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专题 21.10 一元二次方程解法-公式法（巩固篇）
（专项练习）
一、单选题
类型一、解一元二次方程--公式法
1．方程 的根是（ ）
A． B． C． D．
2．定义新运算：对于两个不相等的实数 ， ，我们规定符号 表示 ， 中
的较大值，如： ．因此， ；按照这个规定，若
，则 的值是（ ）
A．－1 B．－1或 C． D．1或
3．对于方程 ，如果方程实根的个数恰为 个，则 值等于（ ）
A．1 B．2 C． D．2.5
4．设x 为一元二次方程2x2﹣4x＝ 较小的根，则（ ）
1
A．0＜x＜1 B．﹣1＜x＜0 C．﹣2＜x＜﹣1 D．﹣5＜x＜﹣
1 1 1 1
类型二、根的判别式
5．关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根6．已知关于x的一元二次方程 ，其中m、n在数轴上的对应点如
图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
7．定义运算：a※b＝3ab2﹣4ab﹣2．例如：4※2＝3×4×22﹣4×4×2﹣2＝14．则方程
2※x＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
8．对于一元二次方程 ，下列说法：
①若 ，则 ；
②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相
等的实根；
③若 是方程 的一个根，则一定有 成立；
④若 是一元二次方程 的根，则 ．
其中正确的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
类型三、根据一元二次方程求参数
9．若关于x的方程 有实数根，则m的值可以是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
10．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程 的两个根，
则k的值为（ ）
A．21 B．25 C．21或25 D．20或24
11．关于 的方程 有实数根，则 的取值范围是 （ ）
A． 且 B． 且 C． D．12．若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象
不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
类型四、公式法在几何中的应用
13．已知 ABC为等腰三角形，若BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根，则
m的值等于（ △ ）
A．12 B．16 C．﹣12或﹣16 D．12或16
14．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程 的方法，类似地
我们可以用折纸的方法求方程 的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸
片 ，先折出 、 的中点 、 ，再折出线段 ，然后通过沿线段 折叠使
落在线段 上，得到点 的新位置 ，并连接 、 ，此时，在下列四个选项中，
有一条线段的长度恰好是方程 的一个正根，则这条线段是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
15．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把 ABC沿着AD方
向平移，得到 A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为0.5cm2，则它移动△的距离AA′等于
（ ） △A． cm B． cm C． cm或 cm D． cm
16．如图，折叠菱形纸片ABCD，使得A′D′对应边过点C，若∠B＝60°，AB＝2，当
A′E⊥AB时，AE的长是（ ）
A．2 B．2 C． D．1+
二、填空题
类型一、解一元二次方程--公式法
17．方程 的解为________．
18．若代数式 有意义，则x的取值范围是 _____．
19．已知 则 的值=___________
20．若分式 的值为 ，则 的值等于_______.
类型二、根的判别式
21．关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0的根的情况是_____．
22．一元二次方程 的根的判别式的值是______．
23．当b+c=5时，关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c=0的根的情况为____．
24．已知a，b，c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c=0根
的情况是_____．
类型三、根据一元二次方程求参数
25．若一元二次方程 没有实数根，则常数项c的最小整数值为_______．
26．已知关于x的一元二次方程ax2﹣2x+c=0有两个相等的实数根，则 ﹣c+1的值等于_______．
27．已知关于x的方程 无实数根，则k满足的条件是______．
28．已知关于 的不等式组 无解，且关于y的一元二次方程
有两个实数根，则整数 的值可以是______
类型四、公式法在几何中的应用
29．如图（1），将一个等腰直角三角形纸片沿着虚线剪成三块，再利用这三块小纸片
进行拼接，恰好拼成一个如图（2）无缝隙、不重叠的平行四边形，则 的值是___．
30．实数a，n，m，b满足a＜n＜m＜b，这四个数在数轴上对应的点分别为A，N，
M，B，若 ， ，则称m为a，b的“大黄金数”，n为a，b的
“小黄金数”，当b－a＝4时， _______．
31．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图
形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中
连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为 ，空白部分的面积为 ，大正方
形的边长为 ，小正方形的边长为 ，若 ，则 的值为______．32．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角
形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于___
三、解答题
33．阅读理解：小明同学进入初二以后，读书越发认真．在学习“用因式分解法解方
程”时，课后习题中有这样一个问题：
下列方程的解法对不对？为什么？
解： 或 ．
解得 或 ．
所以 ， ．
同学们都认为不对，原因：有的说该题的因式分解是错误的；有的说将答案代入方程，
方程左右两边不成立，等等．
小明同学除了认为该解法不正确，还给出了一种因式分解的做法，小明同学的做法如
下：
取 与 的平均值 ，即将 与 相加再除以2．
那么原方程可化为左边用平方差公式可化为 ．
再移项，开平方可得
请你认真阅读小明同学的方法，并用这个方法推导：
关于x的方程 的求根公式（此时 ）．
34．解下列方程：
（1）x2﹣6x+8＝﹣1； （2）2x2﹣4x﹣3＝0．
35．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）若方程的两根都为整数，求正整数 的值．
36．已知关于x的方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0．
(1)求证：不论m取何值，此方程总有实数根；
(2)若m为整数，且方程的一个根小于2，请写出一个满足条件的m的值．37．如图，在矩形ABCD中，AD=10，点E是AD上一点，且AE=m（m是常数），作
△BAE关于直线BE的对称△BFE，延长EF交直线BC于点G.
(1)求证：EG=BG；
(2)若m=2．
①当AB=6时，问点G是否与点C重合，并说明理由；
②当直线BF经过点D时，直接写出AB的长．
参考答案：
1．D
【分析】
观察原方程，可用公式法求解.
解：∵ ， ， ，
∴ ，∴ ；
故选：D.
【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，正确理解运用一元二次方程的求根公式是
解题的关键.
2．B
【分析】
分x>0和0x<0两种情况分析，利用公式法解一元二次方程即可．
解：当x>0时，有 ，解得 ， (舍去)，
x<0时，有 ，解得，x=−1，x=2(舍去)．
1 2
故选B.
【点拨】此题主要考查了一元二次方程的解法，解题的关键是掌握新定义以及掌握因
式分解法以及公式法解方程的方法步骤，掌握降次的方法，把二次化为一次，再解一元一
次方程．
3．B
【分析】
先把已知方程转化为关于|x|的一元二次方程的一般形式，再根据方程有三个实数根判
断出方程根的情况，进而可得出结论．
解：原方程可化为x2-2|x|+2-m=0，解得|x|=1± ，
∵若1- ＞0，则方程有四个实数根，
∴方程必有一个根等于0，
∵1+ ＞0，
∴1- =0，
解得m=2．
故选B．【点拨】本题考查的是根的判别式及用公式法解一元二次方程，先根据题意得出|x|的
值，判断出方程必有一根为0是解答此题的关键．
4．B
【分析】
先求出方程的解，再求出方程的最小值，即可求出答案．
解：2x2-4x= ，
8x2-16x-5=0，
x= ，
∵x 为一元二次方程2x2-4x= 较小的根，
1
∴x= ，
1
∵5＜ ＜6，
∴-1＜x＜0．
1
故选B．
【点拨】本题考查了求一元二次方程的解和估算无理数的大小的应用，关键是求出方
程的解和能估算无理数的大小．
5．A
【分析】
对于 ，当 方程有两个不相等的实根，当 方程有两个
相等的实根， 方程没有实根，根据原理作答即可.
解：将 转换为一般式为
则
所以原方程有两个不相等的实数根，
故选：A
【点拨】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况”是解本题的关键.
6．A
【分析】
根据根的判别式Δ=(m+n)²-4mn=(m-n)²＞0，判定根的情况有两个不相等实数根.
解：由图看出 ，
∴m+n≠0，m-n≠0，
∵ 是关于x的一元二次方程，
∴Δ=(m+n)²-4mn=(m-n)²＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根
故选A
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解
决此类问题的关键.
7．B
【分析】
利用新定义得到6x2﹣8x﹣2＝0，然后利用Δ＞0可判断方程根的情况．
解：由新定义得6x2﹣8x﹣2＝0，
∵Δ＝（﹣8）2﹣4×6×（﹣2）＝112＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程
的根与 有如下关系：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方
程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．
8．C
【分析】
按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二
次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
解：①若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：Δ=b2-4ac≥0，故①正确；
②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，∴Δ=0-4ac＞0，
∴-4ac＞0
则方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根，
则ac2+bc+c=0，
∴c（ac+b+1）=0，
若c=0，等式仍然成立，
但ac+b+1=0不一定成立，故③不正确；
④若x 是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
0
则由求根公式可得：x= ，
0
∴2ax+b=± ，
0
∴b2-4ac=（2ax+b）2，故④正确．
0
故正确的有①②④，
故选：C．
【点拨】本题考查一元二次方程根的判断，根据方程形式，判断根的情况是求解本题
的关键．
9．D
【分析】
根据根的判别式，确定ｍ的范围，后判断．
解：∵关于x的方程 有实数根，
∴ = ，
△
∴ ，
即 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
10．B
【分析】结合根与系数的关系，分已知边长3是底边和腰两种情况讨论．
解：设关于x的方程x2﹣10x+k＝0的两个实数根分别为a、b．
方程x2﹣10x+k＝0有两个实数根，则Δ＝100﹣4k≥0，得k≤25．
①当底边长为3时，另两边相等时，则a+b＝10，
∴另两边的长都是为5，
∴k＝ab＝25；
②当腰长为3时，另两边中至少有一个是3，则3一定是方程x2﹣10x+k＝0的根，
则32﹣10×3+k＝0
解得k＝21
解方程x2﹣10x＋21＝0
解得另一根为：x＝7．
∵3+3＜7，不能构成三角形．
∴k的值为25．
故选：B．
【点拨】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当
Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程
没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．
11．D
【分析】
分两种情况讨论：① =0，为一元一次方程；② ≠0，为一元二次方程，
根据根的判别式计算即可．
解：①当 =0时 ，此时方程为 ，有实数根；
②当 ≠0时 ，此时方程为为一元二次方程，
∵方程有实数根
∴ ，解得：
综上所述：
故选：D
【点拨】本题主要考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没
有实数根．分两种情况讨论是解题的关键．
12．A
【分析】
根据判别式的意义得到△ ，解得 ，然后根据一次函数的性质可得
到一次函数 图象经过的象限．
解： 一元二次方程 无实数根，
△ ，
△ ，
，
，即 ，
，即 ，
一次函数 的图象不经过第一象限，
故选：A．
【点拨】本题考查了一元二次方程 的根的判别式△ ：
当△ ，方程有两个不相等的实数根；当△ ，方程有两个相等的实数根；当△ ，方
程没有实数根．也考查了一次函数图象与系数的关系．
13．D
【分析】
由 ABC为等腰三角形，BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根，可得两种情况：
①BC＝△6＝AB，把6代入方程得36﹣48+m＝0②AB＝AC，此时方程的判别式为0，分别求
解即可．
解：∵△ABC为等腰三角形，
若BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根，
则①BC＝6＝AB，把6代入方程得36﹣48+m＝0，
∴m＝12；
②AB＝AC，此时方程的判别式为0，
∴Δ＝64﹣4m＝0，
∴m＝16．
故m的值等于12或16．故选：D．
【点拨】本题考查了一元二次方程的判别式和等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是
解题的关键．
14．B
【分析】
设ND= ，由折叠可得DN=NP= ，则NC= ，根据勾股定理可得
NP2+PH2=CN2+CH2，列出方程求出 的值，进而可得DN的长度可以用来表示方程
的一个正根．
解：解方程 ，得： ．
∴方程 的一个正根为 ，
由折叠可知：
∵AD=AP=AB=1，CH=BH= ，
∴A选项不符合题意；
设ND= ，
由折叠可知：
DN=NP= ，则NC= ，
∴AH= ，
∴PH=AH-AP= ，
∵∠NPH=∠D=∠C=90°，
∴NP2+PH2=CN2+CH2，
∴ ，
解得： ，即DN ，
∴B选项符合题意；
NC= ，
∴C选项不符合题意；
在Rt△NHP中，∠BCG=90 ，
∴NH>NP= ，
∴D选项不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了解一元二次方程、正方形的性质、翻折变换、勾股定理等知识，
解决本题的关键是掌握翻折变换的性质．
15．D
【分析】
根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形， AA′H与 HCB′都是等腰直角三角形，
则若设AA′＝x，则阴影部分的底长为x，高A′D＝2﹣x△，根据平△行四边形的面积公式即可列
出方程求解．
解：设AC交A′B′于H，A'C'交CD于点G，
由平移的性质知AC∥A'C'，A'B'∥CD，
∴四边形A'HCG是平行四边形，
∵∠A＝45°，∠D＝90°，
∴△A′HA是等腰直角三角形，
同理， HCB′也是等腰直角三角形，
设AA′＝△x，则阴影部分的底长为x，高A′D＝2﹣x，∴x•（2﹣x）＝ ，
∴x＝ （cm）．
即AA′＝ （cm）．
故选：D．
【点拨】此题考查解一元二次方程、平行四边形的判定及性质，平移的性质，等腰直
角三角形的判定，根据平移的性质得到四边形A'HCG是平行四边形是解题的关键.
16．B
【分析】
先延长AB，D'A'交于点G，根据三角形外角性质以及等腰三角形的判定，即可得到
BC＝BG＝BA，设AE＝x＝A'E，则BE＝2−x，GE＝4−x，A'G＝2x，在Rt A'GE中，依
据勾股定理可得A'E2＋GE2＝A'G2，进而得出方程，解方程即可． △
解：如图所示，延长AB，D'A'交于点G，
∵A'E⊥AB，∠EA'C＝∠A＝120°，
∴∠BGC＝120°﹣90°＝30°，
又∵∠ABC＝60°，
∴∠BCG＝60°﹣30°＝30°，
∴∠BGC＝∠BCG＝30°，
∴BC＝BG＝BA，
设AE＝x＝A'E，则BE＝AB﹣AE＝2﹣x，A'G＝2x，
∴GE＝BG+BE＝2+2﹣x＝4﹣x，
∵Rt A'GE中，A'E2+GE2＝A'G2，
∴x2+△（4﹣x）2＝（2x）2，
解得：x＝﹣2+2 ，（负值已舍去）
∴AE＝2 ﹣2，
故选B．【点拨】本题主要考查了折叠问题，等腰三角形的判定，菱形的性质，解一元二次方
程以及勾股定理的运用；解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据勾股定理列方
程求解．
17．
【分析】
利用平方差公式进行去分母，再利用整式方程的解法进行求解即可，注意要检验；
解：
方程两边都乘（x-2）（x+2），得：x（x+2）+6（x-2）=0，
去括号，得： ，
移项、合并同类项，得： ，
解得： ，
检验：当 时，（x+2）（x-2）≠0，
当 时，（x+2）（x-2）≠0，
∴ 是原方程的解．
【点拨】本题主要考查解分式方程，解答的关键是注意符号的变化，并且最后要进行
检验．
18．﹣3≤x≤ 且x≠ ．
【分析】
根据二次根式的性质，被开方数大于等于0；分母中有字母，分母不为0．解：若代数式 有意义，
必有 ，
解①得
解②移项得
两边平方得整理得
解得
③
∴解集为﹣3≤x≤ 且x≠ ．
故答案为：﹣3≤x≤ 且x≠ ．
【点拨】本题考查了二次根式的概念：式子 （a≥0）叫二次根式， （a≥0）是一
个非负数．注意：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义；当二次根
式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．
19． 或
【分析】
依题意解 后，分a=b与 进行讨论即可．
解：依题意得a,b是方程 的解，
解 得： ，
当 时，a+b= ，当 时，a+b= ，
当 时， ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解的问题，掌握一元二次方程的解以及分类讨论
是解题的关键．
20．2
【分析】
要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．
解：根据题意:x2-x-2=0,且x2+2x+1≠0
解x2-x-2=0，解得x=2或x=-1．
当x=2时，分母x2+2x+1=9≠0，分式的值为0；
当x=-1时，分母x2+2x+1=0，分式没有意义．
所以x=2．故填2.
21．有两个不相等的实数根
【分析】
先计算判别式，再进行配方得到 ＝（k﹣1）2+4，然后根据非负数的性质得到 ＞0，
再利用判别式的意义即可得到方程总△有两个不相等的实数根． △
解： ＝（k﹣3）2﹣4（1﹣k）
△＝k2﹣6k+9﹣4+4k
＝k2﹣2k+5
＝（k﹣1）2+4，
∴（k﹣1）2+4＞0，即 ＞0，
∴方程总有两个不相等△的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
【点拨】本题考查根的判别式以及配方法，只要涉及到一元二次方程根的情况，就要
用到根的判别式，将根的判别式先写出来，如果含有参数，则可利用配方法将多项式配成
完全平方的形式，再进行分析.
22．13【分析】
根据△=b2-4ac计算可得答案．
解：∵a=-1，b=3，c=1，
∴△=32-4×(-1)×1=13，
故答案为：13．
【点拨】本题主要考查根的判别式，熟记判别式（△=b2-4ac）是解题关键．
23．有两个不相等的实数根
【分析】
由b+c=5可得出c=5-b，根据方程的系数结合根的判别式可得出 =（b-6）2+24，由偶
次方的非负性可得出（b-6）2+24＞0，即 ＞0，由此即可得出关于x△的一元二次方程
3x2+bx-c=0有两个不相等的实数根． △
解：∵b+c=5，
∴c=5-b．
=b2-4×3×（-c）=b2+12c=b2-12b+60=（b-6）2+24．
△∵（b-6）2≥0，
∴（b-6）2+24＞0，
∴△＞0，
∴关于x的一元二次方程3x2+bx-c=0有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
【点拨】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”
是解题的关键．
24．有两个不相等的实数根
【分析】
根据第二象限坐标符号特点，从而确定a、c的符号，再根据一元二次方程根的判别式
判断根的情况．
解：
∴方程有两个不相等的实数根.
故答案为有两个不相等的实数根.【点拨】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的
根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，
方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
25．3
【分析】
由方程没有实数根可得出关于c的一元一次不等式，解之即可得出c的取值范围，取
其内的最小整数即可得出结论．
解：∵关于x的一元二次方程 没有实数根，
∴△= ，
解得： ，c的最小整数值是3，
故答案为：3．
【点拨】本题考查了根的判别式，牢记当 时，方程有实数根是解题的关键．
26．1
【分析】
根据“关于x的一元二次方程ax2-2x+c＝0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公
式，得到关于a和c的等式，整理后即可得到的答案．
解：根据题意得：
△ ，
解得： ，
∵方程ax2-2x+c＝0是一元二次方程，
∴a≠0，
等式两边同时除以a得： ，
则 ．
故答案为1．
【点拨】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式是解题的关键．
27．
【分析】一元二次方程 无实数根的条件是 ，依此列不等式
求出 的范围即可．
解：∵该一元二次方程无实数根，
∴ ，
解得 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程无解的条件，解题关键是根据无解的条件列出不等
式求解．
28．3，4．
【分析】
先利用不等式组的解集情况可确定m≥3，再根据一元二次方程的定义和判别式的意义
得到m≠0且△＝42－4m≥0，解得m≤4且m≠0，所以m的范围为3≤m≤4，然后找出此范围内
的整数即可．
解： ，
解不等式①，得x＞m，
解不等式②，得x＜3，
∵关于x的不等式组无解，
∴m≥3，
∵关于y的一元二次方程 有两个实数根，
∴△＝42－4m≥0，且m≠0，
解得m≤4且m≠0，
∴3≤m≤4，
∴符合条件的整数m为3，4．
故答案为：3，4．
【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac
有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实
数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了解一元一次不等式组．熟练掌握一元二次方
程根的判别式及一元一次不等式组的解法是解题的关键．29．
【分析】
等腰直角三角形纸片沿图中虚线剪成三块图形，能拼成一个没有缝隙且不重叠的平形
四边形，则等腰直角三角形的面积和平行四边形的面积相等，可得 ，
求出 和 之间的关系即可得出结论．
解：如图，等腰直角三角形纸片沿图中虚线剪成三块图形，能拼成一个没有缝隙且不
重叠的平行四边形，
∴等腰直角三角形的面积等于平行四边形的面积，
由图（1）可知：等腰直角三角形的直角边的长为 ，由图（2）可知：平行
四边形的底边长为 ，高为 ，
∴ ，
∴ ，
∴
解得： 或 （舍去），
∴ 的值是 ．
故答案为：
【点拨】本题考查了图形的剪拼、一元二次方程的解法、等腰直角三角形和平形四边
形的面积公式．解决本题的关键是利用转化思想，剪拼前后两个图形的面积相等．30． ##
【分析】
设AM=x，根据 列一元二次方程，求出x，得出AM=BN= ，从
而求出MN的长，即m-n的长
解：由题意得：AB=b-a=4，
设AM=x，则BM=4-x，
由 ，可得： ，
解得： ， （舍去）
则AM= ，同理可得BN= ，
所以AB=AN+NM+MB=AN+NM+NM+MB-MN=AM+NB-MN
所以MN=m-n=AM+BN-4=2AM-4=2( )-4=
故答案为
【点拨】本题考查了数轴上两点的距离和一元二次方程，以新定义的形式给出，解题
的关键是理解题意，灵活应用线段的和差关系．
31．
【分析】
如图（见解析），设 ，先根据直角三角形的面积公式、正方形的面积公
式求出 的值，再根据 建立等式，然后根据 建立等式求出a的值，最后
代入求解即可．
解：如图，由题意得： ， ， ， 是直角三角形，且
均为正数
则大正方形的面积为
小正方形的面积为
设则
又 ，即
解得 或 （不符题意，舍去）
将 代入 得：
两边同除以 得：
令
则
解得 或 （不符题意，舍去）
即 的值为
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程与几何图形、勾股定理、三角形全等的性质等知识
点，理解题意，正确求出 的值是解题关键．32．6
【分析】
由全等可知：AH＝DE，BH＝BG＋HG，由直角三角形可得 ，列出方
程即可解决问题
解：由全等可知：AH＝BG，BH＝BG＋HG=AH+HG，
四边形EFGH是正方形，
，
在 中
设 ，则 ，
，
即 ，
解得： （舍去），
，
故答案为：6．
【点拨】本题考查了三角形全等的性质，勾股定理，解一元二次方程，运用勾股定理
列出方程是解题的关键．
33．
【分析】
根据小明同学的做法，将方程的常数项移至右边，二次项系数化为1，提取公因式 ，
再将方程进行变形，利用平方差公式进行解答即可．
解：∵
∴
∴
取x与 的平均值 ，即将x与 相加再除以2，即那么原方程可化为：
左边用平方差公式可化为：
再移项可得：
开平方可得： ．
【点拨】本题考查了新型定义题型解一元二次方程，读懂题干意思，获取正确的解题
步骤是解题的关键．
34．（1）x＝x＝3；（2）x＝ ，x＝ ．
1 2 1 2
【分析】
（1）先移项，合并后根据完全平方公式进行变形，再开方，即可得出一元一次方程，
求出方程的解即可；
（2）移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即
可．
解：（1）x2﹣6x+8＝﹣1，
x2﹣6x+8+1＝0，
x2﹣6x+9＝0，
（x﹣3）2＝0，
x﹣3＝±0，
∴x＝x＝3；
1 2
（2）2x2﹣4x﹣3＝0，
2x2﹣4x＝3，
x2﹣2x＝ ，
x2﹣2x+1＝ +1，（x﹣1）2＝ ，
开方得：x﹣1＝ ，
x＝ ，x＝ ．
1 2
【点拨】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的
关键．
35．（1） ；（2）
【分析】
（1）直接运用一元二次方程根的判别式列不等式解答即可；
（2）先运用求根公式求解，然后根据根为整数以及二次根式有意义的条件列式解答即
可．
解：（1）∵关于 的方程 有两个实数根，
∴ ，解得， ；
（2）由题意得，
，
∵ 为整数，且 为正整数，
∴ 或 ，
又∵
∴ ．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、运用公式法解一元二次方程等知
识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．
36．(1)证明见解析 (2)﹣1（答案不唯一）
【分析】
（1）由题意知 ，判断其与0
的关系，即可得出结论；（2）表示出方程的两根，根据要求进行求解即可．
解：(1)
证明：由题意知
∵（m+2）2≥0，
∴△≥0，
∴关于x的方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0总有实数根；
(2)
解：由（1）知，△＝（m+2）2，
∴x ，
∴ ， ，
∵方程有一根小于2，
∴﹣m＜2，
∴m＞﹣2，
∵m为整数，
∴满足条件的m的一个值为﹣1．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根．解题的关键在于利用判根公式确定方程根的
个数，利用公式求方程的根．
37．(1)点G是与点C重合，见分析； (2)①见分析，②
【分析】
（1）欲证明EG=BG，只要证明∠EBG=∠BEG即可；（2）①如图1中，过点E作
EH⊥BG于点H，则四边形ABHE是矩形，设BG=EG=x，在Rt△EHG中，EG2=EH2+HG2，
构建方程求出x，即可判断；
②由轴对称的性质可知AB=BF，AE=EF=2，则 ，推出
，设AB=k，BD=4k，则DF=3k，在Rt△DEF中，DE2=EF2+DF2，构建方程，可得
结论；(1)
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBG，
∵△ABE与△FBE关于BE对称，
∴∠AEB=∠BEF，
∴∠EBG=∠BEF，
∴EG=BG；
(2)
解：①点G与C重合；
理由：如图1中，过点E作EH⊥BG于点H，则四边形ABHE是矩形，
∴EH=AB=6．AE=BH=2，
设BG=EG=x，
在Rt△EHG中，EG2=EH2+HG2，
∴x2=62+（x-2）2，
∴x=10，
∵BC=AD=10，BG=10，
∴点G与C重合；
②如图2中，
由轴对称的性质可知AB=BF，AE=EF=2，∵ ，
∴ ，
∴设AB=k，BD=4k，则DF=3k，
在Rt DEF中，DE2=EF2+DF2，
△
∴82=22+（3k）2，∴ （负根已经舍去），
∴AB= ；
【点拨】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定
和性质等知识，解题关键是学会利用参数构建方程解决问题．
