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专题 22.1 二次函数（知识讲解）
【学习目标】
1、理解二次函数的概念，识别二次函数；
2、根据二次函数表达式求参数；
3、能根据生活实际写出二次函数表达式。
【要点梳理】
【知识点1】二次函数的概念：一般地，形如 （ 是常数，
）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 ，而
可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
【知识点2】二次函数 的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是2。
⑵ 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项。
【典型例题】
类型一、二次函数的判断
1．已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋2－2m.
(1)若这个函数是二次函数，求m的取值范围．
(2)若这个函数是一次函数，求m的值．
(3)这个函数可能是正比例函数吗？为什么？
【答案】(1). m≠0且m≠1.(2). m＝0.(3). 不可能
解：（1）根据二次函数的二次项系数不等于0，可得答案；
（2）根据二次函数的二次项系数等于0，常数项不等于0，是一次函数，可得答案；
（3）根据二次函数的二次项系数等于0，常数项等于0，可得正比例函数．
试题解析：(1)∵这个函数是二次函数，
∴m2－m≠0，∴m(m－1)≠0，
∴m≠0且m≠1.
(2)∵这个函数是一次函数，
∴ ∴m＝0.
(3)不可能．∵当m＝0时，y＝－x＋2，
∴不可能是正比例函数．举一反三：
【变式1】已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y=2（x+3）2-
2x2；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据二次函数的定义判断即可；
解：y＝2x﹣1是一次函数；
y＝﹣2x2﹣1是二次函数；
y＝3x3﹣2x2不是二次函数；
④y=2（x+3）2-2x2 ，不是二次函数；
y＝ax2+bx+c，没告诉a不为0，故不是二次函数；
故二次函数有1个；
故答案选A．
【点拨】本题主要考查了二次函数的定义，准确判断是解题的关键．
【变式2】二次函数 中，二次项系数为____，一次项是____，常数项
是___
【答案】 -2x , 1
【分析】函数化简为一般形式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中
ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，
常数项．
解：∵y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次
项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项
∴ 中，二次项系数为 ，一次项是-2x，常数项是1.
故答案是： ; -2x;1.
【点拨】考查了二次函数的定义，二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数
且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二
次项系数，一次项系数，常数项．
类型二、根据二次函数定义求参数2．已知函数y＝（k2﹣k）x2+kx+k+1（k为常数）．
（1）若这个函数是一次函数，求k的值；
（2）若这个函数是二次函数，则k的值满足什么条件？
【答案】（1）k＝1；（2）k≠0且k≠1
【分析】
（1）由一次函数的定义求解可得；
（2）由二次函数的定义求解可得．
解：（1）若这个函数是一次函数，
则k2﹣k＝0且k≠0，
解得k＝1；
（2）若这个函数是二次函数，
则k2﹣k≠0，
解得k≠0且k≠1．
【点拨】本题主要考查了一次函数的定义、二次函数的定义，准确分析判断是解题的
关键．
举一反三：
【变式1】 当函数 是二次函数时， 的取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的定义去列式求解计算即可．
解：∵函数 是二次函数，
∴a-1≠0， =2，
∴a≠1， ，
∴ ，
故选D．
【点拨】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义并灵活列式计算是解题的
关键．【变式2】 定义：由a，b构造的二次函数 叫做一次函数y＝ax＋
b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数 的“本源函数”
（a，b为常数，且 ）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是 ，那
么二次函数 的“本源函数”是______．
【答案】
【分析】由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数
的本源函数．
解：由题意得
解得
∴函数 的本源函数是 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解
新定义“本源函数”．
类型三、 列二次函数解析式
3、 如图，在 中， ， ， ，现有一个动
点P从点A出发，以4cm/s的速度沿AC向终点C运动，动点Q同时从点C出发，以2cm/s
的速度沿CB向终点B运动，当有一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为
ts， 的面积为S，求：
（1）S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当 时，求线段PQ的长；（3）当t为何值时， ？
【答案】（1） ；（2） ；（3）当t为2或3时，
．
【分析】
（1）由点P点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的
表达式求出，代入直角三角形面积公式求解即可；
（2）当 时，代入（1）中公式可得PC，CQ的长，再由勾股定理即可求出PQ；
（3）结合（1）得到的关系式，代入条件，列出方程求解即可．
解：（1）由条件可得： ， ，
∴ ，
∴ ， ；
（2）当 时， ， ，
∴ ；
（3）由题意可得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
∴当t为2或3时， ．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的运用，方程思想是解决本题的关键．
举一反三：【变式1】 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．
若每件商品售为x元，则可卖出（350-10x）件商品，那么商品所赚钱y元与售价x元的函
数关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】商品所赚钱=每件的利润×卖出件数，把相关数值代入即可求解．
解：每件的利润为（x-21），
∴y=（x-21）（350-10x）
=-10x2+560x-7350．
故选B．
【点拨】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解决本题的关键是找到总利润
的等量关系，注意先求出每件商品的利润．
【变式2】 如果二次函数 （ ， 、 、 是常数）与
（ ， 、 、 是常数）满足 与 互为相反数， 与 相等，
与 互为倒数，那么称这两个函数为“亚旋转函数”．请直接写出函数 的
“亚旋转函数”为_________．
【答案】
解：∵－1的相反数是1，－2的倒数是 ，∴函数 的“亚旋转函数”
为 ．故答案为 ．
