x=-2，
故答案为：-2．
【点拨】本题主要考查了解一元一次方程及解一元二次方程，正确掌握代入法求得a
的值并进一步正确解方程是解题的关键．
16． 或 ## 或
【分析】
先根据非负数的性质求出x和y的值，然后分两种情况求解即可．
解：∵ ，
∴x2-x=0，y-2=0，
解得x=0（舍去），x=1，y=2，
1 2
设第三条边为x，
当x为斜边时，x= ，
当2为斜边时，x= ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了非负数的性质，解一元二次方程，以及勾股定理，熟练掌握勾股
定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么
a2+b2=c2．
17．4
【分析】
令x2+y2＝a，则原式化为（a-1）2＝9，然后利用直接开平方法即可求得．
解：令x2+y2＝a，则原式化为（a-1）2＝9，
∴a-1＝±3，∴a＝-2或a＝4，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2＝4，
故答案为4．
【点拨】本题主要考查了换元法解方程，即把某个式子看做一个整体，用一个字母去
代替它，实行等量代换．
18．
【分析】
设 ，将原式整理为含 的方程即可得出答案
解：设 ，
则原方程为： ，
则： ，
解得： ，
当 时， 无实数解，故舍去，
经检验 是 的解，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了换元法解方程，解一元二次方程，熟练掌握解方程的一般步骤是
解本题的关键．
19． 或 ## 或
【分析】
首先根据一元二次方程解的定义求出 和 的值，然后代入所求方程整理求解即可．
解：∵方程 的解为： 和 ，
∴ ，解得： ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查解一元二次方程的拓展应用，掌握解一元二次方程的基本方法是解
题关键．
20．3
【分析】
设y＝x2＋x，则原方程转化为关于y的一元二次方程y2＋4y-12＝0，利用因式分解法解
该方程，然后再解关于y的一元二次方程即可．
解：设 ，则 ，即 ．
解得 或 ．
则 的值为 或 ，
当 =-6时
=1-24=-23＜0
△
=-6不成立
当 =2时
△=1+8=9＞0
∴
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元
和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去
研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．21．24
【分析】
利用因式分解法解方程得到x=3，x=5，再根据菱形的性质得到菱形的边长为5，利用
1 2
勾股定理计算出菱形的另一条对角线长，然后根据菱形的面积公式计算．
解：x2-8x+15=0，
（x-3）（x-5）=0，
x-3=0或x-5=0，
∴x=3，x=5，
1 2
∵菱形一条对角线长为8，
∴菱形的边长为5，
∵菱形的另一条对角线长=2× =6，
∴菱形的面积= ×6×8=24．
故答案为：24．
【点拨】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出
方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了菱形的
性质．
22．4
【分析】
根据等腰三角形的“三线合一”性质，想到过点A作AE⊥BC，垂足为E，设
AB=AC=BD=x，然后在Rt△AED和Rt△AEC中，分别利用勾股定理表示出AE2，建立等量
关系即可解答．
解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，
∵AB=AC，BD=AC，
∴设AB=AC=BD=x，
∵CD=2，
∴BC=BD+CD=x+2，∵AB=AC，AE⊥BC，
∴BE=EC=1+ x，
∴DE=BD-BE= x-1，
在Rt AED中，AE2=AD2-DE2=（2 ）2-（ x-1）2=− x2+x+7，
△
在Rt AEC中，AE2=AC2-EC2=x2-（1+ x）2= x2-x-1，
△
∴− x2+x+7= x2-x-1，
解得：x=4，x=-2（不符合题意，舍去），
1 2
∴AC=4，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，两次利用勾股定理建立等量关系，
列出方程是解题的关键．
23．6或8
【分析】
过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，先证四边形ABCG是正方形．再设BE＝x，再用
x表示出AE、AD,再利用勾股定理可求出x、最后求出AD即可．
解：过C作CG⊥AD于G，并延长DG，使GF＝BE，
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，∠A＝∠B＝90°，∠CGA＝90°，AB＝BC，
∴四边形ABCG为正方形，
∴AG＝BC＝GC=12，
∵∠DCE＝45°，
∴∠ECB+∠GCD=45°，
∵BE＝GF，∠B＝∠FGC=90°，BC＝GC，∴△EBC≌△FGC，
∴∠ECB＝∠FCG，
∴∠FCG+∠GCD=∠DCF =45°=∠DCE，
∵CE＝CF，∠DCF＝∠DCE，DC＝DC，
∴△ECD≌△FCD，
∴ED＝DF，
∴DE＝GF＋DG＝BE＋GD，
设BE=x，则AE=12-x，DG=10-x，AD=12-(10-x)=2+x
在Rt△AED中，
∵DE2＝AD2＋AE2，
∴102＝（2+x）2＋（12-x）2，解得：x＝4或x=6，
∴AD=6或AD=8．
故答案为：6或8．
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用等知识点，掌握三
角形全等的判定定理和性质定理是解答本题的关键．
24． 或
【分析】
如图所示，过点C作CE⊥AB于E，先根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理
求出 ，设 ，则 ， ，由
，得到 ，由此求解即可．
解：如图所示，过点C作CE⊥AB于E，
∴∠CEB=∠CEA=90°，∵∠ABC=60°，
∴∠BCE=30°，
∴BC=2BE，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 或 ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题主要考查了勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，解一元二次方程，
解题的关键在于能够熟练掌握含30度角的直角三角形的性质．
25．(1) (2)
【分析】
（1）方程直接用开平方法求解即可；
（2）方程移项后，运用因式分解法求解即可．
解：(1)
，
，
，
∴ ；
(2)
，，
，
，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常
用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法、结合方程的特点选择合适简捷的
方法是解题的关键．
26．(1)x=1，x=3； (2)x=1，x= 2
1 2 1 2
【分析】
（1）利用因式分解法解方程；
（2）先移项得x（x – 1）-2（x – 1）=0，然后利用因式分解法解方程．
(1)
x2–4x + 3＝0
解：（x-1）（x-3）=0，
x-1=0或x-3=0，
所以x=1，x=3；
1 2
(2)
x（x – 1）=2（x – 1）
解：x（x – 1）-2（x – 1）=0，
（x-1）（x-2）=0，
x-1=0或x-2=0，
所以x=1，x=2．
1 2
【点拨】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出
方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
27．(1)
(2)t＝ 或
【分析】
（1 ）根据二元一次方程组的解相同，可得新方程组，根据解方程组，可得x、y的值；（2 ）根据方程组的解满足方程，把方程组的解代入，可得关于a、b的二元一次方程
组，根据解方程组，可得a、b的值；然后利用换元法解该方程．
解：(1)
由方程组 的解和方程组 的解相同知，
．
由①×3+②，得5x＝15．则x＝3．
将x＝3代入①，得3﹣y＝8，则y＝﹣5．
∴方程组的解为： ；
(2)
把 分别代入ax+by＝2和5x+2y＝b可得方程组 ，
解得： ，
设at﹣b＝n，则方程（at﹣b）2+2（at﹣b）﹣3＝0可变为n2+2n﹣3＝0，
∴（n+3）（n﹣1）＝0，
∴n＝﹣3或1，
∴at﹣b＝﹣3或1，
把 代入得：9t﹣5＝﹣3或1，
解得：t＝ 或 ；
【点拨】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的解法，理解方程组解相同的含
义是解决问题的关键．
28． ，
【分析】利用直接开平方法解一元二次方程 ，得到 ， ，根据
可得 不符合题意，然后解方程 ，进而进行检验
确定原方程的解．
解： ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
则有 ，配方，得： ，
解得： ，
经检验： ， 是原方程的根．
【点拨】本题考查了无理方程，解无理方程的基础思想是把无理方程转化为有理方程
来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法，注意：用乘方法来解无理方程，
往往会产生增根，应注意检验．
29．(1) ； (2) (3)m的值为－3或－1或2或
7；
【分析】
（1）根据一元二次方程的解求出OB和OC的长度，然后得到点B，点C坐标和OA
的长度，进而得到点A坐标，最后使用待定系数法即可求出直线AC的解析式；
（2）根据点A，点B坐标使用待定系数法求出直线AB的解析式，根据直线AB解析
式和直线AC解析式求出点P，Q，D坐标，进而求出PQ和CD的长度，然后根据三角形
面积公式求出S，最后对a的值进行分类讨论即可；
（3）根据△MAB的直角顶点进行分类讨论，然后根据勾股定理求解即可．
(1)解：解方程 得 ， ，
∵线段OB，OC（ ）的长是关于x的方程 的两个根，
∴OB＝1，OC＝6，
∴ ， ，
∵CO＝2AO，
∴OA＝3，
∴ ，
设直线AC的解析式为 ，
把点 ， 代入得 ，
解得 ，
∴直线AC的解析式为 ；
(2)
解：设直线AB的解析式为y=px+q，
把 ， 代入直线AB解析式得 ，
解得 ，
∴直线AB的解析式为 ，
∵PD⊥x轴，垂足为D，PD与直线AB交于点Q，点P的横坐标为a，
∴ ， ， ，∴ ， ，
∴ ，
当点P与点A或点C重合时，即当a=0或 时，此时S=0，不符合题意，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴ ；
(3)
解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
，
当∠MAB=90°时， ，
∴ ，
解得 ，
当∠ABM=90°时， ，
∴ ，
解得m=7，
当∠AMB=90°时， ，
∴ ，解得 ， ，
∴m的值为－3或－1或2或7．
【点拨】本题考查解一元二次方程、待定系数法求一次函数解析式、三角形面积公式、
勾股定理，正确应用分类讨论思想是解题关键．
