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专题 22.15 二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图象与性质
（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
y ax2 bx c(a 0)
【类型一】把二次函数 化为顶点式
1．关于x的一元二次方程x2﹣x﹣n＝0没有实数根，则抛物线y＝x2﹣x﹣n的顶点在（
）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知抛物线 ，其顶点为D，若点D到x轴的距离为3，则m
的值为（ ）
A．0或 B． C． D． 或
3．把二次函数 化成 的形式是（ ）
A． B． C． D．
y ax2 bx c(a 0)
【类型二】画二次函数 的图象
4．如果在二次函数的表达式y＝2x2＋bx＋c中，b>0，c<0，那么这个二次函数的图象
可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，当x≤1时，y随x的增大而增大，且﹣1≤x≤6时，y
的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．1 B． C．﹣ D．﹣
6．某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（ ）A．﹣11 B．﹣5 C．2 D．﹣2
y ax2 bx c(a 0)
【类型三】二次函数 的性质
7．已知A、B两点的坐标分别为 、 ，线段 上有一动点 ，过
点M作x轴的平行线交抛物线 于 、 两点．若 ，
则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是x=－1．有以下结论：①abc>0，
②4ac2，其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴在 轴的右侧
B．图象与 轴的交点坐标为
C．图象与 轴的交点坐标为 和
D． 的最小值为－9
y ax2 bx c(a 0)
【类型四】二次函数 各项系数的符号
10．如图，已知抛物线 （ ， ， 为常数， ）经过点 ，且对
称轴为直线 ，有下列结论：① ；② ；③ ；④无论 ， ，
取何值，抛物线一定经过 ；⑤ ．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：
①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．
其中正确的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函
数 与反比例函数 在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【类型五】一次函数与二次函数图象判断
13．在同一平面直角坐标系内，二次函数 与一次函数
的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
14．函数 与 的图象如图所示，则 的大致图象
为 （ ）
A． B．
B．C． D．
15．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2﹣bx的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【类型六】二次函数图象的平移
16．把函数 的图像向左平移1个单位长度，平移后图像的函数解析式为
（ ）
A． B． C． D．17．平移是初中重要的初等变换，如： 向右平移两个单位得到 ，依据
上述规律，则方程 的根的情况（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
18．如图，抛物线 与 相交于点A，分别交y轴于点
P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知 ，则以下结论：
①两抛物线的顶点关于原点对称；② ；③ ；④ ．其中正确结论是
（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
二、填空题
y ax2 bx c(a 0)
【类型一】把二次函数 化为顶点式
19．已知二次函数 ，若 ，则y的取值范围是______．
20．已知二次函数y＝x2＋bx＋3图象的对称轴为x＝2，则b＝________；顶点坐标是
________．
21．将抛物线 写成 的形式是____________．
y ax2 bx c(a 0)
【类型二】画二次函数 的图象
22．抛物线 的部分图象如图所示，则当 时， 的取值范围是
________________．
23．二次函数 的部分对应值如下表,利用二次函数的图象可知，当函
数值 时， 的取值范围是______.24．在同一坐标系内，抛物线y=ax2与直线y=2x+b相交于A、B两点，若点A的坐标
是（2，4），则点B的坐标是______．
y ax2 bx c(a 0)
【类型三】二次函数 的性质
25．点 、 均在抛物线 （ ，a、b为常数）上，若
，则t的取值范围为________.
26．如图，抛物线 过点 ， ，且顶点在第一象限，设
，则M的取值范围是___．
27．如图，抛物线 与x轴相交于 两点，与 轴相交于点 ，点
在抛物线上，且 ． 与 轴相交于点 ，过点 的直线 平行于 轴，与拋
物线相交于 两点，则线段 的长为_____．
y ax2 bx c(a 0)
【类型四】二次函数 各项系数的符号
28．已知抛物线 的对称轴是直线 ，其部分图象如图所示，下列
说法中： ； ； ； 当 时， ，正确的是
_____（填①写序号）．② ③ ④29．二次函数 （a＜0）图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，
1，与y轴交于点C，下面四个结论：
①16a﹣4b+c＜0；②若P（﹣5，y），Q（ ，y）是函数图象上的两点，则y＞y；
1 2 1 2
③a=﹣ c；④若△ABC是等腰三角形，则b=﹣ ．其中正确的有______（请将结论正
确的序号全部填上）
30．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②a+c＞
b；③抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；④abc＞0．其中正确的结论是______（填写
序号）．
【类型五】一次函数与二次函数图象判断
31．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c的图象不经过第___
象限．
32．如图，已知抛物线y=﹣x2+4x和直线y=2x．我们规定：当x取任意一个值时，x
1 2
对应的函数值分别为y 和y，若y≠y，取y 和y 中较小值为M；若y=y，记M=y =y．
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
①当x＞2时，M=y ；②当x＜0时，M随x的增大而增大；③使得M大于4的x的值不存
2
在；④若M=2，则x=1．上述结论正确的是_____（填写所有正确结论的序号）．33．如图，已知直线y=﹣ x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y=﹣
x2+2x+5的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y=﹣ x+3于点
Q，则当PQ=BQ时，a的值是_______．
【类型六】二次函数图象的平移
34．抛物线 向右平移1个单位，再向上平移2个单位，平移后抛物线的顶点
坐标是______．
35．如图，曲线AB是抛物线 的一部分（其中A是抛物线与y轴的交
点，B是顶点），曲线BC是双曲线 的一部分，曲线AB与BC组成图形W．由
点C开始不断重复图形W形成一组“波浪线”．那么 ______；若点 ，
在该“波浪线”上，则m的值为______，n的最大值为______．
36．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1，1)在抛物线y=x+2bx+c上
（1）c=______(用含b的式子表示)；
（2）若将该抛物线向右平移t个单位(t≥ )，平移后的抛物线仍经过A(-1，1)，则平移
后抛物线的顶点纵坐标的最大值为_______．
三、解答题
37．已知二次函数 （ ， 是常数）．(1)当 ， 时，求二次函数的最大值；
(2)当 时，函数有最大值为7，求 的值；
(3)当 且自变量 时，函数有最大值为10，求此时二次函数的表达式．
38．先确定抛物线 的开口方向、对称轴和顶点坐标．在描点画图．
39．如图，抛物线 ，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与
y轴交于点C．
(1)求直线BC的解析式；
(2)抛物线上点P的横坐标为2，求四边形ACPB的面积．
40．如图，已知抛物线y＝x2﹣5x+4与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与
y轴交于点C.
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平
行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状，并说明理由；
(3)如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且
∠DQE＝2∠ODQ.在y轴上是否存在点F，使得 BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐
标；若不存在，请说明理由.
△
41．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ， ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点 为直线 上方抛物线上一动点，过点 作 轴，交 于点 ，过点
作 于 ，当线段 的长度取得最大值时，求点 的坐标和线段 的长度；
(3)把抛物线 沿射线 方向平移 个单位， 是新抛物线对称轴上一
点， 为平面上任意一点，直接写出所有使得以 、 、 、 为顶点的四边形为菱形的
点 的坐标．参考答案
1．A
【分析】
先根据一元二次方程根的判别式得到 ，再求解抛物线y＝x2﹣x﹣n的顶点坐标，
再判断顶点位置即可.
解： 关于x的一元二次方程x2﹣x﹣n＝0没有实数根，
解得：
抛物线y＝x2﹣x﹣n ，
抛物线的顶点坐标为：
由 ，
可得 ，
在第一象限，
故选：A．
【点拨】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，抛物线的顶点坐标，掌握“一元
二次方程根的判别式，抛物线的顶点坐标公式”是解本题的关键.
2．A
【分析】
先求出抛物线的顶点坐标为 ，根据点D到x轴的距离为3，得到
，由此求解即可．
解：抛物线的解析式 ，
故抛物线C的顶点为 ．
∵点D到x轴的距离为3，
∴ ．当 时，此方程无解；
当 时，解得 ， ．
综上所述，m的值为0或 ，
故选A．
【点拨】本题主要考查了点到坐标轴的距离，求抛物线顶点坐标，解一元二次方程，
正确求出抛物线顶点坐标是解题的关键．
3．C
【分析】
利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即
可把一般式转化为顶点式．
解： ．
故选：C．
【点拨】此题考查了二次函数的顶点式，掌握利用配方法将二次函数一般式转化为顶
点式是解题的关键．
4．B
【分析】
由a=2，b 0，c<0，推出- 0，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的左边，
> <
交y轴于负半轴，由此即可判断．
解：∵a=2，b 0，c 0，
> <
∴- 0，
<
∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的左边，交y轴于负半轴，
故选：B．
【点拨】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学
知识解决问题．
5．D
【分析】
根据二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，可以得到该函数的对称轴，再根据当x≤1时，y随x的
增大而增大，可以得到a的正负情况，然后根据﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，即可得到a
的值．
解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1＝a（x﹣2）2﹣4a﹣1，
∴该函数的对称轴是直线x＝2，
又∵当x≤1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0，∵当﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，
∴x＝6时，y＝a×62﹣4a×6﹣1＝﹣4，
解得a＝﹣ ，
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数基本性质是解题关键．
6．B
【分析】
根据表格中的数据和二次函数的性质可知x=0、x=1、x=-1对应的函数值是正确的，从
而可以求得二次函数的解析式，再将x=2和x=-2代入解析式，即可判断哪个y值是错误的，
本题得以解决．
解：由表格可得，
该二次函数的对称轴是直线x=0，经过点（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣
2），
∴ ，
解得， ，
∴y=﹣3x2+1，
当x=﹣2时，y=﹣11，
当x=2时，y=﹣11，
故选：B．
【点拨】本题考查二次函数的图象，解题关键是明确题意，求出函数的解析式，利用
二次函数的性质解答．
7．C
【分析】
先根据题意画出函数的图象，再结合图象建立不等式组，解不等式组即可得．
解：线段 （ 除外）位于第四象限，
过点 且平行 轴的直线在 轴的下方，
抛物线 的顶点坐标为 ，此顶点位于第一象限，
，
画出函数图象如下：结合图象可知，若 ，则当 时，二次函数的函数值 ；当
时，二次函数的函数值 ，
即 ，解得 ，
又 ，
，
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数与一元一次不等式组，熟练掌握二次函数的图象与性质，
以及图象法是解题关键．
8．C
解：①∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x= =﹣1，∴b=2a＜
0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，所以①正确；
②∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2-4ac＞0，∴4ac 0时，x的取值范围．
解：从表格可以看出，当x=－1或3时，y=0；
因此当－10.
故答案为：
【点拨】本题考查二次函数的图象，明确二次函数的图象性质是解题关键.
24．(0,0)
【分析】
先将点A的坐标代入抛物线和直线，求得a、b的值，再将两个函数联立成一元二次方
程求得另一个交点坐标B．
解：抛物线y=ax2与直线y=2x+b相交于A、B两点，若点A的坐标是（2，4），
则点A代入y=ax2，解得a=1；代入y=2x+b，解得：b=0；
将两方程联立得：x2=2x，解方程得：x=0或2，
则另一交点坐标B为（0，0）．【点拨】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及
直线与抛物线交点问题．
25． ##
【分析】
根据a＜0，可知抛物线开口向下，根据抛物线解析式可知抛物线的对称轴为x=1，当
P、Q两点关于抛物线对称轴对称时，可求出t= ，根据根据t+1＞t， ，即可求出t
的取值范围．
解：根据a＜0，可知抛物线开口向下，
根据抛物线解析式可知抛物线的对称轴为x=1，
则有 时，y随x的增大而增大；
当P、Q两点关于抛物线对称轴对称时，则有 ，
解得 ，
∵t+1＞t， ，
又∵则有 时，y随x的增大而增大；
∴可知当P、Q在对称轴的左侧是肯定满足要求，P、Q均在对称轴的右侧时肯定
不满足要求，
当P、Q分别在对称轴x=1的两侧时，
随着P、Q向x轴正向移动，P的纵坐标在逐渐增大，Q的纵坐标逐渐减小，
当P、Q两点关于抛物线对称轴对称时有 ，
继续正方向移动，则有 ，
∴满足 的t的取值范围： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了抛物线图像的性质，根据当P、Q两点关于抛物线对称轴对称时
求出t的临界值是解答本题的关键．
26． .
【分析】
将（-1，0）与（0，2）代入y=ax2+bx+c，可知b=a+2，利用对称轴可知：a＞-2，从而
可知M的取值范围．
解：将 与 代入 ，
∴ ， ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
故答案为 .
【点拨】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属
于中等题型．
27．
【分析】
利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C，D的坐标，由点A，D的坐标，
利用待定系数法可求出直线AD的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E
的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点P，Q的坐标，进而可求出线段PQ
的长．
解：由图可知，
当 时， ，
解得： ， ，
∴点 的坐标为 ；
当 时， ，
∴点 的坐标为(0，2)；
当 时， ，
解得： ， ，
∴点 的坐标为 ．设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入 ，得：
，解得： ，
∴直线 的解析式为 ．
当 时， ，
∴点 的坐标为 ．
当 时， ，
解得： ， ，
∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
∴ ．
故答案为 ．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数
法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特
征求出点P，Q的坐标是解题的关键．
28． ．
【分析】
①③④
首先根据二次函数图象开口方向可得 ，根据图象与y轴交点可得 ，再根据二
次函数的对称轴 ，结合a的取值可判定出b>0，根据a,b,c的正负即可判断出①
的正误；把 代入函数关系式 ，再根据对称性判断出②的
正误；把 中即可判断出③的正误；利用图象可以直接看出④的正误．
解：根据图象可得： ，
对称轴：
，
故①正确；
把 代入函数关系式
由抛物线的对称轴是直线 ，可得当故②错误；
即： 故③正确；
由图形可以直接看出④正确．
故答案为①③④．
【点拨】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数
a决定抛物线的开口方向，当 时，抛物线向上开口；当 时，抛物线向下开口；
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即 ），对
称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即 ），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右
异）；③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于 ．
29．①③．
解：①∵a＜0，∴抛物线开口向下，∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，
1，∴当x=﹣4时，y＜0，即16a﹣4b+c＜0；
故①正确；
②∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，∴抛物线的对称轴是：x=﹣
1，∵P（﹣5，y），Q（ ，y），﹣1﹣（﹣5）=4， ﹣（﹣1）=3.5，由对称性得：
1 2
（﹣4.5，y）与Q（ ，y）是对称点，∴则y＜y；
3 2 1 2
故②不正确；
③∵ =﹣1，∴b=2a，当x=1时，y=0，即a+b+c=0，3a+c=0，a=﹣ c；
④要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，当
AB=BC=4时，∵AO=1，△BOC为直角三角形，又∵OC的长即为|c|，∴c2=16﹣9=7，∵由
抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c= ，与b=2a、a+b+c=0联立组成解方程组，
解得b=﹣ ；
同理当AB=AC=4时，∵AO=1，△AOC为直角三角形，又∵OC的长即为|c|，
∴c2=16﹣1=15，∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c= ，与b=2a、
a+b+c=0联立组成解方程组，解得b=﹣ ；
同理当AC=BC时，在△AOC中，AC2=1+c2，在△BOC中BC2=c2+9，∵AC=BC，
∴1+c2=c2+9，此方程无实数解．
经解方程组可知有两个b值满足条件．
故⑤错误．综上所述，正确的结论是①③．
故答案为①③．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定、方程组的解、抛物线与坐标轴的交点、二次
函数 的图象与系数的关系：当a＜0，抛物线开口向下；抛物线的对称轴为
直线x= ；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），与x轴的交点为（x，0）、（x，
1 2
0）．
30．①④##④①
解：根据抛物线 的对称轴直线x=﹣ =1，可得2a+b=0，所以
①正确；
根据x=﹣1时，y＜0，可得a﹣b+c＜0，即a+c＜b，所以②错误；
由抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）得到抛物线与x轴的另一个交点为（4，
0），所以③错误；
由抛物线开口方向得到a＞0，由对称轴x=﹣ ＞0，可得b＜0，由抛物线与y轴
的交点位置可得c＜0，因此abc＞0，所以④正确．
【点拨】二次函数图象与系数的关系
31．四
解：根据图象，由抛物线的对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，根据抛物线开口向
下得到a小于0，故b大于0，再利用抛物线与y轴交点在y轴正半轴，得到c大于0，即a
＜0，b＞0，c＞0．
因此，由于函数y=bx+c的 ， ，故它的图象经过第一、二、三象限，不
经过第四象限．
故答案为：四
【点拨】本题考查二次函数和一次函数的性质，一次函数图象与系数的关系：对于，
函数 ，①当 ， 时，函数 的图象经过第一、二、三象限；②当
， 时，函数 的图象经过第一、三、四象限；③当 ， 时，函数
的图象经过第一、二、四象限；④当 ， 时，函数 的图象经过第
二、三、四象限．
32．②③
分析：①观察函数图象，可知：当x＞2时，抛物线y=-x2+4x在直线y=2x的下方，
1 2
进而可得出当x＞2时，M=y ，结论①错误；
1
②观察函数图象，可知：当x＜0时，抛物线y=-x2+4x在直线y=2x的下方，进而可
1 2
得出当x＜0时，M=y ，再利用二次函数的性质可得出M随x的增大而增大，结论②正确；
1
③利用配方法可找出抛物线y=-x2+4x的最大值，由此可得出：使得M大于4的x的值
1
不存在，结论③正确；④利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征求出当M=2时的
x值，由此可得出：若M=2，则x=1或2+ ，结论④错误．
此题得解．
解：①当x＞2时，抛物线y=-x2+4x在直线y=2x的下方，
1 2
∴当x＞2时，M=y ，结论①错误；
1
②当x＜0时，抛物线y=-x2+4x在直线y=2x的下方，
1 2
∴当x＜0时，M=y ，
1
∴M随x的增大而增大，结论②正确；
③∵y=-x2+4x=-（x-2）2+4，
1
∴M的最大值为4，
∴使得M大于4的x的值不存在，结论③正确；
④当M=y =2时，有-x2+4x=2，
1
解得：x=2- （舍去），x=2+ ；
1 2
当M=y =2时，有2x=2，
2
解得：x=1．
∴若M=2，则x=1或2+ ，结论④错误．
综上所述：正确的结论有②③．
故答案为②③．
点睛：本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征
以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
33．﹣1，4，4+2 ，4﹣2 ．
解：设点P的坐标为（a，﹣ a2+2a+5），
则点Q为（a，﹣ a+3），点B为（0，3），
当点P在点Q上方时，BQ= = a，
PQ=﹣ a2+2a+5﹣（﹣ a+3）=﹣ a2+ a+2，
∵PQ=BQ，
∴ a=﹣ a2+ a+2，
整理得：a2﹣3a﹣4=0，
解得：a=﹣1或a=4，
当点P在点Q下方时，BQ= = a，PQ=﹣ a+3﹣（﹣ a2+2a+5）= a2﹣ a﹣2，
∵PQ=BQ，
∴ a= a2﹣ a﹣2，
整理得：a2﹣8a﹣4=0，
解得：a=4+2 或a=4﹣2 ．
综上所述，a的值为：﹣1，4，4+2 ，4﹣2 ．
故答案为﹣1，4，4+2 ，4﹣2 ．
【点拨】二次函数综合题.
34．
【分析】
根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，写出平移后的抛物线，再写出顶点坐
标即可．
解：抛物线 向右平移1个单位，再向上平移2个单位，
可得：
所以顶点坐标为：
故答案为：
【点拨】本题考查的是抛物线的平移，顶点坐标，掌握“抛物线的平移规律”是解本
题的关键．
35． 5 4 5
【分析】
根据 确定点B(1，5)，代入反比例函数解析式解困确定
k值；根据平移规律，确定点 在抛物线上，且与 的纵坐标相同，根据“波
浪线”的最高值为5，确定n的最大值为5．
解：∵ ，
∴点B(1，5)，代入 ，解得k=5；
根据平移规律，确定点 在抛物线上，且与 的纵坐标相同，
∴m= ，
∵抛物线的最大值为5，
∴n的最大值为5，
故答案为：5；4；5．
【点拨】本题考查了抛物线与反比例函数的综合，平移规律，熟练掌握抛物线的性质
和反比例函数的性质是解题的关键．
36． 2b ##0.4375
【分析】
（1）将点代入函数解析式求解即可；
（2）根据（1）所求，将点A和t代入表达式得到b、t的关系，根据t的取值范围，求
出b的范围，进而即可求解．
解：（1）将点A(-1，1)代入y=x2+2bx+c得
化简得， ，
故答案是：2b；
（2）由（1）
平移后得，
将点A(-1，1)代入
得，
化简得，
记得 （舍去）
将 代入
得
化简得，
∵ ，t≥
∴∴平移后抛物线的项点纵坐标为：
当 时，平移后抛物线的项点纵坐标有最大值为： ，
故答案是： ．
【点拨】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数的相关知识结合不等式并灵
活应用是解题的关键．
37．(1)当x=-3时， (2)b=±1
(3)二次函数的表达式： 或
【分析】
（1）将b=3，c=4时代入 并化简，从而求出二次函数的最大值；
（2）当c=6时， ，根据函数的最大值列方程
，从而求出 的值；
（3）当 ，对称轴为x=-b，分-b<1、 、- 三种情况进行讨论，根据
函数的增减性，找出最大值，然后列方程求出b的值，从而得出二次函数的表达式．
(1)解：当b=3，c=4时，2b=6，
∴ ，
∴ 当x=-3时，
(2)解：当c=6，函数值 时，
∵a=-1＜0，函数开口向下，函数有最大值，
∴ 当x=-b时，y =
最大值
∴ b=±1
(3)解：当c=3b时，
∴ 抛物线对称轴为：x=-b
①-b<1时，即b＞-1，在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下， y随x的增大而减小，
有最大值，
∴ 当x=1时，y最大.
∴
∴ b=11.
② ，即-5≤b＜-1，当x=-b时， y最大.
∴
∴ ， （舍去）③当- 时，即b＜-5，在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而增
大，有最大值，
∴当x=5时， y最大.
∴- ，
∴ b= （舍去）
综上可得： b=﹣5或b=11
∴二次函数的表达式： 或
【点拨】本题考查了二次函数的性质和应用，一元一次方程解法，一元二次方程解法，
掌握二次函数的性质和解方程的方法是解题的关键．
38．开口方向向下，对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，0），画图见分析．
【分析】
先将解析式化成顶点式，再确定开口方向、对称轴和顶点坐标，然描点、连线即可．
解：
∴抛物线的开口方向向下，对称轴为：直线x=2，顶点坐标为（2，0）
当x=0时，y=-8，即于y轴的交点坐标为（0，-8）．
画出对称轴、描出顶点、与y轴交点，然后连线如下：
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象，掌握二次函数图象开口、对称轴、顶点坐
标与二次函数解析式的关系是解得本题的关键．
39．(1)y=-x+4；(2)18
【分析】
（1）由抛物线的解析式求出A、B、C的坐标，再用待定系数法求得BC的解析式；
（2）连接OP，先求出P点坐标，再用三角形的面积公式求得结果．
解：(1)令x=0，得y=-x2+3x+4=4，
∴C（0，4），
令y=0，得y=-x2+3x+4=0，
解得x=-1或x=4，
∴A（-1，0），B（4，0），
设直线BC的解析式为：y=kx+b（k≠0），把B（4，0），C（0，4）代入得
解得 ，
∴直线BC的解析式为：y=-x+4；
(2)当x=2时，y=-x2+3x+4=6，
∴P（2，6），
连接OP，如图，
∴S ACPB=S OAC+S OBP+S OCP=
四边形
△ △ △
【点拨】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法则，三角形的面积，解题关键
是掌握待定系数法，坐标系内求图形面积的方法．
40．(1)点A（1，0），点B（4，0），点C（0，4）(2)平行四边形，理由见分析
(3)存在；F（0，1）或（0，﹣1）或（0， ）
【分析】
（1）令x＝0和y＝0，解方程可求解；
（2）设点P的坐标为（x，﹣x+4），则点Q的坐标为（x，x2﹣5x+4），则PQ＝（﹣
x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x，进而求解；
（3）当∠DQE＝2∠ODQ，则∠HQA＝∠HQE，则直线AQ和直线QE关于直线QH对
称，进而求出点E的坐标为（5，4），再分BE＝BF、BE＝EF、BF＝EF三种情况，分别
求解即可．
(1)解：对于y＝x2﹣5x+4，令y＝0，则0＝x2﹣5x+4，
∴x＝4，x＝1，
1 2
∴点A（1，0），点B（4，0），
令x＝0，则y＝4，
∴点C（0，4）；
(2)解：四边形OCPQ为平行四边形，理由如下：
∵点B的坐标为（4，0），点C（0，4），
设直线BC的表达式为y＝kx+b，则 ，
解得 ，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+4，
设点P的坐标为（x，﹣x+4），则点Q的坐标为（x，x2﹣5x+4），
则PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∵﹣1＜0，
故PQ有最大值，
当x＝2时，PQ的最大值为4＝CO，
∴PQ＝CO，PQ OC，
∴四边形OCPQ为平行四边形；
(3)解：∵D是OC的中点，点C（0，4），
∴点D（0，2），
由（2）知：当x＝2时，PQ的最大值为4，
当x＝2时，y＝x2﹣5x+4＝﹣2，
∴Q（2，﹣2），
由点D、Q的坐标，同理可得，直线DQ的表达式为y＝﹣2x+2，
过点Q作QH⊥x轴于点H，
则QH CO，故∠AQH＝∠ODQ，
而∠DQE＝2∠ODQ.
∴∠HQA＝∠HQE，
则直线AQ和直线QE关于直线QH对称，
∴设直线QE的表达式为y＝2x+r，
将点Q的坐标代入上式并解得r＝﹣6，
∴直线QE的表达式为y＝2x﹣6，
联立y＝x2﹣5x+4得，解得 或 （不合题意，舍去），
∴点E的坐标为（5，4），
设点F的坐标为（0，m），
∴BE2＝（5﹣4）2+（4﹣0）2＝17，
BF2＝m2+42＝m2+16，
EF2＝（m﹣4）2+52，
当BE＝BF时，即16+m2＝17，解得m＝±1；
当BE＝EF时，即25+（m﹣4）2＝17，方程无解；
当BF＝EF时，即16+m2＝25+（m﹣4）2，解得m＝ ；
故点F的坐标为（0，1）或（0，﹣1）或（0， ）.
【点拨】此题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，抛物线上点的
坐标的特征，一次函数图象的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，函数的最值，
利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
41．(1) (2) ， ；
(3) ， 或 ， 或 ， 或 ，
【分析】
（1）将 ， 代入 ，求出 的值，进而可得抛物线解析式；
（2）延长 交 轴于点 ，待定系数法求出直线 的解析式为 ，由
，设 ，则 ， ，则 ，
可得 ，求出 的最大值，进而可得此时 点坐标；
（3）设 向右平移 个单位，则向下平移 个单位，由抛物线沿射线
方向平移 个单位，可得 ，平移后的函数解析式为 ，设 ，
， ，分两种情况讨论：①当 与 是对角线， ，由 ，
可得 ，求得 ， 或 ， ；②当 与 是对角线， ，由 ，得 ，可得 ， 或 ， ．
(1)解：将点 ， 代入 ，得 ，
解得 ，
∴该抛物线的解析式为 ．
(2)解：如图1，延长 交 轴于点 ，
设直线 的解析式为 ，
将点 ， 代入得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
将 代入， ，
则直线 与 轴的交点坐标为 ，
， 轴，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，∴当 时， 有最大值 ，此时 ， ；
(3)解：设 向右平移 个单位，则向下平移 个单位，
∵沿射线 方向平移 个单位，
∴ ，
解得 ， （不合题意，舍去）
∵ ，
∴平移后的解析式为 ，
∴对称轴为直线 ，
设 ， ， ，
， ，
∴ ，
由题意知，以 为顶点的四边形为菱形时，分两种情况求解：①如图
2，当 与 是对角线，
∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ 或 ，
∴ ， 或 ， ；
②如图3，当 与 是对角线，
∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ， 或 ， ；
综上所述， 点坐标为 ， 或 ， 或 ， 或 ，
．
【点拨】本题考查了二次函数解析式，二次函数图象的平移，二次函数的性质，二次
函数与线段的综合，二次函数与特殊四边形的综合，勾股定理，菱形的性质等知识．分类
讨论，对二次函数知识的熟练掌握与灵活运用是解题的关键．
