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专题 21.5 一元二次方程解法-直接开平方法（专项练
习）
一、单选题
1．方程 的解是（ ）
A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=1，x2=4 D．x1=2，x2=﹣2
2．方程 的解是（ ）
A． ， B．
C． D．
3．若 ，则 是（ ）
A．-2 B．2 C．-2或2 D．4
4．方程（x+1）2＝0的根是（ ）
A．x＝x＝1 B．x＝x＝﹣1 C．x＝﹣1，x＝1 D．无实根
1 2 1 2 1 2
5．一元二次方程 可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是
，则另一个一元一次方程是（ ）
A． B． C． D．
6．如果代数式3x2-6的值为21，则x的值为（ ）
A．3 B．±3 C．-3 D．±
7．方程 x2=（x﹣1）0 的解为（ ）
A．x=-1 B．x=1 C．x=±1 D．x=0
8．若2x+1与2x-1互为倒数，则实数x为( )
A．x= B．x＝±1 C． . D．
9．若a,b,c满足 则关于x的方程 的解是( )A．1，0 B．-1，0 C．1，-1 D．无实数根
10．计算：4（3x+1）2﹣1＝0、 ﹣2＝0的结果分别为（ ）
A．x＝± ，y＝± B．x＝± ，y＝
C．x＝﹣ ，y＝ D．x＝﹣ 或﹣ ，y＝
11．用直接开平方的方法解方程 ，做法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，是一个简单的数值运算程序，则输入 的值为（ ）
A． B． C． 或 D．无法确定
13．若方程 中， 满足 和 ，则方
程的根是（ ）
A． B． C． D．
14．如图，正方形 ABCD 的边长为 5，点 M 是边 BC 上的点，DE⊥AM 于点 E，
BF∥DE，交 AM 于点 F．若E 是 AF 的中点，则 DE 的长为（ ）
A． B．2 C．4 D．
二、填空题
15．方程x2－3＝0的根是__________．16．方程x2－ =0的两根为x=__________，x=__________．
1 2
17．在实数范围内定义一种运算“﹡”，其规则为a﹡b＝a2﹣b2，根据这个规则，方
程（x+1）﹡3＝0的解为_____．
18．方程的 解是_______________．
19．若实数 满足 ，则 ___________________．
20．方程 的根是__________．
21．若实数a、b满足 ，则 的值为___________．
22．若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是 与 ，则 =________.
23．如果关于x的方程（m﹣1）x3﹣mx2+2＝0是一元二次方程，那么此方程的根是
_____．
24．已知关于x的方程a（x+m）2+b=0（a，b，m均为常数，且a≠0）的两个解是
x=3，x=7，则方程 的解是________．
1 2
25．已知 ,那么 _____.
27．如图，是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为______．
三、解答题
28．解方程：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．参考答案
1．D
解：x2=4，
x=±2.
故选D.
【点拨】本题利用方程左右两边直接开平方求解.
2．C
解：∵(x＋1)2=4，
∴x+1=±2，
解得x=1，x=﹣3.
1 2
故选C.
3．C
【分析】
先计算 ，再用直接开平方法解一元二次方程即可．
解：
故选C
【点拨】本题考查了有理数的乘方，直接开平方法解一元二次方程，熟练直接开平方
法是解题的关键．
4．B
【分析】根据平方根的意义,利用直接开平方法即可进行求解.
解：(x+1)2＝0,
解: x+1=0,
所以x1＝x2＝﹣1,
故选B.
【点拨】本题主要考查一元二次方程的解法,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方
程的解法.
5．D
解：将 两边开平方，得 ，则则另一个一元一次方程是 ．
故选D．
6．B
解：根据题意得：3x2﹣6=21，即x2=9，解得：x=±3，故选B．
【点拨】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根定义是解本题
的关键．
7．A
【分析】
根据(x-1)0有意义，可得x-1≠0，求出x≠1，通过解方程x2=1，确定x的值即可.
解：∵(x-1)0有意义，
∴x-1≠0，即x≠1，
∵x2=（x﹣1）0
∴x2=1，即x=±1
∴x=-1.
故选A.
【点拨】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未
知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的
开方直接求解．同时还考查了零次幂.
8．C
解：根据2x+1与2x﹣1互为倒数，列方程得：（2x+1）（2x﹣1）=1；
整理得：4x2﹣1=1，移项得：4x2=2，系数化为1得：x2= ；开方得：x=± ．
故选C．
9．C
解：【分析】由方程组得到a+c=0, 即a=-c，b=0，再代入方程可求解.
因为a+b+c=0——①；a-b+c=0——②且a≠0,
联立两式①+②得a+c=0, 即a=-c,b=0,
代入ax²+bx+c=0
得：ax²-a=0
解得x=1或x=-1
故选C
【点睛】本题考核知识点：一元二次方程.解题关键点：由方程组推出a,b,c的特殊关系.
10．D
【分析】
直接开平方与开立方，再解一次方程即可．
解：由4（3x+1）2﹣1＝0得（3x+1）2＝ ，
所以3x+1＝± ，
解得x＝﹣ 或x＝﹣ ，
由 ﹣2＝0得y3＝ ，
所以y＝ ，
所以x＝﹣ 或﹣ ，y＝ ．
故选：D．
【点拨】本题考查开平方法解一元二次方程与立方根法解三次方程，掌握平方根与立
方根性质与区别是解题关键．
11．C
【分析】一元二次方程 ，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互
为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解．
解：
开方得 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，关键是将方程右侧看做一个非负
已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，
分开求得方程解”来求解．
12．C
【分析】
先根据数值运算程序可得一个关于x的一元二次方程，再利用直接开平方法解方程即
可得．
解：由题意得： ，
，
，
，
即 或 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，根据数值运算程序正确建立方程是解题关键．
13．D
【分析】
联立 和 ，前式减后式，可得 ，前式加后式，可得
，将 、 代入原方程计算求出方程的根．
解：∵根据题意可得： ，
①－②＝ ，得 ，①＋②＝ ，
∴解得： ， ．
将 、 、 代入原方程 可得，
∵ ，
∴
故选：D．
【点拨】本题考查解一元二次方程，联立关于 、 、 的方程组，由方程组推出 、
、 的数量关系是解题关键．
14．B
【分析】
因为AF＝AE+EF，则可以通过证明 ABF≌ DAE，从而得到AE＝BF，便得到了AF＝
BF+EF，再利用勾股定理求出DE的长即可．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝90°
∵DE⊥AG，
∴∠DEM＝∠AED＝90°
∴∠ADE+∠DAE＝90°
又∵∠BAF+∠DAE＝∠BAD＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF．
∵BF∥DE，
∴∠AFB＝∠DEG＝∠AED．
在 ABF与 DAE中，
，
∴ ABF≌ DAE（AAS）．
∴BF＝AE，
∵BF∥DE，∠AED＝90°
∴∠AFB＝90°，∵E是AF的中点，
∴AE＝EF，
又∵BF＝AE，
∴BF＝EF＝AE，
设BF为x，则AF为2x，
∵AB2＝AF2+BF2，
∴52＝（2x）2+x2，
解得x＝ （舍去 ），
∴AF＝2x＝ ，
∵DE＝AF，
∴DE＝ ，
故选：B．
【点拨】此题主要考查学生对正方形的性质及全等三角形的判定的掌握情况，解题的
关键是熟练掌握全等三角形的判定方法以及正方形的各种有关性质．
15．x＝ ，x＝－ .
1 2
解：试题分析：移项得x2=3，开方得x= ，x= - ．
1 2
考点：解一元二次方程．
16．
【分析】
先移项，然后用直接开平方法，即可求出两根.
解：移项得 ，
解得： ，
故答案为 ， .
【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解题方法是解题的关键.
17．x=2、-4
【分析】先根据新定义得到 ，再移项得 ，然后利用直接开平方法求解.
解： (x+1)﹡3＝0，
，
，
，
所以 、 .
故答案为： 、 .
【点拨】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：如果方程化成 的形式，那
么可得 ，如果方程能化成 （ ）的形式，那么 .
18．
【分析】
运用直接开平方法求解即可．
解：
开方得： ，
【点拨】此题主要考查了解一元二次方程—直接开平方法，熟练掌握一元二次方程的
求解方法是解答此题的关键．
19． 或
【分析】
根据题意设a+b=x，根据 ，得出x（2x-1）=1，解方程即可．
解：设a+b=x，则x（2x-1）=1，
则有（x-1）（2x+1）=0，解得x= 或 ，即 或 .故答案为： 或 .
【点拨】本题考查解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程即把某个式子看
作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换是解题的关键．
20．
【分析】
利用直接开平方法进行求解一元二次方程即可．
解：
，
解得： ；
故答案为 ．
【点拨】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的
关键．
21．5
【分析】
利用平方根的含义求解 再利用非负数的性质可得答案．
解： ，
或 ，
又
故答案为：
【点拨】本题考查的是非负数的性质，利用平方根的含义解方程，掌握以上知识是解
题的关键．
22．9
解：分析：本题利用直接开平方法求出解互为相反数，从而解出m的值，得出所求的值即可.
解析： 所以这两个解互为相反数，即 + =0，解得m=1,∴
这两个根为±3，所以 =9.
故答案为9.
23．
【分析】
直接利用一元二次方程的定义得出m的取值范围，再代入方程解方程即可．
解：由题意得： ，
∴m=1，
原方程变为：﹣x2+2=0，
x= ，
故答案为 ．
【点拨】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握二次项系数不为零是解题关
键．
24． 或
【分析】
首先根据一元二次方程解的定义求出 和 的值，然后代入所求方程整理求解即可．
解：∵方程 的解为：x=3，x=7，
1 2
∴ ，
解得： ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查解一元二次方程的拓展应用，掌握解一元二次方程的基本方法是解
题关键．
25．3.
【分析】
把 看成一个整体设为x，再解一元二次方程舍去负值即可.
解：设 ,则原方程化为: ,
,
,
,
,
故答案为:3.
【点拨】本题考查的是解方程，关键是将 看成一个整体，即整体思想的应用，
易错点是要注意 的非负性，注意根的取舍.
26．﹣9或11
解：由题意可得：
x4﹣2x2﹣400x=9999（x2+1）2=（2x+100）2
①当x2+1=2x+100时，经化简可得（x﹣1）2=100
解得x=﹣9或x=11．
②当x2+1=﹣2x﹣100时，经化简可得（x+1）2=﹣100，此方程无解，
因此x的值应该是﹣9或11．
故答案是：﹣9或11.
【点睛】本题中正确的将9999进行拆分以配合前面的式子组成熟悉的公式是解题的关
键．
27．4或
【分析】
根据运算程序可得关于x的方程，解方程即得答案．
解：根据题意得： ，化简得 ，
，解得 或 ．
故答案为：4或 ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，正确理解题意、熟练掌握直接开平方法是
解题的关键．
28．（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ．
【分析】
（1）先移项，再两边同除以3，然后利用直接开方法解方程即可得；
（2）先移项，再利用直接开方法解方程即可得；
（3）先两边同乘以2，再利用直接开方法解方程即可得；
（4）先利用平方差公式去括号，再移项合并同类项，然后利用直接开方法解方程即可
得．
解：（1） ，
，
，
，即 ；
（2） ，
，
或 ，
或 ，
即 ；
（3） ，
，
或 ，
或 ，
即 ；
（4） ，
，
，
，
即 ．
【点拨】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，一元二次方程的主要解法包括：
直接开方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等，熟练掌握各解法是解题关键．
