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专题 21.14 一元二次方程根与系数关系（知识讲解）
【学习目标】
掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.
【要点梳理】
一元二次方程的根与系数的关系
1.一元二次方程的根与系数的关系
ax2 bxc 0(a 0) x，x
如果一元二次方程 的两个实数根是 1 2，
b c
x x x x
那么 1 2 a ， 1 2 a .
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数
除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
2. 一元二次方程的根与系数的关系的应用
【典型例题】
类型一、由根与系数关系直接求值
1．已知x，x 是一元二次方程x2－3x－1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：
1 2
（1） （2）
【答案】（1）11；（2） －3．
【分析】
由一元二次方程的根与系数的关系可得 ；
（1）将所求式子变形为(x＋x)2－2xx ，然后整体代入上面两个式子计算即可；
1 2 1 2（2）将所求式子变形为 ，然后整体代入上面两个式子计算即可．
解：∵x，x 是一元二次方程x2－3x－1＝0的两根，
1 2
∴ ，
（1） ＝ (x＋x)2－2xx ＝32－2×(－1)＝11；
1 2 1 2
（2） ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于基本题目，熟练掌握一元
二次方程的两根之和与两根之积与系数的关系是解题关键．
举一反三：
【变式1】利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
（1） ； （2） ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】直接运用一元二次方程根与系数的关系求解即可．
解：（1）这里 ．
，
∴方程有两个实数根．
设方程的两个实数根是 ，
那么 ．
（2）这里 ．
，
∴方程有两个实数根．
设方程的两个实数根是 ，那么
．【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知 是解题
的关键．
【变式2】 甲、乙两人同解一个二次项系数为1的一元二次方程，甲抄错了常数项，
解得两根分别为3和2，乙抄错了一次项系数，解得两根分别为－5和－1，求原来的方程.
【答案】
【分析】
解法一：利用甲乙解出的根，可以得出两个一元二次方程，取甲方程的一次项系数，
取乙方程的常数项，即可重新组合出原来正确的方程．
解法二：利用根与系数的关系，取甲方程的一次项系数，取乙方程的常数项，即可重
新组合出原来正确的方程．
解：解法一：设原一元二次方程为 ，代入甲解出的两根3、2得
，解得 ，因为甲抄错常数项，所以取
同理，代入乙解出的两根－5和－1，可得 ，而乙抄错了常数项，所以取 ，
综上可得原方程为
解法二：甲抄错常数项，解得两个为3和2，两根之和正确；乙抄错了一次项系
数，解得两根为－5和－1，则两根之积正确．设原方程的两根分别为 、 ，可得
， ，所以原方程就是 ．
【点拨】在没有学习根与系数关系之前，可用方程的解的性质，代入两根求出方程系
数，学习之后可直接利用根与系数关系得出方程系数，更为简单．
类型二、由根与系数关系求参数的值
2．关于x的一元二次方程 的两根为 ，且 ，
求m的值．
嘉佳的解题过程如下：解： ，
，
整理，得 ，
解得 ．
嘉佳的解题过程漏了考虑哪个条件？请写出正确的解题过程．
【答案】 的值为 ．
【分析】
根据一元二次方程根的判别式结合根与系数的关系解答．
解：嘉佳的解题过程漏了考虑 这一条件．正确的解题过程如下：
根据题意得 ，解得 ．
， ，
整理得 ，解得 （舍去），
的值为 ．
【点拨】本题中忽略 这一条件导致错解针对这一类题，我们一定要看清题目中所
给的条件，考虑一元二次方程有解的条件是“ ”，才能得出正确结果．
举一反三：
【变式1】已知 、 是方程 的两个实根，是否存在常数k，使
成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】不存在．理由见分析
【分析】
根据根与系数关系列出关于k的方程，根据方程有实数根列出关于k的不等式，求解
即可．
解：不存在．
∵ 、 是方程 的两个实根，∴ ，即 ，
解得， ；
由题意可知 ， ，
∵ ，
∴ ，解得 ，经检验， 是原方程的解，
∵ ，
∴不存在常数k，使 成立．
【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数关系和解方程，解题关键是根据根与系数
关系列出方程并求解，注意：根的判别式要大于或等于0．
【变式2】 已知方程 的一个根比另一个根小4，求这两个根和 的值．
【答案】 ， ，
【分析】设两根为x 和x，根据根与系数的关系得x+x，x·x，由|x-x|=4两边平方，
1 2 1 2 1 2 2 1
得(x+x)2-4x·x=16，代入解得m，此时方程为x2+4x=0，解出两根 .
1 2 1 2
解：x2+4x-2m=0
设两根为x 和x，则△=16+8m>0，
1 2
且x+x=-4，x·x=-2m
1 2 1 2
由于|x-x|=4
2 1
两边平方得x2-2x x+x2=16
1 1· 2 2
即(x+x)2-4x x=16
1 2 1· 2
所以16+8m=16
解得：m=0
此时方程为x2+4x=0，
解得 x=0 ， x=−4 .
1 2
【点拨】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是灵活利用一元二次
方程根与系数的关系，以及完全平方公式进行变形，求出两根．
类型三、根的判断别与根与系数关系综合3、已知一元二次方程 ．
（1）若方程有两个实数根，求m的范围；
（2）若方程的两个实数根为 ，且 ，求m的值．
【答案】（1） ；（2)
【分析】
（1）一元二次方程 有两个实数根，△≥0，把系数代入可求m的范围；
（2）利用根与系数的关系，已知 结合 ，先求 ，再求m．
解：（1）∵方程 有两个实数根，
∴ ，
解得 ；
（2）由根与系数的关系可知， ， ，
解方程组 ，
解得 ，
∴ ．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握根的判
别式、根与系数的关系是解题的关键．
【变式1】已知关于x的一元二次方程 ．
（1）证明：无论k取任何实数，方程总有实数根．
（2）若 ，求k的值．
（3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．
【答案】（1）证明见分析；（2） ；（3）这个等腰三角形的周长为21或18．
【分析】
（1）根据根的判别式即可得到结论；
（2）先计算△＝（8＋k）2−4×8k，整理得到△＝（k−8）2，根据非负数的性质得到
△≥0，然后根据△的意义即可得到结论；
（3）先解出原方程的解为x＝k，x＝8，然后分类讨论：腰长为8时，则k＝8；当底
1 2
边为8时，则得到k＝5，然后分别计算三角形的周长．
解：（1） ．
，
，
无论k取任何实数，方程总有实数根；
（2） ， ，
，
解得 ；
（3）解方程 得 ．
①当腰长为8时， ．
，能构成三角形，
周长为 ．
②当底边长为8时， ．
能构成三角形，周长为 ．
综上，这个等腰三角形的周长为21或18．
【点拨】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程
两个为x
1
，x
2
，则x
1
＋x
2
＝− ，x
1
•x
2
＝ ．也考查了一元二次方程的判别式和等腰三角形
的性质，掌握这些知识点是解题关键．【变式2】 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：无论 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根 ， 满足 ，求 的值．
【答案】（1）见分析 （2）0，-2
【分析】
（1）根据根的判别式即可求证出答案；
（2）可以根据一元二次方程根与系数的关系得 与的 、 的关系式，进一步可以求
出答案.
解：(1)证明：∵ ，
∵无论 为何实数， ，
∴ ，
∴无论 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)由一元二次方程根与系数的关系得：
， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，化简得： ，
解得 ， ．
【点拨】本题主要考查根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握概念和运算技巧即可
解题.
类型四、根与系数关系拓展应用14、已知m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，是否存在实数a使﹣（m+n）
（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）的值等于8？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理
由．
【答案】存在，a＝-6
【分析】
根据方程的解的定义得出m2-2m=1，n2-2n=1，m+n=2，再整体代入即可得出a的值．
解：存在，理由如下：
∵m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，
∴m2﹣2m＝1，n2﹣2n＝1，m+n＝2，
∴﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）
＝﹣（m+n）[7（m2﹣2m）+a][3（n2﹣2n）﹣7]
＝﹣2×（7+a）（3﹣7）
＝8（7+a），
由8（7+a）＝8得a＝﹣6，
∴存在实数a＝﹣6，使﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）的值等于8．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系，解题的关键是得出 m2-
2m=1，n2-2n=1，m+n=2，注意解题中的整体代入思想．
【变式1】阅读材料：已知方程p2﹣p﹣1＝0，1﹣q﹣q2＝0且pq≠1，求 的值．
解：由p2﹣p﹣1＝0，及1﹣q﹣q2＝0可知p≠0，
又∵pq≠1，
∴p≠ ．
∵1﹣q﹣q2＝0可变形为 ﹣1＝0，
根据p2﹣p﹣1＝0和 ﹣1＝0的特征，
∴p、 是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，则p+ ，即 ．
根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答．
已知：2m2﹣5m﹣1＝0， ，且m≠n，求：
（1）mn的值；
（2） ．
【答案】(1) ；29．
【分析】
（1）由题意可知：可以将方程 化简为 的形式，根据根
与系数的关系直接得： 的值；
（2）将 变形为 求解．
解：由 知m≠0，
∴ ，
∵ ，m≠n，
∴ ，
∴ 和 是方程 的两个根，
（1）由 和 是方程 的两个根得 ，
∴ ；
经检验： 是原方程的根，且符合题意．（2）由 和 是方程 的两个根得 ， ，
∴ ．
【点拨】本题考查一元二次方程根与系数关系，代数式的值，乘法公式，掌握一元二
次方程根与系数关系与乘法公式恒等变形是解题关键．
【变式2】 定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x，
1
x（x＜x），分别以x，x 为横坐标和纵坐标得到点M（x，x），则称点M为该一元二
2 1 2 1 2 1 2
次方程的衍生点．
（1）若方程为x2﹣2x＝0，写出该方程的衍生点M的坐标．
（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＜0）的衍生点为M，过点
M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．
（3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点
M始终在直线y＝kx﹣2（k﹣2）的图象上，若有请直接写出b，c的值，若没有说明理由．
【答案】（1）衍生点为M（0，2）；（2） ；（3）存在，b＝﹣6，c＝8；
【分析】
（1）求出方程的两根，根据一元二次方程的衍生点即可解决问题；
（2）求出方程的两根，根据一元二次方程的衍生点的定义，再利用正方形的性质构建
方程即可解决问题；
（3）求出定点，利用根与系数的关系解决问题即可；
解：（1）∵x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
解得：x＝0，x＝2
1 2
故方程x2﹣2x＝0的衍生点为M（0，2）．
（2）x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＜0）
∵m＜0
∴2m＜0
解得：x＝2m，x＝1，
1 2
方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＜0）的衍生点为M（2m，1）．
点M在第二象限内且纵坐标为1，由于过点M向两坐标轴做垂线，两条垂线与x轴y轴恰好围城一个正方形，
所以2m＝﹣1，解得 ．
（3）存在．
直线y＝kx﹣2（k﹣2）＝k（x﹣2）+4，过定点M（2，4），
∴x2+bx+c＝0两个根为x＝2，x＝4，
1 2
∴2+4＝﹣b，2×4＝c，
∴b＝﹣6，c＝8．
【点拨】本题考查一元二次方程的解法及根与系数的关系、正方形的性质等知识，解
题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．
类型五、根与系数关系拓展应用2
5、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的BC边与x轴重合，顶点A在y轴的正
半轴上，线段OB，OC（ ）的长是关于x的方程 的两个根，且满足
CO＝2AO．
(1)求直线AC的解析式；
(2)若P为直线AC上一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD与直线AB交于点
Q，设△CPQ的面积为S（ ），点P的横坐标为a，求S与a的函数关系式；
(3)点M的坐标为 ，当△MAB为直角三角形时，直接写出m的值．【答案】(1) ；
(2) ；
(3)m的值为－3或－1或2或7；
【分析】
（1）根据一元二次方程的解求出OB和OC的长度，然后得到点B，点C坐标和OA
的长度，进而得到点A坐标，最后使用待定系数法即可求出直线AC的解析式；
（2）根据点A，点B坐标使用待定系数法求出直线AB的解析式，根据直线AB解析
式和直线AC解析式求出点P，Q，D坐标，进而求出PQ和CD的长度，然后根据三角形
面积公式求出S，最后对a的值进行分类讨论即可；
（3）根据△MAB的直角顶点进行分类讨论，然后根据勾股定理求解即可．
(1)解：解方程 得 ， ，
∵线段OB，OC（ ）的长是关于x的方程 的两个根，
∴OB＝1，OC＝6，
∴ ， ，
∵CO＝2AO，
∴OA＝3，
∴ ，
设直线AC的解析式为 ，
把点 ， 代入得 ，
解得 ，
∴直线AC的解析式为 ；(2)解：设直线AB的解析式为y=px+q，
把 ， 代入直线AB解析式得 ，
解得 ，
∴直线AB的解析式为 ，
∵PD⊥x轴，垂足为D，PD与直线AB交于点Q，点P的横坐标为a，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
当点P与点A或点C重合时，即当a=0或 时，此时S=0，不符合题意，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴ ；
(3)解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
，当∠MAB=90°时， ，
∴ ，
解得 ，
当∠ABM=90°时， ，
∴ ，
解得m=7，
当∠AMB=90°时， ，
∴ ，
解得 ， ，
∴m的值为－3或－1或2或7．
【点拨】本题考查解一元二次方程、待定系数法求一次函数解析式、三角形面积公式、
勾股定理，正确应用分类讨论思想是解题关键．
【变式1】 在平面直角坐标系中的位置如图所示， 与 轴交于点 ，点
的坐标为 ，线段 ， 的长分别是方程 的两根， ．
(1)求线段 的长；
(2)动点 从点 出发，以每秒1个单位长度的速度沿 轴负半轴向终点 运动，过点
作直线 与 轴垂直，设点 运动的时间为 秒，直线 扫过四边形 的面积为 ，求
与 的关系式；
(3) 为直线 上一点，在平面内是否存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边
形为正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)9 (2)
(3)存在满足条件的N点，其坐标为（2，3）或（-4，0）或（-1，-3）．
【分析】
（1）解方程可求得OA、OC的长，则可求得A、C的坐标，从而可得AC 长；
（2）分两种情况：①当0＜t≤1时；②当1＜t≤7时，利用梯形的面积公式即可求解；
（3）分两种情况：①AP为正方形的对角线时，②AP为正方形的边时，根据正方形
以及等腰直角三角形的性质，可求得N点坐标．
(1)解：解方程x2﹣9x+14＝0可得x＝2或x＝7，
∵线段OA，OC的长分别是方程x2﹣9x+14＝0的两根，且OC＞OA，
∴OA＝2，OC＝7，
∴A（2，0），C（﹣7，0），
(2) 解：过点P作PH⊥OC于H，而 ，
， ，
设直线AB解析式为y＝kx+b，而点B（0，2），
∴ ， 解得 ，
∴直线AB解析式为y＝﹣x+2，
①如图1所示，当0＜t≤1时，点E（﹣t，t+2），
∴S＝S OBED＝ （0＜t≤1）；
梯形
②如图2所示，当1＜t≤7时，
设直线CP解析式为y＝mx+n，
∵C（﹣7，0），点P的坐标为（﹣1，3），
∴ ，解得 ，∴直线CP解析式为 ，
设 ，
∴DE＝ ，
∴S＝S OBPH+S HPED＝
梯形 梯形
；
综上， ；
图1 图2
(3) 分两种情况：①AP为正方形的对角线时，如图3所示，
∵A（2，0），B（0，2），
∴∠OAB＝45°，
∵四边形AMPN是正方形，
∴∠PAN＝45°，∠NAM＝90°，
∴∠OAB+∠PAN＝90°，
∴点M在x轴上，NA⊥x轴， 轴，
∴N（2，3）；
②AP为正方形的边时，如图4所示，
∵∠OAB＝45°，四边形AMNP是正方形，
∴∠NAM＝∠OAB＝45°，AP＝AM，
∴HN＝PH＝3，∴N（-4，0）；
如图5所示，四边形ANMP是正方形，
∵PH＝NH＝3，
∴ ；
∴N（-4，0）或（-1，-3），
综上可知，存在满足条件的N点，其坐标为（2，3）或（-4，0）或（-1，-3）．
图3 图4 图5
【点拨】本题为四边形的综合题，考查了一元二次方程、勾股定理、待定系数法、正
方形的性质、等腰直角三角形的性质等知识．在（1）中求得OA、OC的长是解题的关键，
在（2）中分类讨论是解题的关键，在（3）中分类思想的运用是解题的关键．本题考查知
识点较多，综合性较强，难度适中．
【变式2】 菱形 的边长为5，两条对角线 、 相交于 点，且 ，
的长分别是关于 的方程 的两根，求 的值．
【答案】 ．
【分析】由题意可知：菱形ABCD的边长是5，则AO2+BO2=25，则再根据根与系数的
关系可得：AO+BO= 2m 1)，AOBO=m2+3；代入AO2+BO2中，得到关于m的方程后，即
可求得m的值． −( − ∙
解：∵ ， 的长分别是关于 的方程 的两根，设方程的两根为 和 ，可令 ， ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
在 中：由勾股定理得： ，
∴ ，则 ，
由根与系数的关系得： ， ，
∴ ，
整理得： ，
解得： ，
又∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ ．
【点拨】此题主要考查了菱形的性质、勾股定理、以及根与系数的关系，将菱形的性
质与一元二次方程根与系数的关系，以及代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方
法．
